Τύποι τριγώνων: ορθογώνια, οξεία γωνία, αμβλεία γωνία. Αμβλό τρίγωνο: μήκος πλευρών, άθροισμα γωνιών

Από όλα τα πολύγωνα τρίγωναέχουν τον μικρότερο αριθμό γωνιών και πλευρών.

Τα τρίγωνα διακρίνονται από το σχήμα των γωνιών τους.

Αν όλες οι γωνίες ενός τριγώνου είναι οξείες, τότε λέγεται οξύ τρίγωνο (Εικ. 113, α).

Αν μία από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι ορθή, τότε ονομάζεται ορθογώνιο τρίγωνο.(Εικ. 113, β).

Αν μια από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι αμβλεία, τότε ονομάζεται αμβλύ τρίγωνο.(Εικ. 113, γ).

Λένε ότι εμείς ταξινομημένοτρίγωνα ανάλογα με τις γωνίες τους.

Τα τρίγωνα μπορούν να ταξινομηθούν όχι μόνο από τον τύπο των γωνιών, αλλά και από τον αριθμό των ίσων πλευρών.

Αν δύο πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε αυτό ονομάζεται ισοσκελές τρίγωνο.

Το σχήμα 114, a δείχνει ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC, στο οποίο AB \u003d BC. Στο σχήμα, οι ίσες πλευρές σημειώνονται με ίσο αριθμό παύλων. Οι ίσες πλευρές ΑΒ και ΒΓ λέγονται πλευρές, και την πλευρά AC − βάσηισοσκελές τρίγωνο ABC.

Αν οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες, τότε λέγεται ισόπλευρο τρίγωνο.

Το τρίγωνο που φαίνεται στο Σχήμα 114β είναι ισόπλευρο, έχει MN = NE = EM.

Ένα τρίγωνο με τρεις πλευρές διαφορετικό μήκος, ονομάζεται σκαληνό τρίγωνο.

Τα τρίγωνα που φαίνονται στο Σχήμα 113 είναι κλιμακωτά. Αν η πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι a, τότε η περίμετρός του υπολογίζεται με τον τύπο:

P = 3a

Παράδειγμα 1 . Χρησιμοποιώντας ένα χάρακα και ένα μοιρογνωμόνιο, κατασκευάστε ένα τρίγωνο του οποίου οι δύο πλευρές είναι 3 cm και 2 cm και η μεταξύ τους γωνία είναι 50°.

Με τη βοήθεια ενός μοιρογνωμόνιου κατασκευάζουμε μια γωνία Α, μέτρο βαθμούπου είναι 50 ° (Εικ. 115). Στις πλευρές αυτής της γωνίας από την κορυφή της, χρησιμοποιώντας έναν χάρακα, αφήστε στην άκρη ένα τμήμα AB μήκους 3 cm και ένα τμήμα AC μήκους 2 cm (εικ. 116). Συνδέοντας τα σημεία Β και Γ με ένα τμήμα, παίρνουμε το επιθυμητό τρίγωνο ABC (εικ. 117).

Παράδειγμα 2 . Χρησιμοποιώντας έναν χάρακα και ένα μοιρογνωμόνιο, κατασκευάστε ένα τρίγωνο ABC του οποίου η πλευρά AB είναι 2 cm και του οποίου οι γωνίες CAB και CBA είναι 40° και 110° αντίστοιχα.

Λύση. Χρησιμοποιώντας έναν χάρακα, κατασκευάζουμε ένα τμήμα ΑΒ μήκους 2 cm (εικ. 118). Από τη δέσμη ΑΒ με τη βοήθεια ενός μοιρογνωμόνιου παραμερίζουμε μια γωνία με κορυφή στο σημείο Α, το μέτρο μοίρας της οποίας είναι 40 °. Από την ακτίνα ΒΑ στην ίδια κατεύθυνση από την ευθεία ΑΒ, στην οποία σχεδιάστηκε η πρώτη γωνία, αφαιρούμε τη γωνία με την κορυφή στο σημείο Β, το μέτρο μοίρας της οποίας είναι 110 ° (Εικ. 119).

Έχοντας βρει το σημείο Γ της τομής των πλευρών των γωνιών Α και Β, παίρνουμε το επιθυμητό τρίγωνο ΑΒΓ (Εικ. 120).

Σήμερα θα πάμε στη χώρα της Γεωμετρίας, όπου θα γνωριστούμε διάφοροι τύποιτρίγωνα.

Σκεφτείτε γεωμετρικά σχήματακαι βρείτε ανάμεσά τους το «έξτρα» (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Εικονογράφηση για παράδειγμα

Βλέπουμε ότι τα σχήματα Νο. 1, 2, 3, 5 είναι τετράγωνα. Κάθε ένα από αυτά έχει το δικό του όνομα (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Τετράγωνα

Αυτό σημαίνει ότι το «έξτρα» σχήμα είναι ένα τρίγωνο (Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Εικονογράφηση για παράδειγμα

Ένα τρίγωνο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τρία τμήματα που συνδέουν αυτά τα σημεία σε ζεύγη.

Τα σημεία λέγονται τριγωνικές κορυφές, τμήματα - του κόμματα. Οι πλευρές του τριγώνου σχηματίζονται Υπάρχουν τρεις γωνίες στις κορυφές ενός τριγώνου.

Τα κύρια χαρακτηριστικά ενός τριγώνου είναι τρεις πλευρές και τρεις γωνίες.Τα τρίγωνα ταξινομούνται ανάλογα με τη γωνία οξεία, ορθογώνια και αμβλεία.

Ένα τρίγωνο ονομάζεται οξεία γωνία εάν και οι τρεις γωνίες του είναι οξείες, δηλαδή μικρότερες από 90 ° (Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Οξύ τρίγωνο

Ένα τρίγωνο ονομάζεται ορθογώνιο εάν μία από τις γωνίες του είναι 90° (Εικ. 5).

Ρύζι. 5. Ορθογώνιο τρίγωνο

Ένα τρίγωνο ονομάζεται αμβλύ αν μια από τις γωνίες του είναι αμβλεία, δηλαδή μεγαλύτερη από 90° (Εικ. 6).

Ρύζι. 6. Αμβλύ Τρίγωνο

Σύμφωνα με τον αριθμό των ίσων πλευρών, τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα, ισοσκελή, κλιμακωτά.

Ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο δύο πλευρές είναι ίσες (Εικ. 7).

Ρύζι. 7. Ισοσκελές τρίγωνο

Αυτές οι πλευρές καλούνται πλευρικός, Τρίτη όψη - βάση. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.

Τα ισοσκελή τρίγωνα είναι οξεία και αμβλεία(Εικ. 8) .

Ρύζι. 8. Οξεία και αμβλεία ισοσκελή τρίγωνα

Ονομάζεται ισόπλευρο τρίγωνο, στο οποίο και οι τρεις πλευρές είναι ίσες (Εικ. 9).

Ρύζι. 9. Ισόπλευρο τρίγωνο

Σε ισόπλευρο τρίγωνο όλες οι γωνίες είναι ίσες. Ισόπλευρα τρίγωναΠάντα οξεία γωνία.

Ένα τρίγωνο ονομάζεται σκαλένιο αν και οι τρεις πλευρές είναι διαφορετικό μήκος(Εικ. 10).

Ρύζι. 10. Scalene τρίγωνο

Ολοκληρώστε την εργασία. Χωρίστε αυτά τα τρίγωνα σε τρεις ομάδες (Εικ. 11).

Ρύζι. 11. Εικονογράφηση για την εργασία

Αρχικά, ας κατανείμουμε ανάλογα με το μέγεθος των γωνιών.

Οξεία τρίγωνα: Νο. 1, Νο. 3.

Ορθογώνια τρίγωνα: #2, #6.

Αμβλεία τρίγωνα: #4, #5.

Αυτά τα τρίγωνα χωρίζονται σε ομάδες ανάλογα με τον αριθμό των ίσων πλευρών.

Scalene τρίγωνα: Νο. 4, Νο. 6.

Ισοσκελή τρίγωνα: Νο 2, Νο. 3, Νο. 5.

Ισόπλευρο τρίγωνο: Νο. 1.

Ελέγξτε τα σχέδια.

Σκεφτείτε από ποιο κομμάτι σύρματος είναι φτιαγμένο κάθε τρίγωνο (εικ. 12).

Ρύζι. 12. Εικονογράφηση για την εργασία

Μπορείτε να διαφωνήσετε έτσι.

Το πρώτο κομμάτι σύρματος χωρίζεται σε τρία ίσα μέρη, ώστε να μπορείτε να φτιάξετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο από αυτό. Φαίνεται τρίτο στο σχήμα.

Το δεύτερο κομμάτι σύρματος χωρίζεται σε τρία διαφορετικά μέρη, ώστε να μπορείτε να φτιάξετε ένα τρίγωνο σκαλένιο από αυτό. Φαίνεται πρώτο στην εικόνα.

Το τρίτο κομμάτι σύρματος χωρίζεται σε τρία μέρη, όπου τα δύο μέρη έχουν το ίδιο μήκος, ώστε να μπορείτε να φτιάξετε ένα ισοσκελές τρίγωνο από αυτό. Φαίνεται δεύτερο στην εικόνα.

Σήμερα στο μάθημα γνωρίσαμε διάφορα είδη τριγώνων.

Βιβλιογραφία

ΜΙ. Moro, M.A. Μπάντοβα και άλλοι.Μαθηματικά: Σχολικό βιβλίο. Βαθμός 3: σε 2 μέρη, μέρος 1. - M .: "Διαφωτισμός", 2012.
ΜΙ. Moro, M.A. Μπάντοβα και άλλοι.Μαθηματικά: Σχολικό βιβλίο. Βαθμός 3: σε 2 μέρη, μέρος 2. - M .: "Διαφωτισμός", 2012.
ΜΙ. Moreau. Μαθήματα Μαθηματικών: Κατευθυντήριες γραμμέςγια τον δάσκαλο. Βαθμός 3 - Μ.: Εκπαίδευση, 2012.
Κανονιστικό έγγραφο. Παρακολούθηση και αξιολόγηση των μαθησιακών αποτελεσμάτων. - Μ.: «Διαφωτισμός», 2011.
"Σχολείο της Ρωσίας": Προγράμματα για δημοτικό σχολείο. - Μ.: «Διαφωτισμός», 2011.
ΣΙ. Volkov. Μαθηματικά: Εργασίες επαλήθευσης. Βαθμός 3 - Μ.: Εκπαίδευση, 2012.
V.N. Rudnitskaya. Δοκιμές. - Μ.: «Εξεταστική», 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Εργασία για το σπίτι

1. Ολοκληρώστε τις φράσεις.

α) Τρίγωνο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από ..., που δεν βρίσκεται στην ίδια ευθεία, και ..., που συνδέει αυτά τα σημεία σε ζεύγη.

β) Τα σημεία λέγονται … , τμήματα - του … . Οι πλευρές ενός τριγώνου σχηματίζονται στις κορυφές ενός τριγώνου ….

γ) Σύμφωνα με το μέγεθος της γωνίας, τα τρίγωνα είναι ..., ..., ....

δ) Σύμφωνα με τον αριθμό των ίσων πλευρών, τα τρίγωνα είναι ..., ..., ....

2. Σχεδιάστε

α) ορθογώνιο τρίγωνο

β) ένα οξύ τρίγωνο.

γ) ένα αμβλύ τρίγωνο.

δ) ισόπλευρο τρίγωνο.

ε) σκαλένιο τρίγωνο.

ε) ισοσκελές τρίγωνο.

3. Κάντε μια εργασία για το θέμα του μαθήματος για τους συντρόφους σας.

Όταν μελετούν τα μαθηματικά, οι μαθητές αρχίζουν να εξοικειώνονται με διάφορους τύπους γεωμετρικών σχημάτων. Σήμερα θα μιλήσουμεγια διαφορετικούς τύπους τριγώνων.

Ορισμός

Τα γεωμετρικά σχήματα που αποτελούνται από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ονομάζονται τρίγωνα.

Τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα σημεία ονομάζονται πλευρές και τα σημεία ονομάζονται κορυφές. Οι κορυφές σημειώνονται με μεγάλα με λατινικά γράμματα, για παράδειγμα: Α, Β, Γ.

Οι πλευρές υποδεικνύονται με τα ονόματα των δύο σημείων από τα οποία αποτελούνται - AB, BC, AC. Τέμνοντας, οι πλευρές σχηματίζουν γωνίες. Η κάτω πλευρά θεωρείται η βάση του σχήματος.

Ρύζι. 1. Τρίγωνο ΑΒΓ.

Τύποι τριγώνων

Τα τρίγωνα ταξινομούνται ανάλογα με τις γωνίες και τις πλευρές. Κάθε τύπος τριγώνου έχει τις δικές του ιδιότητες.

Υπάρχουν τρεις τύποι τριγώνων στις γωνίες:

οξεία γωνία?
ορθογώνιος;
κουτός.

Όλες οι γωνίες οξεία γωνίαΤα τρίγωνα είναι οξέα, δηλαδή, το μέτρο βαθμών καθενός δεν είναι μεγαλύτερο από 90 0.

Ορθογώνιοςτο τρίγωνο περιέχει ορθή γωνία. Οι άλλες δύο γωνίες θα είναι πάντα οξείες, γιατί διαφορετικά το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου θα ξεπεράσει τις 180 μοίρες, κάτι που είναι αδύνατο. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη σωστή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα και τα άλλα δύο σκέλη. Η υπόταση είναι πάντα μεγαλύτερη από το πόδι.

κουτόςτο τρίγωνο περιέχει μια αμβλεία γωνία. Δηλαδή γωνία μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Οι άλλες δύο γωνίες σε ένα τέτοιο τρίγωνο θα είναι οξείες.

Ρύζι. 2. Τύποι τριγώνων στις γωνίες.

Πυθαγόρειο τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο του οποίου οι πλευρές είναι 3, 4, 5.

Επιπλέον, η μεγαλύτερη πλευρά είναι η υποτείνουσα.

Αυτά τα τρίγωνα χρησιμοποιούνται συχνά για να σχηματίσουν απλές εργασίεςστη γεωμετρία. Επομένως, θυμηθείτε: εάν δύο πλευρές ενός τριγώνου είναι 3, τότε η τρίτη θα είναι σίγουρα 5. Αυτό θα απλοποιήσει τους υπολογισμούς.

Τύποι τριγώνων στις πλευρές:

ισόπλευρος;
ισοσκελής;
πολύπλευρος.

Ισόπλευροςένα τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες. Όλες οι γωνίες ενός τέτοιου τριγώνου είναι ίσες με 60 0, δηλαδή είναι πάντα οξεία.

Ισοσκελήςένα τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο με μόνο δύο ίσες πλευρές. Αυτές οι πλευρές ονομάζονται πλευρικές, και η τρίτη - η βάση. Επιπλέον, οι γωνίες στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες και πάντα οξείες.

Πολύπλευροςή αυθαίρετο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλα τα μήκη και όλες οι γωνίες δεν είναι ίσα μεταξύ τους.

Εάν δεν υπάρχουν διευκρινίσεις για το σχήμα στο πρόβλημα, τότε είναι γενικά αποδεκτό ότι μιλάμε για ένα αυθαίρετο τρίγωνο.

Ρύζι. 3. Τύποι τριγώνων στις πλευρές.

Το άθροισμα όλων των γωνιών ενός τριγώνου, ανεξάρτητα από τον τύπο του, είναι 1800.

Απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία είναι η μεγαλύτερη πλευρά. Και επίσης το μήκος οποιασδήποτε πλευράς είναι πάντα μικρότερο από το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών της. Αυτές οι ιδιότητες επιβεβαιώνονται από το θεώρημα της ανισότητας του τριγώνου.

Υπάρχει η έννοια ενός χρυσού τριγώνου. Αυτό είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, στο οποίο δύο πλευρές είναι ανάλογες με τη βάση και ίσες με έναν ορισμένο αριθμό. Σε ένα τέτοιο σχήμα, οι γωνίες είναι ανάλογες με την αναλογία 2:2:1.

Εργο:

Υπάρχει τρίγωνο του οποίου οι πλευρές είναι 6 cm, 3 cm, 4 cm;

Λύση:

Για να λύσετε αυτήν την εργασία, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ανισότητα a

Τι μάθαμε;

Από αυτό το υλικό από το μάθημα των μαθηματικών της Ε' τάξης μάθαμε ότι τα τρίγωνα ταξινομούνται ανά πλευρές και γωνίες. Τα τρίγωνα έχουν ορισμένες ιδιότητες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν κατά την επίλυση προβλημάτων.

Ένα τρίγωνο (από την άποψη του χώρου του Ευκλείδη) είναι ένα τέτοιο γεωμετρικό σχήμα, το οποίο σχηματίζεται από τρία τμήματα που συνδέουν τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή. Τα τρία σημεία που σχηματίζουν ένα τρίγωνο ονομάζονται κορυφές του και τα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τις κορυφές ονομάζονται πλευρές του τριγώνου. Τι είναι τα τρίγωνα;

Ίσα τρίγωνα

Υπάρχουν τρία σημάδια της ισότητας των τριγώνων. Ποια τρίγωνα ονομάζονται ίσα; Αυτοί είναι που:

δύο πλευρές και η γωνία μεταξύ αυτών των πλευρών είναι ίσες.
μια πλευρά και δύο γωνίες που γειτνιάζουν με αυτό είναι ίσες.
και οι τρεις πλευρές είναι ίσες.

Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν τα ακόλουθα σημάδια ισότητας:

κατά μήκος οξείας γωνίας και υποτείνουσας.
κατά μήκος μιας οξείας γωνίας και του ποδιού.
σε δύο πόδια?
κατά μήκος της υποτείνουσας και του καθετού.

Τι είναι τα τρίγωνα

Σύμφωνα με τον αριθμό των ίσων πλευρών, ένα τρίγωνο μπορεί να είναι:

Ισόπλευρος. Είναι ένα τρίγωνο με τρεις ίσες πλευρές. Όλες οι γωνίες σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι 60 μοίρες. Επιπλέον, τα κέντρα των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων κύκλων συμπίπτουν.
Μονόπλευρη. Ένα τρίγωνο χωρίς ίσες πλευρές.
Ισοσκελής. Είναι ένα τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές. Δύο όμοιες πλευρές είναι οι πλευρές και η τρίτη πλευρά είναι η βάση. Σε ένα τέτοιο τρίγωνο, η διχοτόμος, η διάμεσος και το ύψος συμπίπτουν εάν χαμηλώσουν στη βάση.

Σύμφωνα με το μέγεθος των γωνιών, ένα τρίγωνο μπορεί να είναι:

Αμβλεία - όταν μια από τις γωνίες έχει τιμή μεγαλύτερη από 90 μοίρες, δηλαδή όταν είναι αμβλεία.
Οξεία γωνία - εάν και οι τρεις γωνίες στο τρίγωνο είναι οξείες, δηλαδή έχουν τιμή μικρότερη από 90 μοίρες.
Ποιο τρίγωνο ονομάζεται ορθογώνιο; Αυτό είναι ένα που έχει μια ορθή γωνία ίση με 90 μοίρες. Τα σκέλη σε αυτό θα ονομάζονται οι δύο πλευρές που σχηματίζουν αυτή τη γωνία και η υποτείνουσα είναι το αντίθετο ορθή γωνίαπλευρά.

Βασικές ιδιότητες τριγώνων

Μια μικρότερη γωνία βρίσκεται πάντα απέναντι από τη μικρότερη πλευρά και μια μεγαλύτερη γωνία βρίσκεται πάντα απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά.
Οι ίσες γωνίες βρίσκονται πάντα απέναντι από ίσες πλευρές και απέναντι διαφορετικές πλευρέςβρίσκονται πάντα διαφορετικές γωνίες. Συγκεκριμένα, σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, όλες οι γωνίες έχουν την ίδια τιμή.
Σε οποιοδήποτε τρίγωνο, το άθροισμα των γωνιών είναι 180 μοίρες.
Μια εξωτερική γωνία μπορεί να ληφθεί επεκτείνοντας μια από τις πλευρές της σε ένα τρίγωνο. Η τιμή της εξωτερικής γωνίας θα είναι ίση με το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών που δεν γειτνιάζουν με αυτήν.
Η πλευρά ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τη διαφορά των άλλων δύο πλευρών του, αλλά μικρότερη από το άθροισμά τους.

Στη χωρική γεωμετρία του Lobachevsky, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου θα είναι πάντα μικρότερο από 180 μοίρες. Σε μια σφαίρα, αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη από 180 μοίρες. Η διαφορά μεταξύ 180 μοιρών και του αθροίσματος των γωνιών ενός τριγώνου ονομάζεται ελάττωμα.

Σήμερα θα πάμε στη χώρα της Γεωμετρίας, όπου θα γνωρίσουμε διαφορετικούς τύπους τριγώνων.

Εξετάστε τα γεωμετρικά σχήματα και βρείτε τα «έξτρα» μεταξύ τους (Εικ. 1).