Πώς να βρείτε την περίμετρο μιας φιγούρας με διαφορετικές πλευρές. Περίμετρος και εμβαδόν

Η γεωμετρία, αν δεν κάνω λάθος, στην εποχή μου μελετήθηκε από την πέμπτη δημοτικού και η περίμετρος ήταν και είναι μια από τις βασικές έννοιες. Ετσι, περίμετρος είναι το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών (που συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα P). Γενικά, αυτός ο όρος ερμηνεύεται με διαφορετικούς τρόπους, για παράδειγμα,

το συνολικό μήκος του περιγράμματος του σχήματος,
το μήκος όλων των πλευρών του,
το άθροισμα των μηκών των όψεών του,
το μήκος της οριογραμμής,
το άθροισμα όλων των μηκών των πλευρών ενός πολυγώνου

Διαφορετικά σχήματα έχουν τους δικούς τους τύπους για τον προσδιορισμό της περιμέτρου. Για να κατανοήσουμε την ίδια την έννοια, προτείνω να συναγάγουμε ανεξάρτητα μερικούς απλούς τύπους:

για ένα τετράγωνο
για ένα ορθογώνιο
για παραλληλόγραμμο
για κύβο
για ένα κουτί

Περίμετρος τετραγώνου

Για παράδειγμα, ας πάρουμε το πιο απλό - την περίμετρο ενός τετραγώνου.

Όλες οι πλευρές ενός τετραγώνου είναι ίσες. Ας ονομαστεί η μία πλευρά «α» (όπως και οι άλλες τρεις), λοιπόν

P = a + a + a + a

ή πιο συμπαγής σημειογραφία

Ορθογώνιο Περίμετρος

Ας περιπλέκουμε την εργασία και ας πάρουμε ένα ορθογώνιο. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι πλέον δυνατό να πούμε ότι όλες οι πλευρές είναι ίσες, επομένως ας είναι τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου ίσα με a και b.

Τότε ο τύπος θα μοιάζει με αυτό:

P = a + b + a + b

Παραλληλόγραμμο περίμετρος

Μια παρόμοια κατάσταση θα είναι και με ένα παραλληλόγραμμο (δείτε την περίμετρο του ορθογωνίου)

περίμετρος κύβου

Τι να κάνουμε αν έχουμε να κάνουμε με τρισδιάστατη φιγούρα; Για παράδειγμα, πάρτε έναν κύβο. Ένας κύβος έχει 12 πλευρές και είναι όλες ίσες. Κατά συνέπεια, η περίμετρος ενός κύβου μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

Περίμετρος του κουτιού

Λοιπόν, για να διορθώσουμε το υλικό, υπολογίζουμε την περίμετρο του παραλληλεπίπεδου. Εδώ είναι απαραίτητο να σκεφτούμε λίγο. Ας το κάνουμε μαζί. Όπως γνωρίζουμε, κυβοειδές είναι ένα σχήμα του οποίου οι πλευρές είναι ορθογώνια. Κάθε παραλληλεπίπεδο έχει δύο βάσεις. Ας πάρουμε μια από τις βάσεις και ας δούμε τις πλευρές της - έχουν μήκη a και b. Αντίστοιχα, η περίμετρος της βάσης είναι P = 2a + 2b. Τότε η περίμετρος των δύο βάσεων είναι

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Έχουμε όμως και μια πλευρά «γ». Έτσι, ο τύπος για τον υπολογισμό της περιμέτρου ενός παραλληλεπίπεδου θα μοιάζει με αυτό:

P = 4a + 4b + 4c

Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραπάνω παραδείγματα, το μόνο που χρειάζεται να κάνετε για να προσδιορίσετε την περίμετρο ενός σχήματος είναι να βρείτε το μήκος καθεμιάς από τις πλευρές και στη συνέχεια να τις προσθέσετε.

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να σημειώσω ότι δεν έχει κάθε φιγούρα περίμετρο. Για παράδειγμα, Μια σφαίρα δεν έχει περίμετρο.

Στις παρακάτω δοκιμαστικές εργασίες, πρέπει να βρείτε την περίμετρο του σχήματος που φαίνεται στο σχήμα.

Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να βρείτε την περίμετρο ενός σχήματος. Μπορείτε να μετατρέψετε το αρχικό σχήμα με τέτοιο τρόπο ώστε η περίμετρος του νέου σχήματος να μπορεί να υπολογιστεί εύκολα (για παράδειγμα, αλλαγή σε ορθογώνιο).

Μια άλλη λύση είναι να αναζητήσετε απευθείας την περίμετρο του σχήματος (ως το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του). Αλλά σε αυτή την περίπτωση, δεν μπορεί κανείς να βασιστεί μόνο στο σχέδιο, αλλά να βρει τα μήκη των τμημάτων με βάση τα δεδομένα του προβλήματος.

Θέλω να σας προειδοποιήσω: σε μία από τις εργασίες, μεταξύ των προτεινόμενων απαντήσεων, δεν βρήκα αυτή που μου βγήκε.

ντο) .

Ας μετακινήσουμε τις πλευρές των μικρών ορθογωνίων από την εσωτερική περιοχή στην εξωτερική. Ως αποτέλεσμα, το μεγάλο ορθογώνιο είναι κλειστό. Τύπος για την εύρεση της περιμέτρου ενός ορθογωνίου

Στην περίπτωση αυτή, a=9a, b=3a+a=4a. Άρα P=2(9a+4a)=26a. Στην περίμετρο του μεγάλου ορθογωνίου προσθέτουμε το άθροισμα των μηκών τεσσάρων τμημάτων, καθένα από τα οποία είναι ίσο με 3α. Ως αποτέλεσμα, P=26a+4∙3a= 38α .

ντο) .

Αφού μεταφέρουμε τις εσωτερικές πλευρές των μικρών ορθογωνίων στην εξωτερική περιοχή, παίρνουμε ένα μεγάλο παραλληλόγραμμο, η περίμετρος του οποίου είναι P=2(10x+6x)=32x και τέσσερα τμήματα, δύο μήκους x, δύο μήκους 2x.

Σύνολο, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Ας μετακινήσουμε 6 οριζόντια «σκαλοπάτια» από μέσα προς τα έξω. Η περίμετρος του μεγάλου ορθογωνίου που προκύπτει είναι P=2(6y+8y)=28y. Μένει να βρούμε το άθροισμα των μηκών των τμημάτων μέσα στο ορθογώνιο 4y+6∙y=10y. Έτσι, η περίμετρος του σχήματος είναι P=28y+10y= 38 ετών .

ΡΕ) .

Ας μετακινήσουμε τα κατακόρυφα τμήματα από την εσωτερική περιοχή του σχήματος προς τα αριστερά, στην εξωτερική περιοχή. Για να αποκτήσετε ένα μεγάλο ορθογώνιο, μετακινήστε ένα από τα μήκη 4x στην κάτω αριστερή γωνία.

Βρίσκουμε την περίμετρο του αρχικού σχήματος ως το άθροισμα της περιμέτρου αυτού του μεγάλου ορθογωνίου και τα μήκη των υπόλοιπων τριών τμημάτων P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

μι) .

Μετακινώντας τις εσωτερικές πλευρές των μικρών ορθογωνίων στην εξωτερική περιοχή, παίρνουμε ένα μεγάλο τετράγωνο. Η περίμετρός του είναι P=4∙10x=40x. Για να λάβετε την περίμετρο του αρχικού σχήματος, πρέπει να προσθέσετε το άθροισμα των μηκών οκτώ τμημάτων, το καθένα 3x μήκος, στην περίμετρο του τετραγώνου. Σύνολο, P=40x+8∙3x= 64x .

σι) .

Ας μετακινήσουμε όλα τα οριζόντια "βήματα" και τα κάθετα άνω τμήματα στην εξωτερική περιοχή. Η περίμετρος του παραλληλογράμμου που προκύπτει είναι P=2(7y+4y)=22y. Για να βρείτε την περίμετρο του αρχικού σχήματος, πρέπει να προσθέσετε στην περίμετρο του ορθογωνίου το άθροισμα των μηκών τεσσάρων τμημάτων, το καθένα με μήκος y: P=22y+4∙y= 26 ετών .

ΡΕ) .

Μετακινήστε όλες τις οριζόντιες γραμμές από την εσωτερική περιοχή στην εξωτερική περιοχή και μετακινήστε τις δύο κάθετες εξωτερικές γραμμές στην αριστερή και δεξιά γωνία, αντίστοιχα, z αριστερά και δεξιά. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα μεγάλο ορθογώνιο, η περίμετρος του οποίου είναι P=2(11z+3z)=28z.

Η περίμετρος του αρχικού σχήματος είναι ίση με το άθροισμα της περιμέτρου του μεγάλου ορθογωνίου και των μηκών έξι τμημάτων σε z: P=28z+6∙z= 34z .

σι) .

Η λύση είναι εντελώς παρόμοια με τη λύση του προηγούμενου παραδείγματος. Αφού μεταμορφώσουμε το σχήμα, βρίσκουμε την περίμετρο του μεγάλου ορθογωνίου:

P=2(5z+3z)=16z. Στην περίμετρο του παραλληλογράμμου προσθέτουμε το άθροισμα των μηκών των υπόλοιπων έξι τμημάτων, καθένα από τα οποία είναι ίσο με z: P=16z+6∙z= 22z .

ΠερίμετροςΤο σχήμα είναι το μήκος όλων των πλευρών του. Δεν έχουν όλα τα σχήματα περίμετρο, για παράδειγμα, μια μπάλα δεν έχει περίμετρο. Τυπική ονομασία περίμετρος στα μαθηματικά -γράμμα Π

Περίμετρος τετραγώνου

Έστω το μήκος της πλευράς του τετραγώνου α. Ένα τετράγωνο έχει τέσσερις ίσες πλευρές, άρα περίμετρο της πλατείαςείναι P = a + a + a + a ή:

Ορθογώνιο Περίμετρος

Έστω τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου a και b.
Το μήκος όλων των πλευρών του είναι P = a + b + a + b ή:

Παραλληλόγραμμο περίμετρος

Έστω τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου a και b
Το μήκος όλων των πλευρών του είναι P = a + b + a + b, άρα η περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι:

Όπως μπορείτε να δείτε, η περίμετρος του παραλληλογράμμου είναι ίση με την περίμετρο του παραλληλογράμμου.

Περίμετρος ισοσκελούς τραπεζοειδούς

Έστω τα μήκη των παράλληλων πλευρών του τραπεζοειδούς a και b και τα μήκη των άλλων δύο πλευρών είναι ίσα με c (Όπως γνωρίζετε, ένα ισοσκελές τραπέζιο έχει δύο ίσες πλευρές).

P = a + b + c + c = a + b + 2c

Περίμετρος ισόπλευρου τριγώνου

Όπως γνωρίζετε, ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει 3 ίσες πλευρές. Εάν το μήκος της πλευράς είναι a, τότε ο τύπος για την εύρεση της περιμέτρου είναι P = a + a + a

Περίμετρος του κουτιού

Ένα παραλληλεπίπεδο είναι ένα πρίσμα, του οποίου όλες οι πλευρές είναι παραλληλόγραμμα. (Ένα κυβοειδές είναι ένα σχήμα του οποίου οι πλευρές είναι ορθογώνια.)
Αν οι πλευρές της βάσης έχουν μήκη a και b τότε η περίμετρος της βάσης είναι P = 2a + 2b . Κάθε κουτί έχει δύο βάσεις, άρα η περίμετρος των δύο βάσεων είναι (2a + 2b).2 = 4a + 4b . Όπως γνωρίζουμε, η παράμετρος είναι το άθροισμα όλων των πλευρών. Άρα πρέπει να προσθέσουμε τέσσερις φορές c

P = 4a + 4b + 4c

περίμετρος κύβου

Ο κύβος είναι ένα παραλληλεπίπεδο, του οποίου όλες οι πλευρές είναι τετράγωνες (όλες οι πλευρές είναι ίσες).
Τότε, η περίμετρος ενός κύβου είναι ο αριθμός των πλευρών * μήκους.
Κάθε κύβος έχει 12 πλευρές.
Τότε, ο τύπος για την εύρεση της περιμέτρου ενός κύβου είναι:

Όπου α είναι το μήκος της πλευράς του.

Πώς να βρείτε την περίμετρο διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων

Δυσκολεύεστε να κατανοήσετε πώς να βρείτε την περίμετρο διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων; Ένας επιχειρηματικός ιστότοπος έρχεται να σας σώσει κάνοντας τη γεωμετρία πιο εύκολη από ποτέ!Γεγονός ευχαρίστησης Η περίμετρος ή η περιφέρεια της Γης είναι 24.901 μίλια, δηλαδή. μι. σχεδόν 40.075 χλμ!Στα μαθηματικά εξετάζονται η γεωμετρία, τα σχήματα, τα μεγέθη, η σχετική θέση, ο τρισδιάστατος προσανατολισμός των μορφών στο χώρο. Ασχολείται με τις τρεις βασικές διαστάσεις των σχημάτων: εμβαδόν, όγκο και περίμετρο.

Το εμβαδόν είναι ένα μέτρο της έκτασης ενός δισδιάστατου σχήματος ή σχήματος. μια επιφάνεια μπορεί να περιγραφεί ως η έκταση της επιφάνειας ενός αντικειμένου. Είναι ένα μέτρο στον τρισδιάστατο χώρο κοντά σε ένα αντικείμενο.

Η περίμετρος μπορεί απλά να περιγραφεί ως το μήκος μιας διαδρομής που περιβάλλει ένα δισδιάστατο σχήμα. Με άλλα λόγια, είναι η απόσταση γύρω από το σχήμα. Ας ρίξουμε τώρα μια ματιά στο Πώς να βρείτε την περίμετρο διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων.

Δείκτης
τετράγωνο
Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
Ενας κύκλος
Ημικύκλιο

Τομέας
Τρίγωνο
Τραπεζοειδής
Πολύγωνο
τετράγωνο
Ένα τετράγωνο είναι ένα τετράπλευρο που έχει και τις τέσσερις πλευρές και τις τέσσερις γωνίες ίσες (όλες 90°).

Παράδειγμα: Για να βρούμε την περίμετρο ενός τετραγώνου με πλευρά 5 cm, χρησιμοποιούμε τον τύπο που φαίνεται στο Σχ.
P = A + A + A + A
P = 5 + 5 + 5 + 5
P = 20 cm
Ο ίδιος τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της περιμέτρου ενός ρόμβου.
Επιστροφή στο ευρετήριο
Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
Ένα ορθογώνιο είναι ένα τετράπλευρο που έχει και τις τέσσερις γωνίες ίσες (όλες 90°). Οι απέναντι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι ίσες (ενώ οι διπλανές πλευρές όχι).

Παράδειγμα: Για να βρούμε την περίμετρο ενός ορθογωνίου, χρησιμοποιούμε τον τύπο που φαίνεται στο Σχ.
l = 15 cm
b = 25 cm
P = 2 (15 + 25)
P = 2 (40)
R = 80 cm
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ίδιο τύπο για να βρείτε την περίμετρο ενός παραλληλογράμμου.
Επιστροφή στο ευρετήριο
Ενας κύκλος
Ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί ως ένα σύνολο σημείων που βρίσκονται σε ίση απόσταση από ένα συγκεκριμένο σημείο (γνωστό ως κέντρο). Η περίμετρος ενός κύκλου ονομάζεται κύκλος, που συμβολίζεται γ.

Παράδειγμα: βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου, χρησιμοποιούμε τον τύπο που φαίνεται στο Σχ..
Αν C = 2πR και πd
C = 2 x 3,14 x 7 ή 3,14 x 14
C = 43,96 cm
Επιστροφή στο ευρετήριο
ΗΜΙΚΥΚΛΙΟ
Ένα ημικύκλιο, με άλλα λόγια, μισός κύκλος, η περίμετρός του θα είναι το μισό αυτού του κύκλου.

Παράδειγμα: Για να βρούμε την περίμετρο ενός ημικυκλίου, χρησιμοποιούμε τον τύπο που φαίνεται στο Σχ.
p = 7 cm ή D = 14 cm (d = p + p)
P \u003d πR και πd / 2
R = 2 x 3,14 x 7 ή 3,14 x 14/2
P = 21,98 cm
Επιστροφή στο ευρετήριο
Τομέας
Ένας τομέας μπορεί να περιγραφεί ως μέρος ενός κύκλου.

Παράδειγμα: Για να βρούμε την περίμετρο ενός τομέα, χρησιμοποιούμε τον τύπο που φαίνεται στο Σχ.

ϴ = 60°
p = 7 cm
P \u003d 60/360 X 2 X 3. 14 x 7
R = 7,33 cm
Επιστροφή στο ευρετήριο
Τρίγωνο
Ένα τρίγωνο είναι ένα πολύγωνο που έχει τρεις πλευρές και τρεις κορυφές. Ας εξετάσουμε τρεις περιπτώσεις για να προσδιορίσουμε την περίμετρό του.

ένας. Όταν είναι γνωστές και οι τρεις πλευρές.

Για να βρούμε την περίμετρο ενός τριγώνου, χρησιμοποιούμε τον τύπο που φαίνεται στο Σχ.
a = 14 cm
b = 16 cm
c = 15 cm
P = 14 + 16 + 15
P = 45 cm
σι. Για ορθογώνιο τρίγωνο αν η υποτείνησή του είναι άγνωστη.

Για να βρούμε την περίμετρο ενός ορθογωνίου τριγώνου, χρησιμοποιούμε τον τύπο που φαίνεται στο Σχ.
Β = 3 cm
h = 4 cm
P \u003d b + h + √ B2 + h 2
P \u003d 3 + 4 + √ 32 + 4 2
P = 3 + 4 + 5
P = 12 cm

Εάν οποιαδήποτε άλλη πλευρά είναι άγνωστη, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τον Πυθαγόρειο τύπο για να βρει πρώτα την πλευρά και μετά να υπολογίσει την περίμετρο.
Με. Για οποιοδήποτε άλλο τρίγωνο, όταν είναι γνωστές μόνο δύο πλευρές και μια γωνία.

Πρώτα απ 'όλα πρέπει να βρούμε το μήκος της πλευράς χρησιμοποιώντας το νόμο των συνημιτόνων,
Όταν τα Α, Β και Γ είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου και τα α, β και Γ έχουν αντίθετες γωνίες των πλευρών Α, Β και Γ, αντίστοιχα, μπορούμε να βρούμε το μήκος της άγνωστης πλευράς (π. γ) με τον τύπο:

C2 \u003d a 2 + B 2 - σε 2. b επειδή (γ)

Για παράδειγμα
A = 4 cm
Β=2 εκ
C2 \u003d 4 2 + 2 2 - 2 4. 2 cos (45)
C2 = 16 + 4 - 2 (0,876)
C2 = 20 - 1.752
C2 = 18,284
c = 4. 272 cm

P = A + B + C
P = 4 + 2 + 4,272
P = 10,272 cm
Επιστροφή στο ευρετήριο
ΤΡΑΠΕΖΟΕΙΔΕΣ
Ένα τραπέζιο είναι ένα τετράπλευρο με τουλάχιστον ένα ζεύγος παράλληλων ευθειών. Οι παράλληλες γραμμές ονομάζονται βάσεις του τραπεζοειδούς και η άλλη πλευρά δεν είναι γνωστή ως σκέλη του τραπεζοειδούς. Η απόσταση μεταξύ των παράλληλων γραμμών ονομάζεται ύψος του τραπεζοειδούς.
Ας δούμε τρία διαφορετικά σενάρια για να βρούμε την περίμετρο.

ένας. Όταν όλα τα μέρη γνωρίζουν.

A = 4 cm
b = 16 cm
c = 5 cm
d = 8 cm
P = 4 + 16 + 5 + 8
P = 33 cm
σι. Όταν τα πλευρά (πόδια) του είναι άγνωστα.

Για να βρούμε την περίμετρο ενός τραπεζοειδούς, χρησιμοποιούμε τον τύπο που φαίνεται στο Σχ.
b = 16 cm
h = 3 cm
d = 8 cm
P = b + d + h
1
+
1
Sin(S)
Sin(A)

P = 16 + 8 + 3
1
+
1
Sin(53)
Sin (45)

P = 16 + 8 + 33,3
P = 57,3 cm
Με. Όταν ένα από τη βάση και το ύψος είναι άγνωστα.

Φανταστείτε να κόβουμε το τραπέζι από δύο πλευρές με τέτοιο τρόπο ώστε τα μήκη των βάσεων να είναι ίσα και όταν ενώνουμε το κομμένο τμήμα, να έχουμε ένα τρίγωνο, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Όταν τα ∠ και ∠c είναι ίσα. και οι τρεις γωνίες είναι 60°. Αυτό το τρίγωνο είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, και ως εκ τούτου, όταν το μήκος μιας πλευράς προστεθεί στη βάση, παίρνουμε το μήκος της μεγαλύτερης βάσης.
Όταν οι γωνίες είναι ίσες. το άθροισμα των γωνιών που αφαιρείται κατά 180°.

Το εμβαδόν αυτού του τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
A \u003d ½ X X X αμαρτία (B)
Βρείτε την περίμετρο ενός τραπεζοειδούς,
A = 4 cm
c = 6 cm
d = 11 cm
∠ a = 53°
∠ c = 65°
∠ B = 78°
Εμβαδόν = ½ x 4 x 6 x αμαρτία 78
Εμβαδόν = 6,12 cm2
Τριγωνική βάση=
τετράγωνο
½ x x αμαρτία(ες)

Βάση =
6. 12
½ x 4 x sin(65)

Βάση =
6. 12
2 x 0,826

Βάση = 3,70 cm
Βάση τραπεζοειδούς = 11 + 3,70 = 14,70 cm

Τώρα έχουμε τις πλευρές και τη βάση του τραπεζοειδούς, μπορούμε να βρούμε την περίμετρο.
P = 14. 7 + 4 + 6 + 11
P = 35,7 cm
Επιστροφή στο ευρετήριο
Πολύγωνο
Κάθε κλειστό σχήμα, όπου τα τμήματα δεν τέμνονται μεταξύ τους, οδηγεί σε ένα πολύγωνο. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου είναι πάντα 360° και ονομάζονται ανάλογα με τον αριθμό των πλευρών που έχουν.

ένας. Ένα κανονικό πολύγωνο έχει όλες ίσες πλευρές, οπότε όταν είναι γνωστός ο αριθμός των πλευρών και το μήκος κάθε πλευράς, η περίμετρος του πολυγώνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που φαίνεται στο Σχ.

Παράδειγμα: Εάν ένα εξάγωνο έχει πλευρές μήκους 5 cm, η περίμετρός του μπορεί να υπολογιστεί όπως φαίνεται παρακάτω.
n = 6 (ένα εξάγωνο έχει έξι πλευρές)
c = 5 cm
P = 6 x 5
R = 30 cm
σι. Όταν το μήκος της πλευράς του πολυγώνου δεν είναι γνωστό, τότε η περίμετρός του μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο.

X = 2 x x Μαύρισμα (180/p)
Εδώ είναι α-απόθεμα.
Το Apothem είναι ένα τμήμα από το κέντρο του πολυγώνου έως το μέσο της πλευράς.

S = 2 x R x Tan (180/p)
R-ακτίνα.
Απόσταση από το κέντρο ενός κανονικού πολυγώνου σε οποιαδήποτε κορυφή.

Παράδειγμα: σε ένα εξάγωνο αποθέματος 4 cm, η πλευρά του μπορεί να υπολογιστεί όπως φαίνεται παρακάτω.
c = 2 x 4 x μαύρισμα (180/6)
x = 8 x Μαύρισμα (30)
s = 8 x 0,58
s = 4,62 cm

P = 6 x 4,62 = 27,71 cm

Για ένα εξάγωνο με ακτίνα 4 cm, η πλευρά του μπορεί να υπολογιστεί όπως φαίνεται παρακάτω.
x = 2 x 4 x αμαρτία (180/6)
s = 8 x sin (30)
s = 8 x 0,5
s = 4,00 cm

P = 6 x 4. 00 = 24 cm
Με. Για ένα ακανόνιστο πολύγωνο, αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες, μπορούμε να υπολογίσουμε την περίμετρό του προσθέτοντας απλώς τα μήκη όλων των πλευρών του.

Παράδειγμα: ένα ακανόνιστο πολύγωνο με έξι πλευρές
C1 = 8 cm
C2 = 6 cm
C3 = 4 cm
C4=7cm
C5 = 5 cm
C6 = 4 cm

P \u003d C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6
P \u003d 8 + 6 + 4 + 7 + 5 + 4
P = 36 cm
Επιστροφή στο ευρετήριο
Γνωρίζουμε ότι η γεωμετρία μπορεί να είναι λίγο δύσκολη στην αρχή (εμπιστευτείτε μας, ξέρουμε), αλλά συνεχίστε να εξασκείτε και σίγουρα θα γίνεστε καλύτεροι με κάθε προσπάθεια.

Η ικανότητα εύρεσης της περιμέτρου ενός ορθογωνίου είναι πολύ σημαντική για την επίλυση πολλών γεωμετρικών προβλημάτων. Παρακάτω είναι πώς να βρείτε την περίμετρο διαφορετικών ορθογωνίων.

Πώς να βρείτε την περίμετρο ενός κανονικού ορθογωνίου

Κανονικό ορθογώνιο είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι παράλληλες πλευρές είναι ίσες και όλες οι γωνίες = 90º. Υπάρχουν 2 τρόποι για να βρείτε την περίμετρό του:

Προσθέστε όλες τις πλευρές.

Να υπολογίσετε την περίμετρο ενός ορθογωνίου, αν το πλάτος του είναι 3 cm και το μήκος του 6.

Λύση (ακολουθία ενεργειών και συλλογισμός):

Δεδομένου ότι γνωρίζουμε το πλάτος και το μήκος του ορθογωνίου, η εύρεση της περιμέτρου του δεν είναι δύσκολη. Το πλάτος είναι παράλληλο με το πλάτος και το μήκος είναι το μήκος. Έτσι, σε ένα κανονικό ορθογώνιο, υπάρχουν 2 πλάτη και 2 μήκη.
Προσθέστε όλες τις πλευρές (3 + 3 + 6 + 6) = 18 cm.

Απάντηση: P = 18 cm.

Ο δεύτερος τρόπος είναι ο εξής:

Πρέπει να προσθέσετε το πλάτος και το μήκος και να πολλαπλασιάσετε με το 2. Ο τύπος για αυτήν τη μέθοδο είναι ο εξής: 2 × (a + b), όπου a είναι το πλάτος, b είναι το μήκος.

Ως μέρος αυτής της εργασίας, λαμβάνουμε την ακόλουθη λύση:

2x(3 + 6) = 2x9 = 18.

Απάντηση: P = 18.

Πώς να βρείτε την περίμετρο ενός ορθογωνίου - τετραγώνου

Ένα τετράγωνο είναι ένα κανονικό τετράπλευρο. Σωστό γιατί όλες οι πλευρές και οι γωνίες του είναι ίσες. Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε την περίμετρό του:

Προσθέστε όλες τις πλευρές του.
Πολλαπλασιάστε την πλευρά του επί 4.

Παράδειγμα: Να βρείτε την περίμετρο ενός τετραγώνου αν η πλευρά του = 5 cm.

Οι μαθητές μαθαίνουν πώς να βρίσκουν την περίμετρο στο δημοτικό σχολείο. Στη συνέχεια, αυτές οι πληροφορίες χρησιμοποιούνται συνεχώς σε όλη τη διάρκεια του μαθήματος των μαθηματικών και της γεωμετρίας.

Θεωρία κοινή σε όλα τα σχήματα

Τα κόμματα συνήθως δηλώνονται με λατινικά γράμματα. Επιπλέον, μπορούν να χαρακτηριστούν ως τμήματα. Τότε θα χρειαστείτε δύο γράμματα για κάθε πλευρά και γραμμένα με μεγάλα γράμματα. Ή εισάγετε τον προσδιορισμό με ένα γράμμα, το οποίο θα είναι απαραίτητα μικρό.
Τα γράμματα επιλέγονται πάντα αλφαβητικά. Για ένα τρίγωνο, θα είναι οι τρεις πρώτοι. Το εξάγωνο θα έχει 6 από αυτά - από το a έως το f. Αυτό είναι χρήσιμο για την εισαγωγή τύπων.

Τώρα για το πώς να βρείτε την περίμετρο. Είναι το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών του σχήματος. Ο αριθμός των όρων εξαρτάται από τον τύπο του. Η περίμετρος συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα P. Οι μονάδες μέτρησης είναι ίδιες με αυτές που δίνονται για τις πλευρές.

Περιμετρικοί τύποι για διαφορετικά σχήματα

Για ένα τρίγωνο: P \u003d a + b + c. Εάν είναι ισοσκελές, τότε ο τύπος μετατρέπεται: P \u003d 2a + c. Πώς να βρείτε την περίμετρο ενός τριγώνου αν είναι ισόπλευρο; Αυτό θα βοηθήσει: P \u003d 3a.

Για αυθαίρετο τετράπλευρο: P=a+b+c+d. Η ειδική του περίπτωση είναι το τετράγωνο, ο περιμετρικός τύπος: P=4a. Υπάρχει επίσης ένα ορθογώνιο, τότε απαιτείται η ακόλουθη ισότητα: P \u003d 2 (a + b).

Τι γίνεται αν δεν γνωρίζετε το μήκος μιας ή περισσότερων πλευρών ενός τριγώνου;

Χρησιμοποιήστε το θεώρημα συνημιτόνου εάν υπάρχουν δύο πλευρές μεταξύ των δεδομένων και η γωνία μεταξύ τους, η οποία συμβολίζεται με το γράμμα Α. Στη συνέχεια, πριν βρείτε την περίμετρο, θα πρέπει να υπολογίσετε την τρίτη πλευρά. Για αυτό, είναι χρήσιμος ο ακόλουθος τύπος: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Μια ειδική περίπτωση αυτού του θεωρήματος είναι αυτή που διατύπωσε ο Πυθαγόρας για ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Σε αυτό, η τιμή του συνημιτόνου της ορθής γωνίας γίνεται ίση με μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι ο τελευταίος όρος απλώς εξαφανίζεται.

Υπάρχουν περιπτώσεις που μπορείτε να μάθετε πώς να βρείτε την περίμετρο ενός τριγώνου στη μία πλευρά. Ταυτόχρονα όμως είναι γνωστές και οι γωνίες του σχήματος. Εδώ το ημιτονικό θεώρημα έρχεται σε βοήθεια, όταν οι λόγοι των μηκών των πλευρών προς τα ημίτονο των αντίστοιχων απέναντι γωνιών είναι ίσοι.

Σε μια κατάσταση όπου η περίμετρος ενός σχήματος πρέπει να βρεθεί ανά περιοχή, άλλοι τύποι θα φανούν χρήσιμοι. Για παράδειγμα, εάν η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι γνωστή, τότε στο ερώτημα πώς να βρείτε την περίμετρο ενός τριγώνου, είναι χρήσιμος ο ακόλουθος τύπος: S \u003d p * r, εδώ το p είναι η ημιπερίμετρος. Πρέπει να προκύψει από αυτόν τον τύπο και να πολλαπλασιαστεί επί δύο.

Παραδείγματα εργασιών

Πρώτη προϋπόθεση.Να βρείτε την περίμετρο ενός τριγώνου του οποίου οι πλευρές είναι 3, 4 και 5 cm.
Λύση.Πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που υποδεικνύεται παραπάνω και απλώς να αντικαταστήσετε τα δεδομένα στην εργασία αξίας σε αυτήν. Οι υπολογισμοί είναι εύκολοι, οδηγούν στον αριθμό 12 cm.
Απάντηση.Η περίμετρος ενός τριγώνου είναι 12 cm.

Δεύτερη προϋπόθεση.Η μία πλευρά του τριγώνου είναι 10 εκ. Είναι γνωστό ότι η δεύτερη είναι 2 εκ. μεγαλύτερη από την πρώτη και η τρίτη είναι 1,5 φορές μεγαλύτερη από την πρώτη. Απαιτείται ο υπολογισμός της περιμέτρου του.
Λύση. Για να το μάθετε, πρέπει να μετρήσετε δύο πλευρές. Το δεύτερο ορίζεται ως το άθροισμα του 10 και του 2, το τρίτο είναι ίσο με το γινόμενο του 10 και του 1,5. Τότε μένει μόνο να μετρήσουμε το άθροισμα τριών τιμών: 10, 12 και 15. Το αποτέλεσμα θα είναι 37 cm.
Απάντηση.Η περίμετρος είναι 37 cm.

Τρίτη προϋπόθεση.Υπάρχει ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο. Η μία πλευρά του ορθογωνίου είναι 4 cm και η άλλη είναι 3 cm μεγαλύτερη. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την τιμή της πλευράς του τετραγώνου εάν η περίμετρός του είναι 6 cm μικρότερη από αυτή του ορθογωνίου.
Λύση.Η δεύτερη πλευρά του ορθογωνίου είναι 7. Γνωρίζοντας αυτό, είναι εύκολο να υπολογίσουμε την περίμετρό του. Ο υπολογισμός δίνει 22 cm.
Για να μάθετε την πλευρά του τετραγώνου, πρέπει πρώτα να αφαιρέσετε το 6 από την περίμετρο του ορθογωνίου και στη συνέχεια να διαιρέσετε τον αριθμό που προκύπτει με το 4. Ως αποτέλεσμα, έχουμε τον αριθμό 4.
Απάντηση.Η πλευρά του τετραγώνου είναι 4 cm.

Ο προσδιορισμός της περιμέτρου και του εμβαδού των γεωμετρικών σχημάτων είναι ένα σημαντικό έργο που προκύπτει κατά την επίλυση πολλών πρακτικών ή καθημερινών προβλημάτων. Εάν πρέπει να κρεμάσετε ταπετσαρία, να εγκαταστήσετε έναν φράχτη, να υπολογίσετε την κατανάλωση χρώματος ή πλακιδίων, τότε σίγουρα θα πρέπει να ασχοληθείτε με γεωμετρικούς υπολογισμούς.

Για να λύσετε τα αναφερόμενα καθημερινά προβλήματα, θα χρειαστεί να εργαστείτε με μια ποικιλία γεωμετρικών σχημάτων. Σας παρουσιάζουμε έναν κατάλογο διαδικτυακών αριθμομηχανών που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε τις παραμέτρους των πιο δημοφιλών επίπεδων φιγούρων. Ας τα εξετάσουμε.

Ενας κύκλος

Ειδικές περιπτώσεις

Ένα τετράπλευρο με ίσες πλευρές. Ένα παραλληλόγραμμο γίνεται ρόμβος αν οι διαγώνιες του τέμνονται κατά 90 μοίρες και είναι διχοτόμοι των γωνιών τους.

Είναι παραλληλόγραμμο με ορθές γωνίες. Επιπλέον, ένα παραλληλόγραμμο θεωρείται ορθογώνιο αν οι πλευρές και οι διαγώνιοι του πληρούν τις προϋποθέσεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Είναι ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες και όλες οι γωνίες ίσες. Οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου επαναλαμβάνουν πλήρως τις ιδιότητες των διαγωνίων ενός ορθογωνίου και ενός ρόμβου, γεγονός που καθιστά το τετράγωνο μοναδικό σχήμα που χαρακτηρίζεται από μέγιστη συμμετρία.

Πολύγωνο

Ένα κανονικό πολύγωνο είναι ένα κυρτό σχήμα σε ένα επίπεδο που έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες. Τα πολύγωνα έχουν τα δικά τους ονόματα ανάλογα με τον αριθμό των πλευρών:

- πεντάγωνο
- εξάγωνο
οκτώ - οκτάγωνο.
δώδεκα - δωδεκάγωνο.

Και ούτω καθεξής. Οι γεωμέτροι αστειεύονται ότι ένας κύκλος είναι ένα πολύγωνο με άπειρο αριθμό γωνιών. Η αριθμομηχανή μας είναι προγραμματισμένη να προσδιορίζει τις περιμέτρους και τα εμβαδά μόνο των κανονικών πολυγώνων. Χρησιμοποιεί γενικούς τύπους για όλα τα κανονικά πολύγωνα. Για τον υπολογισμό της περιμέτρου, χρησιμοποιείται ο τύπος:

όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου, a το μήκος της πλευράς.

Για τον προσδιορισμό της περιοχής, χρησιμοποιείται η έκφραση:

S = n/4 × a^2 × ctg(pi/n).

Αντικαθιστώντας το κατάλληλο n, μπορούμε να βρούμε έναν τύπο για οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο, ο οποίος περιλαμβάνει επίσης ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα τετράγωνο.

Τα πολύγωνα είναι πολύ συνηθισμένα στην πραγματική ζωή. Έτσι το σχήμα ενός πενταγώνου είναι το κτίριο του Υπουργείου Άμυνας των ΗΠΑ - το Πεντάγωνο, ένα εξάγωνο - κηρήθρες ή κρύσταλλοι νιφάδων χιονιού, ένα οκτάγωνο - οδικές πινακίδες. Επιπλέον, πολλά πρωτόζωα, όπως τα ραδιολάρια, έχουν το σχήμα κανονικών πολυγώνων.

Παραδείγματα πραγματικής ζωής

Ας δούμε μερικά παραδείγματα χρήσης της αριθμομηχανής μας σε πραγματικούς υπολογισμούς.

Ζωγραφική φράχτη

Η βαφή επιφάνειας και ο υπολογισμός βαφής είναι μερικές από τις πιο προφανείς καθημερινές εργασίες που απαιτούν ελάχιστους μαθηματικούς υπολογισμούς. Αν χρειαστεί να βάψουμε έναν φράχτη ύψους 1,5 μέτρων και μήκους 20 μέτρων, πόσα κουτάκια μπογιάς χρειαζόμαστε; Για να γίνει αυτό, πρέπει να μάθετε τη συνολική επιφάνεια του φράχτη και την κατανάλωση χρωμάτων και βερνικιών ανά 1 τετραγωνικό μέτρο. Γνωρίζουμε ότι η κατανάλωση σμάλτου είναι 130 γραμμάρια ανά μέτρο. Τώρα ας προσδιορίσουμε την περιοχή του φράχτη χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή για να υπολογίσουμε την περιοχή του ορθογωνίου. Θα είναι S = 30 τετραγωνικά μέτρα. Φυσικά, θα βάψουμε τον φράχτη και από τις δύο πλευρές, οπότε η περιοχή για το βάψιμο θα αυξηθεί στα 60 τετράγωνα. Τότε χρειαζόμαστε 60 × 0,13 = 7,8 κιλά χρώματος ή τρία τυπικά κουτιά των 2,8 κιλών.

Περικοπή κρόσια

Η ραπτική είναι ένας άλλος κλάδος που απαιτεί εκτεταμένες γεωμετρικές γνώσεις. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να κάνουμε κρόσσια ένα φουλάρι, το οποίο είναι ένα ισοσκελές τραπεζοειδές με πλευρές 150, 100, 75 και 75 εκ. Για να υπολογίσουμε την κατανάλωση κρόσσιας, πρέπει να γνωρίζουμε την περίμετρο του τραπεζοειδούς. Εδώ είναι χρήσιμο η ηλεκτρονική αριθμομηχανή. Εισαγάγετε αυτά τα δεδομένα κυψέλης και λάβετε την απάντηση:

Έτσι, χρειαζόμαστε 4 m κρόσσι για να τελειώσουμε το κασκόλ.

συμπέρασμα

Επίπεδες φιγούρες συνθέτουν τον πραγματικό κόσμο γύρω. Συχνά ρωτούσαμε στο σχολείο την ερώτηση, θα μας είναι χρήσιμη η γεωμετρία στο μέλλον; Τα παραπάνω παραδείγματα δείχνουν ότι τα μαθηματικά χρησιμοποιούνται συνεχώς στην καθημερινή ζωή. Και αν το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι οικείο σε εμάς, τότε ο υπολογισμός του εμβαδού του δωδεκάγωνου μπορεί να είναι μια δύσκολη εργασία. Χρησιμοποιήστε τον κατάλογό μας με αριθμομηχανές για να λύσετε σχολικές εργασίες ή καθημερινά προβλήματα.

Θεωρία κοινή σε όλα τα σχήματα

Περιμετρικοί τύποι για διαφορετικά σχήματα

Τι γίνεται αν δεν γνωρίζετε το μήκος μιας ή περισσότερων πλευρών ενός τριγώνου;

Παραδείγματα εργασιών

Σίγουρα ο καθένας μας έμαθε στο σχολείο ένα τόσο σημαντικό στοιχείο της γεωμετρίας όπως η περίμετρος. Η εύρεση της περιμέτρου είναι απλά απαραίτητη για την επίλυση πολλών προβλημάτων. Το άρθρο μας θα σας πει πώς να βρείτε την περίμετρο.

Αξίζει να θυμόμαστε ότι η περίμετρος οποιουδήποτε σχήματος είναι σχεδόν πάντα το άθροισμα των πλευρών του. Ας δούμε μερικά διαφορετικά γεωμετρικά σχήματα.

Ένα ορθογώνιο είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι παράλληλες πλευρές είναι ίσες σε ζεύγη. Εάν η μία πλευρά είναι Χ και η άλλη είναι Υ, τότε παίρνουμε τον ακόλουθο τύπο για την εύρεση της περιμέτρου αυτού του σχήματος:
Ρ = 2(Χ+Υ) = Χ+Υ+Χ+Υ = 2Χ+2Υ.

Ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος:

Ας πούμε ότι πλευρά X = 5 cm, πλευρά Y = 10 cm. Έτσι, αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο μας, παίρνουμε - P = 2*5 cm + 2* 10 cm = 30 cm.
Ένα τραπέζιο είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι δύο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες αλλά όχι ίσες. Η περίμετρος ενός τραπεζοειδούς είναι το άθροισμα και των τεσσάρων πλευρών του:
P = X+Y+Z+W, όπου X, Y, Z, W είναι οι πλευρές του σχήματος.

Ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος:

Ας πούμε ότι πλευρά X = 5 cm, πλευρά Y = 10 cm, πλευρά Z = 8 cm, πλευρά W = 20 cm. Έτσι, αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο μας, παίρνουμε - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.
Η περίμετρος ενός κύκλου (περιφέρεια) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
P = 2rπ = dπ, όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου, d είναι η διάμετρος του κύκλου.

Ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος:

Ας πούμε ότι η ακτίνα r του κύκλου μας είναι 5 cm, τότε η διάμετρος d θα είναι 2 * 5 cm = 10 εκ. Είναι γνωστό ότι π = 3,14. Έτσι, αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο μας, παίρνουμε - P = 2 * 5 cm * 3,14 = 31,4 cm.
Εάν πρέπει να βρείτε την περίμετρο ενός τριγώνου, τότε μπορεί να αντιμετωπίσετε διάφορα προβλήματα ενώ το κάνετε αυτό, καθώς τα τρίγωνα μπορεί να έχουν πολύ διαφορετικά σχήματα. Για παράδειγμα, υπάρχουν οξέα, αμβλεία, ισοσκελή, ορθογώνια ή ισόπλευρα τρίγωνα. Αν και ο τύπος για όλους τους τύπους τριγώνων είναι:
P = X+Y+Z, όπου X, Y, Z είναι οι πλευρές του σχήματος.

Το πρόβλημα είναι ότι όταν λύνετε πολλά προβλήματα εύρεσης της περιμέτρου αυτού του σχήματος, δεν θα γνωρίζετε πάντα τα μήκη όλων των πλευρών. Για παράδειγμα, αντί για πληροφορίες σχετικά με το μήκος μιας από τις πλευρές, μπορείτε να έχετε τον βαθμό της γωνίας ή το μήκος του ύψους ενός συγκεκριμένου τριγώνου. Αυτό θα περιπλέξει σημαντικά το έργο, αλλά δεν θα κάνει τη λύση του μη ρεαλιστική. Πώς να βρείτε την περίμετρο ενός τριγώνου, ανεξάρτητα από το σχήμα του, μπορείτε να διαβάσετε "".
Η περίμετρος ενός τέτοιου σχήματος όπως ο ρόμβος βρίσκεται με τον ίδιο τρόπο όπως η περίμετρος ενός τετραγώνου, επειδή ένας ρόμβος είναι ένα παραλληλόγραμμο που έχει ίσες πλευρές. Μπορείτε να μάθετε πώς να βρείτε την περίμετρο ενός τετραγώνου διαβάζοντας το άρθρο στον ιστότοπό μας "".
Τώρα ξέρετε πώς να βρείτε την πλευρά της περιμέτρου του γεωμετρικού σχήματος που χρειάζεστε!