Λύστε την ανισότητα με αναλυτική λύση. ανισότητες

λύση ανισότηταςσε λειτουργία Σε σύνδεση λύσησχεδόν κάθε δεδομένη ανισότητα Σε σύνδεση. Μαθηματικός ανισότητες στο διαδίκτυονα λύσει μαθηματικά. Βρείτε γρήγορα λύση ανισότηταςσε λειτουργία Σε σύνδεση. Ο ιστότοπος www.site σας επιτρέπει να βρείτε λύσησχεδόν κάθε δεδομένο αλγεβρικός, τριγωνομετρικήή υπερβατική ανισότητα στο διαδίκτυο. Όταν μελετάτε σχεδόν οποιοδήποτε τμήμα των μαθηματικών σε διαφορετικά στάδια, πρέπει να αποφασίσετε ανισότητες στο διαδίκτυο. Για να λάβετε μια απάντηση αμέσως, και κυρίως μια ακριβή απάντηση, χρειάζεστε έναν πόρο που σας επιτρέπει να το κάνετε αυτό. Χάρη στο www.site επίλυση της ανισότητας στο διαδίκτυοθα χρειαστούν λίγα λεπτά. Το κύριο πλεονέκτημα του www.site κατά την επίλυση μαθηματικών ανισότητες στο διαδίκτυο- είναι η ταχύτητα και η ακρίβεια της εκδοθείσας απάντησης. Ο ιστότοπος είναι σε θέση να λύσει οποιαδήποτε αλγεβρικές ανισότητες στο διαδίκτυο, τριγωνομετρικές ανισότητες στο διαδίκτυο, υπερβατικές ανισότητες στο διαδίκτυο, και ανισότητεςμε άγνωστες παραμέτρους στη λειτουργία Σε σύνδεση. ανισότητεςχρησιμεύει ως μια ισχυρή μαθηματική συσκευή λύσειςπρακτικές εργασίες. Με βοήθεια μαθηματικές ανισότητεςείναι δυνατόν να εκφραστούν γεγονότα και σχέσεις που μπορεί με την πρώτη ματιά να φαίνονται συγκεχυμένες και περίπλοκες. άγνωστες ποσότητες ανισότητεςμπορεί να βρεθεί διατυπώνοντας το πρόβλημα στο μαθηματικόςγλώσσα στη μορφή ανισότητεςΚαι αποφασίζωτη ληφθείσα εργασία στη λειτουργία Σε σύνδεσηστον ιστότοπο www.site. Οποιος αλγεβρική ανισότητα, τριγωνομετρική ανισότηταή ανισότητεςπου περιέχει υπερφυσικόςσας χαρακτηρίζει εύκολα αποφασίζω online και λάβετε τη σωστή απάντηση. μελετώντας φυσικές επιστήμεςαντιμετωπίζουν αναπόφευκτα την ανάγκη λύση ανισοτήτων. Σε αυτή την περίπτωση, η απάντηση πρέπει να είναι ακριβής και να λαμβάνεται αμέσως στη λειτουργία Σε σύνδεση. Ως εκ τούτου, για επίλυση μαθηματικών ανισώσεων στο διαδίκτυοπροτείνουμε τον ιστότοπο www.site, ο οποίος θα γίνει ο απαραίτητος υπολογιστής σας επίλυση αλγεβρικών ανισώσεων στο διαδίκτυο, τριγωνομετρικές ανισότητες στο διαδίκτυο, και υπερβατικές ανισότητες στο διαδίκτυοή ανισότητεςμε άγνωστες παραμέτρους. Για πρακτικά προβλήματα εύρεσης ενδοβολικών λύσεων διαφόρων μαθηματικές ανισότητεςπόρος www.. Επίλυση ανισότητες στο διαδίκτυομόνοι σας, είναι χρήσιμο να ελέγξετε την απάντηση που λάβατε χρησιμοποιώντας διαδικτυακή λύσηανισότητεςστον ιστότοπο www.site. Είναι απαραίτητο να γράψετε σωστά την ανισότητα και να λάβετε αμέσως διαδικτυακή λύση, μετά από την οποία μένει μόνο να συγκρίνετε την απάντηση με τη λύση σας στην ανισότητα. Ο έλεγχος της απάντησης δεν θα διαρκέσει περισσότερο από ένα λεπτό, αρκετά επίλυση της ανισότητας στο διαδίκτυοκαι συγκρίνετε τις απαντήσεις. Αυτό θα σας βοηθήσει να αποφύγετε λάθη απόφασηκαι διορθώστε έγκαιρα την απάντηση επίλυση ανισοτήτων στο Διαδίκτυοείτε αλγεβρικός, τριγωνομετρική, υπερβατικόςή ανισότηταμε άγνωστες παραμέτρους.

Για παράδειγμα, η έκφραση \(x>5\) είναι μια ανισότητα.

Τύποι ανισοτήτων:

Αν τα \(a\) και \(b\) είναι αριθμοί ή , τότε καλείται η ανισότητα αριθμητικός. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι απλώς μια σύγκριση δύο αριθμών. Αυτές οι ανισότητες υποδιαιρούνται σε πιστόςΚαι άπιστος.

Για παράδειγμα:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

Το \(17+3\geq 115\) είναι μη έγκυρη αριθμητική ανισότητα επειδή το \(17+3=20\) και το \(20\) είναι μικρότερο από \(115\) (όχι μεγαλύτερο ή ίσο με).


Εάν τα \(a\) και \(b\) είναι εκφράσεις που περιέχουν μια μεταβλητή, τότε έχουμε ανισότητα με μεταβλητή. Τέτοιες ανισότητες χωρίζονται σε τύπους ανάλογα με το περιεχόμενο:

\(2x+1\geq4(5-x)\)

Μεταβλητή μόνο στην πρώτη δύναμη

\(3x^2-x+5>0\)

Υπάρχει μια μεταβλητή στη δεύτερη δύναμη (τετράγωνο), αλλά όχι υψηλότερες δυνάμεις (τρίτη, τέταρτη, κ.λπ.)

\(\log_(4)((x+1))<3\)

\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)
... και ούτω καθεξής.

Ποια είναι η λύση σε μια ανισότητα;

Αν οποιοσδήποτε αριθμός αντικατασταθεί στην ανισότητα αντί για μια μεταβλητή, τότε θα μετατραπεί σε αριθμητικό.

Εάν η δεδομένη τιμή για το x κάνει την αρχική ανισότητα αληθή αριθμητική, τότε καλείται επίλυση της ανισότητας. Εάν όχι, τότε αυτή η τιμή δεν είναι λύση. Και στο λύσει την ανισότητα- πρέπει να βρείτε όλες τις λύσεις του (ή να δείξετε ότι δεν υπάρχουν).

Για παράδειγμα,αν βρισκόμαστε στη γραμμική ανισότητα \(x+6>10\), αντικαθιστούμε τον αριθμό \(7\) αντί για x, παίρνουμε τη σωστή αριθμητική ανισότητα: \(13>10\). Και αν αντικαταστήσουμε το \(2\), θα υπάρξει μια λανθασμένη αριθμητική ανισότητα \(8>10\). Δηλαδή, το \(7\) είναι μια λύση στην αρχική ανισότητα, αλλά το \(2\) δεν είναι.

Ωστόσο, η ανισότητα \(x+6>10\) έχει άλλες λύσεις. Πράγματι, θα λάβουμε τις σωστές αριθμητικές ανισώσεις όταν αντικαταστήσουμε και τα δύο \(5\), και \(12\), και \(138\) ... Και πώς μπορούμε να τα βρούμε όλα ΠΙΘΑΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ? Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε το Για την περίπτωσή μας, έχουμε:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Δηλαδή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεγαλύτερο από τέσσερα. Τώρα πρέπει να γράψουμε την απάντηση. Οι λύσεις στις ανισώσεις, κατά κανόνα, γράφονται αριθμητικά, σημειώνοντάς τις επιπλέον στον αριθμητικό άξονα με εκκόλαψη. Για την περίπτωσή μας έχουμε:

Απάντηση: \(x\in(4;+\infty)\)

Πότε αλλάζει το πρόσημο σε μια ανισότητα;

Υπάρχει μια μεγάλη παγίδα στις ανισότητες, στην οποία πραγματικά «αρέσει» να πέφτουν στους μαθητές:

Κατά τον πολλαπλασιασμό (ή τη διαίρεση) της ανισότητας με έναν αρνητικό αριθμό, αντιστρέφεται ("μεγαλύτερο από" με "λιγότερο", "μεγαλύτερο από ή ίσο με" με "μικρότερο από ή ίσο με" και ούτω καθεξής)

Γιατί συμβαίνει αυτό? Για να το καταλάβουμε αυτό, ας δούμε τους μετασχηματισμούς της αριθμητικής ανισότητας \(3>1\). Είναι σωστό, το τριπλό είναι πραγματικά περισσότερο από ένα. Αρχικά, ας προσπαθήσουμε να το πολλαπλασιάσουμε με οποιονδήποτε θετικό αριθμό, για παράδειγμα, δύο:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Όπως μπορείτε να δείτε, μετά τον πολλαπλασιασμό, η ανισότητα παραμένει αληθινή. Και ανεξάρτητα από τον θετικό αριθμό που πολλαπλασιάζουμε, πάντα θα έχουμε τη σωστή ανισότητα. Τώρα ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε με ένας αρνητικός αριθμός, για παράδειγμα, μείον τρία:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Αποδείχθηκε ότι ήταν μια λανθασμένη ανισότητα, γιατί το μείον εννέα είναι μικρότερο από το μείον τρία! Δηλαδή, για να γίνει αληθινή η ανισότητα (που σημαίνει ότι ο μετασχηματισμός του πολλαπλασιασμού με ένα αρνητικό ήταν "νόμιμος"), πρέπει να αναστρέψετε το σύμβολο σύγκρισης, ως εξής: \(−9<− 3\).
Με τη διαίρεση, θα αποδειχθεί παρόμοια, μπορείτε να το ελέγξετε μόνοι σας.

Ο κανόνας που γράφτηκε παραπάνω ισχύει για όλους τους τύπους ανισώσεων, και όχι μόνο για τις αριθμητικές.

Παράδειγμα: Λύστε την ανίσωση \(2(x+1)-1<7+8x\)
Λύση:

\(2x+2-1<7+8x\)

Ας μετακινηθούμε \(8x\) προς τα αριστερά και \(2\) και \(-1\) προς τα δεξιά, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε τα σημάδια

\(2x-8x<7-2+1\)

\(-6x<6\) \(|:(-6)\)

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με το \(-6\), χωρίς να ξεχάσετε να αλλάξετε από "λιγότερο" σε "μεγαλύτερο"

Ας σημειώσουμε ένα αριθμητικό διάστημα στον άξονα. Ανισότητα, επομένως η τιμή \(-1\) έχει "διατρηθεί" και δεν την λαμβάνουμε ως απάντηση

Ας γράψουμε την απάντηση ως ένα διάστημα

Απάντηση: \(x\in(-1;\infty)\)

Ανισότητες και DHS

Οι ανισότητες, καθώς και οι εξισώσεις, μπορεί να έχουν περιορισμούς στο , δηλαδή στις τιμές του x. Συνεπώς, αυτές οι τιμές που είναι απαράδεκτες σύμφωνα με το ODZ θα πρέπει να εξαιρεθούν από το διάστημα επίλυσης.

Παράδειγμα: Λύστε την ανισότητα \(\sqrt(x+1)<3\)

Λύση: Είναι σαφές ότι για να είναι η αριστερή πλευρά μικρότερη από \(3\), η έκφραση ρίζας πρέπει να είναι μικρότερη από \(9\) (εξάλλου από \(9\) μόλις \(3\)). Παίρνουμε:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(Χ<8\)

Ολα? Οποιαδήποτε τιμή x μικρότερη από \(8\) θα μας ταιριάζει; Οχι! Διότι αν πάρουμε, για παράδειγμα, την τιμή \(-5\) που φαίνεται να ταιριάζει στην απαίτηση, δεν θα είναι λύση στην αρχική ανισότητα, αφού θα μας οδηγήσει στον υπολογισμό της ρίζας ενός αρνητικού αριθμού.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Επομένως, πρέπει επίσης να λάβουμε υπόψη τους περιορισμούς στις τιμές του x - δεν μπορεί να είναι τέτοιος ώστε να υπάρχει αρνητικός αριθμός κάτω από τη ρίζα. Έτσι, έχουμε τη δεύτερη απαίτηση για το x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Και για να είναι το x μια τελική λύση, πρέπει να ικανοποιεί και τις δύο απαιτήσεις ταυτόχρονα: πρέπει να είναι μικρότερο από \(8\) (για να είναι λύση) και μεγαλύτερο από \(-1\) (για να ισχύει κατ' αρχήν). Σχεδιάζοντας στην αριθμητική γραμμή, έχουμε την τελική απάντηση:

Απάντηση: \(\αριστερά[-1;8\δεξιά)\)

Πρώτα, μερικοί στίχοι για να πάρετε μια αίσθηση για το πρόβλημα που λύνει η μέθοδος διαστήματος. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε την ακόλουθη ανισότητα:

(x − 5)(x + 3) > 0

Ποιες είναι οι επιλογές? Το πρώτο πράγμα που έρχεται στο μυαλό για τους περισσότερους μαθητές είναι οι κανόνες «συν φορές συν κάνει συν» και «μείον φορές μείον κάνει συν». Επομένως, αρκεί να εξετάσουμε την περίπτωση όταν και οι δύο αγκύλες είναι θετικές: x − 5 > 0 και x + 3 > 0. Στη συνέχεια, εξετάζουμε επίσης την περίπτωση όταν και οι δύο αγκύλες είναι αρνητικές: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Οι πιο προχωρημένοι μαθητές θα θυμούνται (ίσως) ότι στα αριστερά υπάρχει μια τετραγωνική συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι παραβολή. Επιπλέον, αυτή η παραβολή τέμνει τον άξονα OX στα σημεία x = 5 και x = −3. Για περαιτέρω εργασία, πρέπει να ανοίξετε τα στηρίγματα. Εχουμε:

x 2 − 2x − 15 > 0

Τώρα είναι σαφές ότι οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, γιατί συντελεστής a = 1 > 0. Ας προσπαθήσουμε να σχεδιάσουμε ένα διάγραμμα αυτής της παραβολής:

Η συνάρτηση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν όπου περνά πάνω από τον άξονα OX. Στην περίπτωσή μας, αυτά είναι τα διαστήματα (−∞ −3) και (5; +∞) - αυτή είναι η απάντηση.

Σημειώστε ότι η εικόνα δείχνει ακριβώς διάγραμμα λειτουργίας, όχι το πρόγραμμά της. Επειδή για ένα πραγματικό γράφημα, πρέπει να υπολογίσετε συντεταγμένες, να υπολογίσετε τις μετατοπίσεις και άλλα χάλια, τα οποία δεν χρειαζόμαστε καθόλου τώρα.

Γιατί αυτές οι μέθοδοι είναι αναποτελεσματικές;

Έτσι, έχουμε εξετάσει δύο λύσεις για την ίδια ανισότητα. Και οι δύο αποδείχτηκαν πολύ δυσκίνητοι. Προκύπτει η πρώτη απόφαση - σκεφτείτε το! είναι ένα σύνολο συστημάτων ανισοτήτων. Η δεύτερη λύση δεν είναι επίσης πολύ εύκολη: πρέπει να θυμάστε το γράφημα της παραβολής και ένα σωρό άλλα μικρά γεγονότα.

Ήταν μια πολύ απλή ανισότητα. Έχει μόνο 2 πολλαπλασιαστές. Τώρα φανταστείτε ότι δεν θα υπάρχουν 2 πολλαπλασιαστές, αλλά τουλάχιστον 4. Για παράδειγμα:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Πώς να λύσετε μια τέτοια ανισότητα; Ανατρέξτε σε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς πλεονεκτημάτων και μειονεκτημάτων; Ναι, θα κοιμηθούμε πιο γρήγορα από ότι θα βρούμε λύση. Η σχεδίαση γραφήματος δεν είναι επίσης μια επιλογή, καθώς δεν είναι σαφές πώς συμπεριφέρεται μια τέτοια συνάρτηση στο επίπεδο συντεταγμένων.

Για τέτοιες ανισότητες, χρειάζεται ένας ειδικός αλγόριθμος λύσης, τον οποίο θα εξετάσουμε σήμερα.

Ποια είναι η μέθοδος διαστήματος

Η μέθοδος διαστήματος είναι ένας ειδικός αλγόριθμος που έχει σχεδιαστεί για την επίλυση μιγαδικών ανισώσεων της μορφής f (x) > 0 και f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

  1. Λύστε την εξίσωση f (x) \u003d 0. Έτσι, αντί για ανισότητα, παίρνουμε μια εξίσωση που είναι πολύ πιο εύκολο να λυθεί.
  2. Σημειώστε όλες τις ρίζες που αποκτήθηκαν στη γραμμή συντεταγμένων. Έτσι, η ευθεία θα χωριστεί σε πολλά διαστήματα.
  3. Βρείτε το πρόσημο (συν ή πλην) της συνάρτησης f (x) στο δεξιότερο διάστημα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να αντικαταστήσετε σε f (x) οποιονδήποτε αριθμό θα βρίσκεται στα δεξιά όλων των σημειωμένων ριζών.
  4. Σημειώστε σημάδια σε άλλα διαστήματα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να θυμάστε ότι όταν περνάτε από κάθε ρίζα, το σημάδι αλλάζει.

Αυτό είναι όλο! Μετά από αυτό, μένει μόνο να γράψουμε τα διαστήματα που μας ενδιαφέρουν. Σημειώνονται με πρόσημο «+» αν η ανίσωση ήταν της μορφής f (x) > 0, ή «−» αν η ανισότητα ήταν της μορφής f (x)< 0.

Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι η μέθοδος του διαστήματος είναι κάποιο είδος κασσίτερου. Αλλά στην πράξη, όλα θα είναι πολύ απλά. Χρειάζεται λίγη εξάσκηση - και όλα θα γίνουν ξεκάθαρα. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε μόνοι σας:

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

(x − 2)(x + 7)< 0

Δουλεύουμε τη μέθοδο των διαστημάτων. Βήμα 1: Αντικαταστήστε την ανίσωση με μια εξίσωση και λύστε την:

(x − 2)(x + 7) = 0

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν εάν και μόνο εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Έχει δύο ρίζες. Πηγαίνετε στο βήμα 2: σημειώστε αυτές τις ρίζες στη γραμμή συντεταγμένων. Εχουμε:

Τώρα βήμα 3: βρίσκουμε το πρόσημο της συνάρτησης στο δεξιότερο διάστημα (στα δεξιά του σημειωμένου σημείου x = 2). Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πάρετε οποιονδήποτε αριθμό που είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό x = 2. Για παράδειγμα, ας πάρουμε x = 3 (αλλά κανείς δεν απαγορεύει τη λήψη x = 4, x = 10 και ακόμη και x = 10.000). Παίρνουμε:

f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Παίρνουμε ότι f (3) = 10 > 0, οπότε βάζουμε ένα σύμβολο συν στο δεξιότερο διάστημα.

Περνάμε στο τελευταίο σημείο - είναι απαραίτητο να σημειώσουμε τα σημάδια στα υπόλοιπα διαστήματα. Θυμηθείτε ότι όταν περνάτε από κάθε ρίζα, το πρόσημο πρέπει να αλλάξει. Για παράδειγμα, στα δεξιά της ρίζας x = 2 υπάρχει ένα συν (αυτό βεβαιωθήκαμε στο προηγούμενο βήμα), επομένως πρέπει να υπάρχει ένα μείον στα αριστερά.

Αυτό το μείον εκτείνεται σε ολόκληρο το διάστημα (−7; 2), επομένως υπάρχει ένα μείον στα δεξιά της ρίζας x = −7. Επομένως, υπάρχει ένα συν στα αριστερά της ρίζας x = −7. Απομένει να επισημάνουμε αυτά τα σημάδια στον άξονα συντεταγμένων. Εχουμε:

Ας επιστρέψουμε στην αρχική ανισότητα, η οποία έμοιαζε:

(x − 2)(x + 7)< 0

Άρα η συνάρτηση πρέπει να είναι μικρότερη από το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι μας ενδιαφέρει το πρόσημο μείον, το οποίο εμφανίζεται μόνο σε ένα διάστημα: (−7; 2). Αυτή θα είναι η απάντηση.

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Βήμα 1: Εξισώστε την αριστερή πλευρά με μηδέν:

(x + 9)(x − 3)(1 − x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Θυμηθείτε: το γινόμενο είναι μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν. Γι' αυτό έχουμε το δικαίωμα να μηδενίζουμε κάθε μεμονωμένη αγκύλη.

Βήμα 2: σημειώστε όλες τις ρίζες στη γραμμή συντεταγμένων:

Βήμα 3: ανακαλύψτε το σημάδι του πιο δεξιού κενού. Παίρνουμε οποιονδήποτε αριθμό είναι μεγαλύτερο από x = 1. Για παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε x = 10. Έχουμε:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.

Βήμα 4: Τοποθετήστε τις υπόλοιπες πινακίδες. Να θυμάστε ότι όταν περνάτε από κάθε ρίζα, το πρόσημο αλλάζει. Ως αποτέλεσμα, η εικόνα μας θα μοιάζει με αυτό:

Αυτό είναι όλο. Μένει μόνο να γράψουμε την απάντηση. Ρίξτε μια άλλη ματιά στην αρχική ανισότητα:

(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0

Αυτή είναι μια ανισότητα της μορφής f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Αυτή είναι η απάντηση.

Σημείωση για τα σημάδια λειτουργίας

Η πρακτική δείχνει ότι οι μεγαλύτερες δυσκολίες στη μέθοδο του διαστήματος προκύπτουν στα δύο τελευταία βήματα, δηλ. κατά την τοποθέτηση πινακίδων. Πολλοί μαθητές αρχίζουν να μπερδεύονται: ποιους αριθμούς να πάρουν και πού να βάλουν ταμπέλες.

Για να κατανοήσετε τελικά τη μέθοδο διαστήματος, εξετάστε δύο παρατηρήσεις στις οποίες βασίζεται:

  1. Μια συνεχής συνάρτηση αλλάζει πρόσημο μόνο στα σημεία όπου ισούται με μηδέν. Τέτοια σημεία σπάζουν τον άξονα συντεταγμένων σε κομμάτια, μέσα στα οποία το πρόσημο της συνάρτησης δεν αλλάζει ποτέ. Γι' αυτό λύνουμε την εξίσωση f (x) \u003d 0 και σημειώνουμε τις ρίζες που βρέθηκαν σε ευθεία γραμμή. Οι αριθμοί που βρέθηκαν είναι τα «οριακά» σημεία που χωρίζουν τα συν από τα μειονεκτήματα.
  2. Για να μάθετε το πρόσημο μιας συνάρτησης σε οποιοδήποτε διάστημα, αρκεί να αντικαταστήσετε οποιονδήποτε αριθμό από αυτό το διάστημα στη συνάρτηση. Για παράδειγμα, για το διάστημα (−5; 6) μπορούμε να πάρουμε x = −4, x = 0, x = 4 και ακόμη και x = 1,29374 αν θέλουμε. Γιατί είναι σημαντικό? Ναι, γιατί πολλοί μαθητές αρχίζουν να ροκανίζουν αμφιβολίες. Όπως, τι γίνεται αν για x = −4 παίρνουμε ένα συν, και για x = 0 έχουμε ένα μείον; Τίποτα τέτοιο δεν θα συμβεί ποτέ. Όλα τα σημεία στο ίδιο διάστημα δίνουν το ίδιο πρόσημο. Να το θυμασαι.

Αυτό είναι το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζετε για τη μέθοδο διαστήματος. Φυσικά, το έχουμε διαλύσει στην πιο απλή του μορφή. Υπάρχουν πιο σύνθετες ανισότητες - μη αυστηρές, κλασματικές και με επαναλαμβανόμενες ρίζες. Για αυτούς, μπορείτε επίσης να εφαρμόσετε τη μέθοδο διαστήματος, αλλά αυτό είναι ένα θέμα για ένα ξεχωριστό μεγάλο μάθημα.

Τώρα θα ήθελα να αναλύσω ένα προηγμένο κόλπο που απλοποιεί δραστικά τη μέθοδο του διαστήματος. Πιο συγκεκριμένα, η απλοποίηση επηρεάζει μόνο το τρίτο βήμα - τον υπολογισμό του σημείου στο δεξιότερο κομμάτι της γραμμής. Για κάποιο λόγο, αυτή η τεχνική δεν γίνεται στα σχολεία (τουλάχιστον κανείς δεν μου το εξήγησε αυτό). Αλλά μάταια - στην πραγματικότητα, αυτός ο αλγόριθμος είναι πολύ απλός.

Άρα, το πρόσημο της συνάρτησης βρίσκεται στο δεξί κομμάτι του αριθμητικού άξονα. Αυτό το κομμάτι έχει τη μορφή (a; +∞), όπου a είναι η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης f (x) = 0. Για να μην ανατινάξουμε τον εγκέφαλό μας, σκεφτείτε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x )(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Πήραμε 3 ρίζες. Τα απαριθμούμε με αύξουσα σειρά: x = −2, x = 1 και x = 7. Προφανώς, η μεγαλύτερη ρίζα είναι x = 7.

Για όσους το βρίσκουν ευκολότερο να συλλογιστούν γραφικά, θα σημειώσω αυτές τις ρίζες στη γραμμή συντεταγμένων. Ας δούμε τι θα γίνει:

Απαιτείται να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f (x) στο δεξιότερο διάστημα, δηλ. στις (7; +∞). Αλλά όπως έχουμε ήδη σημειώσει, για να προσδιορίσετε το πρόσημο, μπορείτε να πάρετε οποιονδήποτε αριθμό από αυτό το διάστημα. Για παράδειγμα, μπορείτε να πάρετε x = 8, x = 150, κ.λπ. Και τώρα - η ίδια τεχνική που δεν διδάσκεται στα σχολεία: ας πάρουμε το άπειρο ως αριθμό. Ακριβέστερα, συν το άπειρο, δηλ. +∞.

«Σε λιθοβολούν; Πώς μπορείτε να αντικαταστήσετε το άπειρο σε μια συνάρτηση; ίσως, ρωτάς. Αλλά σκεφτείτε το: δεν χρειαζόμαστε την τιμή της ίδιας της συνάρτησης, χρειαζόμαστε μόνο το πρόσημο. Επομένως, για παράδειγμα, οι τιμές f (x) = −1 και f (x) = −938 740 576 215 σημαίνουν το ίδιο πράγμα: η συνάρτηση είναι αρνητική σε αυτό το διάστημα. Επομένως, το μόνο που απαιτείται από εσάς είναι να βρείτε το ζώδιο που εμφανίζεται στο άπειρο, και όχι την τιμή της συνάρτησης.

Στην πραγματικότητα, η αντικατάσταση του άπειρου είναι πολύ απλή. Ας επιστρέψουμε στη λειτουργία μας:

f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)

Φανταστείτε ότι το x είναι ένας πολύ μεγάλος αριθμός. Ένα δισεκατομμύριο ή και ένα τρισεκατομμύριο. Τώρα ας δούμε τι συμβαίνει σε κάθε παρένθεση.

Πρώτη αγκύλη: (x − 1). Τι θα συμβεί αν αφαιρέσετε ένα από ένα δισεκατομμύριο; Το αποτέλεσμα θα είναι ένας αριθμός όχι πολύ διαφορετικός από ένα δισεκατομμύριο, και αυτός ο αριθμός θα είναι θετικός. Ομοίως με τη δεύτερη αγκύλη: (2 + x). Αν προσθέσουμε ένα δισεκατομμύριο στα δύο, παίρνουμε ένα δισεκατομμύριο με καπίκια - αυτός είναι ένας θετικός αριθμός. Τέλος, η τρίτη αγκύλη: (7 − x ). Εδώ θα υπάρχει μείον ένα δισεκατομμύριο, από το οποίο έχει «ροκανιστεί» ένα άθλιο κομμάτι σε μορφή επτά. Εκείνοι. ο αριθμός που προκύπτει δεν θα διαφέρει πολύ από μείον ένα δισεκατομμύριο - θα είναι αρνητικός.

Μένει να βρεθεί το σημάδι όλου του έργου. Δεδομένου ότι είχαμε ένα συν στις πρώτες αγκύλες και ένα μείον στην τελευταία αγκύλη, έχουμε την ακόλουθη κατασκευή:

(+) · (+) · (−) = (−)

Το τελικό πρόσημο είναι μείον! Δεν έχει σημασία ποια είναι η τιμή της ίδιας της συνάρτησης. Το κυριότερο είναι ότι αυτή η τιμή είναι αρνητική, δηλ. στο δεξιότερο διάστημα υπάρχει ένα σύμβολο μείον. Απομένει να ολοκληρώσετε το τέταρτο βήμα της μεθόδου διαστήματος: τακτοποιήστε όλα τα σημάδια. Εχουμε:

Η αρχική ανισότητα έμοιαζε ως εξής:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Επομένως, μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα που σημειώνονται με το σύμβολο μείον. Γράφουμε την απάντηση:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Αυτό είναι όλο το κόλπο που ήθελα να πω. Συμπερασματικά, υπάρχει μια ακόμη ανισότητα, η οποία λύνεται με τη μέθοδο του διαστήματος χρησιμοποιώντας το άπειρο. Για να συντομεύσω οπτικά τη λύση, δεν θα γράψω αριθμούς βημάτων και λεπτομερή σχόλια. Θα γράψω μόνο ό,τι πραγματικά χρειάζεται να γραφτεί κατά την επίλυση πραγματικών προβλημάτων:

Εργο. Λύστε την ανισότητα:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Αντικαθιστούμε την ανισότητα με μια εξίσωση και τη λύνουμε:

x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Σημειώνουμε και τις τρεις ρίζες στη γραμμή συντεταγμένων (αμέσως με σημάδια):

Υπάρχει ένα συν στη δεξιά πλευρά του άξονα συντεταγμένων, επειδή η συνάρτηση μοιάζει με:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

Και αν αντικαταστήσουμε το άπειρο (για παράδειγμα, ένα δισεκατομμύριο), θα έχουμε τρεις θετικές αγκύλες. Δεδομένου ότι η αρχική έκφραση πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, μας ενδιαφέρουν μόνο τα συν. Μένει να γράψουμε την απάντηση:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Είναι ευκολότερο να πούμε ότι πρόκειται για ανισότητες στις οποίες υπάρχει μια μεταβλητή μόνο στον πρώτο βαθμό και δεν είναι στον παρονομαστή του κλάσματος.

Παραδείγματα:

\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Παραδείγματα μη γραμμικών ανισοτήτων:

\(3>-2\) - δεν υπάρχουν μεταβλητές εδώ, μόνο αριθμοί, άρα αυτή η αριθμητική ανισότητα
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) είναι μια μεταβλητή στον παρονομαστή, είναι
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) - υπάρχει μια μεταβλητή στο δεύτερο βαθμό, αυτή

Επίλυση γραμμικών ανισώσεων

Λύση ανισότηταςθα υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός του οποίου η αντικατάσταση μιας μεταβλητής θα κάνει την ανισότητα αληθινή. Λύστε την ανισότητασημαίνει να βρεις όλους αυτούς τους αριθμούς.

Για παράδειγμα, για την ανισότητα \(x-2>0\), ο αριθμός \(5\) θα είναι η λύση, επειδή όταν αντικαθιστούμε πέντε αντί για x, παίρνουμε το σωστό αριθμητικό: \(3>0\). Αλλά ο αριθμός \(1\) δεν θα είναι λύση, καθώς η αντικατάσταση θα έχει ως αποτέλεσμα μια εσφαλμένη αριθμητική ανισότητα: \(-1>0\) . Αλλά η λύση στην ανισότητα δεν θα είναι μόνο πέντε, αλλά και \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) και ένας άπειρος αριθμός αριθμών: οποιοσδήποτε αριθμός μεγαλύτερος από δύο.


Να γιατί γραμμικές ανισότητεςδεν λύνονται με απαρίθμηση και αντικατάσταση τιμών. Αντίθετα, χρησιμοποιώντας τα οδηγεί σε ένα από τα ακόλουθα:

\(Χ c\), \(x\leqc\), \(x\geqc\), όπου \(c\) είναι οποιοσδήποτε αριθμός

Μετά από αυτό, η απάντηση σημειώνεται στον αριθμητικό άξονα και καταγράφεται στη φόρμα (ονομάζεται επίσης διάστημα).

Γενικά, αν ξέρετε πώς να λύνετε, τότε οι γραμμικές ανισότητες είναι μέσα σας, επειδή η διαδικασία επίλυσης είναι πολύ παρόμοια. Υπάρχει μόνο μια σημαντική προσθήκη:

Παράδειγμα. Λύστε την ανίσωση \(2(x+1)-1<7+8x\)
Λύση:

Απάντηση: \(x\in(-1;\infty)\)

Ειδική περίπτωση #1: η λύση της ανίσωσης είναι οποιοσδήποτε αριθμός

Στις γραμμικές ανισώσεις, μια κατάσταση είναι δυνατή όταν απολύτως οποιοσδήποτε αριθμός θα πάει ως λύση - ακέραιος, κλασματικός, αρνητικός, θετικός, μηδέν ... Για παράδειγμα, μια τέτοια ανισότητα \ (x + 2> x \) θα ισχύει για οποιαδήποτε τιμή του x. Λοιπόν, πώς θα μπορούσε να είναι διαφορετικά, γιατί ένα δίδυμο προστέθηκε στο Χ στα αριστερά, αλλά όχι στα δεξιά. Φυσικά, στα αριστερά θα βγει περισσότερο, ανεξάρτητα από το x που πάρουμε.

Παράδειγμα. Λύστε την ανίσωση \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Λύση:

Απάντηση: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Ειδική περίπτωση #2: η ανισότητα δεν έχει λύσεις

Η αντίθετη κατάσταση είναι επίσης δυνατή, όταν μια γραμμική ανισότητα δεν έχει καθόλου λύσεις, δηλαδή κανένα x δεν θα την κάνει αληθινή. Για παράδειγμα, το \(x-2>x\) δεν θα είναι ποτέ αληθές, επειδή το δύο αφαιρείται από το x στα αριστερά, αλλά όχι στα δεξιά. Αυτό σημαίνει ότι η αριστερά θα είναι πάντα λιγότερη, όχι περισσότερη.

Παράδειγμα. Λύστε την ανισότητα \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
Λύση:

\(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)

Μας ενοχλούν οι παρονομαστές. Τα ξεφορτωθούμε αμέσως πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την ανισότητα με τον κοινό παρονομαστή όλων , δηλαδή επί 6

\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac(3x+2)(6)\) \( -1\)\()\)

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες

\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \(- 6\)

Μειώστε ό,τι μπορεί να μειωθεί

\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)

Αριστερά ανοίγουμε την αγκύλη και δεξιά παρουσιάζουμε σαν όρους

\(3x-15>3x-4\)

Ας μετακινηθούμε \(3x\) προς τα αριστερά και \(-15\) προς τα δεξιά, αλλάζοντας τα σημάδια

\(3x-3x>-4+15\)

Φέρνουμε πάλι παρόμοιους όρους


Πήραμε λάθος αριθμητική ανισότητα. Και θα είναι λάθος για οποιοδήποτε x, γιατί δεν επηρεάζει με κανέναν τρόπο την προκύπτουσα ανισότητα. Επομένως, οποιαδήποτε τιμή του x δεν θα είναι λύση.

Απάντηση: \(x\in\varnothing\)

Η έννοια της μαθηματικής ανισότητας προέκυψε στην αρχαιότητα. Αυτό συνέβη όταν πρωτόγονος άνθρωποςχρειαζόταν μέτρηση και ενέργειες με διάφορα αντικείμενα για σύγκριση του αριθμού και του μεγέθους τους. Από την αρχαιότητα, οι ανισότητες χρησιμοποιήθηκαν στο συλλογισμό τους από τον Αρχιμήδη, τον Ευκλείδη και άλλους διάσημους επιστήμονες: μαθηματικούς, αστρονόμους, σχεδιαστές και φιλοσόφους.

Αλλά, κατά κανόνα, χρησιμοποιούσαν λεκτική ορολογία στα έργα τους. Για πρώτη φορά, σύγχρονες πινακίδες για να δηλώσουν τις έννοιες «περισσότερο» και «λιγότερο» με τη μορφή που κάθε μαθητής γνωρίζει σήμερα επινοήθηκαν και εφαρμόστηκαν στην Αγγλία. Ο μαθηματικός Thomas Harriot προσέφερε μια τέτοια υπηρεσία στους απογόνους. Και συνέβη πριν από περίπου τέσσερις αιώνες.

Υπάρχουν πολλά είδη ανισοτήτων. Μεταξύ αυτών είναι απλές, που περιέχουν μία, δύο ή περισσότερες μεταβλητές, τετράγωνες, κλασματικές, μιγαδικές αναλογίες και ακόμη και αντιπροσωπεύονται από ένα σύστημα εκφράσεων. Και για να κατανοήσετε πώς να λύσετε τις ανισότητες, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε διάφορα παραδείγματα.

Μην χάσετε το τρένο

Πρώτον, φανταστείτε ότι ένας κάτοικος εξοχήσπεύδει στον σιδηροδρομικό σταθμό, που βρίσκεται σε απόσταση 20 χλμ. από το χωριό του. Για να μην χάσει το τρένο που φεύγει στις 11, πρέπει να φύγει από το σπίτι στην ώρα του. Σε ποια ώρα πρέπει να γίνει αυτό αν η ταχύτητα της κίνησής του είναι 5 km/h; Η λύση αυτής της πρακτικής εργασίας περιορίζεται στην εκπλήρωση των προϋποθέσεων της έκφρασης: 5 (11 - X) ≥ 20, όπου X είναι η ώρα αναχώρησης.

Αυτό είναι κατανοητό, γιατί η απόσταση που πρέπει να ξεπεράσει ένας χωρικός μέχρι το σταθμό είναι ίση με την ταχύτητα κίνησης πολλαπλασιασμένη με τον αριθμό των ωρών στο δρόμο. Ένα άτομο μπορεί να φτάσει νωρίτερα, αλλά δεν μπορεί να αργήσει. Γνωρίζοντας πώς να λύνουμε ανισότητες και εφαρμόζοντας τις δεξιότητές μας στην πράξη, τελικά θα πάρουμε X ≤ 7, που είναι η απάντηση. Αυτό σημαίνει ότι ο χωρικός πρέπει να πάει στο σιδηροδρομικό σταθμό στις επτά το πρωί ή λίγο νωρίτερα.

Αριθμητικά κενά στη γραμμή συντεταγμένων

Τώρα ας μάθουμε πώς να αντιστοιχίσουμε τις περιγραφόμενες σχέσεις στην ανισότητα που λήφθηκε παραπάνω δεν είναι αυστηρή. Σημαίνει ότι η μεταβλητή μπορεί να πάρει τιμές μικρότερες από 7 και μπορεί να είναι ίση με αυτόν τον αριθμό. Ας δώσουμε άλλα παραδείγματα. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε προσεκτικά τα τέσσερα σχήματα παρακάτω.

Στο πρώτο μπορείτε να δείτε γραφική εικόνα span [-7; 7]. Αποτελείται από ένα σύνολο αριθμών που βρίσκονται στη γραμμή συντεταγμένων και βρίσκονται μεταξύ -7 και 7, συμπεριλαμβανομένων των ορίων. Σε αυτήν την περίπτωση, τα σημεία στο γράφημα εμφανίζονται ως γεμάτοι κύκλοι και το διάστημα καταγράφεται χρησιμοποιώντας

Το δεύτερο σχήμα είναι μια γραφική αναπαράσταση της αυστηρής ανισότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, οι οριακές αριθμοί -7 και 7, που εμφανίζονται με τρυπημένες (μη γεμάτες) τελείες, δεν περιλαμβάνονται στο καθορισμένο σύνολο. Και το ίδιο το διάστημα καταγράφεται σε παρένθεση ως εξής: (-7; 7).

Δηλαδή, έχοντας καταλάβει πώς να λύσουμε ανισότητες αυτού του τύπου και έχοντας λάβει παρόμοια απάντηση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αποτελείται από αριθμούς που βρίσκονται μεταξύ των εξεταζόμενων ορίων, εκτός από το -7 και το 7. Οι επόμενες δύο περιπτώσεις πρέπει να αξιολογηθούν με παρόμοιο τρόπο. Το τρίτο σχήμα δείχνει τις εικόνες των κενών (-∞; -7] U )