Ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής χρησιμοποιείται για την απλοποίηση αυτής της εξίσωσης.Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν δεν μπορείτε να γράψετε τη δεδομένη εξίσωση με μία ορθολογική έκφραση σε κάθε πλευρά της εξίσωσης (και να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο πολλαπλασιασμού). Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν σας δίνεται μια ορθολογική εξίσωση με 3 ή περισσότερα κλάσματα (στην περίπτωση δύο κλασμάτων, ο σταυρός πολλαπλασιασμός είναι καλύτερος).
Βρείτε τον ελάχιστο κοινό παρονομαστή των κλασμάτων (ή το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο). NOZ είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται ομοιόμορφα με κάθε παρονομαστή.
- Μερικές φορές το NOZ είναι ένας προφανής αριθμός. Για παράδειγμα, αν δοθεί η εξίσωση: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, τότε είναι προφανές ότι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 3, 2 και 6 θα είναι 6.
- Εάν το NOD δεν είναι προφανές, γράψτε τα πολλαπλάσια του μεγαλύτερου παρονομαστή και βρείτε ανάμεσά τους έναν που να είναι πολλαπλάσιος και των άλλων παρονομαστών. Μπορείτε συχνά να βρείτε το NOD πολλαπλασιάζοντας απλά δύο παρονομαστές μαζί. Για παράδειγμα, αν δοθεί η εξίσωση x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, τότε NOZ = 8*9 = 72.
- Εάν ένας ή περισσότεροι παρονομαστές περιέχουν μια μεταβλητή, τότε η διαδικασία είναι κάπως πιο περίπλοκη (αλλά όχι αδύνατη). Σε αυτήν την περίπτωση, το NOZ είναι μια έκφραση (που περιέχει μια μεταβλητή) που διαιρείται με κάθε παρονομαστή. Για παράδειγμα, στην εξίσωση 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), επειδή αυτή η παράσταση διαιρείται με κάθε παρονομαστή: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Πολλαπλασιάστε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή κάθε κλάσματος με έναν αριθμό ίσο με το αποτέλεσμα της διαίρεσης του NOZ με τον αντίστοιχο παρονομαστή κάθε κλάσματος. Εφόσον πολλαπλασιάζετε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, στην πραγματικότητα πολλαπλασιάζετε ένα κλάσμα με 1 (για παράδειγμα, 2/2 = 1 ή 3/3 = 1).
- Έτσι, στο παράδειγμά μας, πολλαπλασιάστε x/3 με 2/2 για να πάρετε 2x/6 και πολλαπλασιάστε το 1/2 με 3/3 για να πάρετε 3/6 (3x + 1/6 δεν χρειάζεται να πολλαπλασιαστεί επειδή ο παρονομαστής είναι 6).
- Συνεχίστε με τον ίδιο τρόπο όταν η μεταβλητή είναι στον παρονομαστή. Στο δεύτερο παράδειγμά μας NOZ = 3x(x-1), άρα 5/(x-1) φορές (3x)/(3x) είναι 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x επί 3(x-1)/3(x-1) για να πάρει 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) πολλαπλασιάστε με (x-1)/(x-1) και παίρνετε 2(x-1)/3x(x-1).
Βρείτε το x.Τώρα που έχετε μειώσει τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, μπορείτε να απαλλαγείτε από τον παρονομαστή. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε κάθε πλευρά της εξίσωσης με έναν κοινό παρονομαστή. Στη συνέχεια, λύστε την εξίσωση που προκύπτει, δηλαδή βρείτε το "x". Για να το κάνετε αυτό, απομονώστε τη μεταβλητή στη μία πλευρά της εξίσωσης.
- Στο παράδειγμά μας: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Μπορείτε να προσθέσετε 2 κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, οπότε γράψτε την εξίσωση ως: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 6 και απαλλαγείτε από τους παρονομαστές: 2x+3 = 3x +1. Λύστε και λάβετε x = 2.
- Στο δεύτερο παράδειγμά μας (με μια μεταβλητή στον παρονομαστή), η εξίσωση μοιάζει με (μετά την αναγωγή σε κοινό παρονομαστή): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με NOZ, απαλλαγείτε από τον παρονομαστή και παίρνετε: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ή 15x = 3x - 3 + 2x -2, ή 15x = x - 5 Λύστε και πάρτε: x = -5/14.
Ας εξοικειωθούμε με ορθολογικές και κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις, δώσουμε τον ορισμό τους, δώσουμε παραδείγματα και επίσης να αναλύσουμε τους πιο συνηθισμένους τύπους προβλημάτων.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ορθολογική Εξίσωση: Ορισμός και Παραδείγματα
Η γνωριμία με τις ορθολογικές εκφράσεις ξεκινά από την 8η τάξη του σχολείου. Αυτή τη στιγμή, στα μαθήματα άλγεβρας, οι μαθητές αρχίζουν όλο και περισσότερο να αντιμετωπίζουν εργασίες με εξισώσεις που περιέχουν ορθολογικές εκφράσεις στις σημειώσεις τους. Ας φρεσκάρουμε τη μνήμη μας για το τι είναι.
Ορισμός 1
ορθολογική εξίσωσηείναι μια εξίσωση στην οποία και οι δύο πλευρές περιέχουν ορθολογικές εκφράσεις.
Σε διάφορα εγχειρίδια, μπορείτε να βρείτε άλλη διατύπωση.
Ορισμός 2
ορθολογική εξίσωση- αυτή είναι μια εξίσωση, η εγγραφή της αριστερής πλευράς της οποίας περιέχει μια ορθολογική έκφραση και η δεξιά περιέχει το μηδέν.
Οι ορισμοί που δώσαμε για τις ορθολογικές εξισώσεις είναι ισοδύναμοι, αφού σημαίνουν το ίδιο πράγμα. Η ορθότητα των λόγων μας επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι για τυχόν ορθολογικές εκφράσεις ΠΚαι Qεξισώσεις P=QΚαι P − Q = 0θα είναι ισοδύναμες εκφράσεις.
Τώρα ας στραφούμε σε παραδείγματα.
Παράδειγμα 1
Ορθολογικές εξισώσεις:
x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
Οι ορθολογικές εξισώσεις, όπως και οι εξισώσεις άλλων τύπων, μπορούν να περιέχουν οποιονδήποτε αριθμό μεταβλητών από 1 έως πολλές. Αρχικά, θα εξετάσουμε απλά παραδείγματα, στο οποίο οι εξισώσεις θα περιέχουν μόνο μία μεταβλητή. Και τότε αρχίζουμε να περιπλέκουμε σταδιακά το έργο.
Οι ορθολογικές εξισώσεις χωρίζονται σε δύο μεγάλες ομάδες: ακέραιο και κλασματικό. Ας δούμε ποιες εξισώσεις θα ισχύουν για κάθε μία από τις ομάδες.
Ορισμός 3
Μια ορθολογική εξίσωση θα είναι ακέραιος εάν η εγγραφή του αριστερού και του δεξιού μέρους της περιέχει ολόκληρες ορθολογικές εκφράσεις.
Ορισμός 4
Μια ορθολογική εξίσωση θα είναι κλασματική αν το ένα ή και τα δύο μέρη της περιέχουν ένα κλάσμα.
Οι κλασματικά ορθολογικές εξισώσεις περιέχουν αναγκαστικά διαίρεση με μια μεταβλητή ή η μεταβλητή είναι παρούσα στον παρονομαστή. Δεν υπάρχει τέτοια διαίρεση στη σύνταξη ακέραιων εξισώσεων.
Παράδειγμα 2
3 x + 2 = 0Και (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5είναι ολόκληρες ορθολογικές εξισώσεις. Εδώ και τα δύο μέρη της εξίσωσης αντιπροσωπεύονται από ακέραιες εκφράσεις.
1 x - 1 = x 3 και x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5είναι κλασματικά ορθολογικές εξισώσεις.
Ολόκληρες οι ορθολογικές εξισώσεις περιλαμβάνουν γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις.
Επίλυση ακέραιων εξισώσεων
Η λύση τέτοιων εξισώσεων συνήθως ανάγεται στη μετατροπή τους σε ισοδύναμες αλγεβρικές εξισώσεις. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί πραγματοποιώντας ισοδύναμους μετασχηματισμούς των εξισώσεων σύμφωνα με τον ακόλουθο αλγόριθμο:
- πρώτα παίρνουμε το μηδέν στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, γι 'αυτό είναι απαραίτητο να μεταφέρουμε την έκφραση που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην αριστερή της πλευρά και να αλλάξουμε το πρόσημο.
- τότε μετατρέπουμε την παράσταση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης σε πολυώνυμο τυπικής μορφής.
Πρέπει να πάρουμε μια αλγεβρική εξίσωση. Αυτή η εξίσωση θα είναι ισοδύναμη σε σχέση με την αρχική εξίσωση. Οι εύκολες περιπτώσεις μας επιτρέπουν να λύσουμε το πρόβλημα μειώνοντας ολόκληρη την εξίσωση σε γραμμική ή τετραγωνική. Στη γενική περίπτωση, λύνουμε μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού n.
Παράδειγμα 3
Είναι απαραίτητο να βρούμε τις ρίζες ολόκληρης της εξίσωσης 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Λύση
Ας μετασχηματίσουμε την αρχική έκφραση για να λάβουμε μια αλγεβρική εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν. Για να γίνει αυτό, θα μεταφέρουμε την έκφραση που περιέχεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην αριστερή πλευρά και θα αλλάξουμε το πρόσημο στο αντίθετο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Τώρα θα μετατρέψουμε την έκφραση στην αριστερή πλευρά σε ένα πολυώνυμο της τυπικής μορφής και θα εκτελέσουμε τις απαραίτητες ενέργειες με αυτό το πολυώνυμο:
3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6
Καταφέραμε να αναγάγουμε τη λύση της αρχικής εξίσωσης στη λύση μιας τετραγωνικής εξίσωσης της μορφής x 2 − 5 x − 6 = 0. Η διάκριση αυτής της εξίσωσης είναι θετική: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 .Αυτό σημαίνει ότι θα υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες. Ας τις βρούμε χρησιμοποιώντας τον τύπο των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης:
x \u003d - - 5 ± 49 2 1,
x 1 \u003d 5 + 7 2 ή x 2 \u003d 5 - 7 2,
x 1 = 6 ή x 2 = - 1
Ας ελέγξουμε την ορθότητα των ριζών της εξίσωσης που βρήκαμε στην πορεία της λύσης. Για αυτόν τον αριθμό, που λάβαμε, αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3Και 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Στην πρώτη περίπτωση 63 = 63 , στο δεύτερο 0 = 0 . Ρίζες x=6Και x = − 1είναι πράγματι οι ρίζες της εξίσωσης που δίνεται στη συνθήκη του παραδείγματος.
Απάντηση: 6 , − 1 .
Ας δούμε τι σημαίνει «δύναμη όλης της εξίσωσης». Θα συναντήσουμε συχνά αυτόν τον όρο σε εκείνες τις περιπτώσεις που χρειάζεται να αναπαραστήσουμε μια ολόκληρη εξίσωση με τη μορφή αλγεβρικής. Ας ορίσουμε την έννοια.
Ορισμός 5
Βαθμός ακέραιας εξίσωσηςείναι ο βαθμός μιας αλγεβρικής εξίσωσης που ισοδυναμεί με την αρχική εξίσωση.
Αν κοιτάξετε τις εξισώσεις από το παραπάνω παράδειγμα, μπορείτε να καθορίσετε: ο βαθμός όλης αυτής της εξίσωσης είναι ο δεύτερος.
Εάν το μάθημά μας περιοριζόταν στην επίλυση εξισώσεων δεύτερου βαθμού, τότε η εξέταση του θέματος θα μπορούσε να ολοκληρωθεί εδώ. Αλλά δεν είναι όλα τόσο απλά. Η επίλυση εξισώσεων τρίτου βαθμού είναι γεμάτη δυσκολίες. Και για εξισώσεις πάνω από τον τέταρτο βαθμό, δεν υπάρχει καθόλου γενικούς τύπουςρίζες. Από αυτή την άποψη, η λύση ολόκληρων εξισώσεων του τρίτου, τέταρτου και άλλων βαθμών απαιτεί από εμάς να χρησιμοποιήσουμε μια σειρά από άλλες τεχνικές και μεθόδους.
Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη προσέγγιση για την επίλυση ολόκληρων ορθολογικών εξισώσεων βασίζεται στη μέθοδο παραγοντοποίησης. Ο αλγόριθμος των ενεργειών σε αυτή την περίπτωση είναι ο εξής:
- μεταφέρουμε την έκφραση από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά έτσι ώστε το μηδέν να παραμείνει στη δεξιά πλευρά της εγγραφής.
- αντιπροσωπεύουμε την έκφραση στην αριστερή πλευρά ως γινόμενο παραγόντων και μετά προχωράμε σε ένα σύνολο από πολλές απλούστερες εξισώσεις.
Να βρείτε τη λύση της εξίσωσης (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .
Λύση
Μετακινούμε την έκφραση από τη δεξιά πλευρά της εγγραφής προς τα αριστερά με αντίθετο σημάδι: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Η μετατροπή της αριστερής πλευράς σε πολυώνυμο της τυπικής μορφής δεν είναι πρακτική λόγω του γεγονότος ότι αυτό θα μας δώσει μια αλγεβρική εξίσωση τέταρτου βαθμού: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Η ευκολία του μετασχηματισμού δεν δικαιολογεί όλες τις δυσκολίες με την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης.
Είναι πολύ πιο εύκολο να πάμε αντίστροφα: αφαιρούμε τον κοινό παράγοντα x 2 − 10 x + 13 .Έτσι καταλήγουμε σε μια εξίσωση της μορφής (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Τώρα αντικαθιστούμε την εξίσωση που προκύπτει με ένα σύνολο δύο τετραγωνικών εξισώσεων x 2 − 10 x + 13 = 0Και x 2 − 2 x − 1 = 0και να βρείτε τις ρίζες τους μέσα από τη διάκριση: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
Απάντηση: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .
Ομοίως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής. Αυτή η μέθοδος μας επιτρέπει να περάσουμε σε ισοδύναμες εξισώσεις με δυνάμεις μικρότερες από αυτές στην αρχική ολόκληρη εξίσωση.
Παράδειγμα 5
Έχει ρίζες η εξίσωση; (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Λύση
Αν τώρα προσπαθήσουμε να αναγάγουμε μια ολόκληρη ορθολογική εξίσωση σε αλγεβρική, θα πάρουμε μια εξίσωση βαθμού 4, η οποία δεν έχει ορθολογικές ρίζες. Επομένως, θα είναι ευκολότερο για εμάς να πάμε αντίθετα: εισαγάγετε μια νέα μεταβλητή y, η οποία θα αντικαταστήσει την έκφραση στην εξίσωση x 2 + 3 x.
Τώρα θα δουλέψουμε με ολόκληρη την εξίσωση (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Μεταφέρουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο και πραγματοποιούμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς. Παίρνουμε: y 2 + 4 y + 3 = 0. Ας βρούμε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης: y = − 1Και y = − 3.
Τώρα ας κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση. Παίρνουμε δύο εξισώσεις x 2 + 3 x = − 1Και x 2 + 3 x = - 3 .Ας τα ξαναγράψουμε ως x 2 + 3 x + 1 = 0 και x 2 + 3 x + 3 = 0. Χρησιμοποιούμε τον τύπο των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης για να βρούμε τις ρίζες της πρώτης εξίσωσης που προέκυψε: - 3 ± 5 2 . Η διάκριση της δεύτερης εξίσωσης είναι αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι η δεύτερη εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Απάντηση:- 3 ± 5 2
Ακέραιες εξισώσεις υψηλών βαθμών συναντώνται σε προβλήματα αρκετά συχνά. Δεν υπάρχει λόγος να τους φοβάστε. Πρέπει να είστε έτοιμοι να εφαρμόσετε μια μη τυπική μέθοδο επίλυσής τους, συμπεριλαμβανομένων ορισμένων τεχνητών μετασχηματισμών.
Επίλυση κλασματικά ορθολογικών εξισώσεων
Ξεκινάμε την εξέταση αυτού του υποθέματος με έναν αλγόριθμο για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων της μορφής p (x) q (x) = 0 , όπου p(x)Και q(x)είναι ακέραιες ορθολογικές εκφράσεις. Η λύση άλλων κλασματικά ορθολογικών εξισώσεων μπορεί πάντα να αναχθεί στη λύση των εξισώσεων της υποδεικνυόμενης μορφής.
Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μέθοδος για την επίλυση εξισώσεων p (x) q (x) = 0 βασίζεται στην ακόλουθη πρόταση: αριθμητικό κλάσμα u v, Οπου vείναι ένας αριθμός που είναι διαφορετικός από το μηδέν, ίσος με μηδέν μόνο στις περιπτώσεις που ο αριθμητής του κλάσματος είναι ίσος με μηδέν. Ακολουθώντας τη λογική της παραπάνω δήλωσης, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η λύση της εξίσωσης p (x) q (x) = 0 μπορεί να αναχθεί στην εκπλήρωση δύο συνθηκών: p(x)=0Και q(x) ≠ 0. Πάνω σε αυτό, κατασκευάζεται ένας αλγόριθμος για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων της μορφής p (x) q (x) = 0:
- βρίσκουμε τη λύση ολόκληρης της ορθολογικής εξίσωσης p(x)=0;
- ελέγχουμε αν η συνθήκη ικανοποιείται για τις ρίζες που βρέθηκαν κατά τη διάρκεια της λύσης q(x) ≠ 0.
Εάν πληρούται αυτή η προϋπόθεση, τότε η ρίζα που βρέθηκε, Αν όχι, τότε η ρίζα δεν είναι λύση στο πρόβλημα.
Παράδειγμα 6
Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .
Λύση
Έχουμε να κάνουμε με μια κλασματική ορθολογική εξίσωση της μορφής p (x) q (x) = 0 , στην οποία p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Ας αρχίσουμε να λύνουμε τη γραμμική εξίσωση 3 x - 2 = 0. Η ρίζα αυτής της εξίσωσης θα είναι x = 2 3.
Ας ελέγξουμε τη ρίζα που βρέθηκε, αν ικανοποιεί την προϋπόθεση 5 x 2 - 2 ≠ 0. Αυτό το αντικαθιστούμε αριθμητική αξίασε έκφραση. Παίρνουμε: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.
Η προϋπόθεση πληρούται. Αυτό σημαίνει ότι x = 2 3είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
Απάντηση: 2 3 .
Υπάρχει μια άλλη επιλογή για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων p (x) q (x) = 0 . Θυμηθείτε ότι αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ολόκληρη την εξίσωση p(x)=0στο εύρος των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής x της αρχικής εξίσωσης. Αυτό μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο για την επίλυση των εξισώσεων p(x) q(x) = 0:
- λύσει την εξίσωση p(x)=0;
- βρείτε το εύρος των αποδεκτών τιμών για τη μεταβλητή x .
- παίρνουμε τις ρίζες που βρίσκονται στην περιοχή των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής x ως τις επιθυμητές ρίζες της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης.
Λύστε την εξίσωση x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .
Λύση
Για να ξεκινήσουμε, ας αποφασίσουμε τετραγωνική εξίσωση x 2 − 2 x − 11 = 0. Για να υπολογίσουμε τις ρίζες του, χρησιμοποιούμε τον τύπο ρίζας για έναν άρτιο δεύτερο συντελεστή. Παίρνουμε D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12και x = 1 ± 2 3 .
Τώρα μπορούμε να βρούμε το ODV του x για την αρχική εξίσωση. Αυτοί είναι όλοι αριθμοί για τους οποίους x 2 + 3 x ≠ 0. Είναι το ίδιο με x (x + 3) ≠ 0, από όπου x ≠ 0 , x ≠ − 3 .
Τώρα ας ελέγξουμε αν οι ρίζες x = 1 ± 2 3 που ελήφθησαν στο πρώτο στάδιο της λύσης βρίσκονται εντός του εύρους των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής x. Βλέπουμε τι μπαίνει. Αυτό σημαίνει ότι η αρχική κλασματική ορθολογική εξίσωση έχει δύο ρίζες x = 1 ± 2 3 .
Απάντηση: x = 1 ± 2 3
Η δεύτερη μέθοδος λύσης που περιγράφεται ευκολότερο από το πρώτοσε περιπτώσεις όπου είναι εύκολο να βρεθεί το εμβαδόν των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής x και οι ρίζες της εξίσωσης p(x)=0παράλογος. Για παράδειγμα, 7 ± 4 26 9 . Οι ρίζες μπορεί να είναι ορθολογικές, αλλά με μεγάλο αριθμητή ή παρονομαστή. Για παράδειγμα, 127 1101 Και − 31 59 . Αυτό εξοικονομεί χρόνο για τον έλεγχο της κατάστασης. q(x) ≠ 0: είναι πολύ πιο εύκολο να αποκλείσετε ρίζες που δεν ταιριάζουν, σύμφωνα με την ODZ.
Όταν οι ρίζες της εξίσωσης p(x)=0είναι ακέραιοι, είναι πιο σκόπιμο να χρησιμοποιηθεί ο πρώτος από τους περιγραφόμενους αλγόριθμους για την επίλυση εξισώσεων της μορφής p (x) q (x) = 0 . Βρίσκοντας τις ρίζες μιας ολόκληρης εξίσωσης πιο γρήγορα p(x)=0και, στη συνέχεια, ελέγξτε εάν πληρούται η προϋπόθεση για αυτούς q(x) ≠ 0, και να μην βρείτε το ODZ, και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση p(x)=0σε αυτό το ODZ. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι σε τέτοιες περιπτώσεις είναι συνήθως πιο εύκολο να κάνετε έλεγχο παρά να βρείτε το ODZ.
Παράδειγμα 8
Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .
Λύση
Ξεκινάμε εξετάζοντας ολόκληρη την εξίσωση (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0και να βρει τις ρίζες του. Για να γίνει αυτό, εφαρμόζουμε τη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων μέσω παραγοντοποίησης. Αποδεικνύεται ότι η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο τεσσάρων εξισώσεων 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, εκ των οποίων οι τρεις είναι γραμμικές και το ένα είναι τετράγωνο. Βρίσκουμε τις ρίζες: από την πρώτη εξίσωση x = 1 2, από το δεύτερο x=6, από το τρίτο - x \u003d 7, x \u003d - 2, από το τέταρτο - x = − 1.
Ας ελέγξουμε τις αποκτηθείσες ρίζες. Είναι δύσκολο για εμάς να προσδιορίσουμε το ODZ σε αυτή την περίπτωση, αφού για αυτό θα πρέπει να λύσουμε μια αλγεβρική εξίσωση πέμπτου βαθμού. Θα είναι ευκολότερο να ελέγξετε την συνθήκη σύμφωνα με την οποία ο παρονομαστής του κλάσματος, που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, δεν πρέπει να εξαφανιστεί.
Στη συνέχεια, αντικαταστήστε τις ρίζες στη θέση της μεταβλητής x στην παράσταση x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112και υπολογίστε την τιμή του:
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≥;
6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .
Η επαλήθευση που πραγματοποιήθηκε μας επιτρέπει να διαπιστώσουμε ότι οι ρίζες της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης είναι 1 2 , 6 και − 2 .
Απάντηση: 1 2 , 6 , - 2
Παράδειγμα 9
Να βρείτε τις ρίζες της κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .
Λύση
Ας ξεκινήσουμε με την εξίσωση (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Ας βρούμε τις ρίζες του. Είναι ευκολότερο για εμάς να αναπαραστήσουμε αυτήν την εξίσωση ως συνδυασμό τετραγωνικών και γραμμικών εξισώσεων 5 x 2 - 7 x - 1 = 0Και x − 2 = 0.
Χρησιμοποιούμε τον τύπο των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης για να βρούμε τις ρίζες. Παίρνουμε δύο ρίζες x = 7 ± 69 10 από την πρώτη εξίσωση και από τη δεύτερη x=2.
Η αντικατάσταση της τιμής των ριζών στην αρχική εξίσωση για να ελέγξουμε τις συνθήκες θα είναι αρκετά δύσκολη για εμάς. Θα είναι ευκολότερο να προσδιοριστεί το LPV της μεταβλητής x. Σε αυτήν την περίπτωση, το DPV της μεταβλητής x είναι όλοι οι αριθμοί, εκτός από αυτούς για τους οποίους η συνθήκη ικανοποιείται x 2 + 5 x − 14 = 0. Παίρνουμε: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .
Τώρα ας ελέγξουμε αν οι ρίζες που βρήκαμε ανήκουν στο εύρος των αποδεκτών τιμών για τη μεταβλητή x.
Οι ρίζες x = 7 ± 69 10 - ανήκουν, επομένως, είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης, και x=2- δεν ανήκει, επομένως, είναι εξωγενής ρίζα.
Απάντηση: x = 7 ± 69 10 .
Ας εξετάσουμε χωριστά τις περιπτώσεις που ο αριθμητής μιας κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης της μορφής p (x) q (x) = 0 περιέχει έναν αριθμό. Σε τέτοιες περιπτώσεις, εάν ο αριθμητής περιέχει έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν, τότε η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες. Εάν αυτός ο αριθμός είναι ίσος με μηδέν, τότε η ρίζα της εξίσωσης θα είναι οποιοσδήποτε αριθμός από το ODZ.
Παράδειγμα 10
Λύστε την κλασματική ορθολογική εξίσωση - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .
Λύση
Αυτή η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες, αφού ο αριθμητής του κλάσματος από την αριστερή πλευρά της εξίσωσης περιέχει έναν μη μηδενικό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι για οποιεσδήποτε τιμές του x η τιμή του κλάσματος που δίνεται στην συνθήκη του προβλήματος δεν θα είναι ίση με μηδέν.
Απάντηση:χωρίς ρίζες.
Παράδειγμα 11
Λύστε την εξίσωση 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Λύση
Εφόσον ο αριθμητής του κλάσματος είναι μηδέν, η λύση της εξίσωσης θα είναι οποιαδήποτε τιμή του x από τη μεταβλητή ODZ x.
Τώρα ας ορίσουμε το ODZ. Θα περιλαμβάνει όλες τις τιμές x για τις οποίες x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Λύσεις εξισώσεων x 4 + 5 x 3 = 0είναι 0 Και − 5 , αφού αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 3 (x + 5) = 0, και αυτό, με τη σειρά του, είναι ισοδύναμο με το σύνολο δύο εξισώσεων x 3 = 0 και x + 5 = 0όπου φαίνονται αυτές οι ρίζες. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το επιθυμητό εύρος αποδεκτών τιμών είναι οποιαδήποτε x, εκτός x=0Και x = -5.
Αποδεικνύεται ότι η κλασματική ορθολογική εξίσωση 0 x 4 + 5 x 3 = 0 έχει έναν άπειρο αριθμό λύσεων, οι οποίες είναι οποιοιδήποτε αριθμοί εκτός από το μηδέν και το - 5.
Απάντηση: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Τώρα ας μιλήσουμε για κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις μιας αυθαίρετης μορφής και μεθόδους επίλυσής τους. Μπορούν να γραφτούν ως r(x) = s(x), Οπου r(x)Και s(x)είναι ορθολογικές εκφράσεις και τουλάχιστον μία από αυτές είναι κλασματική. Η λύση τέτοιων εξισώσεων ανάγεται στη λύση των εξισώσεων της μορφής p (x) q (x) = 0 .
Γνωρίζουμε ήδη ότι μπορούμε να πάρουμε μια ισοδύναμη εξίσωση μεταφέροντας την έκφραση από τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση r(x) = s(x)ισοδυναμεί με την εξίσωση r (x) − s (x) = 0. Έχουμε ήδη συζητήσει πώς να μετατρέψουμε μια ορθολογική έκφραση σε ορθολογικό κλάσμα. Χάρη σε αυτό, μπορούμε εύκολα να μετατρέψουμε την εξίσωση r (x) − s (x) = 0στο πανομοιότυπο ορθολογικό του κλάσμα της μορφής p (x) q (x) .
Έτσι κινούμαστε από την αρχική κλασματική ορθολογική εξίσωση r(x) = s(x)σε μια εξίσωση της μορφής p (x) q (x) = 0 , την οποία έχουμε ήδη μάθει πώς να λύνουμε.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι όταν κάνετε μεταβάσεις από r (x) − s (x) = 0σε p (x) q (x) = 0 και μετά σε p(x)=0ενδέχεται να μην λάβουμε υπόψη την επέκταση του εύρους των έγκυρων τιμών της μεταβλητής x.
Είναι αρκετά ρεαλιστικό ότι η αρχική εξίσωση r(x) = s(x)και εξίσωση p(x)=0ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών, θα πάψουν να είναι ισοδύναμοι. Στη συνέχεια η λύση της εξίσωσης p(x)=0μπορεί να μας δώσει ρίζες που θα είναι ξένες r(x) = s(x). Από αυτή την άποψη, σε κάθε περίπτωση είναι απαραίτητο να διενεργείται έλεγχος με οποιαδήποτε από τις μεθόδους που περιγράφονται παραπάνω.
Για να σας διευκολύνουμε να μελετήσετε το θέμα, έχουμε γενικεύσει όλες τις πληροφορίες σε έναν αλγόριθμο για την επίλυση μιας κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης της μορφής r(x) = s(x):
- μεταφέρουμε την έκφραση από τη δεξιά πλευρά με το αντίθετο πρόσημο και παίρνουμε μηδέν στα δεξιά.
- μετατρέπουμε την αρχική έκφραση σε ορθολογικό κλάσμα p (x) q (x) εκτελώντας διαδοχικά ενέργειες με κλάσματα και πολυώνυμα.
- λύσει την εξίσωση p(x)=0;
- αποκαλύπτουμε ξένες ρίζες ελέγχοντας ότι ανήκουν στο ODZ ή αντικαθιστώντας την αρχική εξίσωση.
Οπτικά, η αλυσίδα των ενεργειών θα μοιάζει με αυτό:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → εγκατάλειψη r o n d e r o o n s
Παράδειγμα 12
Λύστε την κλασματική ορθολογική εξίσωση x x + 1 = 1 x + 1 .
Λύση
Ας προχωρήσουμε στην εξίσωση x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Ας μετατρέψουμε την κλασματική ορθολογική έκφραση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης στη μορφή p (x) q (x) .
Για να γίνει αυτό, πρέπει να μειώσουμε τα ορθολογικά κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή και να απλοποιήσουμε την έκφραση:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)
Για να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση − 2 x − 1 = 0. Παίρνουμε μια ρίζα x = - 1 2.
Απομένει να κάνουμε τον έλεγχο με οποιαδήποτε από τις μεθόδους. Ας τα εξετάσουμε και τα δύο.
Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στην αρχική εξίσωση. Παίρνουμε - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Φτάσαμε στη σωστή αριθμητική ισότητα − 1 = − 1 . Αυτό σημαίνει ότι x = − 1 2είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
Τώρα θα ελέγξουμε μέσω του ODZ. Ας ορίσουμε το εύρος των αποδεκτών τιμών για τη μεταβλητή x . Αυτό θα είναι ολόκληρο το σύνολο των αριθμών, εκτός από το − 1 και το 0 (όταν x = − 1 και x = 0, οι παρονομαστές των κλασμάτων εξαφανίζονται). Η ρίζα που πήραμε x = − 1 2ανήκει στην ΟΔΖ. Αυτό σημαίνει ότι είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
Απάντηση: − 1 2 .
Παράδειγμα 13
Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .
Λύση
Έχουμε να κάνουμε με μια κλασματική ορθολογική εξίσωση. Επομένως, θα ενεργήσουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο.
Ας μετακινήσουμε την παράσταση από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Ας πραγματοποιήσουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.
Φτάνουμε στην εξίσωση x=0. Η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι μηδέν.
Ας ελέγξουμε αν αυτή η ρίζα είναι ξένη για την αρχική εξίσωση. Αντικαταστήστε την τιμή στην αρχική εξίσωση: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Όπως μπορείτε να δείτε, η εξίσωση που προκύπτει δεν έχει νόημα. Αυτό σημαίνει ότι το 0 είναι μια ξένη ρίζα και η αρχική κλασματική ορθολογική εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Απάντηση:χωρίς ρίζες.
Εάν δεν έχουμε συμπεριλάβει άλλους ισοδύναμους μετασχηματισμούς στον αλγόριθμο, αυτό δεν σημαίνει καθόλου ότι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ο αλγόριθμος είναι καθολικός, αλλά έχει σχεδιαστεί για να βοηθά, όχι να περιορίζει.
Παράδειγμα 14
Λύστε την εξίσωση 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Λύση
Ο ευκολότερος τρόπος είναι να λύσετε τη δεδομένη κλασματική ορθολογική εξίσωση σύμφωνα με τον αλγόριθμο. Υπάρχει όμως και άλλος τρόπος. Ας το αναλογιστούμε.
Αφαιρούμε από το δεξί και το αριστερό μέρος 7, παίρνουμε: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.
Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η έκφραση στον παρονομαστή της αριστερής πλευράς πρέπει να είναι ίση με τον αντίστροφο αριθμό του αριθμού από τη δεξιά πλευρά, δηλαδή 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .
Αφαιρέστε και από τα δύο μέρη 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Κατ' αναλογία 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, από όπου 1 5 - x 2 \u003d 1 3, και περαιτέρω 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2
Ας ελέγξουμε για να διαπιστώσουμε εάν οι ρίζες που βρέθηκαν είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
Απάντηση: x = ± 2
Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Οι εξισώσεις με τα ίδια τα κλάσματα δεν είναι δύσκολες και πολύ ενδιαφέρουσες. Εξετάστε τους τύπους κλασματικές εξισώσειςκαι τρόπους επίλυσής τους.
Πώς να λύσετε εξισώσεις με κλάσματα - x στον αριθμητή
Εάν δοθεί μια κλασματική εξίσωση, όπου ο άγνωστος είναι στον αριθμητή, η λύση δεν απαιτεί πρόσθετες συνθήκες και λύνεται χωρίς περιττή ταλαιπωρία. Γενική μορφήμια τέτοια εξίσωση - x/a + b = c, όπου x είναι ο άγνωστος, a, b και c - κανονικούς αριθμούς.
Βρείτε το x: x/5 + 10 = 70.
Για να λύσετε την εξίσωση, πρέπει να απαλλαγείτε από τα κλάσματα. Πολλαπλασιάστε κάθε όρο της εξίσωσης με 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. Το 5x και το 5 μειώνονται, το 10 και το 70 πολλαπλασιάζονται με το 5 και παίρνουμε: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.
Βρείτε το x: x/5 + x/10 = 90.
Αυτό το παράδειγμα είναι μια ελαφρώς πιο περίπλοκη έκδοση του πρώτου. Εδώ υπάρχουν δύο λύσεις.
- Επιλογή 1: Απαλλαγείτε από τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους της εξίσωσης με έναν μεγαλύτερο παρονομαστή, δηλαδή με 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
- Επιλογή 2: Προσθέστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης. x/5 + x/10 = 90. Ο κοινός παρονομαστής είναι 10. Διαιρέστε το 10 με 5, πολλαπλασιάστε με το x, παίρνουμε 2x. Το 10 διαιρούμενο με το 10, πολλαπλασιαζόμενο με το x, παίρνουμε x: 2x+x/10 = 90. Άρα 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Συχνά υπάρχουν κλασματικές εξισώσεις στις οποίες τα x είναι μέσα διαφορετικές πλευρέςσύμβολο ίσου. Σε μια τέτοια κατάσταση, είναι απαραίτητο να μεταφέρουμε όλα τα κλάσματα με x προς μια κατεύθυνση και τους αριθμούς σε άλλη.
- Βρείτε το x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
- Μετακινηθείτε 2x/5 προς τα δεξιά με το αντίθετο πρόσημο: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Μειώνουμε 5x/5 και παίρνουμε: x = 130.
Πώς να λύσετε μια εξίσωση με κλάσματα - x στον παρονομαστή
Αυτός ο τύπος κλασματικών εξισώσεων απαιτεί την εγγραφή πρόσθετων συνθηκών. Η αναγραφή αυτών των προϋποθέσεων είναι υποχρεωτικό και αναπόσπαστο μέρος σωστή απόφαση. Με το να μην τα αποδώσετε, διατρέχετε τον κίνδυνο, αφού η απάντηση (ακόμα και αν είναι σωστή) μπορεί απλά να μην μετρηθεί.
Η γενική μορφή των κλασματικών εξισώσεων, όπου x είναι στον παρονομαστή, είναι: a/x + b = c, όπου x είναι άγνωστος, a, b, c είναι συνηθισμένοι αριθμοί. Σημειώστε ότι το x μπορεί να μην είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Για παράδειγμα, το x δεν μπορεί να είναι μηδέν, αφού δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το 0. Αυτό είναι τι είναι πρόσθετη προϋπόθεση, το οποίο πρέπει να διευκρινίσουμε. Αυτό ονομάζεται εύρος αποδεκτών τιμών, συντομογραφία - ODZ.
Βρείτε το x: 15/x + 18 = 21.
Γράφουμε αμέσως το ODZ για x: x ≠ 0. Τώρα που υποδεικνύεται το ODZ, λύνουμε την εξίσωση σύμφωνα με το τυπικό σχήμα, απαλλαγούμε από τα κλάσματα. Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Συχνά υπάρχουν εξισώσεις όπου ο παρονομαστής δεν περιέχει μόνο x, αλλά και κάποια άλλη πράξη με αυτόν, όπως πρόσθεση ή αφαίρεση.
Βρείτε το x: 15/(x-3) + 18 = 21.
Γνωρίζουμε ήδη ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι ίσος με μηδέν, που σημαίνει x-3 ≠ 0. Μεταφέρουμε το -3 στη δεξιά πλευρά, ενώ αλλάζουμε το σύμβολο "-" σε "+" και παίρνουμε ότι x ≠ 3. ODZ είναι υποδεικνύεται.
Λύστε την εξίσωση, πολλαπλασιάστε τα πάντα με x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.
Μετακινήστε τα x στα δεξιά, τους αριθμούς στα αριστερά: 24 = 3x => x = 8.
Επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων
Οδηγός βοήθειας
Οι ορθολογικές εξισώσεις είναι εξισώσεις στις οποίες τόσο η αριστερή όσο και η δεξιά πλευρά είναι ορθολογικές εκφράσεις.
(Υπενθύμιση: οι ορθολογικές εκφράσεις είναι ακέραιες και κλασματικές εκφράσεις χωρίς ρίζες, συμπεριλαμβανομένων των πράξεων πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού ή διαίρεσης - για παράδειγμα: 6x; (m - n) 2; x / 3y, κ.λπ.)
Οι κλασματικές-ορθολογικές εξισώσεις, κατά κανόνα, ανάγονται στη μορφή:
Οπου Π(Χ) Και Q(Χ) είναι πολυώνυμα.
Για να λύσετε τέτοιες εξισώσεις, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με Q(x), κάτι που μπορεί να οδηγήσει στην εμφάνιση ξένων ριζών. Επομένως, κατά την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων, είναι απαραίτητο να ελέγξετε τις ρίζες που βρέθηκαν.
Μια ορθολογική εξίσωση ονομάζεται ακέραιος ή αλγεβρική, εάν δεν έχει διαίρεση με μια παράσταση που περιέχει μια μεταβλητή.
Παραδείγματα μιας ολόκληρης ορθολογικής εξίσωσης:
5x - 10 = 3 (10 - x)
3x
-=2x-10
4
Αν σε μια ορθολογική εξίσωση υπάρχει διαίρεση με μια παράσταση που περιέχει τη μεταβλητή (x), τότε η εξίσωση ονομάζεται κλασματική ορθολογική.
Παράδειγμα κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης:
15
x + - = 5x - 17
Χ
Οι κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις συνήθως λύνονται ως εξής:
1) βρείτε έναν κοινό παρονομαστή των κλασμάτων και πολλαπλασιάστε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με αυτόν.
2) λύστε την εξίσωση που προκύπτει.
3) εξαιρούνται από τις ρίζες του εκείνα που μηδενίζουν τον κοινό παρονομαστή των κλασμάτων.
Παραδείγματα επίλυσης ακέραιων και κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων.
Παράδειγμα 1. Λύστε ολόκληρη την εξίσωση
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Λύση:
Εύρεση του χαμηλότερου κοινού παρονομαστή. Αυτό είναι 6. Διαιρέστε το 6 με τον παρονομαστή και πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή κάθε κλάσματος. Παίρνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν:
3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
Δεδομένου ότι ο παρονομαστής είναι ο ίδιος στην αριστερή και στη δεξιά πλευρά, μπορεί να παραλειφθεί. Τότε έχουμε μια απλούστερη εξίσωση:
3(x - 1) + 4x = 5x.
Το λύνουμε ανοίγοντας αγκύλες και μειώνοντας τους παρόμοιους όρους:
3x - 3 + 4x = 5x
3x + 4x - 5x = 3
Το παράδειγμα λύθηκε.
Παράδειγμα 2. Λύστε μια κλασματική ορθολογική εξίσωση
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x(x - 5)
Βρίσκουμε έναν κοινό παρονομαστή. Αυτό είναι x(x - 5). Ετσι:
x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)
Τώρα ξεμπερδεύουμε ξανά με τον παρονομαστή, αφού είναι ίδιος για όλες τις εκφράσεις. Μειώνουμε τους ομοίους όρους, εξισώνουμε την εξίσωση με μηδέν και παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση:
x 2 - 3x + x - 5 = x + 5
x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0
x 2 - 3x - 10 = 0.
Έχοντας λύσει την τετραγωνική εξίσωση, βρίσκουμε τις ρίζες της: -2 και 5.
Ας ελέγξουμε αν αυτοί οι αριθμοί είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.
Για x = –2, ο κοινός παρονομαστής x(x – 5) δεν εξαφανίζεται. Άρα -2 είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
Στο x = 5, ο κοινός παρονομαστής εξαφανίζεται και δύο από τις τρεις εκφράσεις χάνουν τη σημασία τους. Άρα ο αριθμός 5 δεν είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.
Απάντηση: x = -2
Περισσότερα παραδείγματα
Παράδειγμα 1
x 1 \u003d 6, x 2 \u003d - 2,2.
Απάντηση: -2,2, 6.
Παράδειγμα 2
Έχουμε ήδη μάθει πώς να λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις. Ας επεκτείνουμε τώρα τις μεθόδους που μελετήθηκαν σε ορθολογικές εξισώσεις.
Τι είναι μια ορθολογική έκφραση; Έχουμε ήδη συναντήσει αυτήν την έννοια. Ορθολογικές εκφράσειςονομάζονται εκφράσεις που αποτελούνται από αριθμούς, μεταβλητές, τους βαθμούς τους και σημεία μαθηματικών πράξεων.
Αντίστοιχα, οι ορθολογικές εξισώσεις είναι εξισώσεις της μορφής: , όπου 
- ορθολογικές εκφράσεις.
Προηγουμένως, εξετάσαμε μόνο εκείνες τις ορθολογικές εξισώσεις που ανάγονται σε γραμμικές. Ας εξετάσουμε τώρα εκείνες τις ορθολογικές εξισώσεις που μπορούν να αναχθούν σε τετραγωνικές.
Παράδειγμα 1
Λύστε την εξίσωση: .
Λύση:
Ένα κλάσμα είναι 0 αν και μόνο αν ο αριθμητής του είναι 0 και ο παρονομαστής του δεν είναι 0.
Παίρνουμε το ακόλουθο σύστημα:
Η πρώτη εξίσωση του συστήματος είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση. Πριν το λύσουμε, διαιρούμε όλους τους συντελεστές του με το 3. Παίρνουμε:
Παίρνουμε δύο ρίζες: ; .
Εφόσον το 2 δεν είναι ποτέ ίσο με 0, πρέπει να πληρούνται δύο προϋποθέσεις: 
. Δεδομένου ότι καμία από τις ρίζες της εξίσωσης που λήφθηκε παραπάνω δεν ταιριάζει με τις μη έγκυρες τιμές της μεταβλητής που λήφθηκαν κατά την επίλυση της δεύτερης ανισότητας, είναι και οι δύο λύσεις σε αυτήν την εξίσωση.
Απάντηση:.
Λοιπόν, ας διατυπώσουμε έναν αλγόριθμο για την επίλυση ορθολογικών εξισώσεων:
1. Μετακινήστε όλους τους όρους στην αριστερή πλευρά έτσι ώστε να ληφθεί το 0 στη δεξιά πλευρά.
2. Μετασχηματίστε και απλοποιήστε την αριστερή πλευρά, φέρτε όλα τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.
3. Εξισώστε το κλάσμα που προκύπτει με 0, σύμφωνα με τον ακόλουθο αλγόριθμο: 
.
4. Γράψτε τις ρίζες που προκύπτουν στην πρώτη εξίσωση και ικανοποιήστε τη δεύτερη ανισότητα ως απάντηση.
Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα.
Παράδειγμα 2
Λύστε την εξίσωση: .
Λύση
Στην αρχή μεταφέρουμε όλους τους όρους στο αριστερή πλευράώστε να παραμείνει το 0 στα δεξιά. Παίρνουμε:
Τώρα φέρνουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης σε έναν κοινό παρονομαστή:
Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα:
Η πρώτη εξίσωση του συστήματος είναι μια δευτεροβάθμια εξίσωση.
Οι συντελεστές αυτής της εξίσωσης: . Υπολογίζουμε τη διάκριση:
Παίρνουμε δύο ρίζες: ; .
Τώρα λύνουμε τη δεύτερη ανισότητα: το γινόμενο των παραγόντων δεν είναι ίσο με 0 εάν και μόνο εάν κανένας από τους παράγοντες δεν είναι ίσος με 0.
Πρέπει να πληρούνται δύο προϋποθέσεις: 
. Παίρνουμε ότι από τις δύο ρίζες της πρώτης εξίσωσης, μόνο μία είναι κατάλληλη - 3.
Απάντηση:.
Σε αυτό το μάθημα, θυμηθήκαμε τι είναι μια ορθολογική έκφραση και επίσης μάθαμε πώς να λύνουμε ορθολογικές εξισώσεις, οι οποίες ανάγονται σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.
Στο επόμενο μάθημα, θα εξετάσουμε τις ορθολογικές εξισώσεις ως μοντέλα πραγματικών καταστάσεων και θα εξετάσουμε επίσης προβλήματα κίνησης.
Βιβλιογραφία
- Μπασμάκοφ Μ.Ι. Άλγεβρα, 8η τάξη. - Μ.: Διαφωτισμός, 2004.
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra, 8. 5η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Άλγεβρα, 8η τάξη. Φροντιστήριο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα. - Μ.: Εκπαίδευση, 2006.
- Φεστιβάλ Παιδαγωγικών Ιδεών» Δημόσιο μάθημα" ().
- School.xvatit.com().
- Rudocs.exdat.com().
Εργασία για το σπίτι