Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον κατάλληλο διάδοχο τρίτο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
Συνεχίζουμε να μελετάμε τους λογάριθμους. Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσουμε για υπολογισμός λογαρίθμων, αυτή η διαδικασία ονομάζεται λογάριθμος. Αρχικά θα κατανοήσουμε τον υπολογισμό των λογαρίθμων εξ ορισμού. Στη συνέχεια, ας δούμε πώς βρίσκονται οι τιμές των λογαρίθμων χρησιμοποιώντας τις ιδιότητές τους. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στον υπολογισμό των λογαρίθμων μέσω των αρχικά καθορισμένων τιμών άλλων λογαρίθμων. Τέλος, ας μάθουμε πώς να χρησιμοποιούμε λογαριθμικούς πίνακες. Ολόκληρη η θεωρία παρέχεται με παραδείγματα με λεπτομερείς λύσεις.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Υπολογισμός λογαρίθμων εξ ορισμού
Στις πιο απλές περιπτώσεις είναι δυνατό να εκτελεστεί αρκετά γρήγορα και εύκολα βρίσκοντας τον λογάριθμο εξ ορισμού. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο πώς συμβαίνει αυτή η διαδικασία.
Η ουσία του είναι να αντιπροσωπεύει τον αριθμό b με τη μορφή a c, από τον οποίο, με τον ορισμό ενός λογάριθμου, ο αριθμός c είναι η τιμή του λογαρίθμου. Δηλαδή, εξ ορισμού, η ακόλουθη αλυσίδα ισοτήτων αντιστοιχεί στην εύρεση του λογάριθμου: log a b=log a a c =c.
Έτσι, ο υπολογισμός ενός λογάριθμου εξ ορισμού καταλήγει στην εύρεση ενός αριθμού c τέτοιο ώστε a c = b, και ο ίδιος ο αριθμός c είναι η επιθυμητή τιμή του λογαρίθμου.
Λαμβάνοντας υπόψη τις πληροφορίες στις προηγούμενες παραγράφους, όταν ο αριθμός κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου δίνεται από μια ορισμένη ισχύ της βάσης του λογαρίθμου, μπορείτε αμέσως να υποδείξετε με τι ισούται ο λογάριθμος - είναι ίσος με τον εκθέτη. Ας δείξουμε λύσεις σε παραδείγματα.
Παράδειγμα.
Βρείτε το log 2 2 −3 και υπολογίστε επίσης τον φυσικό λογάριθμο του αριθμού e 5,3.
Λύση.
Ο ορισμός του λογάριθμου μας επιτρέπει να πούμε αμέσως ότι log 2 2 −3 =−3. Πράγματι, ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι ίσος με τη βάση 2 προς την ισχύ −3.
Ομοίως, βρίσκουμε τον δεύτερο λογάριθμο: lne 5.3 =5.3.
Απάντηση:
log 2 2 −3 =−3 και lne 5,3 =5,3.
Εάν ο αριθμός b κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου δεν προσδιορίζεται ως δύναμη της βάσης του λογαρίθμου, τότε πρέπει να κοιτάξετε προσεκτικά για να δείτε εάν είναι δυνατόν να καταλήξετε σε μια αναπαράσταση του αριθμού b με τη μορφή a c . Συχνά αυτή η αναπαράσταση είναι αρκετά προφανής, ειδικά όταν ο αριθμός κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου είναι ίσος με τη βάση προς τη δύναμη του 1, ή 2, ή 3, ...
Παράδειγμα.
Υπολογίστε τους λογαρίθμους log 5 25 και .
Λύση.
Είναι εύκολο να δούμε ότι 25=5 2, αυτό σας επιτρέπει να υπολογίσετε τον πρώτο λογάριθμο: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Ας προχωρήσουμε στον υπολογισμό του δεύτερου λογάριθμου. Ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη 7: 
(δείτε αν χρειάζεται). Ως εκ τούτου, 
.
Ας ξαναγράψουμε τον τρίτο λογάριθμο με την παρακάτω μορφή. Τώρα μπορείτε να το δείτε αυτό 
, από το οποίο συμπεραίνουμε ότι 
. Επομένως, με τον ορισμό του λογάριθμου 
.
Εν συντομία, η λύση θα μπορούσε να γραφτεί ως εξής: .
Απάντηση:
ημερολόγιο 5 25=2, 
Και .
Όταν κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου υπάρχει ένα αρκετά μεγάλο φυσικός αριθμός, τότε δεν θα ήταν κακό να το αποσυνθέσετε σε πρωταρχικούς παράγοντες. Συχνά βοηθάει να αναπαραστήσουμε έναν τέτοιο αριθμό ως κάποια δύναμη της βάσης του λογαρίθμου, και επομένως να υπολογίσουμε αυτόν τον λογάριθμο εξ ορισμού.
Παράδειγμα.
Βρείτε την τιμή του λογάριθμου.
Λύση.
Ορισμένες ιδιότητες των λογαρίθμων σας επιτρέπουν να καθορίσετε αμέσως την τιμή των λογαρίθμων. Αυτές οι ιδιότητες περιλαμβάνουν την ιδιότητα του λογαρίθμου μιας μονάδας και την ιδιότητα του λογάριθμου ενός αριθμού, ίσο με τη βάση: log 1 1=log a a 0 =0 και log a a=log a a 1 =1 . Όταν δηλαδή κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου υπάρχει αριθμός 1 ή αριθμός α ίσος με τη βάση του λογαρίθμου, τότε σε αυτές τις περιπτώσεις οι λογάριθμοι είναι ίσοι με 0 και 1, αντίστοιχα.
Παράδειγμα.
Με τι ισούνται οι λογάριθμοι και το log10;
Λύση.
Αφού , τότε από τον ορισμό του λογάριθμου προκύπτει 
.
Στο δεύτερο παράδειγμα, ο αριθμός 10 κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου συμπίπτει με τη βάση του, άρα ο δεκαδικός λογάριθμος του δέκα είναι ίσος με ένα, δηλαδή lg10=lg10 1 =1.
Απάντηση:
ΚΑΙ lg10=1.
Σημειώστε ότι ο υπολογισμός των λογαρίθμων εξ ορισμού (που συζητήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο) συνεπάγεται τη χρήση του log ισότητας a a p =p, που είναι μια από τις ιδιότητες των λογαρίθμων.
Στην πράξη, όταν ένας αριθμός κάτω από το σύμβολο του λογάριθμου και η βάση του λογαρίθμου αναπαρίστανται εύκολα ως δύναμη ενός συγκεκριμένου αριθμού, είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιηθεί ο τύπος 
, που αντιστοιχεί σε μία από τις ιδιότητες των λογαρίθμων. Ας δούμε ένα παράδειγμα εύρεσης λογάριθμου που επεξηγεί τη χρήση αυτού του τύπου.
Παράδειγμα.
Υπολογίστε τον λογάριθμο.
Λύση.
Απάντηση:
.
Οι ιδιότητες των λογαρίθμων που δεν αναφέρονται παραπάνω χρησιμοποιούνται επίσης στους υπολογισμούς, αλλά θα μιλήσουμε για αυτό στις επόμενες παραγράφους.
Εύρεση λογαρίθμων μέσω άλλων γνωστών λογαρίθμων
Οι πληροφορίες σε αυτήν την παράγραφο συνεχίζουν το θέμα της χρήσης των ιδιοτήτων των λογαρίθμων κατά τον υπολογισμό τους. Αλλά εδώ η κύρια διαφορά είναι ότι οι ιδιότητες των λογαρίθμων χρησιμοποιούνται για να εκφράσουν τον αρχικό λογάριθμο με όρους άλλου λογάριθμου, η τιμή του οποίου είναι γνωστή. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα για διευκρίνιση. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε ότι το log 2 3≈1.584963, τότε μπορούμε να βρούμε, για παράδειγμα, το log 2 6 κάνοντας έναν μικρό μετασχηματισμό χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του λογαρίθμου: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Στο παραπάνω παράδειγμα, αρκούσε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου ενός προϊόντος. Ωστόσο, πολύ πιο συχνά είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθεί ένα ευρύτερο οπλοστάσιο ιδιοτήτων των λογαρίθμων προκειμένου να υπολογιστεί ο αρχικός λογάριθμος μέσω των δεδομένων.
Παράδειγμα.
Υπολογίστε τον λογάριθμο του 27 στη βάση του 60 αν γνωρίζετε ότι το log 60 2=a και το log 60 5=b.
Λύση.
Πρέπει λοιπόν να βρούμε το αρχείο καταγραφής 60 27 . Είναι εύκολο να δούμε ότι 27 = 3 3 , και ο αρχικός λογάριθμος, λόγω της ιδιότητας του λογάριθμου της ισχύος, μπορεί να ξαναγραφτεί ως 3·log 60 3 .
Τώρα ας δούμε πώς να εκφράσουμε το log 60 3 με όρους γνωστών λογαρίθμων. Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός αριθμού ίσου με τη βάση μας επιτρέπει να γράψουμε το ημερολόγιο ισότητας 60 60=1. Από την άλλη πλευρά, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Ετσι, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Ως εκ τούτου, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Τέλος, υπολογίζουμε τον αρχικό λογάριθμο: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Απάντηση:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Ξεχωριστά, αξίζει να αναφερθεί η έννοια του τύπου για τη μετάβαση σε μια νέα βάση του λογάριθμου της μορφής 
. Σας επιτρέπει να μετακινηθείτε από λογάριθμους με οποιαδήποτε βάση σε λογάριθμους με συγκεκριμένη βάση, οι τιμές των οποίων είναι γνωστές ή είναι δυνατό να τις βρείτε. Συνήθως, από τον αρχικό λογάριθμο, χρησιμοποιώντας τον τύπο μετάβασης, μετακινούνται σε λογάριθμους σε μία από τις βάσεις 2, e ή 10, αφού για αυτές τις βάσεις υπάρχουν πίνακες λογαρίθμων που επιτρέπουν τον υπολογισμό των τιμών τους με έναν ορισμένο βαθμό ακρίβεια. Στην επόμενη παράγραφο θα δείξουμε πώς γίνεται αυτό.
Πίνακες λογαρίθμων και χρήσεις τους
Για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό των λογαριθμικών τιμών μπορούν να χρησιμοποιηθούν πίνακες λογαρίθμων. Ο πιο συχνά χρησιμοποιούμενος πίνακας λογαρίθμων βάσης 2 είναι ο πίνακας φυσικούς λογάριθμουςκαι πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων. Όταν εργάζεστε στο σύστημα δεκαδικών αριθμών, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε έναν πίνακα λογαρίθμων με βάση τη βάση δέκα. Με τη βοήθειά του θα μάθουμε να βρίσκουμε τις τιμές των λογαρίθμων.
Ο παρουσιαζόμενος πίνακας σας επιτρέπει να βρείτε τις τιμές των δεκαδικών λογαρίθμων αριθμών από 1.000 έως 9.999 (με τρία δεκαδικά ψηφία) με ακρίβεια ενός δέκατου χιλιοστού. Θα αναλύσουμε την αρχή της εύρεσης της τιμής ενός λογαρίθμου χρησιμοποιώντας έναν πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων σε συγκεκριμένο παράδειγμα– είναι πιο ξεκάθαρο έτσι. Ας βρούμε το log1.256.
Στην αριστερή στήλη του πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων βρίσκουμε τα δύο πρώτα ψηφία του αριθμού 1,256, δηλαδή βρίσκουμε το 1,2 (αυτός ο αριθμός είναι κυκλωμένος με μπλε για ευκρίνεια). Το τρίτο ψηφίο του αριθμού 1.256 (ψηφίο 5) βρίσκεται στην πρώτη ή την τελευταία γραμμή στα αριστερά της διπλής γραμμής (ο αριθμός αυτός είναι κυκλωμένος με κόκκινο χρώμα). Το τέταρτο ψηφίο του αρχικού αριθμού 1.256 (ψηφίο 6) βρίσκεται στην πρώτη ή την τελευταία γραμμή στα δεξιά της διπλής γραμμής (ο αριθμός αυτός κυκλώνεται με μια πράσινη γραμμή). Τώρα βρίσκουμε τους αριθμούς στα κελιά του πίνακα λογαρίθμων στη διασταύρωση της επισημασμένης γραμμής και των στηλών (αυτοί οι αριθμοί επισημαίνονται πορτοκάλι). Το άθροισμα των σημειωμένων αριθμών δίνει την επιθυμητή τιμή του δεκαδικού λογάριθμου με ακρίβεια στο τέταρτο δεκαδικό ψηφίο, δηλαδή log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Είναι δυνατόν, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα, να βρούμε τις τιμές των δεκαδικών λογαρίθμων αριθμών που έχουν περισσότερα από τρία ψηφία μετά την υποδιαστολή, καθώς και εκείνων που ξεπερνούν το εύρος από 1 έως 9,999; Ναι μπορείς. Ας δείξουμε πώς γίνεται αυτό με ένα παράδειγμα.
Ας υπολογίσουμε το lg102.76332. Πρώτα πρέπει να γράψετε αριθμός σε τυπική μορφή: 102.76332=1.0276332·10 2. Μετά από αυτό, η μάντισσα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο, έχουμε 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, ενώ ο αρχικός δεκαδικός λογάριθμος είναι περίπου ίσος με τον λογάριθμο του προκύπτοντος αριθμού, δηλαδή παίρνουμε log102.76332≈lg1.028·10 2. Τώρα εφαρμόζουμε τις ιδιότητες του λογάριθμου: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Τέλος, βρίσκουμε την τιμή του λογαρίθμου lg1.028 από τον πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Ως αποτέλεσμα, ολόκληρη η διαδικασία υπολογισμού του λογαρίθμου μοιάζει με αυτό: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
Συμπερασματικά, αξίζει να σημειωθεί ότι χρησιμοποιώντας τον πίνακα δεκαδικών λογαρίθμων μπορείτε να υπολογίσετε την κατά προσέγγιση τιμή οποιουδήποτε λογαρίθμου. Για να γίνει αυτό, αρκεί να χρησιμοποιήσετε τον τύπο μετάβασης για να μεταβείτε δεκαδικούς λογάριθμους, βρείτε τις τιμές τους στον πίνακα και εκτελέστε τους υπόλοιπους υπολογισμούς.
Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το αρχείο καταγραφής 2 3 . Σύμφωνα με τον τύπο μετάβασης σε νέα βάση του λογάριθμου, έχουμε . Από τον πίνακα των δεκαδικών λογαρίθμων βρίσκουμε log3≈0,4771 και log2≈0,3010. Ετσι, 
.
Βιβλιογραφία.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10 - 11 των ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους μπαίνουν σε τεχνικές σχολές).
Όπως γνωρίζετε, κατά τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων με δυνάμεις, οι εκθέτες τους αθροίζονται πάντα (a b *a c = a b+c). Αυτός ο μαθηματικός νόμος προήλθε από τον Αρχιμήδη, και αργότερα, τον 8ο αιώνα, ο μαθηματικός Virasen δημιούργησε έναν πίνακα με ακέραιους εκθέτες. Ήταν αυτοί που χρησίμευσαν για την περαιτέρω ανακάλυψη των λογαρίθμων. Παραδείγματα χρήσης αυτής της συνάρτησης μπορούν να βρεθούν σχεδόν παντού όπου χρειάζεται να απλοποιήσετε τον περίπλοκο πολλαπλασιασμό με απλή πρόσθεση. Εάν αφιερώσετε 10 λεπτά για να διαβάσετε αυτό το άρθρο, θα σας εξηγήσουμε τι είναι οι λογάριθμοι και πώς να εργαστείτε με αυτούς. Σε απλή και προσιτή γλώσσα.
Ορισμός στα μαθηματικά
Ένας λογάριθμος είναι μια έκφραση της ακόλουθης μορφής: log a b=c, δηλαδή, ο λογάριθμος οποιουδήποτε μη αρνητικού αριθμού (δηλαδή οποιουδήποτε θετικού) "b" στη βάση του "a" θεωρείται ότι είναι η δύναμη "c ” στην οποία πρέπει να αυξηθεί η βάση “a” για να ληφθεί τελικά η τιμή “b”. Ας αναλύσουμε τον λογάριθμο χρησιμοποιώντας παραδείγματα, ας πούμε ότι υπάρχει μια έκφραση log 2 8. Πώς να βρείτε την απάντηση; Είναι πολύ απλό, πρέπει να βρείτε μια ισχύ τέτοια ώστε από το 2 στην απαιτούμενη ισχύ να παίρνετε 8. Αφού κάνετε κάποιους υπολογισμούς στο κεφάλι σας, παίρνουμε τον αριθμό 3! Και αυτό είναι αλήθεια, γιατί το 2 στη δύναμη του 3 δίνει την απάντηση ως 8.
Τύποι λογαρίθμων
Για πολλούς μαθητές και φοιτητές, αυτό το θέμα φαίνεται περίπλοκο και ακατανόητο, αλλά στην πραγματικότητα οι λογάριθμοι δεν είναι τόσο τρομακτικοί, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τη γενική τους σημασία και να θυμόμαστε τις ιδιότητές τους και ορισμένους κανόνες. Υπάρχουν τρεις διαφορετικοί τύποι λογαριθμικών παραστάσεων:
- Φυσικός λογάριθμος ln a, όπου η βάση είναι ο αριθμός Euler (e = 2,7).
- Δεκαδικό α, όπου η βάση είναι 10.
- Λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού b στη βάση a>1.
Κάθε ένα από αυτά επιλύεται με έναν τυπικό τρόπο, συμπεριλαμβανομένης της απλοποίησης, της αναγωγής και της επακόλουθης αναγωγής σε έναν μόνο λογάριθμο χρησιμοποιώντας λογαριθμικά θεωρήματα. Για να λάβετε τις σωστές τιμές των λογαρίθμων, θα πρέπει να θυμάστε τις ιδιότητές τους και τη σειρά των ενεργειών κατά την επίλυσή τους.
Κανόνες και ορισμένοι περιορισμοί
Στα μαθηματικά υπάρχουν αρκετοί κανόνες-περιορισμοί που γίνονται δεκτοί ως αξίωμα, δηλαδή δεν υπόκεινται σε συζήτηση και είναι η αλήθεια. Για παράδειγμα, είναι αδύνατο να διαιρεθούν οι αριθμοί με το μηδέν, και είναι επίσης αδύνατο να εξαχθεί η ζυγή ρίζα των αρνητικών αριθμών. Οι λογάριθμοι έχουν επίσης τους δικούς τους κανόνες, ακολουθώντας τους οποίους μπορείτε εύκολα να μάθετε να εργάζεστε ακόμη και με μεγάλες και μεγάλες λογαριθμικές εκφράσεις:
- Η βάση "a" πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερη από το μηδέν και όχι ίση με 1, διαφορετικά η έκφραση θα χάσει το νόημά της, επειδή το "1" και το "0" σε οποιοδήποτε βαθμό είναι πάντα ίσα με τις τιμές τους.
- εάν a > 0, τότε a b >0, αποδεικνύεται ότι το "c" πρέπει επίσης να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν.
Πώς να λύσετε λογάριθμους;
Για παράδειγμα, δίνεται η εργασία να βρείτε την απάντηση στην εξίσωση 10 x = 100. Αυτό είναι πολύ εύκολο, πρέπει να επιλέξετε μια δύναμη αυξάνοντας τον αριθμό δέκα στον οποίο λαμβάνουμε 100. Αυτό, φυσικά, είναι 10 2 = 100.
Τώρα ας αναπαραστήσουμε αυτήν την έκφραση σε λογαριθμική μορφή. Παίρνουμε log 10 100 = 2. Κατά την επίλυση λογαρίθμων, όλες οι ενέργειες πρακτικά συγκλίνουν για να βρούμε την ισχύ στην οποία είναι απαραίτητο να εισαγάγουμε τη βάση του λογαρίθμου για να λάβουμε έναν δεδομένο αριθμό.
Για να προσδιορίσετε με ακρίβεια την τιμή άγνωστο πτυχίοπρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε με τον πίνακα βαθμών. Μοιάζει με αυτό:
Όπως μπορείτε να δείτε, ορισμένοι εκθέτες μπορούν να μαντευτούν διαισθητικά εάν έχετε τεχνικό μυαλό και γνώση του πίνακα πολλαπλασιασμού. Ωστόσο για μεγάλες αξίεςθα χρειαστείτε έναν πίνακα πτυχίων. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ακόμα και από εκείνους που δεν γνωρίζουν απολύτως τίποτα για πολύπλοκα μαθηματικά θέματα. Η αριστερή στήλη περιέχει αριθμούς (βάση α), η επάνω σειρά αριθμών είναι η τιμή της δύναμης c στην οποία αυξάνεται ο αριθμός a. Στη διασταύρωση, τα κελιά περιέχουν τις αριθμητικές τιμές που είναι η απάντηση (a c =b). Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το πρώτο κελί με τον αριθμό 10 και τετράγωνο το, παίρνουμε την τιμή 100, η οποία υποδεικνύεται στην τομή των δύο κελιών μας. Όλα είναι τόσο απλά και εύκολα που θα καταλάβει και ο πιο αληθινός ανθρωπιστής!
Εξισώσεις και ανισώσεις
Αποδεικνύεται ότι υπό ορισμένες συνθήκες ο εκθέτης είναι ο λογάριθμος. Επομένως, οποιεσδήποτε μαθηματικές αριθμητικές εκφράσεις μπορούν να γραφτούν ως λογαριθμική ισότητα. Για παράδειγμα, το 3 4 = 81 μπορεί να γραφτεί ως ο βασικός 3 λογάριθμος του 81 ίσος με τέσσερα (log 3 81 = 4). Για αρνητικές δυνάμειςοι κανόνες είναι οι ίδιοι: 2 -5 = 1/32 το γράφουμε ως λογάριθμο, παίρνουμε log 2 (1/32) = -5. Ένα από τα πιο συναρπαστικά τμήματα των μαθηματικών είναι το θέμα των «λογαρίθμων». Παραδείγματα και λύσεις εξισώσεων θα δούμε παρακάτω, αμέσως μετά τη μελέτη των ιδιοτήτων τους. Τώρα ας δούμε πώς μοιάζουν οι ανισότητες και πώς να τις διακρίνουμε από τις εξισώσεις.
Δίνεται η ακόλουθη έκφραση: log 2 (x-1) > 3 - είναι λογαριθμική ανισότητα, αφού η άγνωστη τιμή «x» βρίσκεται κάτω από το λογαριθμικό πρόσημο. Και επίσης στην έκφραση συγκρίνονται δύο ποσότητες: ο λογάριθμος του επιθυμητού αριθμού στη βάση δύο είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό τρία.
Η πιο σημαντική διαφορά μεταξύ λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων είναι ότι οι εξισώσεις με λογάριθμους (για παράδειγμα, ο λογάριθμος 2 x = √9) υποδηλώνουν μία ή περισσότερες συγκεκριμένες απαντήσεις. αριθμητικές τιμές, ενώ κατά την επίλυση της ανισότητας προσδιορίζονται τόσο το εύρος των επιτρεπόμενων τιμών όσο και τα σημεία διακοπής αυτής της συνάρτησης. Κατά συνέπεια, η απάντηση δεν είναι ένα απλό σύνολο μεμονωμένων αριθμών, όπως στην απάντηση σε μια εξίσωση, αλλά μια συνεχής σειρά ή σύνολο αριθμών.
Βασικά θεωρήματα για τους λογάριθμους
Κατά την επίλυση πρωτόγονων εργασιών εύρεσης των τιμών του λογάριθμου, οι ιδιότητές του μπορεί να μην είναι γνωστές. Ωστόσο, όταν πρόκειται για λογαριθμικές εξισώσεις ή ανισώσεις, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε με σαφήνεια και να εφαρμόσουμε στην πράξη όλες τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Θα δούμε παραδείγματα εξισώσεων αργότερα, ας δούμε πρώτα κάθε ιδιότητα με περισσότερες λεπτομέρειες.
- Η κύρια ταυτότητα μοιάζει με αυτό: a logaB =B. Ισχύει μόνο όταν το α είναι μεγαλύτερο από 0, όχι ίσο με ένα και το Β είναι μεγαλύτερο από μηδέν.
- Ο λογάριθμος του προϊόντος μπορεί να αναπαρασταθεί με τον ακόλουθο τύπο: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Στην περίπτωση αυτή προαπαιτούμενοείναι: d, s 1 και s 2 > 0; a≠1. Μπορείτε να δώσετε μια απόδειξη για αυτόν τον λογαριθμικό τύπο, με παραδείγματα και λύση. Έστω log a s 1 = f 1 και log a s 2 = f 2, μετά a f1 = s 1, a f2 = s 2. Λαμβάνουμε ότι s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ιδιότητες του μοίρες ), και μετά εξ ορισμού: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.
- Ο λογάριθμος του πηλίκου μοιάζει με αυτό: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Το θεώρημα με τη μορφή τύπου παίρνει την ακόλουθη μορφή: log a q b n = n/q log a b.
Αυτός ο τύπος ονομάζεται «ιδιότητα του βαθμού του λογάριθμου». Μοιάζει με τις ιδιότητες των συνηθισμένων βαθμών και δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί όλα τα μαθηματικά βασίζονται σε φυσικά αξιώματα. Ας δούμε την απόδειξη.
Έστω log a b = t, προκύπτει t =b. Αν υψώσουμε και τα δύο μέρη στην ισχύ m: a tn = b n ;
αλλά εφόσον a tn = (a q) nt/q = b n, επομένως log a q b n = (n*t)/t, τότε log a q b n = n/q log a b. Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.
Παραδείγματα προβλημάτων και ανισοτήτων
Οι πιο συνηθισμένοι τύποι προβλημάτων στους λογάριθμους είναι παραδείγματα εξισώσεων και ανισώσεων. Βρίσκονται σχεδόν σε όλα τα προβληματικά βιβλία και αποτελούν επίσης υποχρεωτικό μέρος των εξετάσεων μαθηματικών. Για να εισέλθετε σε ένα πανεπιστήμιο ή να περάσετε εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά, πρέπει να ξέρετε πώς να επιλύσετε σωστά τέτοιες εργασίες.
Δυστυχώς, δεν υπάρχει ένα ενιαίο σχέδιο ή σχήμα για την επίλυση και τον προσδιορισμό της άγνωστης τιμής του λογαρίθμου, ωστόσο, μπορεί να εφαρμοστεί σε κάθε μαθηματική ανισότητα ή λογαριθμική εξίσωση ορισμένους κανόνες. Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να μάθετε εάν η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί ή να οδηγήσει σε γενική εμφάνιση. Απλοποιήστε τις μακριές λογαριθμικές εκφράσειςείναι δυνατό αν χρησιμοποιείτε σωστά τις ιδιότητες τους. Ας τους γνωρίσουμε γρήγορα.
Όταν αποφασίζει λογαριθμικές εξισώσεις, θα πρέπει να καθορίσουμε ποιον τύπο λογάριθμου έχουμε: μια παράσταση παραδείγματος μπορεί να περιέχει έναν φυσικό λογάριθμο ή έναν δεκαδικό.
Ακολουθούν παραδείγματα ln100, ln1026. Η λύση τους συνοψίζεται στο γεγονός ότι πρέπει να καθορίσουν την ισχύ στην οποία η βάση 10 θα είναι ίση με 100 και 1026, αντίστοιχα. Για να λύσετε φυσικούς λογάριθμους, πρέπει να εφαρμόσετε λογαριθμικές ταυτότητες ή τις ιδιότητές τους. Ας δούμε τη λύση με παραδείγματα λογαριθμικά προβλήματαΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ.
Πώς να χρησιμοποιήσετε τους τύπους λογαρίθμων: με παραδείγματα και λύσεις
Ας δούμε λοιπόν παραδείγματα χρήσης των βασικών θεωρημάτων για τους λογαρίθμους.
- Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός προϊόντος μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε εργασίες όπου είναι απαραίτητο να επεκταθεί μεγάλης σημασίαςτους αριθμούς β σε απλούστερους παράγοντες. Για παράδειγμα, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Η απάντηση είναι 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - όπως μπορείτε να δείτε, χρησιμοποιώντας την τέταρτη ιδιότητα της λογαριθμικής ισχύος, καταφέραμε να λύσουμε μια φαινομενικά πολύπλοκη και άλυτη έκφραση. Απλά πρέπει να συνυπολογίσετε τη βάση και στη συνέχεια να αφαιρέσετε τις τιμές εκθέτη από το πρόσημο του λογαρίθμου.
Εργασίες από την Ενιαία Κρατική Εξέταση
Οι λογάριθμοι συναντώνται συχνά στις εισαγωγικές εξετάσεις, ειδικά πολλά λογαριθμικά προβλήματα στην Ενιαία Κρατική Εξέταση (κρατική εξέταση για όλους τους αποφοίτους σχολείων). Συνήθως, αυτές οι εργασίες υπάρχουν όχι μόνο στο μέρος Α (το πιο εύκολο τεστ της εξέτασης), αλλά και στο μέρος Γ (οι πιο περίπλοκες και ογκώδεις εργασίες). Η εξέταση απαιτεί ακριβή και τέλεια γνώση του θέματος «Φυσικοί λογάριθμοι».
Παραδείγματα και λύσεις στα προβλήματα λαμβάνονται από επίσημους Επιλογές Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Ας δούμε πώς επιλύονται τέτοιες εργασίες.
Δίνεται log 2 (2x-1) = 4. Λύση:
ας ξαναγράψουμε την παράσταση, απλοποιώντας την λίγο log 2 (2x-1) = 2 2, με τον ορισμό του λογάριθμου παίρνουμε ότι 2x-1 = 2 4, άρα 2x = 17. x = 8,5.
- Είναι καλύτερο να μειώσετε όλους τους λογάριθμους στην ίδια βάση, έτσι ώστε η λύση να μην είναι δυσκίνητη και μπερδεμένη.
- Όλες οι εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου υποδεικνύονται ως θετικές, επομένως, όταν ο εκθέτης μιας παράστασης που βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογάριθμου και ως βάση της αφαιρείται ως πολλαπλασιαστής, η παράσταση που παραμένει κάτω από τον λογάριθμο πρέπει να είναι θετική.
Ας ξεκινήσουμε με ιδιότητες του λογάριθμου του ενός. Η διατύπωσή του έχει ως εξής: ο λογάριθμος της ενότητας είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή καταγράψτε ένα 1=0για οποιοδήποτε a>0, a≠1. Η απόδειξη δεν είναι δύσκολη: αφού ένα 0 =1 για οποιοδήποτε a ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες a>0 και a≠1, τότε το log ισότητας a 1=0 που πρέπει να αποδειχθεί προκύπτει αμέσως από τον ορισμό του λογαρίθμου.
Ας δώσουμε παραδείγματα εφαρμογής της εξεταζόμενης ιδιότητας: log 3 1=0, log1=0 και .
Ας προχωρήσουμε στο επόμενο ακίνητο: ο λογάριθμος ενός αριθμού ίσου με τη βάση είναι ίσος με ένα, αυτό είναι, καταγραφή a a=1για a>0, a≠1. Πράγματι, εφόσον a 1 =a για οποιοδήποτε a, τότε εξ ορισμού του λογαρίθμου log a a=1.
Παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων είναι οι ισότητες log 5 5=1, log 5.6 5.6 και lne=1.
Για παράδειγμα, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 και 
.
Λογάριθμος του γινομένου δύο θετικών αριθμών x και y ίσο με το γινόμενολογάριθμοι αυτών των αριθμών: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Ας αποδείξουμε την ιδιότητα του λογάριθμου ενός γινομένου. Λόγω των ιδιοτήτων του πτυχίου a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, και εφόσον από την κύρια λογαριθμική ταυτότητα ένα log a x =x και ένα log a y =y, τότε ένα log a x ·a log a y =x·y. Έτσι, ένα log a x+log a y =x·y, από το οποίο, με τον ορισμό ενός λογάριθμου, προκύπτει η ισότητα που αποδεικνύεται.
Ας δείξουμε παραδείγματα χρήσης της ιδιότητας του λογάριθμου ενός προϊόντος: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 και 
.
Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός γινομένου μπορεί να γενικευτεί στο γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού n θετικών αριθμών x 1 , x 2 , …, x n ως log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Αυτή η ισότητα μπορεί να αποδειχθεί χωρίς προβλήματα.
Για παράδειγμα, ο φυσικός λογάριθμος του γινομένου μπορεί να αντικατασταθεί από το άθροισμα τριών φυσικών λογαρίθμων των αριθμών 4, e και.
Λογάριθμος του πηλίκου δύο θετικών αριθμών x και y ίσο με τη διαφοράλογάριθμους αυτών των αριθμών. Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός πηλίκου αντιστοιχεί σε έναν τύπο της μορφής , όπου a>0, a≠1, x και y είναι κάποιοι θετικοί αριθμοί. Η εγκυρότητα αυτού του τύπου αποδεικνύεται καθώς και ο τύπος για τον λογάριθμο ενός προϊόντος: αφού 
, τότε εξ ορισμού λογάριθμου.
Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης αυτής της ιδιότητας του λογάριθμου: 
.
Ας προχωρήσουμε στο ιδιότητα του λογάριθμου της ισχύος. Ο λογάριθμος μιας μοίρας είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη και το λογάριθμο του συντελεστή μέτρησης της βάσης αυτού του βαθμού. Ας γράψουμε αυτή την ιδιότητα του λογάριθμου μιας δύναμης ως τύπο: log a b p =p·log a |b|, όπου a>0, a≠1, b και p είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε ο βαθμός b p έχει νόημα και b p >0.
Αρχικά αποδεικνύουμε αυτή την ιδιότητα ως θετική β. Βασικά λογαριθμική ταυτότηταμας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τον αριθμό b ως log a b , μετά b p =(a log a b) p , και η παράσταση που προκύπτει, λόγω της ιδιότητας της ισχύος, είναι ίση με a p·log a b . Άρα καταλήγουμε στην ισότητα b p =a p·log a b, από την οποία, με τον ορισμό ενός λογάριθμου, συμπεραίνουμε ότι log a b p =p·log a b.
Μένει να αποδειχθεί αυτή η ιδιότητα για αρνητικό β. Εδώ σημειώνουμε ότι η έκφραση log a b p για αρνητικό b έχει νόημα μόνο για άρτιους εκθέτες p (καθώς η τιμή του βαθμού b p πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, διαφορετικά ο λογάριθμος δεν θα έχει νόημα), και σε αυτή την περίπτωση b p =|b| Π. Επειτα b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, από όπου log a b p =p·log a |b| .
Για παράδειγμα, 
και ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Προκύπτει από το προηγούμενο ακίνητο ιδιότητα του λογάριθμου από τη ρίζα: ο λογάριθμος της νης ρίζας είναι ίσος με το γινόμενο του κλάσματος 1/n από τον λογάριθμο της ριζικής έκφρασης, δηλαδή, 
, όπου a>0, a≠1, n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του ενός, b>0.
Η απόδειξη βασίζεται στην ισότητα (βλ.), που ισχύει για κάθε θετικό b, και στην ιδιότητα του λογάριθμου της ισχύος: 
.
Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης αυτής της ιδιότητας: 
.
Τώρα ας αποδείξουμε τύπος για μετάβαση σε νέα βάση λογαρίθμουείδος 
. Για να γίνει αυτό, αρκεί να αποδείξουμε την εγκυρότητα του log ισότητας c b=log a b·log c a. Η βασική λογαριθμική ταυτότητα μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τον αριθμό b ως log a b , μετά το log c b=log c a log a b . Απομένει να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού: log c a log a b =log a b log c α. Αυτό αποδεικνύει την ισότητα log c b=log a b·log c a, που σημαίνει ότι έχει αποδειχθεί και ο τύπος μετάβασης σε νέα βάση του λογάριθμου.
Ας δείξουμε μερικά παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων: και 
.
Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση σάς επιτρέπει να προχωρήσετε στην εργασία με λογάριθμους που έχουν «βολική» βάση. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μετάβαση σε φυσικούς ή δεκαδικούς λογάριθμους, ώστε να μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή ενός λογαρίθμου από έναν πίνακα λογαρίθμων. Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση λογαρίθμου επιτρέπει επίσης, σε ορισμένες περιπτώσεις, να βρεθεί η τιμή ενός δεδομένου λογαρίθμου όταν είναι γνωστές οι τιμές ορισμένων λογαρίθμων με άλλες βάσεις.
Συχνά χρησιμοποιείται μια ειδική περίπτωση του τύπου για μετάβαση σε νέα βάση λογαρίθμου για c=b της φόρμας 
. Αυτό δείχνει ότι το log a b και το log b a – . Π.χ, 
.
Η φόρμουλα χρησιμοποιείται επίσης συχνά 
, που είναι βολικό για την εύρεση λογαριθμικών τιμών. Για να επιβεβαιώσουμε τα λόγια μας, θα δείξουμε πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της τιμής ενός λογάριθμου της φόρμας . Εχουμε 
. Για να αποδείξουμε τον τύπο 
αρκεί να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για μετάβαση σε μια νέα βάση του λογάριθμου α: 
.
Μένει να αποδείξουμε τις ιδιότητες σύγκρισης των λογαρίθμων.
Ας αποδείξουμε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς b 1 και b 2, b 1 log a b 2 , και για a>1 – η ανισότητα log a b 1 Τέλος, μένει να αποδείξουμε την τελευταία από τις αναφερόμενες ιδιότητες των λογαρίθμων. Ας περιοριστούμε στην απόδειξη του πρώτου μέρους του, δηλαδή θα αποδείξουμε ότι αν ένα 1 >1, ένα 2 >1 και ένα 1 1 είναι αληθές log a 1 b>log a 2 b . Οι υπόλοιπες δηλώσεις αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων αποδεικνύονται σύμφωνα με παρόμοια αρχή. Ας χρησιμοποιήσουμε την αντίθετη μέθοδο. Ας υποθέσουμε ότι για ένα 1 >1, ένα 2 >1 και ένα 1 1 είναι αληθές log a 1 b≤log a 2 b . Με βάση τις ιδιότητες των λογαρίθμων, αυτές οι ανισότητες μπορούν να ξαναγραφτούν ως 
Και 
αντίστοιχα, και από αυτά προκύπτει ότι το log b a 1 ≤log b a 2 και το log b a 1 ≥log b a 2, αντίστοιχα. Τότε, σύμφωνα με τις ιδιότητες των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις, πρέπει να ισχύουν οι ισότητες b log b a 1 ≥b log b a 2 και b log b a 1 ≥b log b a 2, δηλαδή a 1 ≥a 2 . Έτσι καταλήξαμε σε μια αντίφαση με την συνθήκη a 1
Βιβλιογραφία.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10 - 11 των ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους μπαίνουν σε τεχνικές σχολές).
Σήμερα θα μιλήσουμε για λογαριθμικούς τύπουςκαι θα δώσουμε ενδεικτικά παραδείγματα λύσεων.
Οι ίδιοι υπονοούν μοτίβα λύσεων σύμφωνα με τις βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων. Προτού εφαρμόσουμε λογαριθμικούς τύπους για επίλυση, ας σας υπενθυμίσουμε όλες τις ιδιότητες:
Τώρα, με βάση αυτούς τους τύπους (ιδιότητες), θα δείξουμε παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων.
Παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων με βάση τύπους.
Λογάριθμοςένας θετικός αριθμός b στη βάση του a (που συμβολίζεται με log a b) είναι ένας εκθέτης στον οποίο πρέπει να αυξηθεί το a για να ληφθεί b, με b > 0, a > 0 και 1.
Σύμφωνα με τον ορισμό, log a b = x, που είναι ισοδύναμο με a x = b, επομένως log a a x = x.
Λογάριθμοι, παραδείγματα:
log 2 8 = 3, επειδή 2 3 = 8
log 7 49 = 2, επειδή 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, επειδή 5 -1 = 1/5
Δεκαδικός λογάριθμος- αυτός είναι ένας συνηθισμένος λογάριθμος, του οποίου η βάση είναι 10. Συμβολίζεται ως lg.
log 10 100 = 2, επειδή 10 2 = 100
Φυσικός λογάριθμος- επίσης συνηθισμένος λογάριθμος, λογάριθμος, αλλά με βάση e (e = 2,71828... - άρρητος αριθμός). Συμβολίζεται ως ln.
Συνιστάται να απομνημονεύουμε τους τύπους ή τις ιδιότητες των λογαρίθμων, γιατί θα τους χρειαστούμε αργότερα κατά την επίλυση λογαρίθμων, λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων. Ας δουλέψουμε ξανά κάθε τύπο με παραδείγματα.
- Βασική λογαριθμική ταυτότητα
α ημερολόγιο α β = β8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Ο λογάριθμος του γινομένου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Ο λογάριθμος του πηλίκου είναι ίσος με τη διαφορά των λογαρίθμων
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Ιδιότητες της ισχύος ενός λογαριθμικού αριθμού και της βάσης του λογαρίθμου
Εκθέτης του λογαριθμικού αριθμού log a b m = mlog a b
Εκθέτης της βάσης του λογαρίθμου log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
αν m = n, παίρνουμε log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Μετάβαση σε νέα βάση
log a b = log c b/log c a,αν c = b, παίρνουμε το log b b = 1
τότε log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Όπως μπορείτε να δείτε, οι τύποι για τους λογάριθμους δεν είναι τόσο περίπλοκοι όσο φαίνονται. Τώρα, έχοντας εξετάσει παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων, μπορούμε να προχωρήσουμε στις λογαριθμικές εξισώσεις. Θα εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης λογαριθμικών εξισώσεων με περισσότερες λεπτομέρειες στο άρθρο: "". Μην χάσετε!
Εάν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις σχετικά με τη λύση, γράψτε τις στα σχόλια του άρθρου.
Σημείωση: αποφασίσαμε να λάβουμε μια διαφορετική τάξη εκπαίδευσης και να σπουδάσουμε στο εξωτερικό ως επιλογή.