Οι μέσες τιμές χρησιμοποιούνται ευρέως στις στατιστικές. Οι μέσες τιμές χαρακτηρίζουν δείκτες ποιότητας εμπορικές δραστηριότητες: κόστος διανομής, κέρδος, κερδοφορία κ.λπ.

Μεσαίο Αυτή είναι μια από τις πιο κοινές γενικεύσεις. Η σωστή κατανόηση της ουσίας του μέσου όρου καθορίζει την ιδιαίτερη σημασία του από την άποψη του οικονομία της αγοράς, όταν ο μέσος όρος μέσω του ατομικού και τυχαίου σας επιτρέπει να προσδιορίσετε το γενικό και απαραίτητο, να εντοπίσετε την τάση των προτύπων οικονομικής ανάπτυξης.

μέση αξία - αυτοί είναι γενικευτικοί δείκτες στους οποίους βρίσκουν έκφραση της δράσης γενικών συνθηκών, προτύπων του υπό μελέτη φαινομένου.

Οι στατιστικοί μέσοι όροι υπολογίζονται με βάση μαζικά δεδομένα σωστά οργανωμένης στατιστικά μαζικής παρατήρησης (συνεχούς και επιλεκτικής). Ωστόσο, ο στατιστικός μέσος όρος θα είναι αντικειμενικός και τυπικός εάν υπολογιστεί από μαζικά δεδομένα για έναν ποιοτικά ομοιογενή πληθυσμό (μαζικά φαινόμενα). Για παράδειγμα, αν υπολογίσουμε τους μέσους μισθούς σε συνεταιρισμούς και κρατικές επιχειρήσεις και επεκτείνουμε το αποτέλεσμα σε ολόκληρο τον πληθυσμό, τότε ο μέσος όρος είναι πλασματικός, αφού υπολογίζεται για έναν ετερογενή πληθυσμό και ένας τέτοιος μέσος όρος χάνει κάθε νόημα.

Με τη βοήθεια του μέσου όρου, υπάρχει, όπως λέμε, μια εξομάλυνση των διαφορών στο μέγεθος του χαρακτηριστικού που προκύπτουν για τον ένα ή τον άλλο λόγο σε μεμονωμένες μονάδες παρατήρησης.

Για παράδειγμα, η μέση απόδοση ενός πωλητή εξαρτάται από πολλούς παράγοντες: προσόντα, διάρκεια υπηρεσίας, ηλικία, μορφή υπηρεσίας, υγεία κ.λπ.

Η μέση παραγωγή αντικατοπτρίζει τη γενική ιδιοκτησία ολόκληρου του πληθυσμού.

Η μέση τιμή είναι μια αντανάκλαση των τιμών του υπό μελέτη χαρακτηριστικού, επομένως, μετράται στην ίδια διάσταση με αυτό το χαρακτηριστικό.

Καθε μέση αξίαχαρακτηρίζει τον πληθυσμό που μελετήθηκε σύμφωνα με οποιοδήποτε χαρακτηριστικό. Προκειμένου να έχουμε μια πλήρη και ολοκληρωμένη εικόνα του υπό μελέτη πληθυσμού ως προς μια σειρά βασικών χαρακτηριστικών, είναι γενικά απαραίτητο να υπάρχει ένα σύστημα μέσων τιμών που να μπορεί να περιγράψει το φαινόμενο από διαφορετικές οπτικές γωνίες.

Υπάρχουν διάφοροι μέσοι όροι:

αριθμητικός μέσος όρος;

γεωμετρικό μέσο;

μέση αρμονική?

ρίζα μέσο τετράγωνο?

χρονολογικός μέσος όρος.

Εξετάστε ορισμένους τύπους μέσων όρων που χρησιμοποιούνται πιο συχνά στις στατιστικές.

Αριθμητικός μέσος όρος

Ο απλός αριθμητικός μέσος όρος (μη σταθμισμένος) είναι ίσος με το άθροισμα των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού, διαιρούμενο με τον αριθμό αυτών των τιμών.

Οι επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού ονομάζονται παραλλαγές και συμβολίζονται με x (); ο αριθμός των πληθυσμιακών μονάδων συμβολίζεται με n, η μέση τιμή του χαρακτηριστικού - με . Επομένως, ο απλός αριθμητικός μέσος όρος είναι:

Σύμφωνα με τα δεδομένα της διακριτής σειράς διανομής, μπορεί να φανεί ότι οι ίδιες τιμές του χαρακτηριστικού (επιλογές) επαναλαμβάνονται πολλές φορές. Έτσι, η παραλλαγή x εμφανίζεται συνολικά 2 φορές, και η παραλλαγή x - 16 φορές, κ.λπ.

Αριθμός τις ίδιες αξίεςΤο χαρακτηριστικό στη σειρά διανομής ονομάζεται συχνότητα ή βάρος και συμβολίζεται με το σύμβολο n.

Υπολογίστε τον μέσο μισθό ανά εργαζόμενο σε ρούβλια:

Μισθολογικό ταμείο για κάθε ομάδα εργαζομένων είναι ίσο με το γινόμενοεπιλογές ανά συχνότητα και το άθροισμα αυτών των προϊόντων δίνει το συνολικό μισθολογικό κόστος όλων των εργαζομένων.

Σύμφωνα με αυτό, οι υπολογισμοί μπορούν να παρουσιαστούν σε μια γενική μορφή:

Ο τύπος που προκύπτει ονομάζεται σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος.

Το στατιστικό υλικό ως αποτέλεσμα της επεξεργασίας μπορεί να παρουσιαστεί όχι μόνο με τη μορφή διακριτών σειρών διανομής, αλλά και με τη μορφή σειρών μεταβολής διαστήματος με κλειστά ή ανοιχτά διαστήματα.

Ο υπολογισμός του μέσου όρου για ομαδοποιημένα δεδομένα πραγματοποιείται σύμφωνα με τον σταθμισμένο μέσο αριθμητικό τύπο:

Στην πρακτική των οικονομικών στατιστικών, μερικές φορές είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο μέσος όρος με μέσους όρους ομάδας ή με μέσους όρους μεμονωμένων τμημάτων του πληθυσμού (μερικοί μέσοι όροι). Σε τέτοιες περιπτώσεις, ως επιλογές (x) λαμβάνονται ομαδικοί ή μερικοί μέσοι όροι, βάσει των οποίων ο συνολικός μέσος όρος υπολογίζεται ως ο συνήθης αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος.

Βασικές ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου .

Ο αριθμητικός μέσος όρος έχει μια σειρά από ιδιότητες:

1. Από μια μείωση ή αύξηση στις συχνότητες κάθε τιμής του χαρακτηριστικού x κατά n φορές, η τιμή του αριθμητικού μέσου όρου δεν θα αλλάξει.

Εάν όλες οι συχνότητες διαιρεθούν ή πολλαπλασιαστούν με κάποιο αριθμό, τότε η τιμή του μέσου όρου δεν θα αλλάξει.

2. Ο συνολικός πολλαπλασιαστής των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του μέσου όρου:

3. Το μέσο άθροισμα (διαφορά) δύο ή περισσότερων ποσοτήτων ισούται με το άθροισμα (διαφορά) των μέσων όρων τους:

4. Εάν x \u003d c, όπου c είναι μια σταθερή τιμή, τότε
.

5. Το άθροισμα των αποκλίσεων των τιμών του χαρακτηριστικού X από τον αριθμητικό μέσο x είναι ίσο με μηδέν:

Μέση αρμονική.

Μαζί με τον αριθμητικό μέσο όρο, οι στατιστικές χρησιμοποιούν τον αρμονικό μέσο όρο, τον αντίστροφο του αριθμητικού μέσου όρου των αντίστροφων τιμών του χαρακτηριστικού. Όπως ο αριθμητικός μέσος όρος, μπορεί να είναι απλός και σταθμισμένος.

Μαζί με τους μέσους όρους, τα χαρακτηριστικά της σειράς διακύμανσης είναι ο τρόπος και η διάμεσος.

Μόδα - αυτή είναι η τιμή του χαρακτηριστικού (παραλλαγή), του πιο συχνά επαναλαμβανόμενου στον πληθυσμό που μελετήθηκε. Για διακριτές σειρές διανομής, η λειτουργία θα είναι η τιμή της παραλλαγής με την υψηλότερη συχνότητα.

Για σειρές κατανομής διαστήματος με ίσα διαστήματα, ο τρόπος λειτουργίας καθορίζεται από τον τύπο:

όπου
- αρχική τιμή του διαστήματος που περιέχει τη λειτουργία.

- την τιμή του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς.

- τροπική συχνότητα διαστήματος.

- συχνότητα του διαστήματος που προηγείται του modal.

- συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το modal.

Διάμεσος είναι η παραλλαγή που βρίσκεται στη μέση της σειράς παραλλαγής. Εάν η σειρά διανομής είναι διακριτή και έχει περιττό αριθμό μελών, τότε η διάμεσος θα είναι η παραλλαγή που βρίσκεται στο μέσο της διατεταγμένης σειράς (μια διατεταγμένη σειρά είναι η διάταξη των μονάδων πληθυσμού σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά).

Θέμα: Στατιστικά

Επιλογή αριθμός 2

Μέσες τιμές που χρησιμοποιούνται στα στατιστικά στοιχεία

Εισαγωγή………………………………………………………………………………….3

Θεωρητικό έργο

Η μέση τιμή στα στατιστικά στοιχεία, η ουσία και οι συνθήκες εφαρμογής της.

1.1. Η ουσία της μέσης αξίας και οι συνθήκες χρήσης………….4

1.2. Τύποι μέσων τιμών………………………………………………8

Πρακτική εργασία

Εργασία 1,2,3………………………………………………………………………… 14

Συμπέρασμα………………………………………………………………………….21

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας……………………………………………………………………………………………………………………

Εισαγωγή

Αυτό δοκιμήαποτελείται από δύο μέρη - θεωρητικό και πρακτικό. Στο θεωρητικό μέρος, μια τόσο σημαντική στατιστική κατηγορία όπως η μέση τιμή θα εξεταστεί λεπτομερώς για να προσδιοριστεί η ουσία και οι συνθήκες εφαρμογής της, καθώς και να προσδιοριστούν τα είδη των μέσων όρων και οι μέθοδοι υπολογισμού τους.

Η στατιστική, όπως γνωρίζετε, μελετά μαζικά κοινωνικοοικονομικά φαινόμενα. Κάθε ένα από αυτά τα φαινόμενα μπορεί να έχει διαφορετική ποσοτική έκφραση του ίδιου χαρακτηριστικού. Για παράδειγμα, οι μισθοί του ίδιου επαγγέλματος των εργαζομένων ή οι τιμές στην αγορά για το ίδιο προϊόν κ.λπ. Οι μέσες τιμές χαρακτηρίζουν τους ποιοτικούς δείκτες της εμπορικής δραστηριότητας: κόστος διανομής, κέρδος, κερδοφορία κ.λπ.

Για τη μελέτη οποιουδήποτε πληθυσμού σύμφωνα με ποικίλα (ποσοτικά μεταβαλλόμενα) χαρακτηριστικά, η στατιστική χρησιμοποιεί μέσους όρους.

Medium Essence

Η μέση τιμή είναι ένα γενικευτικό ποσοτικό χαρακτηριστικό του συνόλου του ίδιου τύπου φαινομένων σύμφωνα με ένα διαφορετικό χαρακτηριστικό. Στην οικονομική πρακτική, χρησιμοποιείται ένα ευρύ φάσμα δεικτών, που υπολογίζονται ως μέσοι όροι.

Η πιο σημαντική ιδιότητα της μέσης τιμής είναι ότι αντιπροσωπεύει την τιμή ενός συγκεκριμένου χαρακτηριστικού σε ολόκληρο τον πληθυσμό ως ενιαίο αριθμό, παρά τις ποσοτικές διαφορές του σε μεμονωμένες μονάδες του πληθυσμού, και εκφράζει το κοινό πράγμα που είναι εγγενές σε όλες τις μονάδες τον υπό μελέτη πληθυσμό. Έτσι, μέσα από το χαρακτηριστικό μιας μονάδας πληθυσμού, χαρακτηρίζει ολόκληρο τον πληθυσμό ως σύνολο.

Οι μέσες τιμές σχετίζονται με το νόμο μεγάλα νούμερα. Η ουσία αυτής της σχέσης έγκειται στο γεγονός ότι κατά τον μέσο όρο των τυχαίων αποκλίσεων μεμονωμένων τιμών, λόγω της λειτουργίας του νόμου των μεγάλων αριθμών, αλληλοακυρώνονται και στο μέσο όρο αποκαλύπτεται η κύρια αναπτυξιακή τάση, η αναγκαιότητα, η κανονικότητα. Οι μέσες τιμές επιτρέπουν τη σύγκριση δεικτών που σχετίζονται με πληθυσμούς με διαφορετικούς αριθμούς μονάδων.

ΣΤΟ σύγχρονες συνθήκεςη ανάπτυξη των σχέσεων αγοράς στην οικονομία, οι μέσοι όροι χρησιμεύουν ως εργαλείο για τη μελέτη των αντικειμενικών προτύπων των κοινωνικοοικονομικών φαινομένων. Ωστόσο, η οικονομική ανάλυση δεν πρέπει να περιορίζεται μόνο στους μέσους όρους, καθώς οι γενικοί ευνοϊκοί μέσοι όροι μπορούν επίσης να κρύβουν μεγάλους σοβαρές ελλείψειςστις δραστηριότητες των επιμέρους οικονομικών φορέων, και τα βλαστάρια μιας νέας, προοδευτικής. Για παράδειγμα, η κατανομή του πληθυσμού ανά εισόδημα καθιστά δυνατό τον εντοπισμό του σχηματισμού νέων Κοινωνικές Ομάδες. Ως εκ τούτου, μαζί με τα μέσα στατιστικά δεδομένα, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη τα χαρακτηριστικά των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού.

Η μέση τιμή είναι το αποτέλεσμα όλων των παραγόντων που επηρεάζουν το υπό μελέτη φαινόμενο. Δηλαδή, κατά τον υπολογισμό των μέσων τιμών, η επίδραση τυχαίων (διαταραχών, μεμονωμένων) παραγόντων αλληλοεξουδετερώνεται και, επομένως, είναι δυνατό να προσδιοριστεί το μοτίβο που είναι εγγενές στο υπό μελέτη φαινόμενο. Ο Adolf Quetelet τόνισε ότι η σημασία της μεθόδου των μέσων όρων έγκειται στη δυνατότητα μετάβασης από τον ενικό στο γενικό, από το τυχαίο στο κανονικό, και η ύπαρξη μέσων όρων είναι μια κατηγορία αντικειμενικής πραγματικότητας.

Η στατιστική μελετά μαζικά φαινόμενα και διαδικασίες. Κάθε ένα από αυτά τα φαινόμενα έχει τόσο κοινές για ολόκληρο το σύνολο όσο και ειδικές, μεμονωμένες ιδιότητες. Η διαφορά μεταξύ μεμονωμένων φαινομένων ονομάζεται παραλλαγή. Μια άλλη ιδιότητα των μαζικών φαινομένων είναι η εγγενής εγγύτητα των χαρακτηριστικών των επιμέρους φαινομένων. Άρα, η αλληλεπίδραση των στοιχείων του συνόλου οδηγεί στον περιορισμό της διακύμανσης τουλάχιστον μέρους των ιδιοτήτων τους. Αυτή η τάση υπάρχει αντικειμενικά. Είναι στην αντικειμενικότητά του ότι ο λόγος για την ευρύτερη εφαρμογή των μέσων τιμών στην πράξη και στη θεωρία βρίσκεται.

Η μέση τιμή στα στατιστικά είναι ένας γενικευμένος δείκτης που χαρακτηρίζει το τυπικό επίπεδο ενός φαινομένου σε συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου, αντικατοπτρίζοντας το μέγεθος μιας μεταβλητής ιδιότητας ανά μονάδα ενός ποιοτικά ομοιογενούς πληθυσμού.

Στην οικονομική πρακτική, χρησιμοποιείται ένα ευρύ φάσμα δεικτών, που υπολογίζονται ως μέσοι όροι.

Με τη βοήθεια της μεθόδου των μέσων όρων, η στατιστική λύνει πολλά προβλήματα.

Η κύρια τιμή των μέσων όρων είναι η γενικευτική τους λειτουργία, δηλαδή η αντικατάσταση πολλών διαφορετικών μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού από μια μέση τιμή που χαρακτηρίζει ολόκληρο το σύνολο των φαινομένων.

Εάν η μέση τιμή γενικεύει ποιοτικά ομοιογενείς τιμές ενός χαρακτηριστικού, τότε είναι τυπικό χαρακτηριστικό ενός χαρακτηριστικού σε έναν δεδομένο πληθυσμό.

Ωστόσο, είναι λάθος να μειώνουμε τον ρόλο των μέσων τιμών μόνο στον χαρακτηρισμό των τυπικών τιμών χαρακτηριστικών σε πληθυσμούς που είναι ομοιογενείς ως προς αυτό το χαρακτηριστικό. Στην πράξη, πολύ πιο συχνά οι σύγχρονες στατιστικές χρησιμοποιούν μέσους όρους που γενικεύουν σαφώς ομοιογενή φαινόμενα.

Η μέση αξία του κατά κεφαλήν εθνικού εισοδήματος, η μέση απόδοση των σιτηρών σε όλη τη χώρα, η μέση κατανάλωση διαφόρων τροφίμων είναι τα χαρακτηριστικά του κράτους ως ενιαίου οικονομικού συστήματος, αυτοί είναι οι λεγόμενοι μέσοι όροι του συστήματος.

Οι μέσοι όροι συστημάτων μπορούν να χαρακτηρίσουν τόσο χωρικά ή αντικειμενικά συστήματα που υπάρχουν ταυτόχρονα (πολιτεία, βιομηχανία, περιοχή, πλανήτης Γη, κ.λπ.) όσο και δυναμικά συστήματα που εκτείνονται με την πάροδο του χρόνου (έτος, δεκαετία, εποχή κ.λπ.).

Η πιο σημαντική ιδιότητα της μέσης τιμής είναι ότι αντικατοπτρίζει το κοινό που είναι εγγενές σε όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού. Οι τιμές του χαρακτηριστικού των μεμονωμένων μονάδων του πληθυσμού κυμαίνονται προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση υπό την επίδραση πολλών παραγόντων, μεταξύ των οποίων μπορεί να υπάρχουν τόσο βασικοί όσο και τυχαίοι. Για παράδειγμα, η τιμή της μετοχής μιας εταιρείας στο σύνολό της καθορίζεται από αυτήν οικονομική θέση. Ταυτόχρονα, ορισμένες ημέρες και σε ορισμένα χρηματιστήρια, λόγω των συνθηκών που επικρατούν, οι μετοχές αυτές ενδέχεται να πωλούνται με υψηλότερη ή χαμηλότερη τιμή. Η ουσία του μέσου όρου έγκειται στο γεγονός ότι ακυρώνει τις αποκλίσεις των τιμών των χαρακτηριστικών μεμονωμένων μονάδων του πληθυσμού, λόγω της δράσης τυχαίων παραγόντων, και λαμβάνει υπόψη τις αλλαγές που προκαλούνται από τη δράση του κύριοι παράγοντες. Αυτό επιτρέπει στον μέσο όρο να αντικατοπτρίζει το τυπικό επίπεδο του χαρακτηριστικού και να αφαιρεί από τα επιμέρους χαρακτηριστικά που είναι εγγενή σε μεμονωμένες μονάδες.

Ο υπολογισμός του μέσου όρου είναι μια κοινή τεχνική γενίκευσης. ο μέσος δείκτης αντικατοπτρίζει το γενικό που είναι τυπικό (τυπικό) για όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού, ενώ ταυτόχρονα αγνοεί τις διαφορές μεταξύ των επιμέρους μονάδων. Σε κάθε φαινόμενο και την εξέλιξή του υπάρχει ένας συνδυασμός τύχης και αναγκαιότητας.

Ο μέσος όρος είναι ένα συνοπτικό χαρακτηριστικό των κανονικοτήτων της διαδικασίας στις συνθήκες υπό τις οποίες προχωρά.

Κάθε μέσος όρος χαρακτηρίζει τον υπό μελέτη πληθυσμό σύμφωνα με οποιοδήποτε χαρακτηριστικό, αλλά για να χαρακτηριστεί οποιοσδήποτε πληθυσμός, να περιγραφούν τα τυπικά χαρακτηριστικά και τα ποιοτικά χαρακτηριστικά του, απαιτείται ένα σύστημα μέσων δεικτών. Ως εκ τούτου, στην πρακτική των εγχώριων στατιστικών για τη μελέτη κοινωνικο-οικονομικών φαινομένων, κατά κανόνα, υπολογίζεται ένα σύστημα μέσων δεικτών. Έτσι, για παράδειγμα, ο δείκτης του μέσου μισθού αξιολογείται μαζί με τους δείκτες της μέσης παραγωγής, της αναλογίας κεφαλαίου προς βάρος και της αναλογίας ισχύος προς βάρος εργασίας, του βαθμού μηχανοποίησης και αυτοματοποίησης της εργασίας κ.λπ.

Ο μέσος όρος θα πρέπει να υπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη το οικονομικό περιεχόμενο του υπό μελέτη δείκτη. Επομένως, για έναν συγκεκριμένο δείκτη που χρησιμοποιείται στην κοινωνικοοικονομική ανάλυση, μόνο ένας πραγματική αξίαμέσος όρος με βάση την επιστημονική μέθοδο υπολογισμού.

Η μέση τιμή είναι ένας από τους σημαντικότερους γενικευτικούς στατιστικούς δείκτες που χαρακτηρίζει το σύνολο του ίδιου τύπου φαινομένων σύμφωνα με κάποιο ποσοτικά μεταβαλλόμενο χαρακτηριστικό. Οι μέσοι όροι στα στατιστικά είναι γενικευτικοί δείκτες, αριθμοί που εκφράζουν τις τυπικές χαρακτηριστικές διαστάσεις των κοινωνικών φαινομένων σύμφωνα με ένα ποσοτικά μεταβαλλόμενο χαρακτηριστικό.

Τύποι μέσων όρων

Οι τύποι των μέσων τιμών διαφέρουν κυρίως ως προς το ποια ιδιότητα, ποια παράμετρος της αρχικής μεταβλητής μάζας των μεμονωμένων τιμών του χαρακτηριστικού πρέπει να διατηρείται αμετάβλητη.

Αριθμητικός μέσος όρος

Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μια τέτοια μέση τιμή ενός χαρακτηριστικού, στον υπολογισμό του οποίου ο συνολικός όγκος του χαρακτηριστικού στο σύνολο παραμένει αμετάβλητος. Διαφορετικά, μπορούμε να πούμε ότι ο μέσος όρος αριθμητική τιμήείναι ο μεσαίος όρος. Όταν υπολογίζεται, ο συνολικός όγκος του χαρακτηριστικού κατανέμεται νοερά εξίσου σε όλες τις μονάδες του πληθυσμού.

Ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται εάν είναι γνωστές οι τιμές του μέσου όρου του χαρακτηριστικού (x) και του αριθμού των μονάδων πληθυσμού με μια συγκεκριμένη τιμή χαρακτηριστικού (f).

Ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να είναι απλός και σταθμισμένος.

απλός αριθμητικός μέσος όρος

Ένα απλό χρησιμοποιείται εάν κάθε τιμή χαρακτηριστικού x εμφανίζεται μία φορά, π.χ. για κάθε x, η τιμή χαρακτηριστικού είναι f=1 ή εάν τα αρχικά δεδομένα δεν είναι ταξινομημένα και δεν είναι γνωστό πόσες μονάδες έχουν συγκεκριμένες τιμές χαρακτηριστικών.

Ο τύπος για τον αριθμητικό μέσο όρο είναι απλός.

,

5.1. Η έννοια του μέσου όρου

Μέση αξία -αυτός είναι ένας γενικευμένος δείκτης που χαρακτηρίζει το τυπικό επίπεδο του φαινομένου. Εκφράζει την τιμή του χαρακτηριστικού, που σχετίζεται με τη μονάδα του πληθυσμού.

Ο μέσος όρος γενικεύει πάντα την ποσοτική διακύμανση του χαρακτηριστικού, δηλ. στις μέσες τιμές, οι επιμέρους διαφορές στις μονάδες του πληθυσμού λόγω τυχαίων περιστάσεων ακυρώνονται. Σε αντίθεση με τον μέσο όρο, η απόλυτη τιμή που χαρακτηρίζει το επίπεδο ενός χαρακτηριστικού μιας μεμονωμένης μονάδας του πληθυσμού δεν επιτρέπει τη σύγκριση των τιμών του χαρακτηριστικού για μονάδες που ανήκουν σε διαφορετικούς πληθυσμούς. Επομένως, εάν πρέπει να συγκρίνετε τα επίπεδα αμοιβής των εργαζομένων σε δύο επιχειρήσεις, τότε δεν μπορείτε να συγκρίνετε δύο υπαλλήλους διαφορετικών επιχειρήσεων σε αυτή τη βάση. Οι μισθοί των εργαζομένων που επιλέχθηκαν για σύγκριση μπορεί να μην είναι τυπικοί για αυτές τις επιχειρήσεις. Εάν συγκρίνουμε το μέγεθος των αμοιβαίων κεφαλαίων στις υπό εξέταση επιχειρήσεις, τότε ο αριθμός των εργαζομένων δεν λαμβάνεται υπόψη και, επομένως, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί πού είναι υψηλότερο το επίπεδο των μισθών. Τελικά, μόνο οι μέσοι όροι μπορούν να συγκριθούν, δηλ. Πόσο κερδίζει ένας εργαζόμενος κατά μέσο όρο σε κάθε εταιρεία; Επομένως, υπάρχει ανάγκη να υπολογιστεί η μέση τιμή ως γενικευτικό χαρακτηριστικό του πληθυσμού.

Ο υπολογισμός του μέσου όρου είναι μια κοινή τεχνική γενίκευσης. ο μέσος δείκτης αρνείται το γενικό που είναι τυπικό (τυπικό) για όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού, ενώ ταυτόχρονα αγνοεί τις διαφορές μεταξύ των επιμέρους μονάδων. Σε κάθε φαινόμενο και την εξέλιξή του υπάρχει ένας συνδυασμός τύχης και αναγκαιότητας. Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, λόγω της λειτουργίας του νόμου των μεγάλων αριθμών, η τυχαιότητα αλληλοεξουδετερώνεται, εξισορροπείται, ώστε να μπορείτε να αφαιρέσετε από τα ασήμαντα χαρακτηριστικά του φαινομένου, από τις ποσοτικές τιμές του χαρακτηριστικού σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση. Στην ικανότητα αφαίρεσης από την τυχαιότητα των επιμέρους τιμών, τις διακυμάνσεις, έγκειται η επιστημονική αξία των μέσων όρων ως γενικευτικών χαρακτηριστικών των αδρανών.

Προκειμένου ο μέσος όρος να είναι πραγματικά χαρακτηριστικός, πρέπει να υπολογιστεί λαμβάνοντας υπόψη ορισμένες αρχές.

Ας σταθούμε σε μερικά γενικές αρχέςτη χρήση των μέσων όρων.
1. Ο μέσος όρος πρέπει να προσδιορίζεται για πληθυσμούς που αποτελούνται από ποιοτικά ομοιογενείς μονάδες.
2. Ο μέσος όρος πρέπει να υπολογίζεται για έναν πληθυσμό που αποτελείται από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό μονάδων.
3. Ο μέσος όρος πρέπει να υπολογίζεται για τον πληθυσμό, οι μονάδες του οποίου βρίσκονται σε κανονική, φυσική κατάσταση.
4. Ο μέσος όρος πρέπει να υπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη το οικονομικό περιεχόμενο του υπό μελέτη δείκτη.

5.2. Τύποι μέσων όρων και μέθοδοι υπολογισμού τους

Ας εξετάσουμε τώρα τους τύπους των μέσων όρων, τα χαρακτηριστικά του υπολογισμού τους και τους τομείς εφαρμογής. Οι μέσες τιμές χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: μέσους όρους ισχύος, δομικούς μέσους όρους.

Προς την δύναμη σημαίνειπεριλαμβάνουν τους πιο διάσημους και ευρέως χρησιμοποιούμενους τύπους όπως ο γεωμετρικός μέσος όρος, ο αριθμητικός μέσος όρος και ο μέσος όρος του τετραγώνου.

Οπως και διαρθρωτικούς μέσους όρουςλαμβάνεται υπόψη ο τρόπος και η διάμεσος.

Ας σταθούμε στους μέσους όρους ισχύος. Οι μέσοι όροι ισχύος, ανάλογα με την παρουσίαση των αρχικών δεδομένων, μπορεί να είναι απλοί και σταθμισμένοι. απλός μέσος όροςυπολογίζεται από μη ομαδοποιημένα δεδομένα και έχει την ακόλουθη γενική μορφή:

όπου X i είναι η παραλλαγή (τιμή) του μέσου όρου χαρακτηριστικού.

n είναι ο αριθμός των επιλογών.

Σταθμισμένος μέσος όροςυπολογίζεται με ομαδοποιημένα δεδομένα και έχει γενική μορφή

,

όπου X i είναι η παραλλαγή (τιμή) του μέσου όρου του χαρακτηριστικού ή η μεσαία τιμή του διαστήματος στο οποίο μετράται η παραλλαγή·
m είναι ο εκθέτης του μέσου όρου.
f i - συχνότητα που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται i-η τιμήμέσο σημάδι.

Ας δώσουμε ως παράδειγμα τον υπολογισμό του μέσου όρου ηλικίας των μαθητών σε μια ομάδα 20 ατόμων:

Υπολογίζουμε τη μέση ηλικία χρησιμοποιώντας τον απλό μέσο όρο:

Ας ομαδοποιήσουμε τα δεδομένα πηγής. Λαμβάνουμε την ακόλουθη σειρά διανομής:

Ως αποτέλεσμα της ομαδοποίησης, παίρνουμε έναν νέο δείκτη - συχνότητα, που υποδεικνύει τον αριθμό των μαθητών ηλικίας X ετών. Συνεπώς, ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΗΛΙΚΙΑΣΗ ομάδα μαθητών θα υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο μέσο όρο:

Οι γενικοί τύποι για τον υπολογισμό των εκθετικών μέσων όρων έχουν εκθέτη (m). Ανάλογα με την τιμή που παίρνει, διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι μέσου όρου ισχύος:
αρμονική μέση αν m = -1;
γεωμετρικός μέσος όρος εάν m –> 0;
αριθμητικός μέσος όρος εάν m = 1;
ρίζα μέσο τετράγωνο αν m = 2;
μέση κυβική αν m = 3.

Οι τύποι μέσης ισχύος δίνονται στον Πίνακα. 4.4.

Εάν υπολογίσουμε όλους τους τύπους μέσων όρων για τα ίδια αρχικά δεδομένα, τότε οι τιμές τους δεν θα είναι ίδιες. Εδώ ισχύει ο κανόνας της μείζονος σημασίας των μέσων όρων: με την αύξηση του εκθέτη m, η αντίστοιχη μέση τιμή αυξάνεται επίσης:

Στη στατιστική πρακτική, συχνότερα από άλλους τύπους σταθμισμένων μέσων όρων, χρησιμοποιούνται αριθμητικοί και αρμονικοί σταθμισμένοι μέσοι όροι.

Πίνακας 5.1

Τύποι μέσων ισχύος

Τύπος ισχύος Μέσης	Δείκτης μοίρες (m)	Τύπος υπολογισμού
		Απλός	σταθμισμένη
αρμονικός	-1
Γεωμετρικός	0
Αριθμητική	1
τετραγωνικός	2
κυβικός	3

Ο αρμονικός μέσος όρος έχει πιο σύνθετη δομή από τον αριθμητικό μέσο όρο. Ο αρμονικός μέσος όρος χρησιμοποιείται για υπολογισμούς όταν τα βάρη δεν είναι οι μονάδες του πληθυσμού - οι φορείς του χαρακτηριστικού, αλλά τα γινόμενα αυτών των μονάδων και οι τιμές του χαρακτηριστικού (δηλαδή m = Xf). Ο μέσος χρόνος αρμονικής διακοπής θα πρέπει να χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις προσδιορισμού, για παράδειγμα, του μέσου κόστους εργασίας, χρόνου, υλικών ανά μονάδα παραγωγής, ανά μέρος για δύο (τρεις, τέσσερις κ.λπ.) επιχειρήσεις, εργαζομένους που ασχολούνται με την κατασκευή του ίδιο είδος προϊόντος, ίδιο μέρος, προϊόν.

Η κύρια απαίτηση για τον τύπο για τον υπολογισμό της μέσης τιμής είναι όλα τα στάδια του υπολογισμού να έχουν μια πραγματική ουσιαστική αιτιολόγηση. η προκύπτουσα μέση τιμή θα πρέπει να αντικαταστήσει τις μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού για κάθε αντικείμενο χωρίς να σπάσει τη σύνδεση μεταξύ μεμονωμένων και συνοπτικών δεικτών. Με άλλα λόγια, η μέση τιμή θα πρέπει να υπολογίζεται έτσι ώστε όταν κάθε μεμονωμένη τιμή του μέσου όρου του δείκτη αντικαθίσταται από τη μέση τιμή του, κάποιος τελικός συνοπτικός δείκτης παραμένει αμετάβλητος, σχετίζεται μεή με άλλο τρόπο με μέσο όρο . Αυτό το αποτέλεσμα ονομάζεται καθοριστικόαφού η φύση της σχέσης του με μεμονωμένες τιμές καθορίζει τον συγκεκριμένο τύπο για τον υπολογισμό της μέσης τιμής. Ας δείξουμε αυτόν τον κανόνα στο παράδειγμα του γεωμετρικού μέσου όρου.

Γεωμετρικός μέσος τύπος

χρησιμοποιείται συχνότερα κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής των επιμέρους σχετικών τιμών της δυναμικής.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος χρησιμοποιείται εάν δοθεί μια ακολουθία αλυσίδων σχετικών τιμών της δυναμικής, που υποδεικνύει, για παράδειγμα, αύξηση της παραγωγής σε σύγκριση με το επίπεδο του προηγούμενου έτους: i 1 , i 2 , i 3 ,... , σε . Είναι σαφές ότι ο όγκος της παραγωγής πέρυσικαθορίζεται από το αρχικό του επίπεδο (q 0) και την επακόλουθη ανάπτυξη με την πάροδο των ετών:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Λαμβάνοντας το q n ως καθοριστικό δείκτη και αντικαθιστώντας τις επιμέρους τιμές των δεικτών δυναμικής με μέσες, φτάνουμε στη σχέση

Από εδώ

5.3. Διαρθρωτικοί μέσοι όροι

Ένας ειδικός τύπος μέσων όρων - οι δομικοί μέσοι όροι - χρησιμοποιείται για τη μελέτη εσωτερική δομήσειρά κατανομής χαρακτηριστικών τιμών, καθώς και για την εκτίμηση της μέσης τιμής (τύπος power-law), εάν, σύμφωνα με τα διαθέσιμα στατιστικά δεδομένα, ο υπολογισμός της δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί (για παράδειγμα, εάν στο υπό εξέταση παράδειγμα δεν υπήρχαν δεδομένα και για τα δύο ο όγκος της παραγωγής και το ύψος του κόστους ανά ομάδες επιχειρήσεων) .

Οι δείκτες χρησιμοποιούνται συχνότερα ως δομικοί μέσοι όροι. μόδα -η πιο συχνά επαναλαμβανόμενη τιμή χαρακτηριστικού - και διάμεσος -την τιμή ενός χαρακτηριστικού που διαιρεί τη διατεταγμένη ακολουθία των τιμών του σε δύο μέρη ίσα σε αριθμό. Ως αποτέλεσμα, στο ένα ήμισυ των μονάδων πληθυσμού, η τιμή του χαρακτηριστικού δεν υπερβαίνει το διάμεσο επίπεδο και στο άλλο μισό δεν είναι μικρότερη από αυτό.

Εάν το υπό μελέτη χαρακτηριστικό έχει διακριτές τιμές, τότε δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες στον υπολογισμό του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής. Εάν τα δεδομένα σχετικά με τις τιμές του χαρακτηριστικού X παρουσιάζονται με τη μορφή διατεταγμένων διαστημάτων της αλλαγής του (σειρές διαστημάτων), ο υπολογισμός του τρόπου λειτουργίας και της διάμεσης τιμής γίνεται κάπως πιο περίπλοκος. Εφόσον η διάμεση τιμή διαιρεί ολόκληρο τον πληθυσμό σε δύο μέρη ίσα σε αριθμό, καταλήγει σε ένα από τα διαστήματα του χαρακτηριστικού X. Χρησιμοποιώντας την παρεμβολή, η διάμεση τιμή βρίσκεται σε αυτό το διάμεσο διάστημα:

,

όπου είναι το XMe συμπέρασμαδιάμεσο διάστημα?
h Εγώ είναι η αξία του.
(Άθροισμα m) / 2 - το ήμισυ του συνολικού αριθμού παρατηρήσεων ή το ήμισυ του όγκου του δείκτη που χρησιμοποιείται ως στάθμιση στους τύπους για τον υπολογισμό της μέσης τιμής (σε απόλυτες ή σχετικές τιμές).
S Me-1 είναι το άθροισμα των παρατηρήσεων (ή ο όγκος του χαρακτηριστικού στάθμισης) που έχει συσσωρευτεί πριν από την έναρξη του διάμεσου διαστήματος.
m Me είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων ή ο όγκος του χαρακτηριστικού στάθμισης στο διάμεσο διάστημα (επίσης σε απόλυτους ή σχετικούς όρους).

Στο παράδειγμά μας, μπορούν να ληφθούν ακόμη και τρεις διάμεσες τιμές - με βάση τα σημάδια του αριθμού των επιχειρήσεων, του όγκου της παραγωγής και του συνολικού κόστους παραγωγής:

Έτσι, για τις μισές επιχειρήσεις, το κόστος μιας μονάδας παραγωγής υπερβαίνει τα 125,19 χιλιάδες ρούβλια, το ήμισυ του συνολικού όγκου παραγωγής παράγεται με επίπεδο κόστους ανά προϊόν μεγαλύτερο από 124,79 χιλιάδες ρούβλια. και το 50% του συνολικού κόστους διαμορφώνεται στο επίπεδο του κόστους ενός προϊόντος πάνω από 125,07 χιλιάδες ρούβλια. Σημειώνουμε επίσης ότι υπάρχει μια ορισμένη ανοδική τάση στο κόστος, καθώς Me 2 = 124,79 χιλιάδες ρούβλια, και μέσο επίπεδοίσο με 123,15 χιλιάδες ρούβλια.

Κατά τον υπολογισμό της τροπικής τιμής ενός χαρακτηριστικού σύμφωνα με τα δεδομένα της σειράς διαστημάτων, είναι απαραίτητο να προσέξετε το γεγονός ότι τα διαστήματα είναι τα ίδια, καθώς ο δείκτης της συχνότητας των τιμών χαρακτηριστικών X εξαρτάται από αυτό. μια σειρά διαστημάτων με ίσα διαστήματα, η τιμή του τρόπου λειτουργίας καθορίζεται ως

όπου X Mo είναι η χαμηλότερη τιμή του διαστήματος των τρόπων.
m Mo είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων ή ο όγκος του χαρακτηριστικού στάθμισης στο τροπικό διάστημα (σε απόλυτους ή σχετικούς όρους).
m Mo -1 - το ίδιο για το διάστημα που προηγείται του modal.
m Mo+1 - το ίδιο για το διάστημα που ακολουθεί το modal.
h είναι η τιμή του διαστήματος μεταβολής του χαρακτηριστικού σε ομάδες.

Για το παράδειγμά μας, μπορούμε να υπολογίσουμε τρία τροπικές αξίεςμε βάση τα χαρακτηριστικά του αριθμού των επιχειρήσεων, τον όγκο της παραγωγής και το ύψος του κόστους. Και στις τρεις περιπτώσεις, το χρονικό διάστημα είναι το ίδιο, καθώς για το ίδιο διάστημα τόσο ο αριθμός των επιχειρήσεων, ο όγκος παραγωγής όσο και το συνολικό ποσό του κόστους παραγωγής αποδεικνύονται τα μεγαλύτερα:

Έτσι, οι επιχειρήσεις με επίπεδο κόστους 126,75 χιλιάδες ρούβλια συναντώνται συχνότερα, προϊόντα με επίπεδο κόστους 126,69 χιλιάδες ρούβλια παράγονται συχνότερα και συνήθως το κόστος παραγωγής εξηγείται από ένα επίπεδο κόστους 123,73 χιλιάδες ρούβλια.

5.4. Δείκτες διακύμανσης

Οι συγκεκριμένες συνθήκες στις οποίες βρίσκεται καθένα από τα αντικείμενα που μελετήθηκαν, καθώς και τα χαρακτηριστικά της δικής τους ανάπτυξης (κοινωνική, οικονομική κ.λπ.) εκφράζονται με τα αντίστοιχα αριθμητικά επίπεδα στατιστικών δεικτών. Με αυτόν τον τρόπο, παραλλαγή,εκείνοι. η ασυμφωνία μεταξύ των επιπέδων του ίδιου δείκτη σε διαφορετικά αντικείμενα είναι αντικειμενική και βοηθά στην κατανόηση της ουσίας του υπό μελέτη φαινομένου.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι μέτρησης της διακύμανσης στα στατιστικά στοιχεία.

Ο πιο απλός είναι ο υπολογισμός του δείκτη παραλλαγή εύρους H ως η διαφορά μεταξύ των μέγιστων (X max) και ελάχιστων (X min) παρατηρούμενων τιμών του χαρακτηριστικού:

H=X max - X min .

Ωστόσο, το εύρος διακύμανσης δείχνει μόνο τις ακραίες τιμές του χαρακτηριστικού. Η επαναληψιμότητα των ενδιάμεσων τιμών δεν λαμβάνεται υπόψη εδώ.

Τα πιο αυστηρά χαρακτηριστικά είναι δείκτες διακύμανσης σε σχέση με το μέσο επίπεδο του χαρακτηριστικού. Ο απλούστερος δείκτης αυτού του τύπου είναι μέση γραμμική απόκλιση L ως αριθμητικός μέσος όρος των απόλυτων αποκλίσεων ενός χαρακτηριστικού από το μέσο επίπεδό του:

Με την επανάληψη των επιμέρους τιμών του X, χρησιμοποιείται ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος τύπος:

(Θυμηθείτε ότι το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων από το μέσο επίπεδο είναι μηδέν.)

Μέση τιμή γραμμική απόκλισηβρήκε ευρεία εφαρμογή στην πράξη. Με τη βοήθειά του, για παράδειγμα, αναλύεται η σύνθεση των εργαζομένων, ο ρυθμός παραγωγής, η ομοιομορφία της προσφοράς υλικών και αναπτύσσονται συστήματα υλικών κινήτρων. Αλλά, δυστυχώς, αυτός ο δείκτης περιπλέκει τους υπολογισμούς ενός πιθανολογικού τύπου, καθιστά δύσκολη την εφαρμογή των μεθόδων μαθηματικών στατιστικών. Επομένως, στα στατιστικά επιστημονική έρευναΤο πιο συχνά χρησιμοποιούμενο μέτρο διακύμανσης είναι διασπορά.

Η διακύμανση χαρακτηριστικών (s 2) προσδιορίζεται με βάση τη μέση τετραγωνική ισχύ:

.

Ένας εκθέτης s ίσος με ονομάζεται Μεσαίο τυπική απόκλιση.

Στη γενική θεωρία της στατιστικής, ο δείκτης διασποράς είναι μια εκτίμηση του ομώνυμου δείκτη της θεωρίας πιθανοτήτων και (ως το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων) μια εκτίμηση της διασποράς στη μαθηματική στατιστική, η οποία επιτρέπει τη χρήση των διατάξεων αυτών των θεωρητικών κλάδων για αναλύουν τις κοινωνικοοικονομικές διαδικασίες.

Εάν η διακύμανση εκτιμάται από έναν μικρό αριθμό παρατηρήσεων που λαμβάνονται από έναν απεριόριστο γενικό πληθυσμό, τότε η μέση τιμή του χαρακτηριστικού προσδιορίζεται με κάποιο σφάλμα. Η υπολογισμένη τιμή της διασποράς φαίνεται να μετατοπίζεται προς τα κάτω. Για να αποκτήσετε μια αμερόληπτη εκτίμηση διακύμανση δείγματος, που προκύπτει από τους τύπους που δόθηκαν προηγουμένως, πρέπει να πολλαπλασιαστεί με την τιμή n / (n - 1). Ως αποτέλεσμα, με έναν μικρό αριθμό παρατηρήσεων (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Συνήθως ήδη στο n > (15÷20) η απόκλιση μεταξύ των μεροληπτικών και των αμερόληπτων εκτιμήσεων γίνεται ασήμαντη. Για τον ίδιο λόγο, η προκατάληψη συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη στον τύπο για την προσθήκη διακυμάνσεων.

Εάν ληφθούν πολλά δείγματα από τον γενικό πληθυσμό και κάθε φορά προσδιορίζεται η μέση τιμή του χαρακτηριστικού, τότε προκύπτει το πρόβλημα της εκτίμησης της μεταβλητότητας των μέσων όρων. Εκτίμηση διακύμανσης μέση τιμήμπορεί επίσης να βασίζεται σε ένα μόνο δείγμα παρατήρησης σύμφωνα με τον τύπο

,

όπου n είναι το μέγεθος του δείγματος. s 2 είναι η διακύμανση του χαρακτηριστικού που υπολογίζεται από τα δείγματα δεδομένων.

αξία λέγεται μέσο δειγματοληπτικό σφάλμακαι είναι χαρακτηριστικό της απόκλισης της μέσης τιμής του δείγματος του χαρακτηριστικού X από την πραγματική μέση τιμή του. Ο δείκτης μέσου σφάλματος χρησιμοποιείται για την αξιολόγηση της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων της παρατήρησης του δείγματος.

Σχετικοί δείκτες διασποράς.Για να χαρακτηριστεί το μέτρο της διακύμανσης του υπό μελέτη χαρακτηριστικού, οι δείκτες διακύμανσης υπολογίζονται σε σχετικούς όρους. Επιτρέπουν σε κάποιον να συγκρίνει τη φύση της διασποράς σε διαφορετικές κατανομές ( διάφορες μονάδεςπαρατηρήσεις του ίδιου χαρακτηριστικού σε δύο πληθυσμούς, με διαφορετικές αξίεςμέσους όρους, όταν συγκρίνονται ετερογενείς πληθυσμοί). Ο υπολογισμός των δεικτών μέτρησης της σχετικής διασποράς πραγματοποιείται ως ο λόγος του απόλυτου δείκτη διασποράς προς τον αριθμητικό μέσο όρο, πολλαπλασιαζόμενος επί 100%.

1. Συντελεστής ταλάντωσηςαντανακλά τη σχετική διακύμανση των ακραίων τιμών του χαρακτηριστικού γύρω από το μέσο όρο

.

2. Η σχετική γραμμική διακοπή λειτουργίας χαρακτηρίζει το μερίδιο της μέσης τιμής του πρόσημου των απόλυτων αποκλίσεων από τη μέση τιμή

.

3. Συντελεστής διακύμανσης:

είναι το πιο κοινό μέτρο διακύμανσης που χρησιμοποιείται για την αξιολόγηση της τυπικότητας των μέσων όρων.

Στις στατιστικές, πληθυσμοί με συντελεστή διακύμανσης μεγαλύτερο από 30-35% θεωρούνται ετερογενείς.

Αυτή η μέθοδος εκτίμησης της διακύμανσης έχει επίσης ένα σημαντικό μειονέκτημα. Πράγματι, έστω, για παράδειγμα, ο αρχικός πληθυσμός των εργαζομένων με μέση προϋπηρεσία 15 ετών, με τυπική απόκλιση s = 10 έτη, «γερασμένος» κατά άλλα 15 χρόνια. Τώρα = 30 χρόνια, και η τυπική απόκλιση είναι ακόμα 10. Ο προηγουμένως ετερογενής πληθυσμός (10/15 × 100 = 66,7%), επομένως αποδεικνύεται αρκετά ομοιογενής με την πάροδο του χρόνου (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Θεωρητική έρευνα για τη στατιστική: Σάββ. Επιστημονικός Πρακτικά - Μ.: Στατιστική, 1974. σελ. 19–57.

Προηγούμενος

Στις στατιστικές, χρησιμοποιούνται διάφοροι τύποι μέσων όρων, οι οποίοι χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες:

Μέσες τιμές ισχύος (αρμονικός μέσος όρος, γεωμετρικός μέσος όρος, αριθμητικός μέσος όρος, μέσος όρος τετραγώνου, μέσος κυβικός).

Διαρθρωτικοί μέσοι όροι (τρόπος λειτουργίας, διάμεσος).

Να υπολογίσω δύναμη σημαίνειπρέπει να χρησιμοποιούνται όλες οι διαθέσιμες χαρακτηριστικές τιμές. Μόδακαι διάμεσοςκαθορίζονται μόνο από τη δομή κατανομής, επομένως ονομάζονται δομικοί, μέσοι όροι θέσης. Η διάμεσος και ο τρόπος χρησιμοποιούνται συχνά ως μέσο χαρακτηριστικό σε εκείνους τους πληθυσμούς όπου ο υπολογισμός της μέσης εκθετικής είναι αδύνατος ή μη πρακτικός.

Ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος. Υπό αριθμητικός μέσος όροςνοείται ως μια τέτοια τιμή ενός χαρακτηριστικού που θα είχε κάθε μονάδα του πληθυσμού εάν το σύνολο όλων των τιμών του χαρακτηριστικού κατανεμήθηκε ομοιόμορφα σε όλες τις μονάδες του πληθυσμού. Ο υπολογισμός αυτής της τιμής μειώνεται στο άθροισμα όλων των τιμών της μεταβλητής ιδιότητας και στη διαίρεση του προκύπτοντος ποσού με τον συνολικό αριθμό των μονάδων πληθυσμού. Για παράδειγμα, πέντε εργάτες ολοκλήρωσαν μια παραγγελία για την κατασκευή ανταλλακτικών, ενώ ο πρώτος παρήγαγε 5 εξαρτήματα, ο δεύτερος - 7, ο τρίτος - 4, ο τέταρτος - 10, ο πέμπτος - 12. Δεδομένου ότι η αξία κάθε επιλογής προέκυψε μόνο μία φορά στα αρχικά δεδομένα, για να προσδιοριστεί

Κατά τον υπολογισμό της μέσης παραγωγής ενός εργαζομένου, θα πρέπει να εφαρμόζεται ο απλός αριθμητικός μέσος τύπος:

Δηλαδή, στο παράδειγμά μας, η μέση παραγωγή ενός εργάτη είναι ίση με

Μαζί με τον απλό αριθμητικό μέσο όρο μελετούν σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος.Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε τη μέση ηλικία των μαθητών σε μια ομάδα 20 μαθητών των οποίων η ηλικία κυμαίνεται από 18 έως 22, όπου xi– παραλλαγές του μέσου όρου χαρακτηριστικού, fi- συχνότητα, η οποία δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται i-thσυνολική αξία (Πίνακας 5.1).

Πίνακας 5.1

Μέση ηλικία μαθητών

Εφαρμόζοντας τον τύπο σταθμισμένου αριθμητικού μέσου όρου, παίρνουμε:

Για να επιλέξετε έναν σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο, υπάρχει ορισμένος κανόνας: εάν υπάρχει μια σειρά δεδομένων για δύο δείκτες, για έναν από τους οποίους είναι απαραίτητο να υπολογιστεί

η μέση τιμή, και ταυτόχρονα, οι αριθμητικές τιμές του παρονομαστή του λογικού τύπου του είναι γνωστές και οι τιμές του αριθμητή είναι άγνωστες, αλλά μπορούν να βρεθούν ως γινόμενο του αυτούς τους δείκτες, τότε η μέση τιμή θα πρέπει να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό σταθμισμένο μέσο όρο.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η φύση των αρχικών στατιστικών δεδομένων είναι τέτοια που ο υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου χάνει το νόημά του και ο μόνος γενικευμένος δείκτης μπορεί να είναι μόνο ένας άλλος τύπος μέσης τιμής - μέση αρμονική.Επί του παρόντος, οι υπολογιστικές ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου έχουν χάσει τη σημασία τους στον υπολογισμό των γενικευμένων στατιστικών δεικτών λόγω της ευρείας εισαγωγής ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η μέση αρμονική τιμή, η οποία είναι επίσης απλή και σταθμισμένη, έχει αποκτήσει μεγάλη πρακτική σημασία. Εάν οι αριθμητικές τιμές του αριθμητή του λογικού τύπου είναι γνωστές και οι τιμές του παρονομαστή είναι άγνωστες, αλλά μπορούν να βρεθούν ως ιδιωτική διαίρεση ενός δείκτη με έναν άλλο, τότε η μέση τιμή υπολογίζεται με τη σταθμισμένη αρμονικός μέσος τύπος.

Για παράδειγμα, ας γίνει γνωστό ότι το αυτοκίνητο διένυσε τα πρώτα 210 χλμ. με ταχύτητα 70 χλμ./ώρα και τα υπόλοιπα 150 χλμ. με ταχύτητα 75 χλμ./ώρα. Είναι αδύνατο να προσδιοριστεί η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου σε όλη τη διαδρομή των 360 km χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό μέσο όρο. Αφού οι επιλογές είναι οι ταχύτητες σε επιμέρους τμήματα xj= 70 km/h και x2= 75 km/h, και τα βάρη (fi) είναι τα αντίστοιχα τμήματα της διαδρομής, τότε τα γινόμενα των επιλογών ανά βάρη δεν θα έχουν ούτε φυσική ούτε οικονομική σημασία. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι λογικό να διαιρέσουμε τα τμήματα της διαδρομής στις αντίστοιχες ταχύτητες (επιλογές xi), δηλαδή στον χρόνο που αφιερώνεται στη διέλευση μεμονωμένων τμημάτων της διαδρομής (fi / xi). Εάν τα τμήματα της διαδρομής συμβολίζονται με fi, τότε ολόκληρη η διαδρομή μπορεί να εκφραστεί ως fi, και ο χρόνος που δαπανάται σε ολόκληρη τη διαδρομή, πώς; fi / xi , Στη συνέχεια, η μέση ταχύτητα μπορεί να βρεθεί ως το πηλίκο της συνολικής απόστασης διαιρούμενο με τον συνολικό χρόνο που δαπανήθηκε:

Στο παράδειγμά μας, παίρνουμε:

Εάν όταν χρησιμοποιείτε το μέσο αρμονικό βάρος όλων των επιλογών (f) είναι ίσα, τότε αντί του σταθμισμένου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε απλή (μη σταθμισμένη) αρμονική μέση:

όπου xi είναι μεμονωμένες επιλογές. nείναι ο αριθμός των παραλλαγών του μέσου όρου του χαρακτηριστικού. Στο παράδειγμα με την ταχύτητα, θα μπορούσε να εφαρμοστεί ένας απλός αρμονικός μέσος όρος εάν τα τμήματα της διαδρομής που διανύθηκε με διαφορετικές ταχύτητες ήταν ίσα.

Οποιαδήποτε μέση τιμή θα πρέπει να υπολογίζεται έτσι ώστε όταν αντικαθιστά κάθε παραλλαγή του μέσου όρου χαρακτηριστικού, η τιμή κάποιου τελικού, γενικευτικού δείκτη, που σχετίζεται με τον μέσο όρο δείκτη, να μην αλλάζει. Έτσι, όταν αντικαθιστούμε τις πραγματικές ταχύτητες σε μεμονωμένα τμήματα της διαδρομής με τη μέση τιμή τους ( μέση ταχύτητα) δεν πρέπει να αλλάζει τη συνολική απόσταση.

Η μορφή (τύπος) της μέσης τιμής καθορίζεται από τη φύση (μηχανισμό) της σχέσης αυτού του τελικού δείκτη με τον μέσο όρο, επομένως ο τελικός δείκτης, η τιμή του οποίου δεν πρέπει να αλλάξει όταν οι επιλογές αντικατασταθούν από τη μέση τιμή τους , λέγεται καθοριστικό δείκτη.Για να εξαγάγετε τον τύπο μέσου όρου, πρέπει να συνθέσετε και να λύσετε μια εξίσωση χρησιμοποιώντας τη σχέση του μέσου όρου δείκτη με τον καθοριστικό. Αυτή η εξίσωση κατασκευάζεται αντικαθιστώντας τις παραλλαγές του μέσου όρου χαρακτηριστικού (δείκτη) με τη μέση τιμή τους.

Εκτός από τον αριθμητικό μέσο και τον αρμονικό μέσο όρο, στη στατιστική χρησιμοποιούνται και άλλοι τύποι (μορφές) του μέσου όρου. Όλες είναι ειδικές περιπτώσεις. βαθμός μέσος όρος.Εάν υπολογίσουμε όλους τους τύπους των μέσων όρων ισχύος-νόμου για τα ίδια δεδομένα, τότε οι τιμές

θα είναι τα ίδια, ο κανόνας ισχύει εδώ σπουδαιότηταςΜεσαίο. Καθώς αυξάνεται ο εκθέτης του μέσου όρου, αυξάνεται και ο ίδιος ο μέσος όρος. Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενοι τύποι υπολογισμού στην πρακτική έρευνα διάφορα είδηΟι μέσοι όροι ισχύος παρουσιάζονται στον Πίνακα. 5.2.

Πίνακας 5.2

Τύποι μέσων ισχύος

Ο γεωμετρικός μέσος όρος εφαρμόζεται όταν είναι διαθέσιμος. nαυξητικούς παράγοντες, ενώ οι επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού είναι, κατά κανόνα, σχετικές τιμές της δυναμικής, χτισμένες με τη μορφή αλυσιδωτών τιμών, ως αναλογία προς το προηγούμενο επίπεδο κάθε επιπέδου στη σειρά δυναμικής. Ο μέσος όρος χαρακτηρίζει έτσι τον μέσο ρυθμό ανάπτυξης. γεωμετρική μέση απλήυπολογίζεται με τον τύπο

Τύπος γεωμετρικό μέσο σταθμισμένοέχει την εξής μορφή:

Οι παραπάνω τύποι είναι πανομοιότυποι, αλλά ο ένας εφαρμόζεται σε τρέχοντες συντελεστές ή ρυθμούς ανάπτυξης και ο δεύτερος - στις απόλυτες τιμές των επιπέδων της σειράς.

ρίζα μέσο τετράγωνοχρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό με τις τιμές των τετραγωνικών συναρτήσεων, χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του βαθμού διακύμανσης των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού γύρω από τον αριθμητικό μέσο όρο στη σειρά κατανομής και υπολογίζεται από τον τύπο

Μέσο σταθμισμένο τετράγωνουπολογίζεται με διαφορετικό τύπο:

Μέσο κυβικόχρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό με τις τιμές των κυβικών συναρτήσεων και υπολογίζεται από τον τύπο

σταθμισμένο μέσο κυβικό:

Όλες οι παραπάνω μέσες τιμές μπορούν να αναπαρασταθούν ως γενικός τύπος:

πού είναι η μέση τιμή? – ατομική αξία· n- τον αριθμό των μονάδων του πληθυσμού που μελετήθηκε· κείναι ο εκθέτης που καθορίζει τον τύπο του μέσου όρου.

Όταν χρησιμοποιείτε τα ίδια δεδομένα πηγής, τόσο περισσότερα κσε γενικός τύποςμέση δύναμη, τόσο μεγαλύτερη είναι η μέση. Από αυτό προκύπτει ότι υπάρχει μια τακτική σχέση μεταξύ των αξιών των μέσων ισχύος:

Οι μέσες τιμές που περιγράφονται παραπάνω δίνουν μια γενικευμένη ιδέα του υπό μελέτη πληθυσμού και από αυτή την άποψη, η θεωρητική, εφαρμοσμένη και γνωστική σημασία τους είναι αδιαμφισβήτητη. Συμβαίνει όμως η τιμή του μέσου όρου να μην συμπίπτει με καμία από τις πραγματικά υπάρχουσες επιλογές, επομένως, εκτός από τους εξεταζόμενους μέσους όρους, στη στατιστική ανάλυση είναι σκόπιμο να χρησιμοποιηθούν οι τιμές συγκεκριμένων επιλογών που καταλαμβάνουν αρκετά καθορισμένη θέση σε μια διατεταγμένη (κατάταξη) σειρά τιμών χαρακτηριστικών. Μεταξύ αυτών των ποσοτήτων, οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες είναι κατασκευαστικός,ή περιγραφικός, μέσος όρος– λειτουργία (Mo) και διάμεσος (Me).

Μόδα- την αξία του χαρακτηριστικού που συναντάται συχνότερα σε αυτόν τον πληθυσμό. Όσον αφορά τη μεταβλητή σειρά, η λειτουργία είναι η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή της σειράς κατάταξης, δηλαδή η παραλλαγή με την υψηλότερη συχνότητα. Η μόδα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό των καταστημάτων με τις περισσότερες επισκέψεις, της πιο κοινής τιμής για οποιοδήποτε προϊόν. Δείχνει το μέγεθος του χαρακτηριστικού ενός σημαντικού μέρους του πληθυσμού και καθορίζεται από τον τύπο

όπου x0 είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος. η– τιμή διαστήματος. fm– συχνότητα διαστήματος. fm_ 1 – συχνότητα του προηγούμενου διαστήματος. fm+ 1 – συχνότητα του επόμενου διαστήματος.

διάμεσοςονομάζεται η παραλλαγή που βρίσκεται στο κέντρο της σειράς κατάταξης. Η διάμεσος χωρίζει τη σειρά σε δύο ίσα μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε και στις δύο πλευρές της να υπάρχει ο ίδιος αριθμός πληθυσμιακών μονάδων. Ταυτόχρονα, στο ένα ήμισυ των μονάδων πληθυσμού, η τιμή της μεταβλητής είναι μικρότερη από τη διάμεσο, στο άλλο μισό είναι μεγαλύτερη από αυτήν. Η διάμεσος χρησιμοποιείται κατά την εξέταση ενός στοιχείου του οποίου η τιμή είναι μεγαλύτερη ή ίση ή ταυτόχρονα μικρότερη ή ίση με τα μισά στοιχεία της σειράς διανομής. Ο διάμεσος δίνει γενική ιδέαγια το πού συγκεντρώνονται οι τιμές του χαρακτηριστικού, με άλλα λόγια, πού βρίσκεται το κέντρο τους.

Ο περιγραφικός χαρακτήρας της διάμεσης τιμής εκδηλώνεται στο γεγονός ότι χαρακτηρίζει το ποσοτικό όριο των τιμών της μεταβλητής ιδιότητας, τις οποίες κατέχει το ήμισυ των μονάδων πληθυσμού. Το πρόβλημα της εύρεσης της διάμεσης τιμής για μια διακριτή μεταβλητή σειρά επιλύεται απλά. Αν δίνονται όλες οι μονάδες της σειράς αριθμοί ακολουθίας, τότε ο σειριακός αριθμός της διάμεσης παραλλαγής ορίζεται ως (n + 1) / 2 με περιττό αριθμό όρων n. Εάν ο αριθμός των όρων της σειράς είναι ζυγός, τότε η διάμεσος θα είναι η μέση τιμή δύο παραλλαγές με σειριακούς αριθμούς n/ 2 και n/ 2 + 1.

Κατά τον προσδιορισμό της διάμεσης σειρής διακύμανσης διαστήματος, προσδιορίζεται πρώτα το διάστημα στο οποίο βρίσκεται (το διάμεσο διάστημα). Αυτό το διάστημα χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το συσσωρευμένο άθροισμα των συχνοτήτων του είναι ίσο ή υπερβαίνει το μισό του αθροίσματος όλων των συχνοτήτων της σειράς. Ο υπολογισμός της διάμεσης τιμής της σειράς μεταβολής διαστήματος πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο

όπου X0είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος. η– τιμή διαστήματος. fm– συχνότητα διαστήματος. φάείναι ο αριθμός των μελών της σειράς.

Μ -1 - το άθροισμα των συσσωρευμένων μελών της σειράς που προηγείται αυτής.

Μαζί με τη διάμεσο για περισσότερα πλήρη χαρακτηριστικάοι δομές του πληθυσμού που μελετήθηκε χρησιμοποιούν επίσης άλλες τιμές επιλογών που καταλαμβάνουν μια αρκετά σαφή θέση στη σειρά κατάταξης. Αυτά περιλαμβάνουν τεταρτημόριακαι δεκατιανοί.Τα τεταρτημόρια διαιρούν τη σειρά με το άθροισμα των συχνοτήτων σε 4 ίσα μέρη και τα δεκατιανά - σε 10 ίσα μέρη. Υπάρχουν τρία τεταρτημόρια και εννέα δεκαδικά.

Η διάμεσος και ο τρόπος, σε αντίθεση με τον αριθμητικό μέσο όρο, δεν εξαλείφουν μεμονωμένες διαφορές στις τιμές μιας μεταβλητής ιδιότητας και, ως εκ τούτου, είναι πρόσθετα και πολύ σημαντικά χαρακτηριστικά του στατιστικού πληθυσμού. Στην πράξη, χρησιμοποιούνται συχνά αντί του μέσου όρου ή μαζί με αυτόν. Είναι ιδιαίτερα σκόπιμο να υπολογιστεί η διάμεσος και ο τρόπος λειτουργίας σε εκείνες τις περιπτώσεις όπου ο πληθυσμός που μελετήθηκε περιέχει έναν ορισμένο αριθμό μονάδων με πολύ μεγάλη ή πολύ μικρή τιμή του χαρακτηριστικού μεταβλητής. Αυτές οι τιμές των επιλογών, που δεν είναι πολύ χαρακτηριστικές για τον πληθυσμό, ενώ επηρεάζουν την τιμή του αριθμητικού μέσου όρου, δεν επηρεάζουν τις τιμές της διάμεσης τιμής και του τρόπου λειτουργίας, γεγονός που καθιστά τους τελευταίους πολύτιμους δείκτες για οικονομική και στατιστική ανάλυση .

Ένας απλός αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος, στον οποίο προσδιορίζεται ο συνολικός όγκος ενός δεδομένου χαρακτηριστικού αδρανήΤα δεδομένα κατανέμονται εξίσου σε όλες τις μονάδες που περιλαμβάνονται σε αυτό το σύνολο. Έτσι, η μέση ετήσια παραγωγή ανά εργαζόμενο είναι η ποσότητα της παραγωγής που θα έπεφτε σε κάθε εργαζόμενο εάν ολόκληρος ο όγκος της παραγωγής σε τον ίδιο βαθμόκατανέμεται σε όλους τους υπαλλήλους του οργανισμού. Η αριθμητική μέση απλή τιμή υπολογίζεται από τον τύπο:

απλός αριθμητικός μέσος όρος- Ίση με την αναλογία του αθροίσματος των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού προς τον αριθμό των χαρακτηριστικών στο σύνολο

Παράδειγμα 1. Μια ομάδα 6 εργαζομένων λαμβάνει 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 χιλιάδες ρούβλια το μήνα.

Βρείτε τον μέσο μισθό Λύση: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 χιλιάδες ρούβλια.

Αριθμητικός σταθμισμένος μέσος όρος

Εάν ο όγκος του συνόλου δεδομένων είναι μεγάλος και αντιπροσωπεύει μια σειρά κατανομής, τότε υπολογίζεται ένας σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος. Έτσι καθορίζεται η μέση σταθμισμένη τιμή ανά μονάδα παραγωγής: το συνολικό κόστος παραγωγής (το άθροισμα των προϊόντων της ποσότητας του και η τιμή μιας μονάδας παραγωγής) διαιρείται με τη συνολική ποσότητα παραγωγής.

Αυτό το αντιπροσωπεύουμε με τη μορφή του ακόλουθου τύπου:

Σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος- ισούται με την αναλογία (το άθροισμα των γινομένων της τιμής του χαρακτηριστικού προς τη συχνότητα επανάληψης αυτού του χαρακτηριστικού) προς (το άθροισμα των συχνοτήτων όλων των χαρακτηριστικών) Χρησιμοποιείται όταν οι παραλλαγές του υπό μελέτη πληθυσμού εμφανίζονται άνιση πολλές φορές.

Παράδειγμα 2. Βρείτε τον μέσο μισθό των εργαζομένων στα καταστήματα ανά μήνα

Μισθός ενός εργάτη χιλιάδες ρούβλια. Χ	Αριθμός εργαζομένων F

Ο μέσος μισθός μπορεί να ληφθεί διαιρώντας τον συνολικό μισθό με τον συνολικό αριθμό των εργαζομένων:

Απάντηση: 3,35 χιλιάδες ρούβλια.

Αριθμητικός μέσος όρος για μια σειρά διαστημάτων

Κατά τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου για μια σειρά μεταβολής διαστήματος, προσδιορίστε πρώτα τον μέσο όρο για κάθε διάστημα ως μισό άθροισμα των άνω και κάτω ορίων και, στη συνέχεια, το μέσο όρο ολόκληρης της σειράς. Στην περίπτωση ανοιχτών διαστημάτων, η τιμή του κατώτερου ή του ανώτερου διαστήματος καθορίζεται από την τιμή των διαστημάτων που γειτνιάζουν με αυτά.

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση.

Παράδειγμα 3. Προσδιορίστε τη μέση ηλικία των μαθητών στο απογευματινό τμήμα.

Ηλικία σε χρόνια!!x??	Αριθμός μαθητών	Μέσο διάστημα	Το γινόμενο του μέσου του διαστήματος (ηλικία) και του αριθμού των μαθητών
		(18 + 20) / 2 =19 18 σε αυτήν την περίπτωση, το όριο του κατώτερου διαστήματος. Υπολογίστηκε ως 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 ή περισσότερα		(30 + 34) / 2 = 32

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση. Ο βαθμός προσέγγισής τους εξαρτάται από το βαθμό στον οποίο η πραγματική κατανομή των πληθυσμιακών μονάδων εντός του διαστήματος προσεγγίζει ομοιόμορφη.

Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, όχι μόνο απόλυτες, αλλά και σχετικές τιμές (συχνότητα) μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάρη.