Στα παραδείγματα Νο. 4, 5, 6, χρησιμοποιείται η ίδια τεχνική: διαφορετικές έννοιες, καταστάσεις, θέματα αναμειγνύονται με πανομοιότυπες λέξεις, εκ των οποίων η μία δεν είναι ίση με την άλλη, δηλαδή παραβιάζεται ο νόμος της ταυτότητας.
2. Λογικά παράδοξα
Το Paradox (από τα ελληνικά απροσδόκητο, περίεργο) είναι κάτι ασυνήθιστο και εκπληκτικό, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με τις συνήθεις προσδοκίες, ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗκαι εμπειρία ζωής.
Ένα λογικό παράδοξο είναι μια τόσο ασυνήθιστη και εκπληκτική κατάσταση όταν δύο αντιφατικές κρίσεις όχι μόνο αληθεύουν ταυτόχρονα (κάτι που είναι αδύνατο λόγω των λογικών νόμων της αντίφασης και της αποκλειόμενης μέσης), αλλά και η μία από την άλλη, προκαλεί η μία την άλλη.
Ένα παράδοξο είναι μια άλυτη κατάσταση, ένα είδος ψυχικού αδιεξόδου, ένα «εμπόδιο» στη λογική: σε όλη την ιστορία του, έχουν προταθεί πολλοί διαφορετικοί τρόποι για να ξεπεραστούν και να εξαλειφθούν τα παράδοξα, αλλά κανένας από αυτούς δεν είναι ακόμα εξαντλητικός, τελικός και γενικά αναγνωρισμένος .
Μερικά παράδοξα (παράδοξα του «ψεύτη», «χωριάτικου κομμωτή» κ.λπ.) ονομάζονται και αντινομίες (από την ελληνική αντίφαση στον νόμο), δηλαδή επιχειρήματα στα οποία αποδεικνύεται ότι δύο δηλώσεις που αναιρούν η μία την άλλη διαδέχονται τη μία. από την άλλη. Οι αντινομίες θεωρούνται η οξύτερη μορφή παραδόξων. Ωστόσο, αρκετά συχνά οι όροι «λογικό παράδοξο» και «αντινομία» θεωρούνται ως συνώνυμοι.
Μια ξεχωριστή ομάδα παραδόξων είναι οι αποριές (από τα ελληνικά - δυσκολία, σύγχυση) - συλλογισμός που δείχνει τις αντιφάσεις μεταξύ αυτού που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις (βλέπουμε, ακούμε, αγγίζουμε κ.λπ.), και τι μπορεί να αναλυθεί νοητικά (αντιφάσεις μεταξύ του ορατού και το νοητό).
Οι πιο διάσημες αποριές προτάθηκαν από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Ζήνωνα από την Ελέα, ο οποίος υποστήριξε ότι η κίνηση που παρατηρούμε παντού δεν μπορεί να γίνει αντικείμενο νοητικής ανάλυσης. Μια από τις διάσημες αποριές του ονομάζεται «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Λέει ότι μπορούμε κάλλιστα να δούμε πώς ο γρήγορος Αχιλλέας προλαβαίνει και προσπερνά τη χελώνα που σέρνεται αργά. Ωστόσο, η νοητική ανάλυση μας οδηγεί στο ασυνήθιστο συμπέρασμα ότι ο Αχιλλέας δεν μπορεί ποτέ να φτάσει τη χελώνα, αν και κινείται 10 φορές πιο γρήγορα από αυτήν. Όταν ξεπεράσει την απόσταση από τη χελώνα, τότε είναι για το ίδιο θα περάσει ο καιρός 10 φορές λιγότερα, δηλαδή το 1/10 της διαδρομής που πέρασε ο Αχιλλέας, και αυτό το 1/10 κομμάτι θα είναι μπροστά του. Όταν ο Αχιλλέας έχει διανύσει αυτό το 1/10 μέρος του μονοπατιού, τότε η χελώνα θα διανύσει 10 φορές λιγότερη απόσταση ταυτόχρονα, δηλαδή το 1/100 της διαδρομής, και αυτό το 1/100 μέρος θα είναι μπροστά από τον Αχιλλέα. Όταν περάσει το 1/100 του μονοπατιού που τον χωρίζει από τη χελώνα, τότε ταυτόχρονα θα περάσει και το 1/1000 του μονοπατιού, παραμένοντας ακόμα μπροστά από τον Αχιλλέα, και ούτω καθεξής επ’ άπειρον. Είμαστε πεπεισμένοι ότι τα μάτια μας λένε ένα πράγμα, και η σκέψη είναι εντελώς διαφορετική (το ορατό το αρνείται ο σκεπτόμενος).
Στη λογική, έχουν δημιουργηθεί πολλοί τρόποι για να λυθούν και να ξεπεραστούν τα παράδοξα. Ωστόσο, κανένα από αυτά δεν είναι χωρίς αντιρρήσεις και δεν είναι γενικά αποδεκτό.
2.1 Παραδείγματα λογικών παραδόξων
Το πιο διάσημο λογικό παράδοξο είναι το παράδοξο του «ψεύτη». Συχνά αναφέρεται ως «ο βασιλιάς των λογικών παραδόξων». Ανακαλύφθηκε στην αρχαία Ελλάδα. Σύμφωνα με το μύθο, ο φιλόσοφος Διόδωρος Κρόνος ορκίστηκε να μην φάει μέχρι να λύσει αυτό το παράδοξο και πέθανε από την πείνα χωρίς να καταφέρει τίποτα. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές διατυπώσεις αυτού του παραδόξου. Διατυπώνεται πιο συνοπτικά και απλά σε μια κατάσταση όπου ένα άτομο προφέρει μια απλή φράση: "Είμαι ψεύτης". Η ανάλυση αυτής της δήλωσης οδηγεί σε ένα εκπληκτικό αποτέλεσμα. Όπως γνωρίζετε, οποιαδήποτε δήλωση μπορεί να είναι αληθινή ή ψευδής. Ας υποθέσουμε ότι η φράση «είμαι ψεύτης» είναι αλήθεια, δηλαδή αυτός που το είπε είπε την αλήθεια, αλλά σε αυτή την περίπτωση είναι πραγματικά ψεύτης, επομένως, λέγοντας αυτή τη φράση, είπε ψέματα. Ας υποθέσουμε ότι η φράση «είμαι ψεύτης» είναι ψευδής, δηλαδή αυτός που την είπε είπε ψέματα, αλλά στην περίπτωση αυτή δεν είναι ψεύτης, αλλά αναζητητής της αλήθειας, επομένως, λέγοντας αυτή τη φράση, είπε την αλήθεια. . Αποδεικνύεται κάτι εκπληκτικό και ακόμη και αδύνατο: αν κάποιος είπε την αλήθεια, τότε είπε ψέματα. και αν είπε ψέματα, τότε είπε την αλήθεια (δύο αντιφατικές κρίσεις όχι μόνο αληθεύουν ταυτόχρονα, αλλά και απορρέουν η μια από την άλλη).
Ένα άλλο γνωστό λογικό παράδοξο που ανακαλύφθηκε τον ΧΧ αιώνα. Ο Άγγλος λογικός και φιλόσοφος Μπέρτραντ Ράσελ, είναι το παράδοξο του «κουρέα του χωριού». Φανταστείτε ότι σε ένα συγκεκριμένο χωριό υπάρχει μόνο ένας κουρέας που ξυρίζει όσους από τους κατοίκους της δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Μια ανάλυση αυτής της απλής κατάστασης οδηγεί σε ένα εξαιρετικό συμπέρασμα. Ας αναρωτηθούμε: μπορεί ένας χωριάτικος κουρέας να ξυριστεί; Ας υποθέσουμε ότι ο κουρέας του χωριού ξυρίζεται μόνος του, αλλά τότε είναι από τους χωρικούς που ξυρίζονται μόνοι τους και δεν τους ξυρίζει ο κουρέας, άρα σε αυτή την περίπτωση δεν ξυρίζεται μόνος του. Ας υποθέσουμε ότι ο κουρέας του χωριού δεν ξυρίζεται μόνος του, αλλά τότε είναι από τους χωρικούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους και ξυρίζονται από τον κουρέα, επομένως, σε αυτή την περίπτωση ξυρίζεται μόνος του. Αποδεικνύεται απίστευτο: αν ένας κομμωτής του χωριού ξυριστεί, τότε δεν ξυρίζεται μόνος του. και αν δεν ξυριστεί μόνος του, τότε ξυρίζεται (δύο αντιφατικές κρίσεις είναι και αληθινές και αλληλοεξαρτώνται).
Το παράδοξο «Πρωταγόρας και Εύαθλος» εμφανίστηκε στην αρχαία Ελλάδα. Βασίζεται σε μια φαινομενικά ανεπιτήδευτη ιστορία, που έγκειται στο γεγονός ότι ο σοφιστής Πρωταγόρας είχε μαθητή τον Εύαθλο, ο οποίος πήρε μαθήματα λογικής και ρητορικής από αυτόν. Ο δάσκαλος και ο μαθητής συμφώνησαν με τέτοιο τρόπο ότι ο Euathlus θα πλήρωνε τα δίδακτρα στον Πρωταγόρα μόνο αν κέρδιζε το πρώτο του δίκη. Ωστόσο, με την ολοκλήρωση της εκπαίδευσης, ο Euathlus δεν συμμετείχε σε καμία διαδικασία και φυσικά δεν πλήρωσε χρήματα στον δάσκαλο. Ο Πρωταγόρας τον απείλησε ότι θα του κάνει μήνυση και μετά θα έπρεπε να πληρώσει ούτως ή άλλως ο Εύαθλος. «Είτε θα καταδικαστείς σε αμοιβή, είτε δεν θα επιδικαστείς», του είπε ο Πρωταγόρας, «αν καταδικαστείς να πληρώσεις, θα πρέπει να πληρώσεις σύμφωνα με την ετυμηγορία του δικαστηρίου. εάν δεν κριθείτε ότι θα πληρώσετε, τότε εσείς, ως νικητής της πρώτης σας αγωγής, θα πρέπει να πληρώσετε σύμφωνα με τη συμφωνία μας. Σε αυτό ο Εύαθλος του απάντησε: «Ακριβώς: Ή θα καταδικαστώ να πληρώσω ένα τέλος, ή δεν θα με καταδικάσουν. αν με διαταξουν να πληρωσω, τοτε εγω ως χαμενος της πρωτης μου δικης δεν θα πληρωσω συμφωνα με μας? αν δεν κριθώ να πληρώσω, τότε δεν θα πληρώσω σύμφωνα με την ετυμηγορία του δικαστηρίου. Έτσι, το ερώτημα αν ο Εύαθλος πρέπει να πληρώσει τον Πρωταγόρα ή όχι είναι άλυτο. Η συμφωνία δασκάλου και μαθητή, παρά την εντελώς αθώα εμφάνιση, είναι εσωτερικά, ή λογικά, αντιφατικό, αφού απαιτεί την εκτέλεση μιας αδύνατης ενέργειας: Η Euathlus πρέπει να πληρώνει και τα δίδακτρα και να μην πληρώνει ταυτόχρονα. Εξαιτίας αυτού, η ίδια η συμφωνία Πρωταγόρα και Ευαθλού, καθώς και το ζήτημα της αντιδικίας τους, είναι κάτι άλλο από ένα λογικό παράδοξο.
Εργασία 2
Προσδιορίστε τη δομή, τον τύπο της κρίσης, κάντε μια συμβολική σχέση μεταξύ των όρων, υποδεικνύοντας την κατανομή τους:
«Τα άτομα έχουν υψηλές πνευματικές ικανότητες»
- Δομή κρίσης:
1) Θέμα - "υψηλές πνευματικές ικανότητες"
2) Κατηγόρημα - "για άτομα"
3) Ο δεσμός εκφράζεται
4) Η ποσοτική λέξη "Είναι" (εκφράζεται)
Συχνά καταφατικό κάποιο S είναι P
Το QS είναι το P
2. Η κρίση είναι γενική ποσοτικά και καταφατική ποιοτικά.
3. Σε ρητή λογική μορφή: «Οι μεμονωμένοι άνθρωποι έχουν υψηλές διανοητικές ικανότητες».
4. Τύπος: Όλα τα S είναι P. Η κρίση είναι Α.
5. Π
7. Το υποκείμενο κατανέμεται, το κατηγόρημα δεν κατανέμεται.
10 -
«Δεν υπάρχει τέτοιο άτομο που δεν θα ήθελε δώρα».
- Δομή κρίσης:
1) Θέμα - "Δώρα"
2) Κατηγόρημα - "Άνθρωπος"
3) Η δέσμη εκφράζεται - που δεν θα ήθελε
4) Ποσοτικοποιητική λέξη "Όλα" (δεν εκφράζεται)
2. Η κρίση είναι γενική ποσοτικά και γενικά αρνητική ποιοτικά
3. Σε ρητή λογική μορφή: «Τα δώρα αγαπούν όλοι οι άνθρωποι».
4. Τύπος: Όχι S είναι P. Κρίση - Ε. γενική αρνητική
5. Π
6. Οι όροι είναι σε σχέση – υποταγή.
7. Το υποκείμενο κατανέμεται, το κατηγόρημα δεν κατανέμεται
11 -
Εργασία 3
Προσδιορίστε τον τύπο συμπερασμάτων, εξάγετε ένα συμπέρασμα, δημιουργήστε ένα σχήμα συμπερασμάτων, καθορίστε τη λογική συνέπεια του συλλογισμού:
«Ένα άτομο που διέπραξε αδίκημα ήσσονος βαρύτητας για πρώτη φορά μπορεί να απαλλαγεί από την ποινική ευθύνη εάν μετανόησε ή συμφιλιώθηκε με το θύμα. Ο Ιβάνοφ είναι αποφασισμένος είτε να μετανοήσει είτε να συμφιλιωθεί με το θύμα, που σημαίνει...».
Ο Ιβάνοφ είναι αποφασισμένος είτε να μετανοήσει είτε να συμφιλιωθεί με το θύμα, πράγμα που σημαίνει ότι αν διέπραξε για πρώτη φορά ένα μικρό έγκλημα, μπορεί να απαλλαγεί από την ποινική ευθύνη.
1. Είδος δικαστικών αποφάσεων σε χώρους:
Προϋπόθεση 1: «Ένα άτομο που διέπραξε αδίκημα ήσσονος βαρύτητας για πρώτη φορά μπορεί να απαλλαγεί από την ποινική ευθύνη εάν μετανόησε ή συμφιλιώθηκε με το θύμα. Ο Ιβάνοφ είναι αποφασισμένος είτε να μετανοήσει είτε να συμφιλιωθεί με το θύμα. - μια υπονοούμενη-συνδετική πρόταση, που αποτελείται από δύο συνεπαγωγές που ενώνονται με έναν σύνδεσμο.
p - το άτομο μπορεί να απαλλαγεί από την ποινική ευθύνη
ζ - μετανόησε για την πράξη του ή δοκίμασε το θύμα
q - δεν μετανόησε και δεν προσπάθησε
2η υπόθεση: «Ένας άνθρωπος είτε μετανοεί και δοκιμάζει το θύμα, είτε όχι. - μια διασπαστική κρίση, αποτελούμενη από 2 εναλλακτικές.
2. Σχέδιο συμπερασμάτων:
(p→g) Λ (¬p→q)
p V ¬p________________
g V q
3. Ένα απλό σχεδιαστικό δίλημμα
4. Συμπέρασμα: «Ένας που έχει διαπράξει αδίκημα ήσσονος βαρύτητας είτε θα αφεθεί ελεύθερος είτε όχι.
5. Κατάλογος παραπομπών
1) Getmanova A.D. Το εγχειρίδιο λογικής. Μόσχα: Βλάδος, 1994.
2) Gusev D.A. Το εγχειρίδιο λογικής για τα λύκεια. Μόσχα: Unity-Dana, 2004
3) Ivin A.A. Η τέχνη της σωστής σκέψης. Μόσχα: Εκπαίδευση, 1990.
4) Koval S. Από την ψυχαγωγία στη γνώση / Per. O. Unguryan. Βαρσοβία: Επιστημονικός και Τεχνικός Εκδοτικός Οίκος, 1972.
Είναι γνωστό ότι η διατύπωση ενός προβλήματος είναι συχνά πιο σημαντική και πιο δύσκολη από την επίλυσή του. «Στην επιστήμη», έγραψε ο Άγγλος χημικός F. Soddy, «ένα πρόβλημα που τίθεται σωστά λύνεται περισσότερο από το μισό. Η διαδικασία διανοητικής προετοιμασίας που απαιτείται για να ανακαλύψει κανείς ότι υπάρχει μια συγκεκριμένη εργασία απαιτεί συχνά περισσότερο χρόνο από την ίδια την εργασία.
Οι μορφές με τις οποίες εκδηλώνεται και υλοποιείται η προβληματική κατάσταση είναι πολύ διαφορετικές. Όχι πάντα, αποκαλύπτεται με τη μορφή μιας άμεσης ερώτησης που προέκυψε στην αρχή της μελέτης. Ο κόσμος των προβλημάτων είναι τόσο περίπλοκος όσο και η διαδικασία της γνώσης που τα δημιουργεί. Ο εντοπισμός προβλημάτων βρίσκεται στον πυρήνα της δημιουργικής σκέψης. Τα παράδοξα είναι η πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση σιωπηρών, αναμφισβήτητων τρόπων τοποθέτησης προβλημάτων. Παράδοξασυχνή στα αρχικά στάδια ανάπτυξης επιστημονικές θεωρίες, τα πρώτα βήματα γίνονται σε μια ανεξερεύνητη ακόμη περιοχή και τα περισσότερα γενικές αρχέςπροσέγγιση της.
Με μια ευρεία έννοια παράδοξο -Αυτή η θέση έρχεται σε πλήρη αντίθεση με τις γενικά αποδεκτές, καθιερωμένες, ορθόδοξες απόψεις. «Οι γενικά αποδεκτές απόψεις και ό,τι θεωρείται ζήτημα μακροπρόθεσμης απόφασης, τις περισσότερες φορές αξίζουν έρευνας» (G. Lichtenberg). Το παράδοξο είναι η αρχή μιας τέτοιας έρευνας.
Παράδοξο με μια στενότερη και πιο ιδιαίτερη έννοια -είναι δύο αντίθετες, ασύμβατες δηλώσεις, για καθεμία από τις οποίες υπάρχουν φαινομενικά πειστικά επιχειρήματα.
Η πιο ακραία μορφή του παραδόξου είναι αντινομία,ένα επιχείρημα που αποδεικνύει την ισοδυναμία δύο δηλώσεων, εκ των οποίων η μία είναι η άρνηση της άλλης.
Τα παράδοξα είναι ιδιαίτερα διάσημα στις πιο αυστηρές και ακριβείς επιστήμες - τα μαθηματικά και τη λογική. Και δεν είναι τυχαίο.
Η λογική είναι μια αφηρημένη αράχνη. Δεν υπάρχουν πειράματα σε αυτό, ούτε καν γεγονότα με τη συνήθη έννοια της λέξης. Χτίζοντας τα συστήματά της, η λογική προχωρά, τελικά, από την ανάλυση της πραγματικής σκέψης. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα αυτής της ανάλυσης είναι συνθετικά, αδιαφοροποίητα. Δεν είναι δηλώσεις οποιωνδήποτε ξεχωριστών διαδικασιών ή γεγονότων που η θεωρία θα πρέπει να εξηγήσει. Προφανώς, μια τέτοια ανάλυση δεν μπορεί να ονομαστεί παρατήρηση: ένα συγκεκριμένο φαινόμενο παρατηρείται πάντα.
Κατασκευάζοντας μια νέα θεωρία, ο επιστήμονας ξεκινά συνήθως από τα γεγονότα, από αυτά που μπορεί να παρατηρηθεί στο πείραμα. Όσο ελεύθερη και αν είναι η δημιουργική του φαντασία, πρέπει να υπολογίζει με μια απαραίτητη περίσταση: μια θεωρία έχει νόημα μόνο αν συμφωνεί με τα γεγονότα που την αφορούν. Μια θεωρία που διαφωνεί με γεγονότα και παρατηρήσεις είναι τραβηγμένη και δεν έχει καμία αξία.
Αλλά αν δεν υπάρχουν πειράματα στη λογική, δεν υπάρχουν γεγονότα και δεν υπάρχει η ίδια η παρατήρηση, τότε τι εμποδίζει τη λογική φαντασία; Ποιοι παράγοντες, αν όχι γεγονότα, λαμβάνονται υπόψη κατά τη δημιουργία νέων λογικών θεωριών;
Η ασυμφωνία μεταξύ της λογικής θεωρίας και της πρακτικής της πραγματικής σκέψης αποκαλύπτεται συχνά με τη μορφή ενός λίγο πολύ οξύ λογικού παραδόξου, και μερικές φορές ακόμη και με τη μορφή μιας λογικής αντινομίας, που μιλά για την εσωτερική ασυνέπεια της θεωρίας. Αυτό ακριβώς εξηγεί τη σημασία που αποδίδεται στα παράδοξα στη λογική, και τη μεγάλη προσοχή που απολαμβάνουν σε αυτό.
«Ο βασιλιάς των λογικών παραδόξων»
Το πιο διάσημο και ίσως το πιο ενδιαφέρον από όλα τα λογικά παράδοξα είναι το παράδοξο Ψεύτης. Ήταν αυτός που δόξασε το όνομα του Ευβουλίδη από τη Μίλητο που το ανακάλυψε.
Υπάρχουν παραλλαγές αυτού του παραδόξου, ή αντινομίας, πολλές από τις οποίες είναι παράδοξες μόνο στην όψη.
Στην πιο απλή εκδοχή του «Ψεύτης» ένα άτομο λέει μόνο μια φράση: «Λέω ψέματα». Ή λέει: «Η δήλωση που κάνω τώρα είναι ψευδής». Ή: "Αυτή η δήλωση είναι ψευδής."
Εάν η δήλωση είναι ψευδής, τότε ο ομιλητής είπε την αλήθεια, και επομένως αυτό που είπε δεν είναι ψέμα. Εάν η δήλωση δεν είναι ψευδής και ο ομιλητής ισχυρίζεται ότι είναι ψευδής, τότε αυτή η δήλωση είναι ψευδής. Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι αν ο ομιλητής λέει ψέματα, λέει την αλήθεια και το αντίστροφο.
Στο Μεσαίωνα, η ακόλουθη διατύπωση ήταν κοινή:
- - Αυτό που είπε ο Πλάτωνας είναι ψευδές, λέει ο Σωκράτης.
- «Αυτό που είπε ο Σωκράτης είναι η αλήθεια», λέει ο Πλάτων. Τίθεται το ερώτημα ποιος από αυτούς εκφράζει την αλήθεια και ποιος είναι ψέμα;
Και εδώ υπάρχει ένα σύγχρονο παράδοξο αυτού του παραδόξου. Ας υποθέσουμε ότι μόνο οι λέξεις είναι γραμμένες στην μπροστινή πλευρά της κάρτας: "Μια αληθινή δήλωση είναι γραμμένη στην άλλη πλευρά αυτής της κάρτας." Είναι σαφές ότι αυτές οι λέξεις αντιπροσωπεύουν μια σημαντική δήλωση. Αναποδογυρίζοντας την κάρτα, πρέπει είτε να βρούμε την υποσχεμένη δήλωση, είτε δεν υπάρχει. Αν είναι γραμμένο στο πίσω μέρος, τότε είτε είναι αλήθεια είτε όχι. Ωστόσο, στο πίσω μέρος υπάρχουν οι λέξεις: «Υπάρχει μια ψευδής δήλωση γραμμένη στην άλλη πλευρά αυτής της κάρτας» - και τίποτα περισσότερο. Ας υποθέσουμε ότι η δήλωση στην μπροστινή πλευρά είναι αληθινή. Τότε η δήλωση στο πίσω μέρος πρέπει να είναι αληθής, και επομένως η δήλωση στο μπροστινό μέρος πρέπει να είναι ψευδής. Αλλά αν η δήλωση στο μπροστινό μέρος είναι ψευδής, τότε η δήλωση στο πίσω μέρος πρέπει επίσης να είναι ψευδής, και επομένως η δήλωση στο μπροστινό μέρος πρέπει να είναι αληθινή. Το αποτέλεσμα είναι ένα παράδοξο.
Το παράδοξο Liar έκανε τεράστια εντύπωση στους Έλληνες. Και είναι εύκολο να καταλάβει κανείς γιατί. Το ερώτημα που θέτει με την πρώτη ματιά φαίνεται αρκετά απλό: είναι ψεύτης που λέει μόνο ότι λέει ψέματα; Αλλά η απάντηση «ναι» οδηγεί στην απάντηση «όχι», και το αντίστροφο. Και ο προβληματισμός δεν ξεκαθαρίζει καθόλου την κατάσταση. Πίσω από την απλότητα και ακόμη και τη ρουτίνα της ερώτησης, αποκαλύπτει κάποιο σκοτεινό και αμέτρητο βάθος.
Υπάρχει ακόμη και ένας θρύλος ότι κάποιος Filit Kossky, απελπισμένος να λύσει αυτό το παράδοξο, αυτοκτόνησε. Λέγεται επίσης ότι ένας από τους διάσημους αρχαίους Έλληνες λογικούς, ο Διόδωρος Κρόνος, ήδη στα παρακμιακά του χρόνια, έκανε όρκο να μην φάει μέχρι να βρει τη λύση του «Ψεύτη» και σύντομα πέθανε, χωρίς να πετύχει τίποτα.
Στο Μεσαίωνα, αυτό το παράδοξο αναφερόταν στις λεγόμενες αδιευκρίνιστες προτάσεις και έγινε αντικείμενο συστηματικής ανάλυσης.
Και για πολύ καιρό το "Liar" δεν τράβηξε την προσοχή για πολύ καιρό. Δεν είδαν καμία, έστω και μικρή, δυσκολία σχετικά με τη χρήση της γλώσσας. Και μόνο στα λεγόμενα μας μοντέρνοι καιροίη ανάπτυξη της λογικής έφτασε επιτέλους σε ένα επίπεδο όπου τα προβλήματα που φαίνεται να κρύβονται πίσω από αυτό το παράδοξο κατέστη δυνατό να διατυπωθούν ήδη με αυστηρούς όρους.
Τώρα ο «Ψεύτης» - αυτός ο τυπικός πρώην σοφισμός - αναφέρεται συχνά ως ο βασιλιάς των λογικών παραδόξων. Μια εκτενής επιστημονική βιβλιογραφία είναι αφιερωμένη σε αυτόν. Και, ωστόσο, όπως στην περίπτωση πολλών άλλων παραδόξων, δεν είναι απολύτως σαφές ποια προβλήματα κρύβονται πίσω από αυτό και πώς να απαλλαγούμε από αυτό.
Εάν ως αποτέλεσμα της ανάγνωσης αυτής της συλλογής δεν είστε εντελώς μπερδεμένοι, τότε δεν σκέφτεστε αρκετά καθαρά.
Οι επιστήμονες και οι στοχαστές λατρεύουν από καιρό να διασκεδάζουν τους εαυτούς τους και τους συναδέλφους τους θέτοντας άλυτα προβλήματα και διατυπώνοντας κάθε είδους παράδοξα. Μερικά από αυτά τα πειράματα σκέψης παραμένουν επίκαιρα για χιλιάδες χρόνια, γεγονός που υποδεικνύει την ατέλεια πολλών δημοφιλών επιστημονικών μοντέλων και «τρυπών» σε γενικά αποδεκτές θεωρίες που από καιρό θεωρούνται θεμελιώδεις. Σας προσκαλούμε να αναλογιστείτε τα πιο ενδιαφέροντα και εκπληκτικά παράδοξα, τα οποία, όπως λένε τώρα, «φύσηξαν τον εγκέφαλο» περισσότερων της μιας γενιάς λογικών, φιλοσόφων και μαθηματικών.
Απορία "Ο Αχιλλέας και η χελώνα"
Το παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας είναι ένα από τα παράδοξα (λογικά σωστές, αλλά αντιφατικές δηλώσεις) που διατύπωσε ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ο Ελέας τον 5ο αιώνα π.Χ. Η ουσία του είναι η εξής: ο θρυλικός ήρωας Αχιλλέας αποφάσισε να διαγωνιστεί στο τρέξιμο με μια χελώνα. Όπως γνωρίζετε, οι χελώνες δεν διαφέρουν σε ταχύτητα, έτσι ο Αχιλλέας έδωσε στον αντίπαλο ένα κεφάλι 500 μ. Όταν η χελώνα ξεπεράσει αυτήν την απόσταση, ο ήρωας αρχίζει να κυνηγάει με ταχύτητα 10 φορές μεγαλύτερη, δηλαδή ενώ η χελώνα σέρνεται 50 μέτρα , ο Αχιλλέας καταφέρνει να τρέξει τη δεδομένη εκκίνηση 500 μ. Στη συνέχεια ο δρομέας ξεπερνά τα επόμενα 50 μέτρα, αλλά αυτή τη στιγμή η χελώνα σέρνεται άλλα 5 μέτρα, φαίνεται ότι ο Αχιλλέας είναι έτοιμος να την προλάβει, αλλά η αντίπαλος είναι ακόμα μπροστά και ενώ τρέχει 5 μέτρα, καταφέρνει να προχωρήσει άλλο μισό μέτρο και ούτω καθεξής. Η απόσταση μεταξύ τους είναι απείρως μειωμένη, αλλά θεωρητικά, ο ήρωας δεν καταφέρνει ποτέ να προλάβει την αργή χελώνα, δεν είναι πολύ, αλλά πάντα μπροστά του. 
Φυσικά, από τη σκοπιά της φυσικής, το παράδοξο δεν έχει νόημα - αν ο Αχιλλέας κινηθεί πολύ πιο γρήγορα, θα ξεφύγει ούτως ή άλλως, ωστόσο, ο Ζήνων, πρώτα απ 'όλα, θέλησε να αποδείξει με το σκεπτικό του ότι οι εξιδανικευμένες μαθηματικές έννοιες του Το "σημείο στο χώρο" και η "στιγμή του χρόνου" δεν είναι πολύ κατάλληλα για σωστή εφαρμογή σε πραγματική κίνηση. Η Aporia αποκαλύπτει την ασυμφωνία μεταξύ της μαθηματικά ορθής ιδέας ότι τα μη μηδενικά διαστήματα του χώρου και του χρόνου μπορούν να διαιρεθούν επ' αόριστον (άρα η χελώνα πρέπει να είναι πάντα μπροστά) και της πραγματικότητας στην οποία ο ήρωας, φυσικά, κερδίζει τον αγώνα.
Παράδοξο χρονικού βρόχου
Τα παράδοξα που περιγράφουν το ταξίδι στο χρόνο αποτελούν εδώ και καιρό πηγή έμπνευσης για συγγραφείς επιστημονικής φαντασίας και δημιουργούς ταινιών επιστημονικής φαντασίας και τηλεοπτικών εκπομπών. Υπάρχουν πολλές παραλλαγές των παραδόξων χρονικού βρόχου, ένα από τα πιο απλά και ενδεικτικά παραδείγματα ενός τέτοιου προβλήματος δόθηκε στο βιβλίο του " Το νέο Time Travelers από τον David Toomey, καθηγητή στο Πανεπιστήμιο της Μασαχουσέτης.
Φανταστείτε ότι ένας ταξιδιώτης του χρόνου αγόρασε ένα αντίτυπο του Άμλετ του Σαίξπηρ από ένα βιβλιοπωλείο. Έπειτα πήγε στην Αγγλία την εποχή της Παρθένου Βασίλισσας Ελισάβετ Α' και, έχοντας βρει τον Ουίλιαμ Σαίξπηρ, του παρέδωσε ένα βιβλίο. Το ξαναέγραψε και το εξέδωσε ως δικό του έργο. Περνούν εκατοντάδες χρόνια, ο Άμλετ μεταφράζεται σε δεκάδες γλώσσες, ανατυπώνεται ατέλειωτα, και ένα από τα αντίτυπα καταλήγει στο ίδιο το βιβλιοπωλείο όπου το αγοράζει ο ταξιδιώτης του χρόνου και το δίνει στον Σαίξπηρ, ο οποίος κάνει ένα αντίγραφο, κ.ο.κ. Ποιος σε αυτή την περίπτωση πρέπει να μετρηθεί; ο συγγραφέας μιας αθάνατης τραγωδίας;
Το παράδοξο ενός κοριτσιού και ενός αγοριού
Στη θεωρία των πιθανοτήτων, αυτό το παράδοξο ονομάζεται επίσης «Τα παιδιά του κυρίου Σμιθ» ή «Τα προβλήματα της κυρίας Σμιθ». Διατυπώθηκε για πρώτη φορά Αμερικανός μαθηματικόςΟ Μάρτιν Γκάρντνερ σε τεύχος του περιοδικού Scientific American. Οι επιστήμονες διαφωνούν για το παράδοξο εδώ και δεκαετίες και υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να το λύσουμε. Αφού σκεφτείτε το πρόβλημα, μπορείτε να προσφέρετε τη δική σας έκδοση.
Η οικογένεια έχει δύο παιδιά και είναι σίγουρο ότι το ένα από αυτά είναι αγόρι. Ποια είναι η πιθανότητα και το δεύτερο παιδί να είναι αρσενικό; Με την πρώτη ματιά, η απάντηση είναι αρκετά προφανής - 50 με 50, είτε είναι πραγματικά αγόρι είτε κορίτσι, οι πιθανότητες πρέπει να είναι ίσες. Το πρόβλημα είναι ότι για οικογένειες με δύο παιδιά, υπάρχουν τέσσερις πιθανοί συνδυασμοί των φύλων των παιδιών - δύο κορίτσια, δύο αγόρια, ένα μεγαλύτερο αγόρι και μικρότερο κορίτσικαι το αντίστροφο - ένα μεγαλύτερο κορίτσι και ένα μικρότερο αγόρι. Το πρώτο μπορεί να αποκλειστεί, αφού ένα από τα παιδιά είναι σίγουρα αγόρι, αλλά σε αυτή την περίπτωση είναι τρία πιθανές επιλογές, όχι δύο, και η πιθανότητα το δεύτερο παιδί να είναι επίσης αγόρι είναι μία στις τρεις πιθανότητες.
Το παράδοξο του Jourdain με μια κάρτα
Το πρόβλημα που πρότεινε ο Βρετανός λογικός και μαθηματικός Philippe Jourdain στις αρχές του 20ου αιώνα μπορεί να θεωρηθεί μια από τις ποικιλίες του διάσημου παραδόξου ψεύτη.
Φανταστείτε - κρατάτε μια καρτ ποστάλ στα χέρια σας, η οποία λέει: "Η δήλωση στο πίσω μέρος της κάρτας είναι αληθινή." Αναποδογυρίζοντας την κάρτα αποκαλύπτεται η φράση «Η δήλωση στην άλλη πλευρά είναι ψευδής». Όπως καταλαβαίνετε, υπάρχει μια αντίφαση: αν η πρώτη πρόταση είναι αληθής, τότε η δεύτερη είναι επίσης αληθής, αλλά στην περίπτωση αυτή η πρώτη πρέπει να είναι ψευδής. Εάν η πρώτη πλευρά της καρτ ποστάλ είναι ψευδής, τότε η φράση στη δεύτερη επίσης δεν μπορεί να θεωρηθεί αληθινή, πράγμα που σημαίνει ότι η πρώτη δήλωση γίνεται ξανά αληθινή ... Μια ακόμα πιο ενδιαφέρουσα εκδοχή του παραδόξου του ψεύτη βρίσκεται στην επόμενη παράγραφο.
Σοφισμός "Κροκόδειλος"
Μια μητέρα με ένα παιδί στέκεται στην όχθη του ποταμού, ξαφνικά ένας κροκόδειλος κολυμπάει κοντά τους και σέρνει το παιδί στο νερό. Η απαρηγόρητη μητέρα ζητά να επιστρέψει το παιδί της, στην οποία ο κροκόδειλος απαντά ότι δέχεται να του επιστρέψει σώο και αβλαβές αν η γυναίκα απαντήσει σωστά στην ερώτησή του: «Θα επιστρέψει το παιδί της;» Είναι σαφές ότι μια γυναίκα έχει δύο απαντήσεις - ναι ή όχι. Αν ισχυριστεί ότι ο κροκόδειλος θα της δώσει το παιδί, τότε όλα εξαρτώνται από το ζώο - θεωρώντας την απάντηση αληθινή, ο απαγωγέας θα αφήσει το παιδί να φύγει, αλλά αν πει ότι η μητέρα έκανε λάθος, τότε δεν θα δει το παιδί, σύμφωνα με όλους τους κανόνες της σύμβασης.
Η αρνητική απάντηση της γυναίκας περιπλέκει αρκετά τα πράγματα - αν αποδειχθεί αλήθεια, ο απαγωγέας πρέπει να εκπληρώσει τους όρους της συμφωνίας και να απελευθερώσει το παιδί, αλλά με αυτόν τον τρόπο η απάντηση της μητέρας δεν θα ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα. Για να διασφαλιστεί η αναλήθεια μιας τέτοιας απάντησης, ο κροκόδειλος χρειάζεται να επιστρέψει το παιδί στη μητέρα, αλλά αυτό είναι αντίθετο με τη σύμβαση, γιατί το λάθος της θα πρέπει να αφήσει το παιδί με τον κροκόδειλο.
Αξίζει να σημειωθεί ότι η συμφωνία που προσφέρει ο κροκόδειλος περιέχει μια λογική αντίφαση, άρα η υπόσχεσή του είναι ανεκπλήρωτη. Ο συγγραφέας αυτού του κλασικού σοφισμού θεωρείται ρήτορας, στοχαστής και πολιτικό πρόσωποΟ Κοράξ των Συρακουσών, που έζησε τον 5ο αιώνα π.Χ.
Απορία "Διχοτομία"
Άλλο ένα παράδοξο από τον Ζήνωνα της Ελέας, που καταδεικνύει την ανακρίβεια του εξιδανικευμένου μαθηματικού μοντέλου κίνησης. Το πρόβλημα μπορεί να τεθεί ως εξής - ας υποθέσουμε ότι ξεκινήσατε να περάσετε από κάποιο δρόμο της πόλης σας από την αρχή μέχρι το τέλος. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να ξεπεράσετε το πρώτο μισό του, μετά το μισό του υπόλοιπου μισού, μετά το μισό του επόμενου τμήματος και ούτω καθεξής. Με άλλα λόγια - περπατάτε το μισό ολόκληρης της απόστασης, μετά το ένα τέταρτο, το ένα όγδοο, το ένα δέκατο έκτο - ο αριθμός των μειούμενων τμημάτων του μονοπατιού τείνει στο άπειρο, αφού οποιοδήποτε υπόλοιπο τμήμα μπορεί να χωριστεί στα δύο, πράγμα που σημαίνει ότι είναι αδύνατο να πάμε σε όλη τη διαδρομή. Διατυπώνοντας ένα κάπως τραβηγμένο παράδοξο με την πρώτη ματιά, ο Ζήνων θέλησε να δείξει ότι οι μαθηματικοί νόμοι έρχονται σε αντίθεση με την πραγματικότητα, επειδή στην πραγματικότητα μπορείτε εύκολα να καλύψετε ολόκληρη την απόσταση χωρίς ίχνος.
Aporia "Flying Arrow"
Το περίφημο παράδοξο του Ζήνωνα της Ελέας αγγίζει τις βαθύτερες αντιφάσεις στις ιδέες των επιστημόνων για τη φύση της κίνησης και του χρόνου. Το Aporia διατυπώνεται ως εξής: ένα βέλος που εκτοξεύεται από τόξο παραμένει ακίνητο, αφού ανά πάσα στιγμή αναπαύεται χωρίς να κινείται. Εάν σε κάθε χρονική στιγμή το βέλος είναι σε ηρεμία, τότε είναι πάντα σε ηρεμία και δεν κινείται καθόλου, αφού δεν υπάρχει χρονική στιγμή κατά την οποία το βέλος κινείται στο διάστημα. 
Τα εξαιρετικά μυαλά της ανθρωπότητας προσπαθούν επί αιώνες να επιλύσουν το παράδοξο ενός ιπτάμενου βέλους, αλλά από λογική άποψη, είναι απολύτως σωστό. Για να το αντικρούσουμε, είναι απαραίτητο να εξηγήσουμε πώς ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα μπορεί να αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό χρονικών στιγμών - ακόμη και ο Αριστοτέλης, που επέκρινε πειστικά την απορία του Ζήνωνα, απέτυχε να το αποδείξει αυτό. Ο Αριστοτέλης επεσήμανε σωστά ότι μια χρονική περίοδος δεν μπορεί να θεωρηθεί το άθροισμα ορισμένων αδιαίρετων μεμονωμένων στιγμών, αλλά πολλοί επιστήμονες πιστεύουν ότι η προσέγγισή του δεν διαφέρει σε βάθος και δεν αντικρούει την ύπαρξη ενός παραδόξου. Αξίζει να σημειωθεί ότι θέτοντας το πρόβλημα ενός ιπτάμενου βέλους, ο Ζήνων δεν επιδίωξε να αντικρούσει τη δυνατότητα κίνησης, ως τέτοια, αλλά να αποκαλύψει αντιφάσεις σε ιδεαλιστικές μαθηματικές έννοιες.
Το παράδοξο του Γαλιλαίου
Στις συνομιλίες και τις μαθηματικές αποδείξεις του σχετικά με δύο νέους κλάδους της επιστήμης, ο Galileo Galilei πρότεινε ένα παράδοξο που καταδεικνύει τις περίεργες ιδιότητες των άπειρων συνόλων. Ο επιστήμονας διατύπωσε δύο αντιφατικές κρίσεις. Πρώτον, υπάρχουν αριθμοί που είναι τα τετράγωνα άλλων ακεραίων, όπως 1, 9, 16, 25, 36 κ.ο.κ. Υπάρχουν άλλοι αριθμοί που δεν έχουν αυτήν την ιδιότητα - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 και παρόμοια. Άρα ο συνολικός αριθμός των τέλειων τετραγώνων και συνηθισμένους αριθμούςπρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό μόνο των τέλειων τετραγώνων. Δεύτερη κρίση: για τον καθένα φυσικός αριθμόςβρες το Τέλειο τετράγωνο, και για κάθε τετράγωνο υπάρχει ένας ακέραιος αριθμός Τετραγωνική ρίζα, δηλαδή ο αριθμός των τετραγώνων είναι ίσος με τον αριθμό των φυσικών αριθμών.
Με βάση αυτή την αντίφαση, ο Γαλιλαίος συμπέρανε ότι ο συλλογισμός για τον αριθμό των στοιχείων εφαρμόζεται μόνο σε πεπερασμένα σύνολα, αν και οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί εισήγαγαν την έννοια της καρδιαλικότητας ενός συνόλου - με τη βοήθειά του, η ορθότητα της δεύτερης κρίσης του Γαλιλαίου αποδείχθηκε επίσης για άπειρα σύνολα .
Παράδοξο με σάκο πατάτας 
Ας υποθέσουμε ότι ένας συγκεκριμένος αγρότης έχει ένα σακουλάκι με πατάτες που ζυγίζει ακριβώς 100 κιλά. Αφού εξέτασε το περιεχόμενό του, ο αγρότης ανακαλύπτει ότι η σακούλα ήταν αποθηκευμένη σε υγρασία - το 99% της μάζας της είναι νερό και το 1% των υπόλοιπων ουσιών που περιέχονται στις πατάτες. Αποφασίζει να στεγνώσει λίγο τις πατάτες, ώστε η περιεκτικότητά τους σε νερό να πέσει στο 98% και να μεταφέρει τη σακούλα σε ξηρό μέρος. Την επόμενη μέρα, αποδεικνύεται ότι ένα λίτρο (1 κιλό) νερού έχει πραγματικά εξατμιστεί, αλλά το βάρος της τσάντας έχει μειωθεί από 100 σε 50 κιλά, πώς μπορεί να είναι αυτό; Ας υπολογίσουμε - το 99% των 100 kg είναι 99 kg, πράγμα που σημαίνει ότι η αναλογία της μάζας του ξηρού υπολείμματος και της μάζας του νερού ήταν αρχικά 1/99. Μετά την ξήρανση, το νερό περιέχει το 98% της συνολικής μάζας του σάκου, που σημαίνει ότι η αναλογία της μάζας του ξηρού υπολείμματος προς τη μάζα του νερού είναι πλέον 1/49. Δεδομένου ότι η μάζα του υπολείμματος δεν έχει αλλάξει, το υπόλοιπο νερό ζυγίζει 49 κιλά.
Φυσικά, ένας προσεκτικός αναγνώστης θα εντοπίσει αμέσως ένα χονδροειδές μαθηματικό σφάλμα στους υπολογισμούς - το φανταστικό κόμικ «παράδοξο με σάκο πατάτας» μπορεί να θεωρηθεί εξαιρετικό παράδειγμα του πώς, με την πρώτη ματιά, μπορεί κυριολεκτικά να οικοδομήσει μια «λογική» και «επιστημονικά υποστηριζόμενη» συλλογιστική. μια θεωρία που έρχεται σε αντίθεση με την κοινή λογική από το μηδέν.νόημα.
Raven Paradox
Το πρόβλημα είναι επίσης γνωστό ως το παράδοξο του Hempel - έλαβε το δεύτερο όνομά του προς τιμήν του Γερμανού μαθηματικού Carl Gustav Hempel, του συγγραφέα της κλασικής του εκδοχής. Το πρόβλημα διατυπώνεται πολύ απλά: κάθε κοράκι είναι μαύρο. Από αυτό προκύπτει ότι οτιδήποτε δεν είναι μαύρο δεν μπορεί να είναι κοράκι. Ο νόμος αυτός ονομάζεται λογική αντίθεση, δηλαδή αν μια ορισμένη υπόθεση «Α» έχει συνέπεια «Β», τότε η άρνηση του «Β» ισοδυναμεί με την άρνηση του «Α». Εάν κάποιος δει ένα μαύρο κοράκι, αυτό ενισχύει την πεποίθησή του ότι όλα τα κοράκια είναι μαύρα, κάτι που είναι αρκετά λογικό, ωστόσο, σύμφωνα με την αντίθεση και την αρχή της επαγωγής, είναι λογικό να υποστηριχθεί ότι η παρατήρηση μη μαύρων αντικειμένων (π. , κόκκινα μήλα) αποδεικνύει επίσης ότι όλα τα κοράκια είναι βαμμένα μαύρα. Με άλλα λόγια, το γεγονός ότι ένας άνθρωπος μένει στην Αγία Πετρούπολη αποδεικνύει ότι δεν μένει στη Μόσχα.
Από τη σκοπιά της λογικής, το παράδοξο φαίνεται άψογο, αλλά έρχεται σε αντίθεση πραγματική ζωή- τα κόκκινα μήλα σε καμία περίπτωση δεν μπορούν να επιβεβαιώσουν το γεγονός ότι όλα τα κοράκια είναι μαύρα.
Μη χάσεις.Εγγραφείτε και λάβετε έναν σύνδεσμο για το άρθρο στο email σας.
Τι είναι το παράδοξο; Ένα παράδοξο είναι δύο ασύμβατες και αντίθετες δηλώσεις, που η καθεμία έχει πειστικά επιχειρήματα προς τη δική της κατεύθυνση. Η πιο έντονη μορφή παραδόξου είναι η αντινομία - συλλογισμός που αποδεικνύει την ισοδυναμία των δηλώσεων, η μία από τις οποίες είναι σαφής άρνηση της άλλης. Και τα παράδοξα στις πιο ακριβείς και αυστηρές επιστήμες, όπως, για παράδειγμα, η λογική, αξίζουν ιδιαίτερης προσοχής.
Η λογική, όπως γνωρίζετε, είναι μια αφηρημένη επιστήμη. Δεν έχει θέση για πειράματα και συγκεκριμένα γεγονότα με τη συνήθη τους έννοια. προϋποθέτει πάντα ανάλυση της πραγματικής σκέψης. Αλλά εξακολουθούν να υπάρχουν αποκλίσεις στη θεωρία της λογικής και στην πρακτική της πραγματικής σκέψης. Και η πιο προφανής επιβεβαίωση αυτού είναι τα λογικά παράδοξα, και μερικές φορές ακόμη και η λογική αντινομία, που προσωποποιεί την ασυνέπεια της ίδιας της λογικής θεωρίας. Αυτό ακριβώς εξηγεί τη σημασία των λογικών παραδόξων και την προσοχή που δίνεται σε αυτά τα παράδοξα στη λογική επιστήμη. Παρακάτω θα σας παρουσιάσουμε τα πιο εντυπωσιακά παραδείγματα λογικών παραδόξων. Αυτές οι πληροφορίες σίγουρα θα ενδιαφέρουν τόσο αυτούς που μελετούν τη λογική σε βάθος, όσο και εκείνους που απλώς τους αρέσει να μαθαίνουν νέες και ενδιαφέρουσες πληροφορίες.
Ας ξεκινήσουμε με τα παράδοξα που συνέταξε ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ο Ελέας, που έζησε τον 5ο αιώνα π.Χ. Τα παράδοξά του ονομάζονται «Απορίες του Ζήνωνα» και μάλιστα έχουν τη δική τους ερμηνεία.
Απορία Ζήνωνα
Οι αποριές του Ζήνωνα είναι εξωτερικά παράδοξα επιχειρήματα για την κίνηση και το πλήθος. Συνολικά, περισσότερες από 40 απορία αναφέρθηκαν από τους συγχρόνους του Ζήνωνα (παρεμπιπτόντως, η λέξη «απορία» από την αρχαία ελληνική γλώσσα μεταφράζεται ως «δυσκολία») της συγγραφής του, αλλά μόνο εννέα από αυτές έχουν διασωθεί μέχρι σήμερα. Εάν θέλετε, μπορείτε να εξοικειωθείτε μαζί τους στα γραπτά του Αριστοτέλη, του Διογένη Λαέρτιου, του Πλάτωνα, του Θεμιστιού, του Φιλόπονου, του Αίλιου και της Σιμπλικίας. Θα δώσουμε παραδείγματα από τα τρία πιο διάσημα.
Ο Αχιλλέας και η χελώνα
Φανταστείτε ότι ο Αχιλλέας τρέχει με δέκα φορές την ταχύτητα της χελώνας και είναι χίλια βήματα πίσω του. Ενώ ο Αχιλλέας τρέχει χίλια βήματα, η χελώνα θα κάνει μόνο εκατό. Ενώ ο Αχιλλέας θα ξεπεράσει άλλες εκατό, η χελώνα θα έχει χρόνο να κάνει δέκα, και ούτω καθεξής. Και αυτή η διαδικασία θα συνεχιστεί επ' αόριστον και ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.
Διχοτόμηση
Για να ξεπεράσει κάποιος ένα συγκεκριμένο μονοπάτι, πρέπει αρχικά να ξεπεράσει το μισό του, και για να ξεπεράσει το μισό, πρέπει να ξεπεράσει το μισό αυτού του μισού κ.ο.κ. Με βάση αυτό, το κίνημα δεν θα ξεκινήσει ποτέ.
ιπτάμενο βέλος
Ένα ιπτάμενο βέλος μένει πάντα στη θέση του, γιατί. σε οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία κάθε δεδομένη στιγμή, είναι πάντα σε ηρεμία.
Εδώ θα είναι σκόπιμο να φέρουμε ένα άλλο παράδοξο.
Ψεύτης παράδοξο
Η πατρότητα αυτού του παραδόξου αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα ιερέα και μάντη Επιμενίδη. Το παράδοξο ακούγεται ως εξής: «Σε τι βρίσκομαι αυτή τη στιγμήΛέω - ψέμα, δηλ. αποδεικνύεται: είτε «λέω ψέματα» είτε «η δήλωσή μου είναι ψευδής». Αυτό σημαίνει ότι εάν η πρόταση είναι αληθής, τότε, με βάση το περιεχόμενό της, είναι ψευδής, αλλά εάν αυτή η δήλωση είναι αρχικά ψευδής, τότε αυτή και η δήλωση είναι ψευδής. Αποδεικνύεται ότι αυτή η δήλωση είναι ψευδής. Επομένως, η δήλωση είναι αληθινή - αυτό το συμπέρασμα μας επαναφέρει στην αρχή του συλλογισμού μας.
Στις μέρες μας, το παράδοξο του ψεύτη θεωρείται ως μια από τις διατυπώσεις του παραδόξου του Ράσελ.
Το παράδοξο του Ράσελ
Το παράδοξο του Russell ανακαλύφθηκε το 1901 από τον Βρετανό φιλόσοφο Bertrand Russell και αργότερα ανακαλύφθηκε ξανά ανεξάρτητα από τον Γερμανό μαθηματικό Ernst Zermelo (μερικές φορές αναφέρεται ως το «παράδοξο Russell-Zermelo»). Αυτό το παράδοξο καταδεικνύει την ασυνέπεια λογικό σύστημα Frege, στο οποίο τα μαθηματικά ανάγονται στη λογική. Το παράδοξο του Ράσελ έχει διάφορες διατυπώσεις:
- Το παράδοξο της παντοδυναμίας - είναι ένας παντοδύναμος που μπορεί να δημιουργήσει οτιδήποτε μπορεί να περιορίσει την παντοδυναμία του;
- Ας υποθέσουμε ότι κάποια βιβλιοθήκη έχει θέσει ως στόχο τη σύνταξη ενός μεγάλου βιβλιογραφικού καταλόγου, ο οποίος θα πρέπει να περιλαμβάνει όλους και μόνο εκείνους τους βιβλιογραφικούς καταλόγους που δεν περιέχουν αναφορές στον εαυτό τους. Ε: Χρειάζεται να συμπεριλάβω έναν σύνδεσμο προς αυτό σε αυτόν τον κατάλογο;
- Για παράδειγμα, σε κάποια χώρα ψηφίστηκε νόμος που ορίζει ότι οι δήμαρχοι όλων των πόλεων απαγορεύεται να ζουν στην πόλη τους και επιτρέπεται να ζουν μόνο στην «Πόλη των Δημάρχων». Πού θα μένει, λοιπόν, ο δήμαρχος αυτής της πόλης;
- Το παράδοξο του κουρέα είναι ότι υπάρχει μόνο ένας κουρέας στο χωριό και του δίνουν εντολή να ξυρίζει όποιον δεν ξυρίζεται μόνος του και να μην ξυρίζει αυτούς που ξυρίζονται μόνοι τους. Ε: Ποιος πρέπει να ξυρίσει τον κουρέα;
Δεν είναι λιγότερο ενδιαφέροντα και διασκεδαστικά τα ακόλουθα παράδοξα.
Το παράδοξο Burali-Forti
Η υπόθεση ότι η ιδέα της δυνατότητας ενός συνόλου τακτικών αριθμών μπορεί να οδηγήσει σε αντιφάσεις, πράγμα που σημαίνει ότι η θεωρία των συνόλων, στην οποία είναι δυνατή η κατασκευή ενός συνόλου τακτικών αριθμών, θα είναι αντιφατική.
Το παράδοξο του Κάντορ
Η υπόθεση της δυνατότητας ενός συνόλου όλων των συνόλων μπορεί να οδηγήσει σε αντιφάσεις, πράγμα που σημαίνει ότι η θεωρία σύμφωνα με την οποία μπορεί να κατασκευαστεί ένα τέτοιο σύνολο θα είναι επίσης αντιφατική.
Το παράδοξο του Χίλμπερτ
Η ιδέα ότι αν όλα τα δωμάτια σε ένα ξενοδοχείο με άπειρο αριθμό δωματίων είναι κατειλημμένα, ούτως ή άλλως μπορούν να φιλοξενηθούν περισσότερα άτομα σε αυτό και ο αριθμός τους μπορεί να είναι άπειρος. Αυτό το παράδοξο εξηγεί ότι οι νόμοι της λογικής είναι απολύτως απαράδεκτοι για τις ιδιότητες του άπειρου.
Ψευδές συμπέρασμα Μόντε Κάρλο
Το συμπέρασμα είναι ότι όταν παίζετε ρουλέτα, μπορείτε να στοιχηματίσετε με ασφάλεια στο κόκκινο εάν το μαύρο έχει πέσει δέκα φορές στη σειρά. Το συμπέρασμα αυτό θεωρείται ψευδές για το λόγο ότι, σύμφωνα με τη θεωρία των πιθανοτήτων, η εμφάνιση οποιουδήποτε μεταγενέστερου γεγονότος δεν επηρεάζεται από το γεγονός που προηγείται.
Παράδοξο Αϊνστάιν-Ποντόλσκι-Ρόζεν
Το ερώτημα είναι αν οι διαδικασίες και τα γεγονότα που αναπτύσσονται μακριά το ένα από το άλλο μπορούν να επηρεάσουν το ένα το άλλο; Για παράδειγμα, η γέννηση ενός σουπερνόβα σε έναν μακρινό γαλαξία επηρεάζει με οποιονδήποτε τρόπο τον καιρό στη Μόσχα; Ως απάντηση μπορούν να αναφερθούν τα εξής: με βάση τους νόμους της κβαντικής μηχανικής, μια τέτοια επιρροή είναι αδύνατη λόγω του γεγονότος ότι τόσο η ταχύτητα του φωτός όσο και η ταχύτητα μεταφοράς πληροφοριών είναι πεπερασμένα μεγέθη και το Σύμπαν είναι άπειρο.
Δίδυμο παράδοξο
Ερώτηση: ο δίδυμος ταξιδιώτης, που επέστρεψε από το διαστημικό ταξίδι με ένα υπερφωτεινό διαστημόπλοιο, θα είναι νεότερος από τον αδερφό του, ο οποίος παρέμεινε στη Γη όλο αυτό το διάστημα; Αν προχωρήσουμε από τη θεωρία της σχετικότητας, τότε έχει περάσει περισσότερος χρόνος στη Γη (σύμφωνα με τη χρονική πορεία της γης) παρά σε ένα διαστημόπλοιο που πετά με υπερφωτεινή ταχύτητα, πράγμα που σημαίνει ότι ο δίδυμος ταξιδιώτης θα είναι νεότερος.
Παράδοξο του νεκρού παππού
Φανταστείτε ότι ήσουν στο παρελθόν και σκότωσες τον παππού σου πριν γνωρίσει τη γιαγιά σου. Το συμπέρασμα προκύπτει ότι δεν θα γεννηθείς και δεν θα μπορείς να γυρίσεις τον χρόνο πίσω για να σκοτώσεις τον παππού σου. Το παρουσιαζόμενο παράδοξο καταδεικνύει ξεκάθαρα την αδυναμία ταξιδιού στο παρελθόν.
Το παράδοξο του προορισμού
Για παράδειγμα, ένα άτομο βρίσκεται στο παρελθόν, έχει σεξουαλική επαφή με την προγιαγιά του και κυοφορεί τον γιο της, δηλ. ο παππούς του. Αυτό προκαλεί μια διαδοχή απογόνων, συμπεριλαμβανομένων των γονέων αυτού του ατόμου, καθώς και του ίδιου. Αποδεικνύεται ότι αν αυτό το άτομο δεν είχε ταξιδέψει στο παρελθόν, δεν θα είχε γεννηθεί ποτέ.
Αυτά είναι μερικά μόνο από τα λογικά παράδοξα που απασχολούν το μυαλό πολλών ανθρώπων σήμερα. Δεν θα είναι δύσκολο για ένα περίεργο μυαλό να βρει περισσότερα από δώδεκα παρόμοια (για παράδειγμα,). Ένας σημαντικός χρόνος και προσπάθεια μπορεί να αφιερωθεί στη μελέτη, τη διάψευση ή την απόδειξη καθενός από αυτά. Και, πολύ πιθανό, για κάθε παράδοξο, μπορείτε να σχηματίσετε τα δικά σας προσωπικά πρωτότυπα συμπεράσματα. Αλλά αυτό μας λέει ότι, παρά την επικράτηση των νόμων της λογικής και των σχέσεων αιτίου-αποτελέσματος στη ζωή μας, δεν εξαρτώνται τα πάντα στη ζωή μας από αυτούς. Μερικές φορές προκύπτουν αντιφάσεις παρόμοιες με λογικά παράδοξα Καθημερινή ζωήκάθε άνθρωπος. Είτε έτσι είτε αλλιώς, αυτό είναι εξαιρετική τροφή για σκέψη και τροφή για σκέψη.
Παρεμπιπτόντως, όσον αφορά τους προβληματισμούς: στο θέμα των λογικών παραδόξων, υπάρχουν πολύ ενδιαφέρον βιβλίομε τίτλο Gödel, Escher και Bach. Συγγραφέας του είναι ο Αμερικανός φυσικός και επιστήμονας υπολογιστών Douglas Hofstadter.
Αγαπητοί αναγνώστες, θα ήταν υπέροχο εάν στα σχόλιά σας αναφέρατε μερικά παραδείγματα λογικών παραδόξων γνωστών σε εσάς. Και θα μας ενδιέφερε επίσης η γνώμη σας για τη σημασία της λογικής στη ζωή μας - Ψηφίστε μια από τις παρακάτω δηλώσεις.
Λογικά αδιέξοδα (Παράδοξα)
Η σοφιστεία πρέπει να διακρίνεται λογικά παράδοξα(από τα ελληνικά. παράδοξα -«απροσδόκητο, παράξενο»). Το παράδοξο με την ευρεία έννοια της λέξης είναι κάτι ασυνήθιστο και εκπληκτικό, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με τις συνήθεις προσδοκίες, την κοινή λογική και την εμπειρία ζωής. Ένα λογικό παράδοξο είναι μια τόσο ασυνήθιστη και εκπληκτική κατάσταση όταν δύο αντιφατικές κρίσεις όχι μόνο αληθεύουν ταυτόχρονα (κάτι που είναι αδύνατο λόγω των λογικών νόμων της αντίφασης και της αποκλειόμενης μέσης), αλλά και η μία από την άλλη, προκαλεί η μία την άλλη. Αν ο σοφισμός είναι πάντα κάποιο είδος τέχνασμα, ένα εσκεμμένο λογικό λάθος που μπορεί να ανιχνευθεί, να αποκαλυφθεί και να εξαλειφθεί, τότε ένα παράδοξο είναι μια άλυτη κατάσταση, ένα είδος ψυχικού αδιεξόδου, ένα «εμπόδιο» στη λογική: σε όλη την ιστορία του, πολλά Έχουν προταθεί διάφοροι τρόποι υπέρβασης και εξάλειψης των παραδόξων, αλλά κανένας από αυτούς δεν είναι ακόμη εξαντλητικός, οριστικός και γενικά αναγνωρισμένος.
Το πιο διάσημο λογικό παράδοξο είναι το παράδοξο του «ψεύτη». Συχνά αναφέρεται ως «ο βασιλιάς των λογικών παραδόξων». Ανοίχτηκε μέσα Αρχαία Ελλάδα. Σύμφωνα με το μύθο, ο φιλόσοφος Διόδωρος Κρόνος ορκίστηκε να μην φάει μέχρι να λύσει αυτό το παράδοξο και πέθανε από την πείνα χωρίς να πετύχει τίποτα. και ένας άλλος στοχαστής, ο Φιλήτος της Κω, έπεσε σε απόγνωση από την αδυναμία να βρει λύση στο παράδοξο του «ψεύτη» και αυτοκτόνησε πετώντας από έναν γκρεμό στη θάλασσα. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές διατυπώσεις αυτού του παραδόξου. Διατυπώνεται πιο συνοπτικά και απλά σε μια κατάσταση όπου ένα άτομο προφέρει μια απλή φράση: Είμαι ένας ψεύτης.Η ανάλυση αυτής της στοιχειώδους και έξυπνης εκ πρώτης όψεως δήλωσης οδηγεί σε ένα εκπληκτικό αποτέλεσμα. Όπως γνωρίζετε, οποιαδήποτε δήλωση (συμπεριλαμβανομένων των παραπάνω) μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής. Ας εξετάσουμε και τις δύο περιπτώσεις διαδοχικά, στην πρώτη από τις οποίες αυτή η δήλωση είναι αληθής και στη δεύτερη - ψευδής.
Ας πούμε τη φράση είμαι ένας ψεύτηςαλήθεια, δηλαδή το άτομο που το είπε είπε την αλήθεια, αλλά στην περίπτωση αυτή είναι πραγματικά ψεύτης, επομένως, έχοντας πει αυτή τη φράση, είπε ψέματα. Τώρα ας υποθέσουμε ότι η φράση είμαι ένας ψεύτηςείναι ψευδής, δηλαδή αυτός που το είπε είπε ψέματα, αλλά στην προκειμένη περίπτωση δεν είναι ψεύτης, αλλά αναζητητής της αλήθειας, επομένως, έχοντας πει αυτή τη φράση, είπε την αλήθεια. Αποδεικνύεται κάτι εκπληκτικό και ακόμη και αδύνατο: αν κάποιος είπε την αλήθεια, τότε είπε ψέματα. και αν είπε ψέματα, τότε είπε την αλήθεια (δύο αντιφατικές κρίσεις όχι μόνο αληθεύουν ταυτόχρονα, αλλά και απορρέουν η μια από την άλλη).
Ένα άλλο γνωστό λογικό παράδοξο, που ανακαλύφθηκε στις αρχές του 20ου αιώνα από τον Άγγλο λογικό και φιλόσοφο
Ο Μπέρτραντ Ράσελ, είναι το παράδοξο του «κουρέα της χώρας». Φανταστείτε ότι σε ένα συγκεκριμένο χωριό υπάρχει μόνο ένας κουρέας που ξυρίζει όσους από τους κατοίκους της δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Μια ανάλυση αυτής της απλής κατάστασης οδηγεί σε ένα εξαιρετικό συμπέρασμα. Ας αναρωτηθούμε: μπορεί ένας χωριάτικος κουρέας να ξυριστεί; Εξετάστε και τις δύο επιλογές, στην πρώτη από τις οποίες ξυρίζεται μόνος του και στη δεύτερη δεν ξυρίζεται.
Ας υποθέσουμε ότι ο κουρέας του χωριού ξυρίζεται μόνος του, αλλά μετά αναφέρεται σε εκείνους τους χωρικούς που ξυρίζονται μόνοι τους και δεν τους ξυρίζει ο κουρέας, επομένως, στην προκειμένη περίπτωση, δεν ξυρίζεται μόνος του. Τώρα ας υποθέσουμε ότι ο κουρέας του χωριού δεν ξυρίζεται μόνος του, αλλά τότε είναι από τους χωρικούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους και τους ξυρίζει ο κουρέας, οπότε σε αυτή την περίπτωση ξυρίζεται μόνος του. Όπως μπορείτε να δείτε, αποδεικνύεται απίστευτο: αν ένας κομμωτής του χωριού ξυριστεί, τότε δεν ξυρίζεται μόνος του. και αν δεν ξυριστεί μόνος του, τότε ξυρίζεται (δύο αντιφατικές κρίσεις είναι και αληθινές και αλληλοεξαρτώνται).
Τα παράδοξα «ψεύτης» και «κουρέας του χωριού», μαζί με άλλα παρόμοια παράδοξα, ονομάζονται επίσης αντινομίες(από τα ελληνικά. αντινομία-«αντίθεση στο νόμο»), δηλαδή επιχειρήματα στα οποία αποδεικνύεται ότι δύο προτάσεις που αναιρούν η μία την άλλη διαδέχονται η μία την άλλη. Οι αντινομίες θεωρούνται η πιο ακραία μορφή παραδόξων. Ωστόσο, αρκετά συχνά οι όροι «λογικό παράδοξο» και «αντινομία» θεωρούνται ως συνώνυμοι.
Μια λιγότερο εκπληκτική διατύπωση, αλλά όχι λιγότερο διάσημη από τα παράδοξα του «ψεύτη» και του «κουρέα του χωριού», έχει το παράδοξο «Πρωταγόρας και Εύαθλος», που εμφανίστηκε, όπως ο «ψεύτης», στην Αρχαία Ελλάδα. Βασίζεται σε μια φαινομενικά ανεπιτήδευτη ιστορία, η οποία έγκειται στο γεγονός ότι ο σοφιστής Πρωταγόρας είχε μαθητή τον Εύαθλο, ο οποίος του πήρε μαθήματα λογικής και ρητορικής.
(εν προκειμένω πολιτική και δικαστική ευγλωττία). Δάσκαλος και μαθητής συμφώνησαν ότι ο Euathlus θα πλήρωνε τα δίδακτρα του Πρωταγόρα μόνο αν κέρδιζε την πρώτη του δίκη. Ωστόσο, με την ολοκλήρωση της εκπαίδευσης, ο Euathlus δεν συμμετείχε σε καμία διαδικασία και φυσικά δεν πλήρωσε χρήματα στον δάσκαλο. Ο Πρωταγόρας τον απείλησε ότι θα του κάνει μήνυση και μετά θα έπρεπε να πληρώσει ούτως ή άλλως ο Εύαθλος. «Είτε θα καταδικαστείς σε αμοιβή, είτε δεν θα επιδικαστείς», του είπε ο Πρωταγόρας, «αν καταδικαστείς να πληρώσεις, θα πρέπει να πληρώσεις σύμφωνα με την ετυμηγορία του δικαστηρίου. εάν δεν κριθείτε ότι θα πληρώσετε, τότε εσείς, ως νικητής της πρώτης σας αγωγής, θα πρέπει να πληρώσετε σύμφωνα με τη συμφωνία μας. Σε αυτό ο Εύαθλος του απάντησε: «Ακριβώς: Ή θα καταδικαστώ να πληρώσω ένα τέλος, ή δεν θα με καταδικάσουν. αν με διαταξουν να πληρωσω, τοτε εγω ως χαμενος της πρωτης μου δικης δεν θα πληρωσω συμφωνα με μας? αν δεν κριθώ να πληρώσω, τότε δεν θα πληρώσω σύμφωνα με την ετυμηγορία του δικαστηρίου. Έτσι, το ερώτημα εάν η Euathlus πρέπει να καταβάλει τέλος στον Πρωταγόρα ή όχι είναι άλυτο. Η συμφωνία μεταξύ δασκάλου και μαθητή, παρά την εντελώς αθώα εμφάνισή της, είναι εσωτερικά ή λογικά αντιφατική, αφού απαιτεί την εκτέλεση μιας αδύνατης ενέργειας: η Euathlus πρέπει να πληρώνει και τα δίδακτρα και να μην πληρώνει ταυτόχρονα. Εξαιτίας αυτού, η ίδια η συμφωνία Πρωταγόρα και Ευαθλού, καθώς και το ζήτημα της αγωγής τους, δεν είναι παρά ένα λογικό παράδοξο.
Μια ξεχωριστή ομάδα παραδόξων είναι απορία(από τα ελληνικά. απορία-«Δυσκολία, σύγχυση») - συλλογισμός που δείχνει τις αντιφάσεις μεταξύ αυτού που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις (βλέπουμε, ακούμε, αγγίζουμε κ.λπ.) και αυτού που μπορεί να αναλυθεί διανοητικά (με άλλα λόγια, τις αντιφάσεις μεταξύ του ορατού και του νοητού) . Τα πιο γνωστά απορία που προτάθηκαν αρχαίος Έλληνας φιλόσοφοςΟ Ζήνων της Ελέας, ο οποίος υποστήριξε ότι η κίνηση που παρατηρούμε παντού δεν μπορεί να γίνει αντικείμενο νοητικής ανάλυσης, δηλαδή η κίνηση φαίνεται, αλλά δεν μπορεί να γίνει σκέψη. Μια από τις απορία του ονομάζεται «Διχοτομία» (ελλην. διχοτομία-"διχοτόμηση"). Ας υποθέσουμε ότι κάποιο σώμα πρέπει να περάσει από το σημείο ΑΛΛΑστην παράγραφο ΣΤΟ.Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι μπορούμε να δούμε πώς το σώμα, αφήνοντας ένα σημείο, μετά από κάποιο χρονικό διάστημα φτάνει στο άλλο. Ωστόσο, ας μην εμπιστευόμαστε τα μάτια μας, που μας λένε ότι το σώμα κινείται, και ας προσπαθήσουμε να αντιληφθούμε την κίνηση όχι με τα μάτια μας, αλλά με τις σκέψεις μας, ας προσπαθήσουμε να μην τη δούμε, αλλά να σκεφτούμε. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε το εξής. Πριν φύγετε από την παράγραφο ΑΛΛΑστην παράγραφο ΣΤΟ,το σώμα πρέπει να διανύσει τη μισή διαδρομή, γιατί αν δεν πάει μέχρι τη μέση, τότε, φυσικά, δεν θα πάει μέχρι το τέλος. Αλλά πριν το σώμα πάει στα μισά, πρέπει να διανύσει το 1/4 της διαδρομής. Ωστόσο, προτού διανύσει αυτό το 1/4 της διαδρομής, πρέπει να έχει διανύσει το 1/8 της διαδρομής. και ακόμη νωρίτερα, πρέπει να πάει το 1/16 της διαδρομής, και πριν από αυτό - το 1/32 του μέρους, και πριν από αυτό - το 1/64 του μέρους, και πριν από αυτό - το 1/128 του μέρους, και ούτω καθεξής επί άπειρον. Σημαίνει να περάσεις από το σημείο ΕΝΑστην παράγραφο ΣΤΟ,το σώμα πρέπει να περάσει από έναν άπειρο αριθμό τμημάτων αυτής της διαδρομής. Είναι δυνατόν να περάσει κανείς από το άπειρο; Αδύνατο! Επομένως, το σώμα δεν μπορεί ποτέ να ακολουθήσει τον δικό του δρόμο. Έτσι, τα μάτια μαρτυρούν ότι ο δρόμος θα περάσει, και η σκέψη, αντίθετα, το αρνείται (το ορατό έρχεται σε αντίθεση με το νοητό).
Μια άλλη πολύ γνωστή απορία του Ζήνωνα της Ελέας - "Ο Αχιλλέας και η χελώνα" - υποδηλώνει ότι μπορούμε κάλλιστα να δούμε πώς ο γρήγορος Αχιλλέας προλαβαίνει και προσπερνά τη χελώνα που σέρνεται αργά μπροστά του. Ωστόσο, η νοητική ανάλυση μας οδηγεί στο ασυνήθιστο συμπέρασμα ότι ο Αχιλλέας δεν μπορεί ποτέ να φτάσει τη χελώνα, παρόλο που κινείται 10 φορές πιο γρήγορα από αυτήν. Όταν ξεπεράσει την απόσταση από τη χελώνα, τότε στον ίδιο χρόνο (άλλωστε και αυτή κινείται) θα περάσει 10 φορές λιγότερο (αφού κινείται 10 φορές πιο αργά), δηλαδή το 1/10 της διαδρομής που διένυσε ο Αχιλλέας και αυτό το 1/10 θα είναι μπροστά του.
Όταν ο Αχιλλέας έχει διανύσει αυτό το 1/10 μέρος του μονοπατιού, τότε η χελώνα θα διανύσει 10 φορές λιγότερη απόσταση ταυτόχρονα, δηλαδή το 1/100 της διαδρομής και αυτό το 1/100 μέρος θα είναι μπροστά από τον Αχιλλέα. Όταν περάσει το 1/100 του μονοπατιού που τον χωρίζει από τη χελώνα, τότε ταυτόχρονα θα περάσει και το 1/1000 του μονοπατιού, παραμένοντας ακόμα μπροστά από τον Αχιλλέα, και ούτω καθεξής επ’ άπειρον. Έτσι, είμαστε πάλι πεπεισμένοι ότι τα μάτια μας λένε για ένα πράγμα και η σκέψη για κάτι εντελώς διαφορετικό (το ορατό το αρνείται ο σκεπτόμενος).
Μια άλλη απορία του Ζήνωνα - το "Βέλος" - μας καλεί να σκεφτούμε νοερά την πτήση ενός βέλους από το ένα σημείο στο διάστημα στο άλλο. Τα μάτια μας, φυσικά, δείχνουν ότι το βέλος πετάει ή κινείται. Ωστόσο, τι θα συμβεί αν προσπαθήσουμε, αποσπώντας την οπτική εντύπωση, να σκεφτούμε το πέταγμα του; Για να το κάνουμε αυτό, ας αναρωτηθούμε μια απλή ερώτηση: πού είναι τώρα το ιπτάμενο βέλος; Εάν, απαντώντας σε αυτή την ερώτηση, πούμε, για παράδειγμα, Είναι εδώ τώραή Είναι εδώ τώραή Είναι εκεί τώρατότε όλες αυτές οι απαντήσεις θα σημαίνουν όχι το πέταγμα ενός βέλους, αλλά απλώς την ακινησία του, γιατί να είσαι εδώ,ή εδώ,ή εκεί -σημαίνει ξεκούραση, όχι κίνηση. Πώς μπορούμε να απαντήσουμε στην ερώτηση -πού είναι τώρα το ιπτάμενο βέλος- με τέτοιο τρόπο ώστε η απάντηση να αντικατοπτρίζει την πτήση του και όχι την ακινησία; Η μόνη πιθανή απάντηση σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να είναι: Τώρα είναι παντού και πουθενά.Είναι όμως δυνατόν να είσαι παντού και πουθενά ταυτόχρονα; Έτσι, ενώ προσπαθούσαμε να σκεφτούμε το πέταγμα ενός βέλους, συναντήσαμε μια λογική αντίφαση, έναν παραλογισμό - το βέλος είναι παντού και πουθενά. Αποδεικνύεται ότι η κίνηση ενός βέλους φαίνεται αρκετά καλά, αλλά δεν μπορεί να συλληφθεί, με αποτέλεσμα να είναι αδύνατη, όπως κάθε κίνηση γενικά. Με άλλα λόγια, το να κινείσαι, από τη σκοπιά της σκέψης, και όχι των αισθητηριακών αντιλήψεων, σημαίνει να βρίσκεσαι σε ένα ορισμένο μέρος και να μην βρίσκεσαι ταυτόχρονα σε αυτό, κάτι που φυσικά είναι αδύνατο.
Στις απορίες του, ο Ζήνων συγκρούστηκε σε μια «πρόσωπο με πρόσωπο αντιπαράθεση» τα δεδομένα των αισθήσεων (μιλώντας για την πολλαπλότητα, τη διαιρετότητα και την κίνηση όλων όσων υπάρχουν, διαβεβαιώνοντάς μας ότι ο στόλιστος Αχιλλέας θα προλάβει την αργή χελώνα , και το βέλος θα φτάσει στο στόχο) και εικασίες (που δεν μπορούν να σκεφτούν την κίνηση ή την πολλαπλότητα των αντικειμένων του κόσμου χωρίς να πέσουν σε αντίφαση).
Κάποτε, όταν ο Ζήνων απέδειξε το ασύλληπτο και την αδυναμία κίνησης σε μια συγκέντρωση ανθρώπων, ανάμεσα στους ακροατές του ήταν και ο φιλόσοφος Διογένης ο Σινώπης, όχι λιγότερο διάσημος στην αρχαία Ελλάδα. Χωρίς να πει τίποτα, σηκώθηκε και άρχισε να βηματίζει, πιστεύοντας ότι με αυτόν τον τρόπο απέδειξε καλύτερα από κάθε λέξη την πραγματικότητα του κινήματος. Ωστόσο, ο Ζήνων δεν χάθηκε και απάντησε: «Μην περπατάς και μην κουνάς τα χέρια σου, αλλά προσπάθησε να λύσεις αυτό το δύσκολο πρόβλημα με το μυαλό σου». Σχετικά με αυτήν την κατάσταση, υπάρχει ακόμη και το ακόλουθο ποίημα του A. S. Pushkin:
Δεν υπάρχει κίνηση, είπε ο γενειοφόρος σοφός,
Ο άλλος έμεινε σιωπηλός και άρχισε να περπατάει μπροστά του.
Δεν θα μπορούσε να είχε πιο έντονη αντίρρηση.
Όλοι επαίνεσαν τη μπερδεμένη απάντηση.
Αλλά, κύριοι, αυτή είναι μια αστεία περίπτωση
Ένα άλλο παράδειγμα έρχεται στο μυαλό:
Μετά από όλα, κάθε μέρα ο ήλιος περπατά μπροστά μας,
Ωστόσο, ο πεισματάρης Galileo έχει δίκιο.
Πράγματι, βλέπουμε πολύ καθαρά ότι ο Ήλιος κινείται στον ουρανό κάθε μέρα από την ανατολή προς τη δύση, αλλά στην πραγματικότητα είναι ακίνητος (σε σχέση με τη Γη). Γιατί λοιπόν να μην υποθέσουμε ότι άλλα αντικείμενα που βλέπουμε να κινούνται μπορεί στην πραγματικότητα να είναι ακίνητα και να σπεύσουμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι ο Ελεατικός στοχαστής έκανε λάθος;
Όπως ήδη σημειώθηκε, στη λογική έχουν δημιουργηθεί πολλοί τρόποι επίλυσης και υπέρβασης παραδόξων. Ωστόσο, κανένα από αυτά δεν είναι χωρίς αντιρρήσεις και δεν είναι γενικά αποδεκτό. Η εξέταση αυτών των μεθόδων είναι μια μακρά και κουραστική θεωρητική διαδικασία, η οποία σε αυτή την περίπτωση παραμένει πέρα από την προσοχή μας. Ένας περίεργος αναγνώστης θα μπορέσει να εξοικειωθεί με διάφορες προσεγγίσεις για την επίλυση του προβλήματος των λογικών παραδόξων σε πρόσθετη βιβλιογραφία. Τα λογικά παράδοξα είναι απόδειξη υπέρ του γεγονότος ότι η λογική, όπως κάθε άλλη επιστήμη, δεν είναι πλήρης, αλλά συνεχώς αναπτύσσεται. Προφανώς, τα παράδοξα υποδεικνύουν κάποια βαθιά προβλήματα της λογικής θεωρίας, σηκώνουν το πέπλο πάνω από κάτι που δεν είναι ακόμα αρκετά γνωστό και κατανοητό, σκιαγραφούν νέους ορίζοντες στην ανάπτυξη της λογικής.