Τύπος μαθήματος: συνδυασμένο.
Σκοπός του μαθήματος:μάθετε να υπολογίζετε τους όγκους των σωμάτων περιστροφής χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα.
Καθήκοντα:
- να παγιώσει την ικανότητα επιλογής καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών από έναν αριθμό γεωμετρικών σχημάτων και να αναπτύξει την ικανότητα υπολογισμού των περιοχών των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών.
- εξοικειωθείτε με την έννοια μιας τρισδιάστατης φιγούρας.
- μάθουν να υπολογίζουν τους όγκους των σωμάτων της επανάστασης.
- συμβάλλουν στην ανάπτυξη λογική σκέψη, ικανή μαθηματική ομιλία, ακρίβεια στην κατασκευή σχεδίων.
- να καλλιεργήσουν ενδιαφέρον για το αντικείμενο, να λειτουργήσουν με μαθηματικές έννοιες και εικόνες, να καλλιεργήσουν τη θέληση, την ανεξαρτησία, την επιμονή για την επίτευξη του τελικού αποτελέσματος.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Ι. Οργανωτική στιγμή.
Ομαδικός χαιρετισμός. Επικοινωνία στους μαθητές των στόχων του μαθήματος.
Αντανάκλαση. Ήρεμη μελωδία.
Θα ήθελα να ξεκινήσω το σημερινό μάθημα με μια παραβολή. «Υπήρχε ένας σοφός που ήξερε τα πάντα. Ένα άτομο ήθελε να αποδείξει ότι ο σοφός δεν τα ξέρει όλα. Κρατώντας την πεταλούδα στα χέρια του, ρώτησε: «Πες μου, φασκόμηλο, ποια πεταλούδα είναι στα χέρια μου: νεκρή ή ζωντανή;» Και ο ίδιος σκέφτεται: «Αν πει ο ζωντανός, θα τη σκοτώσω, αν πει ο νεκρός, θα την αφήσω να βγει». Ο σοφός, σκεπτόμενος, απάντησε: «Όλα στα χέρια σου». (Παρουσίαση.Ολίσθηση)
- Επομένως, ας εργαστούμε γόνιμα σήμερα, ας αποκτήσουμε ένα νέο απόθεμα γνώσεων και θα εφαρμόσουμε τις αποκτηθείσες δεξιότητες και ικανότητες στη μετέπειτα ζωή και σε πρακτικές δραστηριότητες. «Όλα στα χέρια σου».
II. Επανάληψη υλικού που έχει μάθει προηγουμένως.
Ας εξετάσουμε τα κύρια σημεία του υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως. Για να γίνει αυτό, ας κάνουμε την εργασία "Κατάργηση της περιττής λέξης."(Ολίσθηση.)
(Ο μαθητής πηγαίνει στο I.D. με τη βοήθεια μιας γόμας αφαιρεί την επιπλέον λέξη.)
- Σωστά "Διαφορικός". Δοκιμάστε τις υπόλοιπες λέξεις για να ονομάσετε μία κοινή λέξη. (Ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ.)
- Ας θυμηθούμε τα κύρια στάδια και τις έννοιες που σχετίζονται με τον ολοκληρωτικό λογισμό ..
«Μαθηματικό μάτσο».
Ασκηση. Επαναφορά δελτίων. (Ο μαθητής βγαίνει και γράφει με στυλό απαραίτητα λόγια.)
- Θα ακούσουμε μια αναφορά για την εφαρμογή των ολοκληρωμάτων αργότερα.
Εργασία σε σημειωματάρια.
– Ο τύπος Newton-Leibniz αναπτύχθηκε από τον Άγγλο φυσικό Isaac Newton (1643–1727) και τον Γερμανό φιλόσοφο Gottfried Leibniz (1646–1716). Και αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί τα μαθηματικά είναι η γλώσσα που μιλάει η ίδια η φύση.
– Σκεφτείτε πώς χρησιμοποιείται αυτός ο τύπος για την επίλυση πρακτικών εργασιών.
Παράδειγμα 1: Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές
Λύση: Βασιστείτε επίπεδο συντεταγμένωνγραφήματα συναρτήσεων . Επιλέξτε την περιοχή του σχήματος που θα βρείτε.
III. Εκμάθηση νέου υλικού.
- Προσοχή στην οθόνη. Τι φαίνεται στην πρώτη εικόνα; (Ολίσθηση) (Το σχήμα δείχνει μια επίπεδη φιγούρα.)
Τι φαίνεται στη δεύτερη εικόνα; Είναι επίπεδη αυτή η φιγούρα; (Ολίσθηση) (Το σχήμα δείχνει ένα τρισδιάστατο σχήμα.)
στο διάστημα, στη γη και μέσα Καθημερινή ζωήσυναντιόμαστε όχι μόνο με επίπεδες φιγούρες, αλλά και με τρισδιάστατες, αλλά πώς να υπολογίσουμε τον όγκο τέτοιων σωμάτων; Για παράδειγμα, ο όγκος ενός πλανήτη, ενός κομήτη, ενός μετεωρίτη κ.λπ.
– Σκεφτείτε τον όγκο και το χτίσιμο σπιτιών και τη ρίψη νερού από το ένα σκάφος στο άλλο. Θα έπρεπε να έχουν προκύψει κανόνες και μέθοδοι υπολογισμού όγκων, άλλο είναι πόσο ακριβείς και δικαιολογημένοι ήταν.
Μήνυμα μαθητή. (Τυουρίνα Βέρα.)
Το έτος 1612 ήταν πολύ καρποφόρο για τους κατοίκους της αυστριακής πόλης Linz, όπου ζούσε ο τότε διάσημος αστρονόμος Johannes Kepler, ειδικά για τα σταφύλια. Οι άνθρωποι ετοίμαζαν βαρέλια κρασιού και ήθελαν να μάθουν πώς να προσδιορίζουν πρακτικά τον όγκο τους. (Διαφάνεια 2)
- Έτσι, τα εξεταζόμενα έργα του Κέπλερ σηματοδότησαν την αρχή μιας ολόκληρης ροής έρευνας, η οποία κορυφώθηκε στο τελευταίο τέταρτο του 17ου αιώνα. σχέδιο στα έργα των I. Newton και G.V. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός Leibniz. Από τότε, τα μαθηματικά των μεταβλητών μεγέθους κατέλαβαν ηγετική θέση στο σύστημα της μαθηματικής γνώσης.
- Σήμερα λοιπόν θα ασχοληθούμε με τέτοιες πρακτικές δραστηριότητες, επομένως,
Το θέμα του μαθήματός μας: "Υπολογισμός των όγκων των σωμάτων περιστροφής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος." (Ολίσθηση)
- Θα μάθετε τον ορισμό του σώματος της επανάστασης ολοκληρώνοντας την παρακάτω εργασία.
"Λαβύρινθος".
Λαβύρινθος (ελληνική λέξη) σημαίνει πέρασμα στο μπουντρούμι. Ένας λαβύρινθος είναι ένα περίπλοκο δίκτυο μονοπατιών, περασμάτων, δωματίων που επικοινωνούν μεταξύ τους.
Αλλά ο ορισμός "συνετρίβη", υπήρχαν υποδείξεις με τη μορφή βελών.
Ασκηση. Βρείτε μια διέξοδο από τη μπερδεμένη κατάσταση και γράψτε τον ορισμό.
Ολίσθηση. «Κάρτα οδηγιών» Υπολογισμός τόμων.
Με βοήθεια οριστικό ολοκλήρωμαείναι δυνατός ο υπολογισμός του όγκου ενός ή του άλλου σώματος, ειδικότερα, ενός σώματος περιστροφής.
Ένα σώμα περιστροφής είναι ένα σώμα που λαμβάνεται με την περιστροφή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς γύρω από τη βάση του (Εικ. 1, 2)
Ο όγκος ενός σώματος περιστροφής υπολογίζεται με έναν από τους τύπους:
1.
γύρω από τον άξονα x.
2. 
, εάν η περιστροφή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς γύρω από τον άξονα y.
Κάθε μαθητής λαμβάνει μια κάρτα διδασκαλίας. Ο δάσκαλος επισημαίνει τα κύρια σημεία.
Ο δάσκαλος εξηγεί τη λύση των παραδειγμάτων στον πίνακα.
Σκεφτείτε ένα απόσπασμα από το διάσημο παραμύθι του A. S. Pushkin «Η ιστορία του Τσάρου Σαλτάν, του ένδοξου και πανίσχυρου γιου του Πρίγκιπα Γκβίντον Σαλτάνοβιτς και της όμορφης πριγκίπισσας Λέμπεντ» (Διαφάνεια 4):
…..
Και έφερε έναν μεθυσμένο αγγελιοφόρο
Την ίδια μέρα η παραγγελία είναι:
«Ο τσάρος διατάζει τα αγόρια του,
Μη χάνοντας χρόνο
Και η βασίλισσα και ο γόνος
Ρίχτηκε κρυφά στην άβυσσο των νερών».
Δεν υπάρχει τίποτα να κάνουμε: τα αγόρια,
Έχοντας θρηνήσει για τον κυρίαρχο
Και η νεαρή βασίλισσα
Ένα πλήθος ήρθε στην κρεβατοκάμαρά της.
Διακήρυξε τη βασιλική διαθήκη -
Αυτή και ο γιος της έχουν μια κακή μοίρα,
Διαβάστε δυνατά το διάταγμα
Και η βασίλισσα ταυτόχρονα
Με έβαλαν σε ένα βαρέλι με τον γιο μου,
Προσευχήθηκε, κύλησε
Και με άφησαν να μπω στην ΟΚΙΑΝ -
Έτσι διέταξε ο τσάρος Σαλτάν.
Ποιος πρέπει να είναι ο όγκος του βαρελιού για να χωρέσουν η βασίλισσα και ο γιος της;
– Εξετάστε τις παρακάτω εργασίες
1. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή γύρω από τον άξονα y ενός καμπυλόγραμμου τραπεζίου που οριοθετείται από γραμμές: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Απάντηση: 1163 εκ 3 .
Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει περιστρέφοντας ένα παραβολικό τραπεζοειδές γύρω από την τετμημένη y =, x = 4, y = 0.
IV. Διόρθωση νέου υλικού
Παράδειγμα 2. Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή του πετάλου γύρω από τον άξονα x y \u003d x 2, y 2 \u003d x.
Ας σχεδιάσουμε τα γραφήματα της συνάρτησης. y=x2, y2=x. Πρόγραμμα y 2 = xμετατρέψουν στη μορφή y= .
Εχουμε V \u003d V 1 - V 2Ας υπολογίσουμε τον όγκο κάθε συνάρτησης
- Τώρα, ας δούμε τον πύργο για έναν ραδιοφωνικό σταθμό στη Μόσχα στη Shabolovka, που χτίστηκε σύμφωνα με το έργο ενός υπέροχου Ρώσου μηχανικού, επίτιμου ακαδημαϊκού V. G. Shukhov. Αποτελείται από μέρη - υπερβολοειδή της επανάστασης. Επιπλέον, καθένα από αυτά είναι κατασκευασμένο από ευθύγραμμες μεταλλικές ράβδους που συνδέουν παρακείμενους κύκλους (Εικ. 8, 9).
- Σκεφτείτε το πρόβλημα.
Να βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή των τόξων της υπερβολής 
γύρω από τον νοητό άξονά του, όπως φαίνεται στο Σχ. 8, όπου
κύβος μονάδες
Ομαδικές εργασίες. Οι μαθητές κάνουν κλήρωση με εργασίες, οι ζωγραφιές γίνονται σε χαρτί Whatman, ένας από τους εκπροσώπους της ομάδας υπερασπίζεται την εργασία.
1η ομάδα.
Κτύπημα! Κτύπημα! Άλλη μια επιτυχία!
Μια μπάλα πετάει στην πύλη - ΜΠΑΛΑ!
Και αυτή είναι μια μπάλα καρπούζι
Πράσινο, στρογγυλό, νόστιμο.
Κοίτα καλύτερα - τι μπάλα!
Αποτελείται από κύκλους.
Κόβουμε σε κύκλους το καρπούζι
Και γευτείτε τα.
Να βρείτε τον όγκο ενός σώματος που προκύπτει με περιστροφή γύρω από τον άξονα OX μιας συνάρτησης που οριοθετείται από
Λάθος! Ο σελιδοδείκτης δεν έχει οριστεί.
- Πες μου, σε παρακαλώ, πού συναντιόμαστε με αυτή τη φιγούρα;
Σπίτι. εργασία για την ομάδα 1. ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ (ολίσθηση) .
"Κύλινδρος - τι είναι;" ρώτησα τον μπαμπά μου.
Ο πατέρας γέλασε: Το πάνω καπέλο είναι καπέλο.
Για να έχετε μια σωστή ιδέα,
Ο κύλινδρος, ας πούμε, είναι τενεκέ.
Ο σωλήνας του ατμόπλοιου είναι ένας κύλινδρος,
Ο σωλήνας στη στέγη μας επίσης,
Όλοι οι σωλήνες είναι παρόμοιοι με έναν κύλινδρο.
Και έδωσα ένα παράδειγμα όπως αυτό -
Καλειδοσκόπιο Αγάπη μου,
Δεν μπορείς να πάρεις τα μάτια σου από πάνω του.
Μοιάζει και με κύλινδρο.
- Άσκηση. Εργασία για το σπίτι να σχεδιάσετε μια συνάρτηση και να υπολογίσετε τον όγκο.
2η ομάδα. ΚΩΝΟΣ (ολίσθηση).
Η μαμά είπε: Και τώρα
Σχετικά με τον κώνο θα είναι η ιστορία μου.
Stargazer με ψηλό καπέλο
Μετράει τα αστέρια όλο το χρόνο.
ΚΩΝΟΣ - καπέλο αστεροειδή.
Αυτός είναι. Καταλαβαίνετε; Αυτό είναι.
Η μαμά ήταν στο τραπέζι
Έριξε λάδι σε μπουκάλια.
- Πού είναι το χωνί; Χωρίς χοάνη.
Κοίτα. Μην στέκεστε στο περιθώριο.
- Μαμά, δεν θα κουνηθώ από το μέρος,
Πες μου περισσότερα για τον κώνο.
- Το χωνί έχει τη μορφή κώνου ποτιστήρα.
Έλα βρες με γρήγορα.
Δεν μπορούσα να βρω το χωνί
Αλλά η μαμά έφτιαξε μια τσάντα,
Τυλίξτε χαρτόνι γύρω από το δάχτυλό σας
Και επιδέξια στερεωμένο με συνδετήρα.
Λάδι χύνεται, η μαμά χαίρεται
Ο κώνος βγήκε σωστά.
Ασκηση. Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει με περιστροφή γύρω από τον άξονα x
Σπίτι. εργασία για τη 2η ομάδα. ΠΥΡΑΜΙΔΑ(ολίσθηση).
Είδα την εικόνα. Σε αυτή την εικόνα
Υπάρχει μια ΠΥΡΑΜΙΔΑ στην αμμώδη έρημο.
Όλα στην πυραμίδα είναι εξαιρετικά,
Υπάρχει κάποιο μυστήριο και μυστήριο σε αυτό.
Ο Πύργος Spasskaya στην Κόκκινη Πλατεία
Τόσο τα παιδιά όσο και οι ενήλικες είναι γνωστά.
Κοιτάξτε τον πύργο - συνηθισμένο στην εμφάνιση,
Τι έχει πάνω της; Πυραμίδα!
Ασκηση.Εργασία για το σπίτι να σχεδιάσετε μια συνάρτηση και να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας
- Υπολογίσαμε τους όγκους διαφόρων σωμάτων με βάση τον βασικό τύπο για τους όγκους των σωμάτων χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα.
Αυτή είναι μια άλλη επιβεβαίωση ότι το οριστικό ολοκλήρωμα είναι κάποια βάση για τη μελέτη των μαθηματικών.
«Τώρα ας ξεκουραστούμε».
Βρείτε ένα ζευγάρι.
Παίζει μαθηματικές μελωδίες ντόμινο.
«Ο δρόμος που έψαχνε ο ίδιος δεν θα ξεχαστεί ποτέ…»
Ερευνητικό έργο. Εφαρμογή του ολοκληρώματος στην οικονομία και την τεχνολογία.
Τεστ για δυνατούς μαθητές και μαθηματικά ποδόσφαιρο.
Μαθηματικός προσομοιωτής.
2. Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων μιας δεδομένης συνάρτησης ονομάζεται
Α) αόριστο ολοκλήρωμα
Β) λειτουργία,
Β) διαφοροποίηση.
7. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή γύρω από τον άξονα της τετμημένης ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από γραμμές:
Δ/Ζ. Υπολογίστε τους όγκους των σωμάτων της επανάστασης.
Αντανάκλαση.
Αποδοχή του προβληματισμού στη μορφή cinquain(πέντε γραμμές).
1η γραμμή - το όνομα του θέματος (ένα ουσιαστικό).
2η γραμμή - περιγραφή του θέματος με λίγα λόγια, δύο επίθετα.
3η γραμμή - περιγραφή της δράσης σε αυτό το θέμα με τρεις λέξεις.
4η γραμμή - μια φράση τεσσάρων λέξεων, δείχνει τη στάση στο θέμα (μια ολόκληρη πρόταση).
Η 5η γραμμή είναι συνώνυμο που επαναλαμβάνει την ουσία του θέματος.
- Ενταση ΗΧΟΥ.
- Ορισμένη ολοκληρωτική, ενσωματώσιμη συνάρτηση.
- Χτίζουμε, περιστρέφουμε, υπολογίζουμε.
- Ένα σώμα που λαμβάνεται με την περιστροφή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς (γύρω από τη βάση του).
- Σώμα της επανάστασης (3D γεωμετρικό σώμα).
συμπέρασμα (ολίσθηση).
- Ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένα είδος βάσης για τη μελέτη των μαθηματικών, το οποίο συμβάλλει ουσιαστικά στην επίλυση προβλημάτων πρακτικού περιεχομένου.
- Το θέμα «Ολοκληρωμένο» καταδεικνύει ξεκάθαρα τη σύνδεση μεταξύ μαθηματικών και φυσικής, βιολογίας, οικονομίας και τεχνολογίας.
- Ανάπτυξη σύγχρονη επιστήμηαδιανόητο χωρίς τη χρήση του ολοκληρώματος. Από αυτή την άποψη, είναι απαραίτητο να ξεκινήσει η μελέτη του στο πλαίσιο της δευτεροβάθμιας εξειδικευμένης εκπαίδευσης!
Βαθμολόγηση. (Με σχολιασμό.)
Ο μεγάλος Omar Khayyam είναι μαθηματικός, ποιητής και φιλόσοφος. Καλεί να γίνει κύριος της μοίρας του. Ακούστε ένα απόσπασμα από το έργο του:
Λέτε ότι αυτή η ζωή είναι μόνο μια στιγμή.
Εκτιμήστε το, αντλήστε έμπνευση από αυτό.
Όπως το ξοδέψεις, έτσι θα περάσει.
Μην ξεχνάς: είναι η δημιουργία σου.
Θέμα: "Υπολογισμός των όγκων των σωμάτων περιστροφής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος"
Τύπος μαθήματος:σε συνδυασμό.
Σκοπός του μαθήματος:μάθετε να υπολογίζετε τους όγκους των σωμάτων περιστροφής χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα.
Καθήκοντα:
παγιώστε την ικανότητα επιλογής καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών από μια σειρά γεωμετρικά σχήματακαι επεξεργαστείτε την ικανότητα υπολογισμού των περιοχών των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών.
εξοικειωθείτε με την έννοια μιας τρισδιάστατης φιγούρας.
μάθουν να υπολογίζουν τους όγκους των σωμάτων της επανάστασης.
να προωθήσει την ανάπτυξη της λογικής σκέψης, την ικανή μαθηματική ομιλία, την ακρίβεια στην κατασκευή σχεδίων.
να καλλιεργήσουν ενδιαφέρον για το αντικείμενο, να λειτουργήσουν με μαθηματικές έννοιες και εικόνες, να καλλιεργήσουν τη θέληση, την ανεξαρτησία, την επιμονή για την επίτευξη του τελικού αποτελέσματος.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Ι. Οργανωτική στιγμή.
Ομαδικός χαιρετισμός. Επικοινωνία στους μαθητές των στόχων του μαθήματος.
Θα ήθελα να ξεκινήσω το σημερινό μάθημα με μια παραβολή. «Υπήρχε ένας σοφός που ήξερε τα πάντα. Ένα άτομο ήθελε να αποδείξει ότι ο σοφός δεν τα ξέρει όλα. Κρατώντας την πεταλούδα στα χέρια του, ρώτησε: «Πες μου, φασκόμηλο, ποια πεταλούδα είναι στα χέρια μου: νεκρή ή ζωντανή;» Και ο ίδιος σκέφτεται: «Αν πει ο ζωντανός, θα τη σκοτώσω, αν πει ο νεκρός, θα την αφήσω να βγει». Ο σοφός, αφού σκέφτηκε, απάντησε: «Όλα είναι στα χέρια σου».
Επομένως, ας δουλέψουμε γόνιμα σήμερα, ας αποκτήσουμε ένα νέο απόθεμα γνώσεων και θα εφαρμόσουμε τις αποκτηθείσες δεξιότητες και ικανότητες στη μετέπειτα ζωή και σε πρακτικές δραστηριότητες. «Όλα είναι στα χέρια σας».
II. Επανάληψη υλικού που έχει μάθει προηγουμένως.
Ας θυμηθούμε τα κύρια σημεία του υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως. Για να γίνει αυτό, θα ολοκληρώσουμε την εργασία "Διαγραφή της επιπλέον λέξης".
(Οι μαθητές λένε μια επιπλέον λέξη.)
σωστά "Διαφορικός".Προσπαθήστε να ονομάσετε τις υπόλοιπες λέξεις σε μια κοινή λέξη. (Ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ.)
Ας θυμηθούμε τα κύρια στάδια και τις έννοιες που σχετίζονται με τον ολοκληρωτικό λογισμό.
Ασκηση.Επαναφορά δελτίων. (Ο μαθητής βγαίνει και γράφει τις απαραίτητες λέξεις με μαρκαδόρο.)
Εργασία σε σημειωματάρια.
Ο τύπος Newton-Leibniz αναπτύχθηκε από τον Άγγλο φυσικό Isaac Newton (1643-1727) και τον Γερμανό φιλόσοφο Gottfried Leibniz (1646-1716). Και αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί τα μαθηματικά είναι η γλώσσα που μιλά η ίδια η φύση.
Σκεφτείτε πώς χρησιμοποιείται αυτός ο τύπος για την επίλυση πρακτικών εργασιών.
Παράδειγμα 1: Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές 
Λύση:Ας κατασκευάσουμε στο επίπεδο συντεταγμένων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων . Επιλέξτε την περιοχή του σχήματος που θα βρείτε.
III. Εκμάθηση νέου υλικού.
Δώστε προσοχή στην οθόνη. Τι φαίνεται στην πρώτη εικόνα; (Το σχήμα δείχνει μια επίπεδη φιγούρα.)
Τι φαίνεται στη δεύτερη εικόνα; Είναι επίπεδη αυτή η φιγούρα; (Το σχήμα δείχνει ένα τρισδιάστατο σχήμα.)
Στο διάστημα, στη γη και στην καθημερινή ζωή, συναντιόμαστε όχι μόνο με επίπεδες φιγούρες, αλλά και με τρισδιάστατες, αλλά πώς να υπολογίσουμε τον όγκο τέτοιων σωμάτων; Για παράδειγμα: ο όγκος ενός πλανήτη, κομήτη, μετεωρίτη κ.λπ.
Σκέφτονται τον όγκο όταν χτίζουν σπίτια και ρίχνουν νερό από το ένα σκάφος στο άλλο. Θα έπρεπε να έχουν προκύψει κανόνες και μέθοδοι υπολογισμού όγκων, άλλο είναι πόσο ακριβείς και δικαιολογημένοι ήταν.
Το έτος 1612 ήταν πολύ καρποφόρο για τους κατοίκους της αυστριακής πόλης Linz, όπου ζούσε ο τότε διάσημος αστρονόμος Johannes Kepler, ειδικά για τα σταφύλια. Οι άνθρωποι ετοίμαζαν βαρέλια κρασιού και ήθελαν να μάθουν πώς να προσδιορίζουν πρακτικά τον όγκο τους.
Έτσι, τα εξεταζόμενα έργα του Κέπλερ σηματοδότησαν την αρχή μιας ολόκληρης ροής έρευνας, η οποία κορυφώθηκε στο τελευταίο τέταρτο του 17ου αιώνα. σχέδιο στα έργα των I. Newton και G.V. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός Leibniz. Από τότε, τα μαθηματικά των μεταβλητών μεγέθους κατέλαβαν ηγετική θέση στο σύστημα της μαθηματικής γνώσης.
Έτσι, σήμερα θα ασχοληθούμε με τέτοιες πρακτικές δραστηριότητες, επομένως,
Το θέμα του μαθήματός μας: "Υπολογισμός των όγκων των σωμάτων περιστροφής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος."
Θα μάθετε τον ορισμό του σώματος της επανάστασης ολοκληρώνοντας την ακόλουθη εργασία.
"Λαβύρινθος".
Ασκηση.Βρείτε μια διέξοδο από τη μπερδεμένη κατάσταση και γράψτε τον ορισμό.
IVΥπολογισμός όγκων.
Χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μπορείτε να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος, ειδικότερα, ενός σώματος περιστροφής.
Ένα σώμα περιστροφής είναι ένα σώμα που λαμβάνεται με την περιστροφή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς γύρω από τη βάση του (Εικ. 1, 2)
Ο όγκος ενός σώματος περιστροφής υπολογίζεται με έναν από τους τύπους:
1.
γύρω από τον άξονα x.
2. 
, εάν η περιστροφή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς γύρω από τον άξονα y.
Οι μαθητές καταγράφουν τους βασικούς τύπους σε ένα τετράδιο.
Ο δάσκαλος εξηγεί τη λύση των παραδειγμάτων στον πίνακα.
1. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή γύρω από τον άξονα y ενός καμπυλόγραμμου τραπεζίου που οριοθετείται από γραμμές: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Λύση.
Απάντηση: 1163 cm3.
2. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός παραβολικού τραπεζοειδούς γύρω από τον άξονα της τετμημένης y =, x = 4, y = 0.
Λύση.
V. Μαθηματικός προσομοιωτής.
2. Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων μιας δεδομένης συνάρτησης ονομάζεται
Α) αόριστο ολοκλήρωμα
Β) λειτουργία,
Β) διαφοροποίηση.
7. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή γύρω από τον άξονα της τετμημένης ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από γραμμές:
Δ/Ζ. Διόρθωση νέου υλικού
Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή του πετάλου γύρω από τον άξονα x y=x2, y2=x.
Ας σχεδιάσουμε τα γραφήματα της συνάρτησης. y=x2, y2=x. Η γραφική παράσταση y2 = x μετατρέπεται στη μορφή y = .
Έχουμε V = V1 - V2 Ας υπολογίσουμε τον όγκο κάθε συνάρτησης:
συμπέρασμα:
Το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ένα είδος βάσης για τη μελέτη των μαθηματικών, το οποίο συμβάλλει ουσιαστικά στην επίλυση προβλημάτων πρακτικού περιεχομένου.
Το θέμα «Ολοκληρωμένο» καταδεικνύει ξεκάθαρα τη σύνδεση μεταξύ μαθηματικών και φυσικής, βιολογίας, οικονομίας και τεχνολογίας.
Η ανάπτυξη της σύγχρονης επιστήμης είναι αδιανόητη χωρίς τη χρήση του ολοκληρώματος. Από αυτή την άποψη, είναι απαραίτητο να αρχίσετε να το μελετάτε στο πλαίσιο της μέσης ειδική εκπαίδευση!
VI. Βαθμολόγηση.(Με σχολιασμό.)
Μεγάλος Omar Khayyam - μαθηματικός, ποιητής, φιλόσοφος. Καλεί να γίνει κύριος της μοίρας του. Ακούστε ένα απόσπασμα από το έργο του:
Λέτε ότι αυτή η ζωή είναι μόνο μια στιγμή.
Εκτιμήστε το, αντλήστε έμπνευση από αυτό.
Όπως το ξοδέψεις, έτσι θα περάσει.
Μην ξεχνάς: είναι η δημιουργία σου.
Όπως και με το πρόβλημα της εύρεσης της περιοχής, χρειάζεστε σίγουρες δεξιότητες σχεδίασης - αυτό είναι σχεδόν το πιο σημαντικό πράγμα (καθώς τα ίδια τα ολοκληρώματα θα είναι συχνά εύκολα). Μπορείτε να κατακτήσετε μια ικανή και γρήγορη τεχνική γραφικής παράστασης χρησιμοποιώντας διδακτικό υλικόκαι Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί Γραφημάτων. Αλλά, στην πραγματικότητα, έχω μιλήσει επανειλημμένα για τη σημασία των σχεδίων στο μάθημα.
Γενικά, στον ολοκληρωτικό λογισμό υπάρχουν πολλά ενδιαφέρουσες εφαρμογές, χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή του σχήματος, τον όγκο του σώματος περιστροφής, το μήκος του τόξου, την επιφάνεια της περιστροφής και πολλά άλλα. Έτσι θα είναι διασκεδαστικό, παρακαλώ να είστε αισιόδοξοι!
Φανταστείτε μια επίπεδη φιγούρα στο επίπεδο συντεταγμένων. Εκπροσωπείται; ... Αναρωτιέμαι ποιος παρουσίασε τι ... =))) Έχουμε ήδη βρει την περιοχή του. Αλλά, επιπλέον, αυτό το σχήμα μπορεί επίσης να περιστραφεί και να περιστραφεί με δύο τρόπους:
- γύρω από τον άξονα της τετμημένης.
- γύρω από τον άξονα y.
Σε αυτό το άρθρο, θα συζητηθούν και οι δύο περιπτώσεις. Η δεύτερη μέθοδος περιστροφής είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα, προκαλεί τις μεγαλύτερες δυσκολίες, αλλά στην πραγματικότητα η λύση είναι σχεδόν ίδια με την πιο κοινή περιστροφή γύρω από τον άξονα x. Ως μπόνους, θα επιστρέψω στο το πρόβλημα της εύρεσης του εμβαδού μιας φιγούρας, και να σας πω πώς να βρείτε την περιοχή με τον δεύτερο τρόπο - κατά μήκος του άξονα. Ούτε καν τόσο μπόνους όσο το υλικό ταιριάζει καλά στο θέμα.
Ας ξεκινήσουμε με τον πιο δημοφιλή τύπο περιστροφής.
επίπεδη φιγούρα γύρω από έναν άξονα
Παράδειγμα 1
Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει περιστρέφοντας το σχήμα που οριοθετείται από γραμμές γύρω από τον άξονα.
Λύση: Όπως και στο πρόβλημα της περιοχής, η λύση ξεκινά με ένα σχέδιο μιας επίπεδης φιγούρας. Δηλαδή, στο επίπεδο είναι απαραίτητο να οικοδομήσουμε ένα σχήμα που οριοθετείται από γραμμές , χωρίς να ξεχνάμε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα . Πώς να κάνετε ένα σχέδιο πιο ορθολογικά και πιο γρήγορα μπορείτε να βρείτε στις σελίδες Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεωνΚαι Ορισμένο ολοκλήρωμα. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος. Αυτή είναι μια κινεζική υπενθύμιση και συνεχίζεται αυτή τη στιγμήΔεν σταματάω άλλο.
Το σχέδιο εδώ είναι αρκετά απλό:
Η επιθυμητή επίπεδη φιγούρα σκιάζεται με μπλε χρώμα και είναι αυτή η φιγούρα που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα.Ως αποτέλεσμα της περιστροφής, λαμβάνεται ένας τέτοιος ιπτάμενος δίσκος ελαφρώς σε σχήμα αυγού, ο οποίος είναι συμμετρικός ως προς τον άξονα. Στην πραγματικότητα, το σώμα έχει ένα μαθηματικό όνομα, αλλά είναι πολύ τεμπέλης για να προσδιορίσετε κάτι στο βιβλίο αναφοράς, οπότε προχωράμε.
Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής;
Ο όγκος ενός σώματος περιστροφής μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:
Στον τύπο, πρέπει να υπάρχει ένας αριθμός πριν από το ολοκλήρωμα. Έτσι ακριβώς συνέβη - όλα όσα περιστρέφονται στη ζωή συνδέονται με αυτήν τη σταθερά.
Πώς να θέσετε τα όρια της ολοκλήρωσης "a" και "be", νομίζω ότι είναι εύκολο να μαντέψετε από το ολοκληρωμένο σχέδιο.
Λειτουργία... τι είναι αυτή η λειτουργία; Ας δούμε το σχέδιο. Το επίπεδο σχήμα οριοθετείται από το γράφημα της παραβολής από πάνω. Αυτή είναι η συνάρτηση που υπονοείται στον τύπο.
ΣΕ πρακτικές εργασίεςμια επίπεδη φιγούρα μπορεί μερικές φορές να βρίσκεται κάτω από τον άξονα. Αυτό δεν αλλάζει τίποτα - το ολοκλήρωμα στον τύπο είναι τετράγωνο: , έτσι Το ολοκλήρωμα είναι πάντα μη αρνητικό, πράγμα πολύ λογικό.
Υπολογίστε τον όγκο του σώματος της περιστροφής χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο: 
Όπως έχω ήδη σημειώσει, το ολοκλήρωμα αποδεικνύεται σχεδόν πάντα απλό, το κύριο πράγμα είναι να είστε προσεκτικοί.
Απάντηση: 
Στην απάντηση, είναι απαραίτητο να αναφέρετε τη διάσταση - κυβικές μονάδες. Δηλαδή, στο σώμα της περιστροφής μας υπάρχουν περίπου 3,35 «κύβοι». Γιατί ακριβώς κυβικά μονάδες? Γιατί η πιο καθολική διατύπωση. Μπορεί να υπάρχουν κυβικά εκατοστά, μπορεί να υπάρχουν κυβικά μέτρα, μπορεί να υπάρχουν κυβικά χιλιόμετρα κ.λπ., τόσα πράσινα ανθρωπάκια μπορεί να χωρέσει η φαντασία σας σε έναν ιπτάμενο δίσκο.
Παράδειγμα 2
Βρείτε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές ,
Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Ολοκληρωμένη Λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος.
Ας εξετάσουμε δύο πιο σύνθετα προβλήματα, τα οποία επίσης συναντώνται συχνά στην πράξη.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας γύρω από τον άξονα της τετμημένης του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες , και
Λύση: Σχεδιάστε ένα επίπεδο σχήμα στο σχέδιο, οριοθετημένο από γραμμές , , , , χωρίς να ξεχνάτε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα:
Η επιθυμητή φιγούρα είναι σκιασμένη με μπλε. Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα, προκύπτει ένα τέτοιο σουρεαλιστικό ντόνατ με τέσσερις γωνίες.
Ο όγκος του σώματος περιστροφής υπολογίζεται ως διαφορά όγκου σώματος.
Αρχικά, ας δούμε το σχήμα που είναι κυκλωμένο με κόκκινο χρώμα. Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα, προκύπτει ένας κόλουρος κώνος. Ας υποδηλώσουμε τον όγκο αυτού του κολοβωμένου κώνου ως .
Σκεφτείτε το σχήμα που είναι κυκλωμένο σε πράσινο. Εάν περιστρέψετε αυτό το σχήμα γύρω από τον άξονα, θα έχετε επίσης έναν κόλουρο κώνο, λίγο μικρότερο. Ας συμβολίσουμε τον όγκο του με .
Και, προφανώς, η διαφορά στους όγκους είναι ακριβώς ο όγκος του «ντόνατ» μας.
Χρησιμοποιούμε τον τυπικό τύπο για την εύρεση του όγκου ενός σώματος περιστροφής: 
1) Το σχήμα που κυκλώνεται με κόκκινο οριοθετείται από πάνω από μια ευθεία γραμμή, επομένως:
2) Το σχήμα που κυκλώνεται με πράσινο οριοθετείται από πάνω από μια ευθεία γραμμή, επομένως:
3) Ο όγκος του επιθυμητού σώματος περιστροφής: 
Απάντηση: 
Είναι περίεργο ότι σε αυτή την περίπτωση η λύση μπορεί να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας τον σχολικό τύπο για τον υπολογισμό του όγκου ενός κόλουρου κώνου.
Η ίδια η απόφαση συχνά λαμβάνεται πιο σύντομη, κάπως έτσι: 
Τώρα ας κάνουμε ένα διάλειμμα και ας μιλήσουμε για γεωμετρικές ψευδαισθήσεις.
Οι άνθρωποι συχνά έχουν ψευδαισθήσεις που σχετίζονται με τόμους, τις οποίες παρατήρησε ο Perelman (άλλος) στο βιβλίο Ενδιαφέρουσα γεωμετρία. Κοιτάξτε την επίπεδη φιγούρα στο λυμένο πρόβλημα - φαίνεται να είναι μικρό σε εμβαδόν και ο όγκος του σώματος της περιστροφής είναι λίγο πάνω από 50 κυβικές μονάδες, το οποίο φαίνεται πολύ μεγάλο. Παρεμπιπτόντως, ο μέσος άνθρωπος σε όλη του τη ζωή πίνει ένα υγρό με όγκο δωματίου με εμβαδόν 18 τετραγωνικά μέτρα, το οποίο, αντίθετα, φαίνεται να είναι πολύ μικρό.
Γενικά, το εκπαιδευτικό σύστημα στην ΕΣΣΔ ήταν πραγματικά το καλύτερο. Το ίδιο βιβλίο του Πέρελμαν, που εκδόθηκε το 1950, αναπτύσσεται πολύ καλά, όπως είπε ο χιουμορίστας, το σκεπτικό και σας διδάσκει να αναζητάτε πρωτότυπες μη τυποποιημένες λύσεις στα προβλήματα. Πρόσφατα ξαναδιάβασα κάποια κεφάλαια με μεγάλο ενδιαφέρον, το προτείνω, είναι προσβάσιμο ακόμα και για ανθρωπιστές. Όχι, δεν χρειάζεται να χαμογελάτε γιατί σας πρότεινα ένα αστείο χόμπι, η πολυμάθεια και μια ευρεία οπτική στην επικοινωνία είναι ένα υπέροχο πράγμα.
Μετά από μια λυρική παρέκβαση, είναι απλώς κατάλληλο να λύσετε μια δημιουργική εργασία:
Παράδειγμα 4
Υπολογίστε τον όγκο ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή γύρω από τον άξονα ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες , , όπου .
Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Σημειώστε ότι όλα τα πράγματα συμβαίνουν στο συγκρότημα, με άλλα λόγια, δίνονται έτοιμα όρια ολοκλήρωσης. Αποκτήστε σωστά τα γραφικά τριγωνομετρικές συναρτήσεις, θυμηθείτε την ύλη του μαθήματος για γεωμετρικοί μετασχηματισμοί γραφημάτων: αν το όρισμα διαιρείται με δύο: , τότε τα γραφήματα τεντώνονται κατά μήκος του άξονα δύο φορές. Είναι επιθυμητό να βρείτε τουλάχιστον 3-4 πόντους σύμφωνα με τριγωνομετρικούς πίνακεςγια να ολοκληρώσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια το σχέδιο. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Παρεμπιπτόντως, το έργο μπορεί να λυθεί ορθολογικά και όχι πολύ ορθολογικά.
Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή
επίπεδη φιγούρα γύρω από έναν άξονα
Η δεύτερη παράγραφος θα είναι ακόμα πιο ενδιαφέρουσα από την πρώτη. Το έργο του υπολογισμού του όγκου ενός σώματος περιστροφής γύρω από τον άξονα y είναι επίσης ένας αρκετά συχνός επισκέπτης στο εργασίες ελέγχου. Εν παρόδω θα ληφθούν υπόψη πρόβλημα εύρεσης του εμβαδού μιας φιγούραςο δεύτερος τρόπος - ενσωμάτωση κατά μήκος του άξονα, αυτό θα σας επιτρέψει όχι μόνο να βελτιώσετε τις δεξιότητές σας, αλλά και να σας διδάξει πώς να βρείτε την πιο κερδοφόρα λύση. Έχει και πρακτικό νόημα! Όπως θυμόταν με χαμόγελο η δασκάλα μου των μεθόδων διδασκαλίας των μαθηματικών, πολλοί απόφοιτοι την ευχαρίστησαν με τα λόγια: «Το μάθημά σου μας βοήθησε πολύ, τώρα αποτελεσματικούς διαχειριστέςκαι τη βέλτιστη διαχείριση του προσωπικού. Με αυτήν την ευκαιρία, της εκφράζω επίσης τη μεγάλη μου ευγνωμοσύνη, ειδικά επειδή χρησιμοποιώ τις γνώσεις που αποκτήθηκαν για τον σκοπό που επιδιώκεται =).
Το προτείνω σε όλους να διαβάσουν, ακόμα και ολόκληρα ομοιώματα. Επιπλέον, το αφομοιωμένο υλικό της δεύτερης παραγράφου θα είναι πολύτιμη βοήθεια στον υπολογισμό διπλών ολοκληρωμάτων.
Παράδειγμα 5
Δίνεται ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από γραμμές , , .
1) Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές.
2) Βρείτε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές γύρω από τον άξονα.
Προσοχή!Ακόμα κι αν θέλετε να διαβάσετε μόνο τη δεύτερη παράγραφο, πρώτα Αναγκαίωςδιάβασε το πρώτο!
Λύση: Η εργασία αποτελείται από δύο μέρη. Ας ξεκινήσουμε με την πλατεία.
1) Ας εκτελέσουμε το σχέδιο:
Είναι εύκολο να δούμε ότι η συνάρτηση ορίζει τον άνω κλάδο της παραβολής και η συνάρτηση ορίζει τον κάτω κλάδο της παραβολής. Μπροστά μας είναι μια τετριμμένη παραβολή, η οποία «βρίσκεται στο πλάι».
Η επιθυμητή φιγούρα, η περιοχή της οποίας πρέπει να βρεθεί, είναι σκιασμένη με μπλε.
Πώς να βρείτε το εμβαδόν μιας φιγούρας; Μπορεί να βρεθεί με τον «συνηθισμένο» τρόπο, που εξετάστηκε στο μάθημα. Ορισμένο ολοκλήρωμα. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος. Επιπλέον, το εμβαδόν του σχήματος βρίσκεται ως το άθροισμα των περιοχών:
- στο τμήμα 
;
- στο τμήμα.
Να γιατί:
Τι είναι λάθος με τη συνήθη λύση σε αυτή την περίπτωση; Πρώτον, υπάρχουν δύο ολοκληρώματα. Δεύτερον, οι ρίζες κάτω από τα ολοκληρώματα και οι ρίζες στα ολοκληρώματα δεν είναι δώρο, επιπλέον, μπορεί κανείς να μπερδευτεί στην αντικατάσταση των ορίων της ολοκλήρωσης. Στην πραγματικότητα, τα ολοκληρώματα, φυσικά, δεν είναι θανατηφόρα, αλλά στην πράξη όλα είναι πολύ πιο θλιβερά, απλώς επέλεξα "καλύτερες" λειτουργίες για την εργασία.
Υπάρχει μια πιο ορθολογική λύση: συνίσταται στη μετάβαση σε αντίστροφες συναρτήσειςκαι ενσωμάτωση κατά μήκος του άξονα.
Πώς να περάσετε σε αντίστροφες συναρτήσεις; Σε γενικές γραμμές, πρέπει να εκφράσετε το "x" μέσω του "y". Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την παραβολή:
Αυτό είναι αρκετό, αλλά ας βεβαιωθούμε ότι η ίδια συνάρτηση μπορεί να προέρχεται από τον κάτω κλάδο:
Με μια ευθεία γραμμή, όλα είναι πιο εύκολα:
Τώρα κοιτάξτε τον άξονα: παρακαλούμε να γέρνετε περιοδικά το κεφάλι σας προς τα δεξιά 90 μοίρες όπως εξηγείτε (αυτό δεν είναι αστείο!). Το σχήμα που χρειαζόμαστε βρίσκεται στο τμήμα, το οποίο υποδεικνύεται με την κόκκινη διακεκομμένη γραμμή. Επιπλέον, στο τμήμα, η ευθεία γραμμή βρίσκεται πάνω από την παραβολή, πράγμα που σημαίνει ότι η περιοχή του σχήματος πρέπει να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που είναι ήδη γνωστός σε εσάς: 
. Τι έχει αλλάξει στη φόρμουλα; Μόνο ένα γράμμα και τίποτα παραπάνω.
! Σημείωση: Πρέπει να τεθούν όρια ολοκλήρωσης κατά μήκος του άξονα αυστηρά από κάτω προς τα πάνω!
Εύρεση της περιοχής:
Ως εκ τούτου, στο τμήμα: 
Δώστε προσοχή στο πώς πραγματοποίησα την ενσωμάτωση, αυτός είναι ο πιο ορθολογικός τρόπος και στην επόμενη παράγραφο της εργασίας θα φανεί το γιατί.
Για τους αναγνώστες που αμφιβάλλουν για την ορθότητα της ολοκλήρωσης, θα βρω παράγωγα: 
Λαμβάνεται το αρχικό integrand, που σημαίνει ότι η ενσωμάτωση εκτελείται σωστά.
Απάντηση:
2) Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή αυτού του σχήματος γύρω από τον άξονα.
Θα ξανασχεδιάσω το σχέδιο σε ένα ελαφρώς διαφορετικό σχέδιο:
Έτσι, το σχήμα που σκιάζεται με μπλε περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. Το αποτέλεσμα είναι μια «αιωρούμενη πεταλούδα» που περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της.
Για να βρούμε τον όγκο του σώματος της περιστροφής, θα ενσωματώσουμε κατά μήκος του άξονα. Πρώτα πρέπει να περάσουμε στις αντίστροφες συναρτήσεις. Αυτό έχει ήδη γίνει και περιγράφεται λεπτομερώς στην προηγούμενη παράγραφο.
Τώρα γέρνουμε πάλι το κεφάλι μας προς τα δεξιά και μελετάμε τη σιλουέτα μας. Προφανώς, ο όγκος του σώματος της περιστροφής θα πρέπει να βρεθεί ως η διαφορά μεταξύ των όγκων.
Περιστρέφουμε τη φιγούρα κυκλωμένη με κόκκινο γύρω από τον άξονα, με αποτέλεσμα έναν κόλουρο κώνο. Ας συμβολίσουμε αυτόν τον τόμο με .
Περιστρέφουμε το σχήμα, κυκλωμένο με πράσινο χρώμα, γύρω από τον άξονα και το συμβολίζουμε μέσω του όγκου του σώματος της περιστροφής που προκύπτει.
Όγκος της πεταλούδας μας ισούται με τη διαφοράτόμους.
Χρησιμοποιούμε τον τύπο για να βρούμε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής: 
Σε τι διαφέρει από τον τύπο της προηγούμενης παραγράφου; Μόνο στα γράμματα.
Και εδώ είναι το πλεονέκτημα της ενσωμάτωσης, για το οποίο μίλησα πρόσφατα, είναι πολύ πιο εύκολο να βρεθεί 
παρά να ανεβάσει το ολοκληρωμένο στην 4η δύναμη.
Απάντηση: 
Ωστόσο, μια άρρωστη πεταλούδα.
Σημειώστε ότι εάν η ίδια επίπεδη φιγούρα περιστραφεί γύρω από τον άξονα, τότε θα προκύψει ένα εντελώς διαφορετικό σώμα περιστροφής, με διαφορετικό, φυσικά, όγκο.
Παράδειγμα 6
Δίνεται ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από γραμμές και έναν άξονα.
1) Μεταβείτε στις αντίστροφες συναρτήσεις και βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές ενσωματώνοντας πάνω από τη μεταβλητή.
2) Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές γύρω από τον άξονα.
Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Όσοι επιθυμούν μπορούν επίσης να βρουν την περιοχή του σχήματος με τον "συνήθη" τρόπο, ολοκληρώνοντας έτσι τη δοκιμή του σημείου 1). Αλλά αν, επαναλαμβάνω, περιστρέψετε μια επίπεδη φιγούρα γύρω από τον άξονα, τότε θα έχετε ένα εντελώς διαφορετικό σώμα περιστροφής με διαφορετικό όγκο, παρεμπιπτόντως, τη σωστή απάντηση (και για όσους τους αρέσει να λύνουν).
Η πλήρης λύση των δύο προτεινόμενων στοιχείων της εργασίας στο τέλος του μαθήματος.
Α, και μην ξεχάσετε να γέρνετε το κεφάλι σας προς τα δεξιά για να κατανοήσετε τα σώματα περιστροφής και εντός της ολοκλήρωσης!
Ορισμός 3. Σώμα περιστροφής είναι ένα σώμα που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα επίπεδο σχήμα γύρω από έναν άξονα που δεν τέμνει το σχήμα και βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με αυτό.
Ο άξονας περιστροφής μπορεί επίσης να τέμνει το σχήμα εάν είναι ο άξονας συμμετρίας του σχήματος.
Θεώρημα 2.
, άξονας 
και ευθύγραμμα τμήματα 
Και 
περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα 
. Στη συνέχεια, ο όγκος του προκύπτοντος σώματος περιστροφής μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο
(2)
Απόδειξη.
Για τέτοιο σώμα το τμήμα με την τετμημένη 
είναι ένας κύκλος ακτίνας 
, Που σημαίνει 
και ο τύπος (1) δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα.
Αν το σχήμα περιορίζεται από τα γραφήματα δύο συνεχών συναρτήσεων 
Και 
και τμήματα γραμμής 
Και 
, Εξάλλου 
Και 
, τότε κατά την περιστροφή γύρω από τον άξονα της τετμημένης, παίρνουμε ένα σώμα του οποίου ο όγκος
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε τον όγκο ενός τόρου που λαμβάνεται περιστρέφοντας έναν κύκλο που οριοθετείται από έναν κύκλο 
γύρω από τον άξονα x.
R 
λύση.
Ο καθορισμένος κύκλος οριοθετείται από κάτω από το γράφημα της συνάρτησης 
, και παραπανω - 
. Η διαφορά των τετραγώνων αυτών των συναρτήσεων:
Επιθυμητός όγκος
(το γράφημα του ολοκληρώματος είναι το πάνω ημικύκλιο, άρα το ολοκλήρωμα που γράφτηκε παραπάνω είναι το εμβαδόν του ημικυκλίου).
Παράδειγμα 4
Παραβολικό τμήμα με βάση 
και ύψος 
, περιστρέφεται γύρω από τη βάση. Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει («λεμόνι» του Cavalieri).
R 
λύση.
Τοποθετήστε την παραβολή όπως φαίνεται στο σχήμα. Τότε η εξίσωσή του 
, και 
. Ας βρούμε την τιμή της παραμέτρου 
:
. Έτσι, ο επιθυμητός όγκος:
Θεώρημα 3.
Έστω ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης 
, άξονας 
και ευθύγραμμα τμήματα 
Και 
, Εξάλλου 
, περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα 
. Τότε ο όγκος του σώματος της περιστροφής που προκύπτει μπορεί να βρεθεί από τον τύπο
(3)
αποδεικτική ιδέα.
Διαίρεση του τμήματος 
αποσιωπητικά 
, σε μέρη και τραβήξτε ευθείες γραμμές 
. Ολόκληρο το τραπεζοειδές θα αποσυντεθεί σε λωρίδες, οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν περίπου ορθογώνιες με βάση 
και ύψος 
.
Ο κύλινδρος που προκύπτει από την περιστροφή ενός τέτοιου ορθογωνίου κόβεται κατά μήκος της γεννήτριας και ξεδιπλώνεται. Παίρνουμε ένα "σχεδόν" παραλληλεπίπεδο με διαστάσεις: 
,
Και 
. Ο όγκος του 
. Άρα, για τον όγκο ενός σώματος περιστροφής θα έχουμε μια κατά προσέγγιση ισότητα
Για να επιτύχουμε την ακριβή ισότητα, πρέπει να περάσουμε στο όριο στο 
. Το άθροισμα που γράφτηκε παραπάνω είναι το αναπόσπαστο άθροισμα της συνάρτησης 
, επομένως, στο όριο παίρνουμε το ολοκλήρωμα από τον τύπο (3). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Παρατήρηση 1.
Στα Θεωρήματα 2 και 3, η συνθήκη 
μπορεί να παραλειφθεί: ο τύπος (2) δεν είναι γενικά ευαίσθητος στο πρόσημο 
, και στον τύπο (3) αρκεί 
αντικαταστάθηκε από 
.
Παράδειγμα 5
Παραβολικό τμήμα (βάση 
, ύψος 
) περιστρέφεται γύρω από το ύψος. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει.
Λύση.
Τοποθετήστε την παραβολή όπως φαίνεται στο σχήμα. Και παρόλο που ο άξονας περιστροφής διασχίζει το σχήμα, αυτός - ο άξονας - είναι ο άξονας συμμετρίας. Επομένως, θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη μόνο το δεξί μισό του τμήματος. Εξίσωση παραβολής 
, και 
, Που σημαίνει 
. Έχουμε για όγκο:
Παρατήρηση 2.
Αν το καμπυλόγραμμο όριο ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις 
,
,
Και 
,
τότε οι τύποι (2) και (3) μπορούν να χρησιμοποιηθούν με την αντικατάσταση 
επί 
Και 
επί 
όταν αλλάζει tαπό 
πριν 
.
Παράδειγμα 6
Το σχήμα οριοθετείται από το πρώτο τόξο του κυκλοειδούς 
,
,
, και τον άξονα της τετμημένης. Να βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει περιστρέφοντας αυτό το σχήμα γύρω από: 1) τον άξονα 
; 2) άξονες 
.
Λύση.
1) Γενικός τύπος 
Στην περίπτωσή μας:
2) Γενικός τύπος 
Για τη φιγούρα μας:
Ενθαρρύνουμε τους μαθητές να κάνουν όλους τους υπολογισμούς μόνοι τους.
Παρατήρηση 3.
Έστω ένας καμπυλόγραμμος τομέας οριοθετημένος από μια συνεχή γραμμή 
και ακτίνες 
,
, περιστρέφεται γύρω από τον πολικό άξονα. Ο όγκος του σώματος που προκύπτει μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο.
Παράδειγμα 7
Μέρος μιας φιγούρας που οριοθετείται από ένα καρδιοειδές 
, που βρίσκεται έξω από τον κύκλο 
, περιστρέφεται γύρω από τον πολικό άξονα. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει.
Λύση.
Και οι δύο γραμμές, και επομένως το σχήμα που περιορίζουν, είναι συμμετρικές ως προς τον πολικό άξονα. Επομένως, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη μόνο το μέρος για το οποίο 
. Οι καμπύλες τέμνονται στο 
Και
στο 
. Επιπλέον, το σχήμα μπορεί να θεωρηθεί ως η διαφορά δύο τομέων και επομένως ο όγκος μπορεί να υπολογιστεί ως η διαφορά δύο ολοκληρωμάτων. Εχουμε:
Καθήκοντα για μια ανεξάρτητη λύση.
1. Κυκλικό τμήμα του οποίου η βάση 
, ύψος 
, περιστρέφεται γύρω από τη βάση. Βρείτε τον όγκο του σώματος της περιστροφής.
2. Να βρείτε τον όγκο ενός παραβολοειδούς περιστροφής του οποίου η βάση 
, και το ύψος είναι 
.
3. Φιγούρα που οριοθετείται από αστροειδή 
,
περιστρέφεται γύρω από τον άξονα x. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει σε αυτή την περίπτωση.
4. Σχήμα που οριοθετείται από γραμμές 
Και 
περιστρέφεται γύρω από τον άξονα x. Βρείτε τον όγκο του σώματος της περιστροφής.
Έστω T ένα σώμα περιστροφής που σχηματίζεται από περιστροφή γύρω από τον άξονα της τετμημένης ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο και οριοθετείται από τον άξονα της τετμημένης, τις ευθείες x=a και x=b και τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης y =f(x) .
Ας το αποδείξουμε αυτό το σώμα της περιστροφής είναι κυβιζόμενο και ο όγκος του εκφράζεται με τον τύπο
V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.
Πρώτον, αποδεικνύουμε ότι αυτό το σώμα περιστροφής είναι κανονικό εάν πάρουμε ως \Pi το επίπεδο Oyz κάθετο στον άξονα περιστροφής. Σημειώστε ότι το τμήμα που βρίσκεται σε απόσταση x από το επίπεδο Oyz είναι κύκλος ακτίνας f(x) και το εμβαδόν του S(x) είναι \pi f^2(x) (Εικ. 46). Επομένως, η συνάρτηση S(x) είναι συνεχής λόγω της συνέχειας της f(x) . Στη συνέχεια, εάν S(x_1)\leqslant S(x_2), τότε αυτό σημαίνει ότι . Αλλά οι προβολές των τμημάτων στο επίπεδο Oyz είναι κύκλοι ακτίνων f(x_1) και f(x_2) με κέντρο O , και από f(x_1)\leqslant f(x_2)έπεται ότι ο κύκλος της ακτίνας f(x_1) περιέχεται στον κύκλο της ακτίνας f(x_2) .
Έτσι, το σώμα της περιστροφής είναι κανονικό. Επομένως, είναι κυβοποιήσιμος και ο όγκος του υπολογίζεται από τον τύπο
V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.
Εάν ένα καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές οριοθετείται τόσο από κάτω όσο και από πάνω από τις καμπύλες y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , τότε
V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.
Ο τύπος (3) μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του όγκου ενός σώματος περιστροφής στην περίπτωση που το όριο του περιστρεφόμενου σχήματος δίνεται με παραμετρικές εξισώσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να χρησιμοποιηθεί η αλλαγή της μεταβλητής κάτω από το πρόσημο του ορισμένου ολοκληρώματος.
Σε ορισμένες περιπτώσεις αποδεικνύεται ότι είναι βολικό να αποσυντίθενται σώματα περιστροφής όχι σε ευθύγραμμους κυκλικούς κυλίνδρους, αλλά σε φιγούρες διαφορετικού τύπου.
Για παράδειγμα, ας βρούμε ο όγκος του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς γύρω από τον άξονα y. Αρχικά, ας βρούμε τον όγκο που προκύπτει περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο με ύψος y#, στη βάση του οποίου βρίσκεται το τμήμα . Αυτός ο όγκος είναι ίσος με τη διαφορά μεταξύ των όγκων δύο ευθύγραμμων κυκλικών κυλίνδρων
\Δέλτα V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).
Αλλά τώρα είναι σαφές ότι ο επιθυμητός όγκος υπολογίζεται από πάνω και κάτω ως εξής:
2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.
Από αυτό προκύπτει εύκολα τύπος για τον όγκο ενός σώματος περιστροφής γύρω από τον άξονα y:
V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.
Παράδειγμα 4Βρείτε τον όγκο μιας μπάλας ακτίνας R.
Λύση.Χωρίς απώλεια γενικότητας, θα εξετάσουμε έναν κύκλο ακτίνας R με κέντρο την αρχή. Αυτός ο κύκλος, περιστρέφοντας γύρω από τον άξονα Ox, σχηματίζει μια μπάλα. Η εξίσωση του κύκλου είναι x^2+y^2=R^2, άρα y^2=R^2-x^2. Δεδομένης της συμμετρίας του κύκλου ως προς τον άξονα y, βρίσκουμε πρώτα το μισό του επιθυμητού όγκου
\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \αριστερά.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.
Επομένως, ο όγκος ολόκληρης της σφαίρας είναι \frac(4)(3)\pi R^3.
Παράδειγμα 5Να υπολογίσετε τον όγκο ενός κώνου του οποίου το ύψος είναι h και η ακτίνα της βάσης του r.
Λύση.Επιλέγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξονας Ox να συμπίπτει με το ύψος h (Εικ. 47), και παίρνουμε ως αρχή την κορυφή του κώνου. Τότε η εξίσωση της ευθείας ΟΑ μπορεί να γραφτεί ως y=\frac(r)(h)\,x .
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (3), παίρνουμε:
V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \αριστερά.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.
Παράδειγμα 6Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή γύρω από τον άξονα της τετμημένης του αστροειδούς \begin(περιπτώσεις)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end (περιπτώσεις)(Εικ. 48).
Λύση.Ας φτιάξουμε ένα αστεροειδή. Εξετάστε το μισό του άνω τμήματος του αστροειδούς, που βρίσκεται συμμετρικά γύρω από τον άξονα y. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (3) και αλλάζοντας τη μεταβλητή κάτω από το οριστικό ολοκλήρωμα, βρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης για τη νέα μεταβλητή t.
Αν x=a\cos^3t=0 , τότε t=\frac(\pi)(2) και αν x=a\cos^3t=a, τότε t=0 . Δεδομένου ότι y^2=a^2\sin^6t και dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, παίρνουμε:
V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.
Ο όγκος ολόκληρου του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή του αστροειδούς θα είναι \frac(32\pi)(105)\,a^3.
Παράδειγμα 7Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή γύρω από τον άξονα τεταγμένων ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από τον άξονα της τετμημένης και το πρώτο τόξο του κυκλοειδούς \αρχή(περιπτώσεις)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(περιπτώσεις).
Λύση.Χρησιμοποιούμε τον τύπο (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, και αντικαταστήστε τη μεταβλητή κάτω από το πρόσημο του ολοκληρώματος, λαμβάνοντας υπόψη ότι το πρώτο τόξο του κυκλοειδούς σχηματίζεται όταν η μεταβλητή t αλλάξει από 0 σε 2\pi . Ετσι,
\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \end (ευθυγραμμισμένο)
Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στον browser σας.Τα στοιχεία ελέγχου ActiveX πρέπει να είναι ενεργοποιημένα για να κάνετε υπολογισμούς!