Τι είναι ο λογάριθμος. Δεκαδικός λογάριθμος: πώς να υπολογίσετε

Ο βαθμός ενός μόνο αριθμού ονομάζεται μαθηματικός όρος που επινοήθηκε πριν από αρκετούς αιώνες. Στη γεωμετρία και την άλγεβρα, υπάρχουν δύο επιλογές - δεκαδική και φυσικούς λογάριθμους. Υπολογίζονται με διαφορετικούς τύπους, ενώ οι εξισώσεις που διαφέρουν γραπτώς είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Αυτή η ταυτότητα χαρακτηρίζει τις ιδιότητες που σχετίζονται με το χρήσιμο δυναμικό της συνάρτησης.

Χαρακτηριστικά και σημαντικά χαρακτηριστικά

Επί αυτή τη στιγμήδιακρίνουν δέκα γνωστές μαθηματικές ιδιότητες. Τα πιο κοινά και δημοφιλή από αυτά είναι:

• Το αρχείο καταγραφής ρίζας διαιρούμενο με την τιμή ρίζας είναι πάντα το ίδιο με τον λογάριθμο βάσης 10 √.
• Το γινόμενο του log είναι πάντα ίσο με το άθροισμα του παραγωγού.
• Lg = η τιμή της ισχύος πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό που αυξάνεται σε αυτήν.
• Αν αφαιρέσουμε τον διαιρέτη από το μέρισμα καταγραφής, παίρνουμε πηλίκο lg.

Επιπλέον, υπάρχει μια εξίσωση που βασίζεται στην κύρια ταυτότητα (που θεωρείται η βασική), μια μετάβαση σε μια ενημερωμένη βάση και αρκετούς δευτερεύοντες τύπους.

Ο υπολογισμός του λογάριθμου βάσης 10 είναι μια μάλλον συγκεκριμένη εργασία, επομένως η ενσωμάτωση ιδιοτήτων σε μια λύση πρέπει να προσεγγίζεται με προσοχή και να επανεξετάζεται τακτικά για συνέπεια. Δεν πρέπει να ξεχνάμε τους πίνακες, με τους οποίους πρέπει να ελέγχετε συνεχώς και να καθοδηγείτε μόνο από τα δεδομένα που βρίσκονται εκεί.

Ποικιλίες ενός μαθηματικού όρου

Οι κύριες διαφορές του μαθηματικού αριθμού «κρύβονται» στη βάση (α). Αν έχει εκθέτη 10, τότε είναι δεκαδικό ημερολόγιο. Διαφορετικά, το «α» μετατρέπεται σε «υ» και έχει υπερβατικά και παράλογα χαρακτηριστικά. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι φυσικό μέγεθοςυπολογίζεται με ειδική εξίσωση, όπου η απόδειξη είναι μια θεωρία που μελετάται έξω σχολικό πρόγραμμα σπουδώνανώτερες τάξεις.

Οι λογάριθμοι δεκαδικού τύπου χρησιμοποιούνται ευρέως στον υπολογισμό σύνθετων τύπων. Έχουν δημιουργηθεί ολόκληροι πίνακες για να διευκολύνουν τους υπολογισμούς και να δείχνουν ξεκάθαρα τη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος. Ταυτόχρονα, πριν προχωρήσετε απευθείας στην υπόθεση, θα πρέπει να δημιουργήσετε log in Επιπλέον, σε κάθε κατάστημα σχολικές προμήθειεςμπορείτε να βρείτε έναν ειδικό χάρακα με τυπωμένη κλίμακα που βοηθά στην επίλυση μιας εξίσωσης οποιασδήποτε πολυπλοκότητας.

Δεκαδικός λογάριθμοςΟ αριθμός ονομάζεται Brigg's, ή φιγούρα Euler, προς τιμήν του ερευνητή που δημοσίευσε πρώτος την τιμή και ανακάλυψε την αντίθεση των δύο ορισμών.

Δύο είδη φόρμουλας

Όλα τα είδη και οι ποικιλίες προβλημάτων για τον υπολογισμό της απάντησης, που έχουν τον όρο log στη συνθήκη, έχουν ξεχωριστό όνομα και αυστηρή μαθηματική συσκευή. εκθετική εξίσωσηείναι σχεδόν ακριβές αντίγραφο των λογαριθμικών υπολογισμών, αν κοιτάξετε από την πλευρά της ορθότητας της λύσης. Απλώς η πρώτη επιλογή περιλαμβάνει έναν εξειδικευμένο αριθμό που βοηθά στη γρήγορη κατανόηση της κατάστασης και η δεύτερη αντικαθιστά το αρχείο καταγραφής με ένα συνηθισμένο πτυχίο. Σε αυτήν την περίπτωση, οι υπολογισμοί που χρησιμοποιούν τον τελευταίο τύπο πρέπει να περιλαμβάνουν μια τιμή μεταβλητής.

Διαφορά και ορολογία

Και οι δύο βασικοί δείκτες είναι δικά τους χαρακτηριστικά, διακρίνοντας τους αριθμούς μεταξύ τους:

• Δεκαδικός λογάριθμος. Σημαντική λεπτομέρεια του αριθμού είναι η υποχρεωτική παρουσία βάσης. Η τυπική έκδοση της τιμής είναι 10. Σημειώνεται με την ακολουθία - log x ή lg x.
• Φυσικός. Εάν η βάση του είναι το πρόσημο "e", που είναι μια σταθερά πανομοιότυπη με μια αυστηρά υπολογισμένη εξίσωση, όπου το n κινείται γρήγορα προς το άπειρο, τότε το κατά προσέγγιση μέγεθος του αριθμού σε ψηφιακούς όρους είναι 2,72. Η επίσημη σήμανση που υιοθετείται τόσο στις σχολικές όσο και στις πιο σύνθετες επαγγελματικές φόρμουλες είναι ln x.
• Διαφορετικός. Εκτός από τους βασικούς λογάριθμους, υπάρχουν δεκαεξαδικοί και δυαδικοί τύποι (βάση 16 και 2, αντίστοιχα). Υπάρχει επίσης η πιο περίπλοκη επιλογή με δείκτη βάσης 64, που εμπίπτει στον συστηματοποιημένο έλεγχο του προσαρμοστικού τύπου, ο οποίος υπολογίζει το τελικό αποτέλεσμα με γεωμετρική ακρίβεια.

Η ορολογία περιλαμβάνει τις ακόλουθες ποσότητες που περιλαμβάνονται στο αλγεβρικό πρόβλημα:

• έννοια;
• διαφωνία;
• βάση.

Υπολογισμός αριθμού καταγραφής

Υπάρχουν τρεις τρόποι για να κάνετε γρήγορα και προφορικά όλους τους απαραίτητους υπολογισμούς για να βρείτε το αποτέλεσμα ενδιαφέροντος με το υποχρεωτικό σωστό αποτέλεσμα της λύσης. Αρχικά προσεγγίζουμε τον δεκαδικό λογάριθμο με τη σειρά του (επιστημονική σημειογραφία ενός αριθμού σε μια μοίρα). Κάθε θετική τιμή μπορεί να δοθεί με μια εξίσωση όπου θα είναι ίση με την μάντισσα (ένας αριθμός από το 1 έως το 9) πολλαπλασιαζόμενο επί δέκα σε ου βαθμού. Αυτή η επιλογή υπολογισμού δημιουργήθηκε με βάση δύο μαθηματικά γεγονότα:

• το γινόμενο και το άθροισμα του log έχουν πάντα τον ίδιο εκθέτη.
• ο λογάριθμος, που λαμβάνεται από έναν αριθμό από το ένα έως το δέκα, δεν μπορεί να υπερβαίνει την τιμή της 1 μονάδας.

1. Εάν παρουσιαστεί σφάλμα στον υπολογισμό, τότε δεν είναι ποτέ λιγότερο από ένα προς την κατεύθυνση της αφαίρεσης.
2. Η ακρίβεια βελτιώνεται αν σκεφτεί κανείς ότι η lg με βάση τρία έχει τελικό αποτέλεσμα πέντε δέκατα του ενός. Επομένως, οποιαδήποτε μαθηματική τιμή μεγαλύτερη από 3 προσθέτει αυτόματα έναν βαθμό στην απάντηση.
3. Σχεδόν τέλεια ακρίβεια επιτυγχάνεται εάν υπάρχει διαθέσιμος ένας εξειδικευμένος πίνακας που μπορεί εύκολα να χρησιμοποιηθεί στις δραστηριότητες αξιολόγησης σας. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να μάθετε ποιος είναι ο δεκαδικός λογάριθμος μέχρι τα δέκατα του τοις εκατό του αρχικού αριθμού.

Πραγματικό ιστορικό καταγραφής

Ο δέκατος έκτος αιώνας είχε απόλυτη ανάγκη από πιο πολύπλοκους λογισμούς από ό,τι ήταν γνωστό στην επιστήμη της εποχής. Αυτό ίσχυε ιδιαίτερα για τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασμό πολυψήφιων αριθμών με μεγάλη ακολουθία, συμπεριλαμβανομένων των κλασμάτων.

Στο τέλος του δεύτερου μισού της εποχής, πολλά μυαλά κατέληξαν ταυτόχρονα στο συμπέρασμα σχετικά με την πρόσθεση αριθμών χρησιμοποιώντας έναν πίνακα που συνέκρινε δύο και έναν γεωμετρικό. Σε αυτήν την περίπτωση, όλοι οι βασικοί υπολογισμοί έπρεπε να βασίζονται στην τελευταία τιμή. Με τον ίδιο τρόπο, οι επιστήμονες έχουν ολοκληρώσει και αφαιρούν.

Η πρώτη αναφορά της lg έγινε το 1614. Αυτό έγινε από έναν ερασιτέχνη μαθηματικό ονόματι Napier. Αξίζει να σημειωθεί ότι, παρά την τεράστια εκλαΐκευση των αποτελεσμάτων που προέκυψαν, έγινε λάθος στον τύπο λόγω άγνοιας ορισμένων ορισμών που εμφανίστηκαν αργότερα. Ξεκίνησε με το έκτο πρόσημο του δείκτη. Οι πιο κοντινοί στην κατανόηση του λογάριθμου ήταν οι αδερφοί Μπερνούλι και η πρώτη νομιμοποίηση έγινε τον δέκατο όγδοο αιώνα από τον Όιλερ. Επέκτεινε τη λειτουργία και στον τομέα της εκπαίδευσης.

Ιστορία σύνθετου ημερολογίου

Οι πρώτες προσπάθειες για την ενσωμάτωση του lg στις μάζες έγιναν στην αυγή του 18ου αιώνα από τους Μπερνούλι και Λάιμπνιτς. Όμως απέτυχαν να συντάξουν ολιστικούς θεωρητικούς υπολογισμούς. Έγινε ολόκληρη συζήτηση για αυτό, αλλά δεν δόθηκε ο ακριβής ορισμός του αριθμού. Αργότερα ο διάλογος συνεχίστηκε, αλλά μεταξύ του Όιλερ και του Ντ' Αλμπέρ.

Ο τελευταίος συμφωνούσε καταρχήν με πολλά από τα γεγονότα που πρότεινε ο ιδρυτής του μεγέθους, αλλά πίστευε ότι οι θετικοί και οι αρνητικοί δείκτες πρέπει να είναι ίσοι. Στα μέσα του αιώνα, η φόρμουλα αποδείχθηκε ως η τελική έκδοση. Επιπλέον, ο Euler δημοσίευσε την παράγωγο του δεκαδικού λογάριθμου και συνέταξε τα πρώτα γραφήματα.

τραπέζια

Οι ιδιότητες του αριθμού υποδεικνύουν ότι οι πολυψήφιοι αριθμοί δεν μπορούν να πολλαπλασιαστούν, αλλά να βρεθούν στο αρχείο καταγραφής και να προστεθούν χρησιμοποιώντας εξειδικευμένους πίνακες.

Αυτός ο δείκτης έχει γίνει ιδιαίτερα πολύτιμος για τους αστρονόμους που αναγκάζονται να εργαστούν με ένα μεγάλο σύνολο ακολουθιών. ΣΕ Σοβιετική ώραο δεκαδικός λογάριθμος αναζητήθηκε στη συλλογή του Bradis του 1921. Αργότερα, το 1971, εμφανίστηκε η έκδοση Vega.

Συχνά πάρτε τον αριθμό δέκα. Οι λογάριθμοι των αριθμών στη βάση του δέκα καλούνται δεκαδικός. Όταν εκτελείτε υπολογισμούς με τον δεκαδικό λογάριθμο, είναι συνηθισμένο να λειτουργείτε με το πρόσημο lg, αλλά όχι κούτσουρο; ενώ δεν αναγράφεται ο αριθμός δέκα που καθορίζει τη βάση. Ναι, αντικαθιστούμε ημερολόγιο 10 105να απλοποιηθεί lg105; ΕΝΑ log102επί lg2.

Για δεκαδικούς λογάριθμουςτυπικά είναι τα ίδια χαρακτηριστικά που έχουν οι λογάριθμοι με βάση μεγαλύτερη από μία. Δηλαδή, οι δεκαδικοί λογάριθμοι χαρακτηρίζονται αποκλειστικά για θετικούς αριθμούς. Οι δεκαδικοί λογάριθμοι αριθμών μεγαλύτεροι του ενός είναι θετικοί και οι αριθμοί μικρότεροι του ενός είναι αρνητικοί. από δύο όχι αρνητικούς αριθμούςτο μεγαλύτερο είναι ισοδύναμο με το μεγαλύτερο δεκαδικό λογάριθμο, και ούτω καθεξής. Επιπλέον, οι δεκαδικοί λογάριθμοι έχουν χαρακτηριστικά γνωρίσματακαι ιδιόμορφα σημάδια, που εξηγούν γιατί είναι άνετο να προτιμάτε τον αριθμό δέκα ως βάση των λογαρίθμων.

Πριν αναλύσουμε αυτές τις ιδιότητες, ας ρίξουμε μια ματιά στις παρακάτω συνθέσεις.

Ακέραιο μέρος του δεκαδικού λογάριθμου ενός αριθμού ΕΝΑπου ονομάζεται χαρακτηριστικό γνώρισμα, και το κλασματικό μάντισσααυτόν τον λογάριθμο.

Χαρακτηριστικό του δεκαδικού λογάριθμου ενός αριθμού ΕΝΑυποδεικνύεται ως , και η μάντισσα ως (lg ΕΝΑ}.

Ας πάρουμε, ας πούμε, lg 2 ≈ 0,3010. Κατά συνέπεια, = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Το ίδιο ισχύει για το lg 543,1 ≈2,7349. Συνεπώς, = 2, (lg 543,1)≈ 0,7349.

Ο υπολογισμός των δεκαδικών λογαρίθμων των θετικών αριθμών από πίνακες χρησιμοποιείται αρκετά ευρέως.

Χαρακτηριστικά σημάδια δεκαδικών λογαρίθμων.

Το πρώτο πρόσημο του δεκαδικού λογάριθμου.ένας μη αρνητικός ακέραιος που αντιπροσωπεύεται από το 1 ακολουθούμενο από μηδενικά είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός ίσος με τον αριθμό των μηδενικών στον επιλεγμένο αριθμό .

Ας πάρουμε lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Σε γενικές γραμμές, αν

Οτι ΕΝΑ= 10n , από το οποίο παίρνουμε

lg a = lg 10 n = n lg 10 =Π.

Δεύτερο σημάδι.Ο δεκαδικός λογάριθμος ενός θετικού δεκαδικού, που φαίνεται από ένα με μηδενικά, είναι − Π, Οπου Π- τον αριθμό των μηδενικών στην αναπαράσταση αυτού του αριθμού, λαμβάνοντας υπόψη το μηδέν των ακεραίων.

Σκεφτείτε , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.

Σε γενικές γραμμές, αν

,

Οτι ένα= 10-n και αποδεικνύεται

lga = lg 10n =-n lg 10 =-n

Τρίτο σημάδι.Το χαρακτηριστικό του δεκαδικού λογάριθμου ενός μη αρνητικού αριθμού μεγαλύτερου του ενός είναι ίσο με τον αριθμό των ψηφίων στο ακέραιο μέρος αυτού του αριθμού, εξαιρουμένου του ενός.

Ας αναλύσουμε αυτό το χαρακτηριστικό 1) Το χαρακτηριστικό του λογαρίθμου lg 75.631 ισοδυναμεί με 1.

Πράγματι, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Αυτό υπονοεί,

lg 75.631 = 1 + b,

Κόμμα μετατόπισης μέσα δεκαδικό κλάσμαδεξιά ή αριστερά ισοδυναμεί με τη λειτουργία πολλαπλασιασμού αυτού του κλάσματος με δύναμη δέκα με ακέραιο εκθέτη Π(θετικό ή αρνητικό). Και επομένως, όταν η υποδιαστολή σε ένα θετικό δεκαδικό κλάσμα μετατοπίζεται προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά, η μάντισσα του δεκαδικού λογάριθμου αυτού του κλάσματος δεν αλλάζει.

Άρα, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

Καλώς ήρθατε στον ηλεκτρονικό υπολογιστή λογαρίθμων.

Σε τι χρησιμεύει αυτή η αριθμομηχανή; Λοιπόν, πρώτα απ 'όλα, για να ελέγξετε με τους γραπτούς ή διανοητικούς υπολογισμούς σας. Μπορείτε να συναντήσετε λογάριθμους (στα ρωσικά σχολεία) ήδη στην 10η τάξη. Και αυτό το θέμα θεωρείται αρκετά περίπλοκο. Η επίλυση λογαρίθμων, ειδικά με μεγάλους ή κλασματικούς αριθμούς, ξέρετε, δεν είναι εύκολη. Είναι καλύτερα να το παίξετε με ασφάλεια και να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή. Κατά τη συμπλήρωση, προσέξτε να μην μπερδέψετε τη βάση με τον αριθμό. Η αριθμομηχανή λογάριθμου είναι κάπως παρόμοια με την παραγοντική αριθμομηχανή, η οποία δημιουργεί αυτόματα πολλές λύσεις.
Σε αυτήν την αριθμομηχανή, πρέπει να συμπληρώσετε μόνο δύο πεδία. Αριθμητικό πεδίο και πεδίο βάσης. Λοιπόν, ας προσπαθήσουμε να περιορίσουμε την αριθμομηχανή στην πράξη. Για παράδειγμα, πρέπει να βρείτε το αρχείο καταγραφής 2 8 (λογάριθμος από 8 στη βάση 2 ή λογάριθμος στη βάση 2 από 8, μην φοβάστε τις διαφορετικές προφορές). Έτσι, πληκτρολογήστε 2 στο πεδίο "Εισαγωγή βάσης" και 8 στο πεδίο "Εισαγωγή αριθμού". Στη συνέχεια, πατήστε "εύρεση λογάριθμου" ή enter. Στη συνέχεια, η αριθμομηχανή λογαρίθμου παίρνει τον λογάριθμο της δεδομένης έκφρασης και εμφανίζει ένα τέτοιο αποτέλεσμα στις οθόνες σας.

Αριθμομηχανή λογαρίθμου (πραγματικό) - αυτή η αριθμομηχανή βρίσκει τον λογάριθμο σε μια δεδομένη βάση στο διαδίκτυο.
Το Decimal Logarithm Calculator είναι μια αριθμομηχανή που αναζητά διαδικτυακά τον λογάριθμο βάσης 10 βάσης 10.
Αριθμομηχανή φυσικού λογαρίθμου - αυτή η αριθμομηχανή που βρίσκει τον λογάριθμο στη βάση e online.
Το Binary Log Calculator είναι μια αριθμομηχανή που βρίσκει τον λογάριθμο βάσης 2 στο διαδίκτυο.

Η έννοια του πραγματικού λογάριθμου: Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί ορισμοί του λογάριθμου. Πρώτον, θα ήταν ωραίο να γνωρίζουμε ότι ο λογάριθμος είναι κάποιο είδος αλγεβρικού συμβολισμού, που συμβολίζεται ως log a b, όπου a είναι η βάση, b είναι ένας αριθμός. Και αυτό το λήμμα διαβάζεται ως εξής: Λογάριθμος στη βάση α του αριθμού β. Το αρχείο καταγραφής σημειογραφίας b χρησιμοποιείται μερικές φορές.
Η βάση, δηλαδή το «α», βρίσκεται πάντα στο κάτω μέρος. Αφού πάντα ανυψώνεται σε μια δύναμη.
Και τώρα, στην πραγματικότητα, ο ορισμός του ίδιου του λογαρίθμου:
Ο λογάριθμος ενός θετικού αριθμού b στη βάση a (όπου a>0, a≠1) είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να αυξήσετε τον αριθμό a για να λάβετε τον αριθμό b. Παρεμπιπτόντως, όχι μόνο η βάση πρέπει να είναι σε θετική μορφή. Ο αριθμός (επιχείρημα) πρέπει επίσης να είναι θετικός. Διαφορετικά, η αριθμομηχανή λογαρίθμου θα ενεργοποιήσει έναν άσχημο συναγερμό. Λογάριθμος είναι η λειτουργία εύρεσης του λογάριθμου, δεδομένης της βάσης. Αυτή η πράξη είναι το αντίστροφο της εκθέσεως με την κατάλληλη βάση. Συγκρίνω:

Και η αντίστροφη πράξη προς τον λογάριθμο είναι Δυναμοποίηση.
Εκτός από τον πραγματικό λογάριθμο, η βάση του οποίου μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός (εκτός από αρνητικούς αριθμούς, μηδέν και ένα), υπάρχουν λογάριθμοι με σταθερή βάση. Για παράδειγμα, ο δεκαδικός λογάριθμος.
Ο λογάριθμος βάσης 10 ενός αριθμού είναι ο λογάριθμος βάσης 10, ο οποίος γράφεται ως lg6 ή lg14. Μοιάζει με ορθογραφικό λάθος ή ακόμα και τυπογραφικό λάθος που παραλείφθηκε λατινικό γράμμα"Ο".
Ο φυσικός λογάριθμος είναι ο βασικός λογάριθμος ίσο με τον αριθμό e, για παράδειγμα ln7, ln9, e≈2.7. Υπάρχει επίσης ο δυαδικός λογάριθμος, ο οποίος δεν είναι τόσο σημαντικός στα μαθηματικά όσο στη θεωρία της πληροφορίας και στην επιστήμη των υπολογιστών. Η βάση του δυαδικού λογάριθμου είναι 2. Για παράδειγμα: log 2 10.
Οι δεκαδικοί και οι φυσικοί λογάριθμοι έχουν τις ίδιες ιδιότητες με τους λογάριθμους των αριθμών με οποιαδήποτε θετική βάση.