Το σκεπτικό είναι πολύ απλό. Για να πάει μέχρι τέρμα, το κινούμενο σώμα πρέπει πρώτα να διανύσει τη μισή διαδρομή, αλλά για να ξεπεράσει αυτό το μισό, είναι απαραίτητο να διανύσει το μισό, και ούτω καθεξής επ' άπειρον. Με άλλα λόγια, υπό τις ίδιες συνθήκες όπως στην προηγούμενη περίπτωση, θα αντιμετωπίσουμε μια ανεστραμμένη σειρά σημείων: (½)n,…, (½)3, (½)2, (½)1. Αν στην περίπτωση της απορίας του Αχιλλέα και της χελώνας η αντίστοιχη σειρά δεν είχε την τελευταία τελεία, τότε στη Διχοτομία αυτή η σειρά δεν έχει την πρώτη τελεία. Επομένως, συμπεραίνει ο Ζήνων, η κίνηση δεν μπορεί να ξεκινήσει. Και αφού το κίνημα όχι μόνο δεν μπορεί να τελειώσει, αλλά ούτε να ξεκινήσει, δεν υπάρχει κίνηση. Υπάρχει ένας θρύλος που ο A. S. Pushkin θυμάται στο ποίημα "Movement":
Δεν υπάρχει κίνηση, είπε ο γενειοφόρος σοφός.
Ο άλλος έμεινε σιωπηλός και άρχισε να περπατάει μπροστά του.
Δεν θα μπορούσε να είχε πιο έντονη αντίρρηση.
Όλοι επαίνεσαν τη μπερδεμένη απάντηση.
Αλλά, κύριοι, αυτή είναι μια αστεία περίπτωση
Ένα άλλο παράδειγμα έρχεται στο μυαλό:
Μετά από όλα, κάθε μέρα ο ήλιος περπατά μπροστά μας,
Ωστόσο, ο πεισματάρης Galileo έχει δίκιο.
Πράγματι, σύμφωνα με το μύθο, ένας από τους φιλοσόφους «αντίρρησε» στον Ζήνωνα. Ο Ζήνων διέταξε να τον χτυπήσουν με ξύλα: άλλωστε δεν επρόκειτο να αρνηθεί την αισθητηριακή αντίληψη της κίνησης. Μίλησε για το ασύλληπτό του, ότι ο αυστηρός στοχασμός στην κίνηση οδηγεί σε άλυτες αντιφάσεις. Επομένως, εάν θέλουμε να απαλλαγούμε από τις αποριές με την ελπίδα ότι αυτό είναι καθόλου δυνατό (και ο Ζήνων απλώς πίστευε ότι ήταν αδύνατο), τότε πρέπει να καταφύγουμε σε θεωρητικά επιχειρήματα και να μην αναφερθούμε σε αισθητηριακές αποδείξεις. Σκεφτείτε μια περίεργη θεωρητική ένσταση που έχει διατυπωθεί κατά της απορίας του Αχιλλέα και της χελώνας.
«Ας φανταστούμε ότι ο γρήγορος Αχιλλέας και δύο χελώνες κινούνται κατά μήκος του δρόμου προς μία κατεύθυνση, εκ των οποίων το Turtle-1 είναι κάπως πιο κοντά στον Αχιλλέα από το Turtle-2. Για να δείξουμε ότι ο Αχιλλέας δεν μπορεί να προσπεράσει το Turtle-1, επιχειρηματολογούμε ως εξής. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που ο Αχιλλέας θα διανύσει την απόσταση που τους χωρίζει στην αρχή, το Turtle-1 θα έχει χρόνο να συρθεί λίγο προς τα εμπρός, ενώ ο Αχιλλέας τρέχει αυτό το νέο τμήμα, θα προχωρήσει ξανά και αυτή η κατάσταση θα επαναλαμβάνεται ατελείωτα. Ο Αχιλλέας θα πλησιάζει όλο και περισσότερο στη Χελώνα 1, αλλά δεν θα μπορέσει ποτέ να την προσπεράσει. Ένα τέτοιο συμπέρασμα, φυσικά, έρχεται σε αντίθεση με την εμπειρία μας, αλλά δεν έχουμε ακόμη λογική αντίφαση.
Ας αρχίσει, όμως, ο Αχιλλέας να προλαβαίνει την πιο μακρινή Χελώνα-2, χωρίς να δίνει σημασία στο κοντινό. Η ίδια λογική υποδηλώνει ότι ο Αχιλλέας θα μπορέσει να πλησιάσει τη Χελώνα 2, αλλά αυτό σημαίνει ότι θα ξεπεράσει τη Χελώνα 1. Τώρα ερχόμαστε σε μια λογική αντίφαση».
Εδώ είναι δύσκολο να αντιρρήσεις οτιδήποτε, αν παραμένεις δέσμιος εικονιστικών ιδεών. Είναι απαραίτητο να αποκαλυφθεί η τυπική ουσία του θέματος, η οποία θα μας επιτρέψει να μεταφέρουμε τη συζήτηση στο κύριο ρεύμα της αυστηρής συλλογιστικής. Μας φαίνεται ότι η πρώτη απορία συνοψίζεται στις ακόλουθες τρεις δηλώσεις:
(1) Οποιοδήποτε τμήμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια άπειρη ακολουθία τμημάτων που μειώνονται σε μήκος … .
(2) Εφόσον η άπειρη ακολουθία ai (1 ≤ i ‹ ω) δεν έχει τελευταίο σημείο, είναι αδύνατο να ολοκληρωθεί η κίνηση επισκεπτόμενος κάθε σημείο αυτής της ακολουθίας.
Το συμπέρασμα που προκύπτει μπορεί να απεικονιστεί με διαφορετικούς τρόπους. Η πιο διάσημη απεικόνιση - "ο πιο γρήγορος δεν μπορεί ποτέ να φτάσει στον πιο αργό" - συζητήθηκε παραπάνω. Αλλά είναι δυνατόν να προσφέρουμε μια πιο ριζοσπαστική εικόνα στην οποία ο Αχιλλέας, πνιγμένος στον ιδρώτα (φεύγοντας από το σημείο Α), προσπαθεί ανεπιτυχώς να προσπεράσει μια χελώνα, κολυμπώντας ήρεμα στον Ήλιο (στο σημείο Β) και ούτε που σκέφτεται να φύγει. Η ουσία της απορίας δεν αλλάζει από αυτό. Ως παράδειγμα, θα είναι μια πολύ πιο έντονη δήλωση - «ο πιο γρήγορος δεν μπορεί ποτέ να προσπεράσει τον ακίνητο». Αν η πρώτη απεικόνιση είναι παράδοξη, τότε η δεύτερη είναι ακόμη περισσότερο.
Ταυτόχρονα, δεν αναφέρεται πουθενά ότι οι φθίνουσες ακολουθίες των τμημάτων ai for και ai" for πρέπει να είναι ίδιες. Αντίθετα, εάν τα τμήματα και είναι άνισα σε μήκος, τα χωρίσματά τους σε άπειρες ακολουθίες φθίνουσες θα μετατραπούν Στον παραπάνω συλλογισμό, ο Αχιλλέας διαχωρίζει 1 και 2 διαφορετικές αποστάσεις. Επομένως, έχουμε δύο διαφορετικά τμήματα και με κοινό σημείο εκκίνησης Α. Ανίσα τμήματα και δημιουργούν διαφορετικές άπειρες ακολουθίες σημείων, και είναι απαράδεκτο να χρησιμοποιείται ένα τους αντί του άλλου. Εν τω μεταξύ, είναι αυτή η παράνομη επιχείρηση που χρησιμοποιείται στα επιχειρήματα για δύο χελώνες.
Αν δεν συγχέουμε τις απεικονίσεις και την ουσία της απορίας, τότε μπορεί να υποστηριχθεί, κατά τη γνώμη μας, ότι οι αποριές του Αχιλλέα και της Διχοτομίας είναι συμμετρικές μεταξύ τους. Πράγματι, η Διχοτομία οδηγεί επίσης στις ακόλουθες τρεις δηλώσεις:
(0) Όποιο κι αν είναι το τμήμα , ένα σώμα που κινείται από το Α στο Β πρέπει να επισκεφτεί όλα τα σημεία του τμήματος .
(1) Οποιοδήποτε τμήμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια άπειρη ακολουθία τμημάτων που μειώνονται σε μήκος … ….
(2) Εφόσον η άπειρη ακολουθία bi δεν έχει πρώτο σημείο, είναι αδύνατο να επισκεφθείτε καθένα από τα σημεία αυτής της ακολουθίας.
Έτσι, η απορία του Αχιλλέα βασίζεται στη θέση ότι είναι αδύνατο να ολοκληρωθεί η κίνηση λόγω της ανάγκης να επισκεφθούμε διαδοχικά καθένα από τα σημεία μιας άπειρης σειράς ταξινομημένα σύμφωνα με τον τύπο ω (δηλαδή, σύμφωνα με τον τύπο της σειράς στο φυσικούς αριθμούς) που δεν έχει το τελευταίο στοιχείο. Με τη σειρά του, η Διχοτομία επιβεβαιώνει την αδυναμία της έναρξης της κίνησης λόγω της παρουσίας μιας άπειρης σειράς σημείων ταξινομημένων σύμφωνα με τον τύπο ω * (έτσι διατάσσονται οι ακέραιοι). αρνητικούς αριθμούς) που δεν έχει πρώτο στοιχείο.
Αναλύοντας πιο προσεκτικά τις δύο απορία που αναφέρονται, διαπιστώνουμε ότι και οι δύο βασίζονται στην υπόθεση της συνέχειας του χώρου και του χρόνου με την έννοια της άπειρης διαιρετότητάς τους. Αυτή η παραδοχή της συνέχειας διαφέρει από τη σύγχρονη, αλλά λάμβανε χώρα στην αρχαιότητα. Χωρίς τη θέση ότι οποιοδήποτε χωρικό ή χρονικό διάστημα μπορεί να χωριστεί σε μικρότερα διαστήματα, και οι δύο απορία καταρρέουν. Ο Ζήνων το κατάλαβε πολύ καλά. Ως εκ τούτου, προβάλλει ένα επιχείρημα που βασίζεται στην αποδοχή της υπόθεσης της διακριτικότητας του χώρου και του χρόνου, δηλαδή την υπόθεση της ύπαρξης στοιχειωδών, περαιτέρω αδιαίρετων, μηκών και χρόνων.
Ένα από τα πιο διάσημα επιχειρήματα του Ζήνωνα σχετικά με την απουσία κίνησης λέει: «Σε μια πεπερασμένη χρονική περίοδο, ένας άπειρος αριθμός τμημάτων δεν μπορεί να περάσει, πράγμα που σημαίνει την αδυναμία της έναρξης της ίδιας της κίνησης».
Η ουσία αυτής της δήλωσης είναι η εξής. Εάν υπάρχει ένα συγκεκριμένο τμήμα Α-Β, τότε για να φτάσετε από το σημείο Α στο σημείο Β, πρέπει πρώτα να φτάσετε στο σημείο Γ, το οποίο θα είναι το μέσο τμήμα Α-Β. Και για να φτάσετε στο σημείο Γ, πρέπει πρώτα να φτάσετε στο σημείο Δ, που είναι μεσαίο Α-Γ, και έτσι θα συνεχιστεί επ' αόριστον. Από αυτό προκύπτει ότι η κίνηση δεν θα ξεκινήσει ποτέ, αφού το τελικό σημείο έστω και μιας απείρως μικρής μετατόπισης δεν θα βρεθεί ποτέ.
Πολλοί φιλόσοφοι, συμπεριλαμβανομένου του Αριστοτέλη, του Χέγκελ και του Λένιν, ασχολήθηκαν με αυτήν την απορία στα έργα τους και δεν υποστήριξαν την άποψη του Ζήνωνα, αλλά, αντίθετα, υποστήριξαν υπέρ της ανακρίβειας της δήλωσης. Έτσι, ο Αριστοτέλης έγραψε ότι «... ο χώρος και ο χρόνος είναι απείρως διαιρούμενοι σε δυνατότητα, αλλά όχι απεριόριστα διαιρεμένοι στην πραγματικότητα». Ο Χέγκελ, αναπτύσσοντας τη σκέψη του Αριστοτέλη, υποστήριξε ότι η διαιρετότητα δεν είναι αναγκαιότητα, αλλά μόνο η δυνατότητα διαίρεσης.
«Ο Αχιλλέας και η χελώνα»
Μια άλλη απορία βασίζεται στις αρχές που διατυπώνονται στη Διχοτομία, στην οποία ο Ζήνων λέει ότι για να προλάβει ο Αχιλλέας τη χελώνα, είναι απαραίτητο να εξαφανιστεί η απόσταση που τις χωρίζει, και αυτό είναι αδύνατο.
Ο φιλόσοφος εξηγεί την ιδέα του από το γεγονός ότι εάν η χελώνα και ο Αχιλλέας αρχίσουν να κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση το ίδιο δευτερόλεπτο, αλλά η χελώνα είναι σε κάποια απόσταση μπροστά, τότε ενώ ο Αχιλλέας θα ξεπεράσει αυτό το μονοπάτι, η χελώνα θα προχωρήσει λίγο μπροστά. και η απόσταση θα μειώνεται επ' αόριστον, αλλά στο τέλος θα υπάρχει πάντα μια μη μηδενική απόσταση μεταξύ τους.
Έχοντας γράψει τις εξισώσεις κίνησης του Αχιλλέα και της χελώνας, μπορούμε να μάθουμε ότι τη στιγμή της υποτιθέμενης συνάντησής τους πρέπει να περάσουν από ίσο αριθμό τμημάτων της διαδρομής, αλλά περνούν από διαφορετικά: ένα άτομο ξεπερνά ένα «έξτρα " τμήμα. Αυτό, αφενός, δείχνει την τυπική ανακρίβεια των δηλώσεων του Ζήνωνα, αλλά, ταυτόχρονα, δίνει στους σύγχρονους μαθηματικούς και φιλοσόφους ένα τεράστιο περιθώριο για ενέργειες για να αποδείξουν ή να αντικρούσουν ότι το μέρος είναι ίσο με το σύνολο.
Οι D. Gilbert και P. Bernays σημειώνουν: «Συνήθως, προσπαθούν να ξεπεράσουν αυτό το παράδοξο συλλογίζοντας ότι το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού αυτών των χρονικών διαστημάτων εξακολουθεί να συγκλίνει και, επομένως, δίνει μια πεπερασμένη χρονική περίοδο. Ωστόσο, αυτός ο συλλογισμός δεν επηρεάζει απολύτως ένα παράδοξο, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι μια ορισμένη ατελείωτη αλληλουχία γεγονότων διαδέχονται το ένα μετά το άλλο, μια ακολουθία της οποίας δεν μπορούμε καν να φανταστούμε την ολοκλήρωση (όχι μόνο φυσικά, αλλά τουλάχιστον κατ' αρχήν), στην πραγματικότητα , όλα πρέπει ακόμη να ολοκληρωθούν» D. Hilbert, P. Bernays «Βασικές αρχές των Μαθηματικών. Evidence Theory, 1982.
Αυτή η απορία του Ζήνωνα δεν έπαψε ποτέ να ενδιαφέρει τους μαθηματικούς και τους φιλοσόφους. Ωστόσο, μέχρι σήμερα, υπάρχει μεγάλη ποικιλία απόψεων: από μια εντελώς περιφρονητική στάση μέχρι την αναγνώριση ότι είναι από τα πιο σημαντικά και δύσκολα ερωτήματα για την τεκμηρίωση των μαθηματικών και της φυσικής.
Έτσι, ο διάσημος Γάλλος μαθηματικός Paul Levy θεωρεί προφανές παραλογισμό το παράδοξο για τον Αχιλλέα και τη χελώνα.
«Γιατί να φανταστείς», γράφει, «ότι ο χρόνος θα σταματήσει την πορεία του λόγω του γεγονότος ότι ένας συγκεκριμένος φιλόσοφος απαριθμεί τους όρους μιας συγκλίνουσας σειράς; Ομολογώ ότι ποτέ δεν κατάλαβα πώς άνθρωποι που κατά τα άλλα είναι αρκετά λογικοί θα μπορούσαν να μπερδευτούν από αυτό το παράδοξο, και η απάντηση που μόλις περιέγραψα είναι η ίδια απάντηση που έδωσα όταν ήμουν έντεκα χρονών στον μεγαλύτερο που μου είπε αυτό το παράδοξο, ή Πιο συγκεκριμένα, είναι η ίδια η απάντηση που συνόψισα τότε με έναν τόσο λακωνικό τύπο: Αυτός ο Έλληνας ήταν ηλίθιος» R. Levy, A propos du paradoxe et de la logique, Στροφή μηχανής. Μεταφ. Morale, 1957, αρ. 2, σελ. 130.
Dichotomy Paradox 16 Ιανουαρίου 2018
Πηγαίνοντας οπουδήποτε, πρέπει πρώτα να διανύσετε τη μισή διαδρομή, μετά τη μισή απόσταση που απομένει και ούτω καθεξής επ' άπειρον. Το συμπέρασμα προκύπτει αναπόφευκτα από αυτό: είναι καταρχήν αδύνατο να φτάσουμε στο τελικό σημείο, και επομένως η ίδια η κίνηση είναι επίσης αδύνατη.
Αυτό το παράδοξο ονομάζεται παράδοξο διχοτομίας. Η συγγραφή αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Ζήνωνα. Υποτίθεται ότι διατυπώθηκε ως απόδειξη της μοναδικότητας του σύμπαντος και ότι η αλλαγή, συμπεριλαμβανομένης της κίνησης, είναι αδύνατη (όπως πίστευε ο δάσκαλος του Ζήνωνα, Παρμενίδης).
Οι άνθρωποι απέρριπταν διαισθητικά αυτό το παράδοξο για πολλούς αιώνες. Από μαθηματική άποψη, η λύση που διατυπώθηκε τον 19ο αιώνα είναι να αναγνωρίσουμε ότι το μισό συν ένα τέταρτο συν ένα όγδοο συν ένα δέκατο έκτο κ.λπ. αποτελεί μονάδα. Είναι σαν να λέμε μηδέν ακέραιοι και εννέα σε μια περίοδο ισούται με ένα.
Ωστόσο, αυτή η θεωρητική λύση δεν απαντά στην πραγματικότητα στο ερώτημα πώς ένα αντικείμενο μπορεί να φτάσει στο τελικό σημείο της κίνησής του. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι πιο περίπλοκη και ακόμα όχι εντελώς σαφής, αν βασιστούμε στις θεωρίες του 20ου αιώνα, που αρνούνται την άπειρη διαιρετότητα ύλης, χρόνου και χώρου.
Ο Ζήνων ο Ελέας ανήκε σε εκείνη την ελληνική φιλοσοφική σχολή που δίδασκε ότι οποιαδήποτε αλλαγή στον κόσμο είναι απατηλή και η ύπαρξη είναι ένα και αμετάβλητο. Το παράδοξό του (διατυπωμένο ως τέσσερις αποριές (από το ελληνικό απορία "καμία διέξοδος"), οι οποίες έκτοτε έχουν δημιουργήσει περίπου σαράντα περισσότερες διαφορετικές επιλογές) δείχνει ότι η κίνηση, το μοτίβο της "ορατής" αλλαγής, είναι λογικά αδύνατη.
Οι περισσότεροι σύγχρονοι αναγνώστες είναι εξοικειωμένοι με το παράδοξο του Ζήνωνα ακριβώς στην παραπάνω διατύπωση (ενίοτε αποκαλείται διχοτομία - από τα ελληνικά. διχοτομία «διαιρώντας στα δύο»). Για να διασχίσετε το δωμάτιο, πρέπει πρώτα να διανύσετε τη μέση. Αλλά μετά πρέπει να ξεπεράσεις το μισό από αυτό που έχει απομείνει, μετά το μισό από αυτό που έχει απομείνει μετά από αυτό και ούτω καθεξής. Αυτή η διχοτόμηση θα συνεχιστεί επ' αόριστον, από την οποία συνάγεται το συμπέρασμα ότι δεν θα μπορέσετε ποτέ να διασχίσετε την αίθουσα.
Η Απορία, γνωστή ως Αχιλλέας, είναι ακόμα πιο εντυπωσιακή. αρχαίος Έλληνας ήρωαςΟ Αχιλλέας πρόκειται να αγωνιστεί με τη χελώνα. Αν η χελώνα ξεκινήσει λίγο νωρίτερα από τον Αχιλλέα, τότε για να την προλάβει πρέπει πρώτα να τρέξει στο σημείο της εκκίνησής της. Αλλά μέχρι να φτάσει εκεί, η χελώνα θα έχει συρθεί κάποια απόσταση που θα πρέπει να διανύσει ο Αχιλλέας πριν προλάβει τη χελώνα. Αλλά κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, η χελώνα θα σέρνεται προς τα εμπρός λίγη περισσότερη απόσταση. Και δεδομένου ότι ο αριθμός τέτοιων τμημάτων είναι άπειρος, ο γρήγορος Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.
Εδώ είναι μια άλλη απορία, σύμφωνα με τα λόγια του Ζήνωνα:
Αν κάτι κινείται, τότε κινείται είτε στη θέση που καταλαμβάνει, είτε στη θέση που δεν υπάρχει. Δεν μπορεί όμως να κινηθεί στον τόπο που καταλαμβάνει (αφού ανά πάσα στιγμή καταλαμβάνει όλον αυτόν τον χώρο), αλλά δεν μπορεί να κινηθεί και στον τόπο που δεν υπάρχει. Επομένως, η κίνηση είναι αδύνατη.
Αυτό το παράδοξο ονομάζεται βέλος (σε κάθε στιγμή του χρόνου, ένα ιπτάμενο βέλος καταλαμβάνει μια θέση ίση με το μήκος του, επομένως δεν κινείται).
Τέλος, υπάρχει μια τέταρτη απορία, στην οποία μιλάμε για δύο στήλες ανθρώπων ίσου μήκους, που κινούνται παράλληλα με ίση ταχύτητασε αντίθετες κατευθύνσεις. Ο Ζήνων δηλώνει ότι ο χρόνος που χρειάζεται για να περάσουν οι στήλες η μία από την άλλη είναι ο μισός χρόνος που χρειάζεται για ένα άτομο να περάσει ολόκληρη τη στήλη.
Από αυτές τις τέσσερις απορία, οι τρεις πρώτες είναι οι πιο γνωστές και οι πιο παράδοξες. Το τέταρτο σχετίζεται απλώς με μια παρανόηση της φύσης της σχετικής κίνησης.
Ο πιο χοντροκομμένος και άκομψος τρόπος για να αντικρούσετε το παράδοξο του Ζήνωνα είναι να σηκωθείτε και να διασχίσετε το δωμάτιο, να ξεπεράσετε μια χελώνα ή να ρίξετε ένα βέλος. Αυτό όμως δεν επηρεάζει την πορεία του συλλογισμού του. Μέχρι τον 17ο αιώνα, οι στοχαστές δεν μπορούσαν να βρουν το κλειδί για να αντικρούσουν την ευρηματική λογική του. Το πρόβλημα λύθηκε μόνο αφού οι Isaac Newton και Gottfried Leibniz παρουσίασαν την ιδέα του διαφορικού λογισμού, ο οποίος λειτουργεί με την έννοια του ορίου. αφού έγινε σαφής η διαφορά μεταξύ του διαμερίσματος του χώρου και του καταμερισμού του χρόνου. Τέλος, αφού έμαθε πώς να αντιμετωπίζει άπειρα και απειροελάχιστα μεγέθη.
Ας πάρουμε το παράδειγμα της διέλευσης ενός δωματίου. Πράγματι, σε κάθε σημείο της διαδρομής πρέπει να διανύσετε το μισό μονοπάτι που απομένει, αλλά μόνο για αυτό θα χρειαστείτε τον μισό χρόνο. Όσο μικρότερη είναι η απόσταση που απομένει, τόσο λιγότερος χρόνος θα χρειαστεί. Έτσι, όταν υπολογίζουμε το χρόνο που χρειάζεται για να διασχίσουμε ένα δωμάτιο, αθροίζουμε έναν άπειρο αριθμό απειροελάχιστων διαστημάτων. Ωστόσο, το άθροισμα όλων αυτών των διαστημάτων δεν είναι άπειρο (διαφορετικά θα ήταν αδύνατο να διασχίσουμε το δωμάτιο), αλλά ισούται με κάποιον πεπερασμένο αριθμό - και επομένως μπορούμε να διασχίσουμε το δωμάτιο σε έναν πεπερασμένο χρόνο.
Μια τέτοια πορεία απόδειξης είναι παρόμοια με την εύρεση του ορίου στον διαφορικό λογισμό. Ας προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε την ιδέα του ορίου με βάση το παράδοξο του Ζήνωνα. Αν διαιρέσουμε την απόσταση που διανύσαμε στο δωμάτιο με το χρόνο που μας πήρε για να το κάνουμε, θα έχουμε μέση ταχύτηταπερνώντας αυτό το διάστημα. Αλλά παρόλο που τόσο η απόσταση όσο και ο χρόνος μειώνονται (και τελικά πάνε στο μηδέν), η αναλογία τους μπορεί να είναι πεπερασμένη - στην πραγματικότητα, αυτή είναι η ταχύτητα της κίνησής σας. Όταν η απόσταση και ο χρόνος τείνουν στο μηδέν, αυτή η αναλογία ονομάζεται όριο ταχύτητας. Στο παράδοξό του, ο Ζήνων εσφαλμένα υποθέτει ότι όταν η απόσταση πάει στο μηδέν, ο χρόνος παραμένει ο ίδιος.
πηγές
ΑΠΟΡΙΑΣ ΖΗΝΩΝ: ΜΙΑ ΝΕΑ ΜΑΤΙΑ
Α.Σ.: αφού τελειώσει η λύση των αποριών, οι παραθέσεις τους δίνονται σε ρωσική μετάφραση από την αρχική πηγή («Φυσική» του Αριστοτέλη).
Η ζωή χρειάζεται κίνηση
Αριστοτέλης
(«Αφορισμοί, αποσπάσματα,
δηλώσεις φοβεροί άνθρωποι»,
http://www.wisdoms.ru/36.html)
«Ο Αχιλλέας και η χελώνα, Διχοτομία
Πλέον γρήγορο πλάσμαανίκανος να πιάσει τη διαφορά με την πιο αργή χελώνα, με γοργοπόδαρο, ο Αχιλλέας δεν θα προσπεράσει ποτέ την πιο αργή χελώνα. Μέχρι να φτάσει ο Αχιλλέας στη χελώνα, θα προχωρήσει λίγο μπροστά. Θα ξεπεράσει γρήγορα αυτή την απόσταση, αλλά η χελώνα θα πάει λίγο πιο μπροστά.
Και ούτω καθεξής επί άπειρον. Όποτε ο Αχιλλέας φτάσει στο σημείο που ήταν πριν η χελώνα, θα είναι τουλάχιστον λίγο, αλλά μπροστά.
Στο Dichotomy, εφιστάται η προσοχή στο γεγονός ότι ένα κινούμενο αντικείμενο πρέπει να φτάσει στο μισό της διαδρομής του πριν φτάσει στο τέλος του. Στη συνέχεια, πρέπει να περάσει το μισό από το υπόλοιπο μισό, μετά το μισό από αυτό το τέταρτο μέρος, και ούτω καθεξής. στο άπειρο. Το αντικείμενο θα πλησιάζει συνεχώς το τελικό σημείο, αλλά δεν θα φτάσει ποτέ σε αυτό.
Αυτό το επιχείρημα μπορεί να τροποποιηθεί κάπως. Για να πάει το μισό του δρόμου, το αντικείμενο πρέπει να πάει το μισό από αυτό το μισό, και για αυτό πρέπει να πάτε το μισό αυτού του τετάρτου, και ούτω καθεξής. Στο τέλος, το αντικείμενο δεν θα μετακινηθεί από τη θέση του. Τέλος αποσπάσματος (Ivin A.A. Logic. - 1998, κεφάλαιο 7 «Sophisms», παράγραφος 2 «Aporias of Zeno», http://culture.niv.ru/doc/logic/ivin/027.htm).
Διχοτομία (η εξήγησή μου είναι η διαίρεση στα δύο)
Για να ξεπεράσετε το μονοπάτι, πρέπει πρώτα να ξεπεράσετε το μισό μονοπάτι, και για να ξεπεράσετε το μισό μονοπάτι, πρέπει πρώτα να ξεπεράσετε το μισό, και ούτω καθεξής ad infinitum. Αυτή η απορία βασίζεται στην άπειρη διαιρετότητα του χώρου και στην υπόθεση ότι απαιτείται άπειρος χρόνος για να πραγματοποιηθεί ένας άπειρος αριθμός ενεργειών.
Λόγω του ότι το παράδοξο διατυπώνεται προφορικά, και επομένως επιτρέπει διάφορες ερμηνείες, υπάρχουν διαφορετικές εξηγήσεις, αλλά η μαθηματική εξήγηση λέει: «Δεδομένου ότι μικρότερα τμήματα καλύπτονται σε λιγότερο χρόνο, ο συνολικός χρόνος είναι ίσος με το άθροισμα της συγκλίνουσας σειράς 1/2+1/4+1/8+…, δηλαδή , ένας"
Ο Αχιλλέας και η χελώνα
Ο γοργοπόδαρος Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα αν, στην αρχή της κίνησης, η χελώνα ήταν μπροστά σε κάποια απόσταση από αυτόν.
Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από μια χελώνα και απέχει 1 χιλιόμετρο από αυτήν. Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει αυτό το χιλιόμετρο, η χελώνα σέρνεται 100 μέτρα. Όταν ο Αχιλλέας τρέχει 100 μέτρα, η χελώνα σέρνεται άλλα 10 μέτρα κ.ο.κ. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ' αόριστον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.
Βέλος
Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου καταλαμβάνει ίση θέση με τον εαυτό του, δηλαδή ακουμπάει. αφού είναι σε ανάπαυση σε κάθε στιγμή, είναι σε ηρεμία σε όλες τις στιγμές του χρόνου, δηλαδή είναι πάντα σε ηρεμία.
Αυτή η απορία στρέφεται ενάντια στην ιδέα μιας συνεχούς ποσότητας ως το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού αδιαίρετων σωματιδίων.
Οι σύγχρονες ιδέες θεωρούν ένα βέλος στο διάστημα με τις εισαγόμενες διαστάσεις ταχύτητας και έτσι λύνουν τον σοφισμό. Σε έναν τέτοιο χώρο, ένα κινούμενο αντικείμενο δεν είναι πανομοιότυπο με ένα ακίνητο. Ωστόσο, από την άποψη σύγχρονη επιστήμη, υπάρχει κάποια αλήθεια σε αυτή την απορία. Τέλος παραθέματος ("Wikipedia", http://ru.wikipedia.org/wiki, τα άρθρα είναι απορία με το ίδιο όνομα).
«Στάδιο ή Στάδιο
(από το ελληνικό στάδιο) - ένα αρχαίο ελληνικό μέτρο μήκους από 150 έως 190 μέτρα.
Εάν δύο σώματα κινούνται το ένα προς το άλλο με την ίδια ταχύτητα, τότε θα συναντηθούν στα μισά του δρόμου σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο. εάν ένας από αυτούς κινείται με την ίδια ταχύτητα και ο άλλος είναι σε ηρεμία, τότε θα συναντηθούν μετά από ένα χρονικό διάστημα δύο φορές μεγαλύτερο. Ένας χρόνος μπορεί να ισούται με διπλάσιο χρόνο. Επομένως, η κίνηση, δηλ. η προσέγγιση ενός σώματος στο άλλο θα είναι διαφορετική χρονικά ανάλογα με την οπτική γωνία πάνω σε αυτό, δηλ. από μόνο του, δεν είναι καθόλου κίνημα» (Mirgorodsky A. I. / Aporia of Zeno and quantum
Μια άλλη διατύπωση:
«Ας υπάρχουν τρεις ομάδες αντικειμένων, πανομοιότυπες σε ποσότητα (Ν τεμάχια). Μια σειρά "Α" παραμένει ακίνητη. Η δεύτερη σειρά "Β" περνά δίπλα του από αριστερά προς τα δεξιά και η τρίτη σειρά "C" περνάει από την πρώτη σειρά από δεξιά προς τα αριστερά. Αφήστε τη σειρά "Β" να περάσει μία από τη σειρά "Α" σε ένα πλαίσιο, επομένως χρειάζεται Ν πλαίσια. Επίσης, η σειρά "C" χρειάζεται N πλαίσια για να περάσει μετά τη σειρά "B". Αλλά η δεύτερη και η τρίτη σειρά βαδίζουν η μία προς την άλλη, επομένως πρέπει να περάσουν η μία την άλλη στο μισό χρόνο - N / 2 καρέ. («Απορίες του Ζήνωνα», Miroslav Voinarovsky. Ψυχολογία. - 2002, http://psi-logic.narod.ru/psi/zenon.htm).
Περί των λύσεων της απορίας
«Εκατοντάδες φιλοσοφικές και επιστημονικές εργασίες. Δεκάδες από αυτούς διαφορετικοί τρόποιαποδεικνύεται ότι η υπόθεση της δυνατότητας κίνησης δεν οδηγεί στον παραλογισμό, ότι η επιστήμη της γεωμετρίας είναι απαλλαγμένη από παράδοξα και ότι τα μαθηματικά είναι σε θέση να περιγράψουν την κίνηση χωρίς αντίφαση.
Η αφθονία της διάψευσης των επιχειρημάτων του Ζήνωνα είναι σημαντική. Δεν είναι απολύτως σαφές σε τι ακριβώς συνίστανται αυτά τα επιχειρήματα, τι αποδεικνύουν. Δεν είναι ξεκάθαρο πώς αποδεικνύεται αυτό το «κάτι» και υπάρχει καμία απολύτως απόδειξη; Απλώς φαίνεται ότι υπάρχουν ακόμα κάποια προβλήματα ή δυσκολίες. Και πριν αντικρούσετε τον Ζήνωνα, πρέπει να μάθετε τι ακριβώς σκόπευε να πει και πώς τεκμηρίωσε τις θέσεις του. Ο ίδιος δεν διατύπωσε άμεσα ούτε τα προβλήματα ούτε τις δικές του λύσεις σε αυτά τα προβλήματα. Υπάρχει, συγκεκριμένα, μόνο μια σύντομη ιστορία για το πώς ο Αχιλλέας προσπαθεί ανεπιτυχώς να προλάβει τη χελώνα.
Το σκεπτικό του Ζήνωνα έχει πλέον αφαιρεθεί, κατά πάσα πιθανότητα, οριστικά από την κατηγορία των πονηρών τεχνασμάτων. Σύμφωνα με τον B. Russell, «με τη μια ή την άλλη μορφή επηρεάζουν τα θεμέλια σχεδόν όλων των θεωριών του χώρου, του χρόνου και του απείρου που έχουν προταθεί από την εποχή του μέχρι σήμερα» ...
... ανοίγει ένα απροσδόκητο και ασαφές βάθος, στο οποίο κάποια ερώτηση ή και πολλές ερωτήσεις μαντεύονται αόριστα. Είναι δύσκολο να πούμε με βεβαιότητα ποια ακριβώς είναι αυτά τα ερωτήματα, πρέπει ακόμη να διευκρινιστούν και να διατυπωθούν, αλλά είναι προφανές ότι είναι. Τέλος αποσπάσματος (Ivin A.A. Logic. - 1998, κεφάλαιο 7 «Sophisms», παράγραφος 2 «Aporias of Zeno», http://culture.niv.ru/doc/logic/ivin/027.htm).
«Αυτό το παράδοξο προκύπτει ως αποτέλεσμα του γεγονότος ότι ο Ζήνων στη συλλογιστική του παραβιάζει τον 4ο νόμο της τυπικής λογικής: τον νόμο του επαρκούς λόγου, ο οποίος λέει ότι κάθε συλλογισμός πρέπει να βασίζεται σε ένα αληθινό θεμέλιο, σε σχέση με το οποίο οι έννοιες και οι κρίσεις είναι μοναδικά ορίζεται. Στη φυσική, κάθε ευθύγραμμη κίνηση ενός σώματος περιγράφεται από έναν νόμο, ο οποίος εκφράζεται με τη μορφή S = vt, η διαδρομή που διανύει το σώμα είναι ίση με την ταχύτητά του πολλαπλασιαζόμενη με το χρόνο που χρειάζεται για να το περάσει. Χρησιμοποιώντας αυτή τη φόρμα, μπορούμε ανά πάσα στιγμή να προσδιορίσουμε τη θέση του κινούμενου σώματος σε σχέση με το σημείο εκκίνησης. Ο Ζήνων, στο σκεπτικό του, προσπαθεί να προσδιορίσει τη θέση ενός κινούμενου σώματος, με βάση τη διέλευση του σώματος ορισμένων τμημάτων του μονοπατιού, ανεξάρτητα από την ταχύτητά του και τον χρόνο κίνησής του, κάτι που αποτελεί σαφή παραβίαση του νόμου του ευθύγραμμου κίνηση, που τον οδηγεί σε εσφαλμένο συμπέρασμα.
Για καλύτερη κατανόηση, θα δώσω ένα άλλο παράδειγμα που βασίζεται στο ίδιο λάθος, το οποίο όμως είναι προφανές. Υπολογίστε το ύψος ενός ατόμου 50 ετών, υποθέτοντας ότι κατά μέσο όρο ένα άτομο μεγαλώνει 10 cm το χρόνο. Σύμφωνα με τη λογική, το ύψος αυτού του ατόμου θα είναι 50 χρόνια x 10 cm = 5 μέτρα, αλλά στην πραγματικότητα το ύψος αυτού του ατόμου θα είναι 170 -180 εκ. Ποιο είναι το λάθος η λογική μας; Το λάθος της λογικής μας έγκειται στο γεγονός ότι οι υπολογισμοί μας βασίζονται σε ψευδή επαρκή βάση, η οποία προκύπτει από το γεγονός ότι ένα άτομο μεγαλώνει σε όλη του τη ζωή, αν και στην πραγματικότητα ένα άτομο μεγαλώνει μέχρι 18-20 χρόνια σύμφωνα με το νόμο του τη βιολογική του ανάπτυξη. Τελικό απόσπασμα (Ilya Stavinsky / Το μυστήριο των λογικών παραδόξων επιλύεται από 02/12/2007,
"2. Ο Αχιλλέας πρόλαβε τη χελώνα
... Δεν είναι δύσκολο να αποδεχτούμε ότι όταν αθροίζουμε έναν άπειρο αριθμό όρων, μπορεί να ληφθεί ένας πεπερασμένος αριθμός εάν η τιμή των όρων μειωθεί γρήγορα: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1. Επομένως, μια άπειρη ακολουθία ενεργειών μπορεί να ολοκληρωθεί για για λίγο, αν η διάρκεια κάθε επόμενης δράσης μειωθεί γρήγορα, και ο Αχιλλέας, φυσικά, θα προλάβει γρήγορα τη χελώνα, γιατί με σταθερή ταχύτητα της κίνησής του, τα μέλη της σειράς 1/2, 1/4, 1/8 , 1/16, ... αντιπροσωπεύουν όχι μόνο διαδρομές τμημάτων, αλλά και χρονικές περιόδους.
Ο Ζήνων φυσικά κατάλαβε ότι αν ένα βέλος πετάει από το σημείο Α στο σημείο Β με ταχύτητα v και η απόσταση μεταξύ Α και Β είναι ίση με S, τότε ο χρόνος πτήσης θα είναι t = S/v. Ελπίζουμε ότι ο Ζήνων κατάλαβε ότι αν το τμήμα S διαιρεθεί στο μισό και μετά το μισό στο μισό ξανά, κ.λπ., τότε το μήκος του τμήματος S δεν θα αυξηθεί από αυτό. Αλλά, προφανώς, η αφηρημένη σκέψη Αρχαία Ελλάδαδεν έχει αναπτυχθεί αρκετά για να επεκτείνει αυτόν τον συλλογισμό στο χρονικό διάστημα, t. Ο Ζήνων πίστευε ότι αν το τμήμα t διαιρεθεί στο μισό, και μετά άλλο μισό στο μισό, κ.λπ., τότε από αυτή τη διαίρεση το μήκος του τμήματος t θα αυξηθεί στο άπειρο.
Παραδόξως, αλλά για την «επίλυση» των παραδόξων του Ζήνωνα εμπλέκεται η κβαντομηχανική. Οι συγγραφείς του έργου, όπως και ο συγγραφέας του έργου, θεωρούν σωστό το σκεπτικό του Ζήνωνα και βλέπουν την έξοδο από τα παράδοξα στην εξής περίσταση. Το πάγωμα όλων των διεργασιών, που θα έπρεπε να είχε συμβεί, σύμφωνα με το σκεπτικό του Ζήνωνα, δεν συμβαίνει λόγω του γεγονότος ότι η άπειρη διαιρετότητα του χρόνου που χρησιμοποιείται από τον Ζήνωνα είναι αδύνατη λόγω της κβαντομηχανικής σχέσης ενέργειας και χρονικών αβεβαιοτήτων, E t > h , αφού η μείωση του χρόνου για τη μέτρηση του αντικειμένου θέσης απαιτεί αύξηση της ενέργειας που δαπανάται σε αυτό.
Ως παράδειγμα ορθών εκτιμήσεων των παραδόξων του Ζήνωνα, ας αναφέρουμε τη δήλωση του διάσημου Γάλλου μαθηματικού Paul Levy (P. L "evy) Το 1959 έγραψε: «Πώς μπορείτε να φανταστείτε ότι ο χρόνος θα σταματήσει επειδή ένας συγκεκριμένος φιλόσοφος απαριθμεί τα μέλη μιας άπειρης σειράς "Ομολογώ ότι ποτέ δεν κατάλαβα πώς άνθρωποι που κατά τα άλλα είναι πολύ έξυπνοι μπορούν να μπερδεύονται με τέτοια παράδοξα. Η σημερινή μου απάντηση είναι αυτή που έδωσα όταν ήμουν 11 χρονών στον γέροντα που μου είπε αυτό το παράδοξο. Συνόψισα τότε με έναν τόσο λακωνικό τύπο: «Εκείνος ο Έλληνας ήταν ηλίθιος. «Ξέρω τώρα ότι πρέπει να εκφράσω τις σκέψεις μου με πιο ευγενικό τρόπο και ότι ίσως ο Ζήνων εξέθεσε τα παράδοξά του μόνο για να δοκιμάσει τον ορθολογισμό των μαθητών του. Αλλά η έκπληξή μου για τα μυαλά που ντρέπονται να συγκλίνουν δίπλα-δίπλα, παρέμεινε η ίδια.
Ας σημειώσουμε ότι ο Χέγκελ μίλησε πολύ καλά για τον Ζήνωνα: «Η ιδιαιτερότητα του Ζήνωνα είναι η διαλεκτική... Είναι ο εμπνευστής της διαλεκτικής... Στον Ζήνωνα βρίσκουμε πραγματικά αντικειμενική διαλεκτική». Τέλος αποσπάσματος (R.I. Khrapko / Λογικά παράδοξα στη φυσική και στα μαθηματικά // ηλεκτρονικό περιοδικό "Proceedings of the MAI" No. 3 16.0.2.2001, μέρος 2 "Ο Αχιλλέας πρόλαβε τη χελώνα",
"...ΡΕ. Gilbert και P. Bernays: "Συνήθως, προσπαθούν να ξεπεράσουν αυτό το παράδοξο με το σκεπτικό ότι το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού αυτών των χρονικών διαστημάτων συγκλίνει ωστόσο και, επομένως, δίνει μια πεπερασμένη χρονική περίοδο. Ωστόσο, αυτός ο συλλογισμός δεν είναι καθόλου επηρεάζει ένα ουσιαστικά παράδοξο σημείο, δηλαδή το παράδοξο ότι κάποια ατελείωτη αλληλουχία διαδοχικών γεγονότων, μια ακολουθία της οποίας δεν μπορούμε καν να φανταστούμε την ολοκλήρωση (όχι μόνο φυσικά, αλλά τουλάχιστον κατ' αρχήν), στην πραγματικότητα, πρέπει ωστόσο να τελειώσει. (Περίληψη για τη μαθηματική λογική "Λογικά παράδοξα", http://works.tarefer.ru/46/100041/index.html).
ΛΥΣΗ
Ο Alexander Arkhipovich Ivin έχει απόλυτο δίκιο όταν είπε για την αφθονία των πολυάριθμων προτεινόμενων λύσεων για την απορία, διάψευση των επιχειρημάτων του Ζήνωνα. Άλλωστε, από τη μια ο αριθμός τους είναι πραγματικά εκπληκτικός. Διότι, από την άλλη, τα επιχειρήματα του Ζήνωνα είναι αρκετά εύκολα κατανοητά. Ωστόσο, ορισμένες από τις προτεινόμενες διαψεύσεις μπορεί να μην είναι τόσο σαφείς και κατανοητές όσο οι θέσεις του Ζήνωνα, ενώ άλλες δεν συμφωνούν καθόλου μαζί τους και δίνουν τους δικούς τους λόγους για να αποδείξουν ότι ο Ζήνων είναι λάθος. Προφανώς, επειδή οι συντάκτες των αντικρούσεων δεν έχουν πλήρη επίγνωση της ουσίας των επιχειρημάτων του Ζήνωνα. Επομένως, περαιτέρω ο Ivin γράφει: «Δεν είναι απολύτως σαφές από τι ακριβώς συνίστανται αυτά τα επιχειρήματα, τι αποδεικνύουν. Δεν είναι ξεκάθαρο πώς αποδεικνύεται αυτό το «κάτι» και υπάρχει καμία απόδειξη εδώ; Θα προσθέσω ότι οι συντάκτες πολυάριθμων λύσεων για τις αποριές δεν αγνοούν τόσο την ουσία των διατριβών όσο δεν κατανοούν τους λόγους και το σκοπό για την εμφάνιση των αποριών. Ως εκ τούτου, ο Alexander Arkhipovich έχει απόλυτο δίκιο στις ακόλουθες φράσεις: «Και πριν αντικρούσετε τον Ζήνωνα, πρέπει να μάθετε ακριβώς τι σκόπευε να πει και πώς δικαιολόγησε τις διατριβές του ... Είναι δύσκολο να πούμε με βεβαιότητα τι ακριβώς συνιστούν αυτές οι ερωτήσεις από, πρέπει ακόμη να διευκρινιστούν και να διατυπωθούν...»
Υπήρχαν περισσότερες αποριές του Ζήνωνα: «Οι σύγχρονοι ανέφεραν 40 απορία του Ζήνωνα, 9 έχουν φτάσει σε εμάς, εκ των οποίων οι 4 είναι οι πιο γνωστές, που συζητήθηκαν από τον Αριστοτέλη» («Wikipedia», http://ru.wikipedia.org/wiki, Ζήνων της Ελέας). Οι πολυάριθμες προσπάθειες επίλυσης αυτών των τεσσάρων πιο διάσημων αποριών -κατά του κινήματος- καταλήγουν κατ' αρχήν σε έναν τύπο. Για την επίλυση αυτών των «δυσκολιών» χρησιμοποιούνται όλες οι διαθέσιμες φυσικές ή άλλες θεωρίες για να εξηγήσουν τη φύση του χώρου, της ύλης και επομένως της κίνησης ως φυσικής διαδικασίας. Είναι κατανοητό, για παράδειγμα, η έκπληξη που αναφέρεται στο παραπάνω απόσπασμα του «Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Φυσικής του Κρατικού Ινστιτούτου Αεροπορίας της Μόσχας (Τεχνικό Πανεπιστήμιο) R. I. Khrapko», «Περίεργα, η κβαντική μηχανική εμπλέκεται στην «επίλυση» του Τα παράδοξα του Ζήνωνα». Συμφωνώ απόλυτα με αυτή τη σύγχυση. Αλλά είναι ακόμη πιο εκπληκτικό το γεγονός ότι ο ίδιος Khrapko συμφωνεί περαιτέρω, με προφανή τονισμό διάσημος μαθηματικόςΟ Π. Λέβι, που αποκάλεσε τον Ζήνωνα «ηλίθιο», έχοντας ακούσει για πρώτη φορά τις αποριές του σε ηλικία 11 ετών, και μετά δεν άλλαξε γνώμη στο μέλλον. Με την ίδια κατηγορηματική ειλικρίνεια και διακριτικότητα, θα μπορούσα να αποκαλέσω τον ίδιο τον Levy ηλίθιο, αλλά δεν θα μιμηθώ παραδείγματα ασέβειας προς τους άλλους. Γιατί αυτός, όπως όλοι, δεν καταλαβαίνει πράγματα που είναι αυτονόητα για μένα: αυτές οι τέσσερις απορία του Ζήνωνα ενάντια στην κίνηση, όπως και, προφανώς, άλλες, δεν αντικατοπτρίζουν τη βλακεία του Ζήνωνα και άλλων αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι, και, πρώτον, τις απόψεις του κόσμου της φιλοσοφικής τους σχολής και, δεύτερον, τα προβλήματα κατανόησης της δικής μας σκέψης.
Όλες αυτές οι «δυσκολίες», αν και σχετίζονται με μια βαθιά κατανόηση από εμάς φυσικά φαινόμενασύμπαν, δηλαδή τις κατηγορίες «χώρου» και «χρόνου», αλλά περιέχουν εντελώς διαφορετικά προβλήματα. Αυτά είναι προβλήματα κατανόησης των μηχανισμών της σκέψης μας και όχι προβλήματα κατανόησης των φυσικών διεργασιών σε ένα συγκεκριμένο στάδιο στην ανάπτυξη της επιστήμης. Ως εκ τούτου, φαίνονται απλά και ακόμη και ανόητα σε πολλούς. Και έτσι οι λύσεις τους βρίσκονται στη σφαίρα της λογικής, και όχι στη σφαίρα της φυσικής ή των μαθηματικών ή άλλων.
«ΔΙΧΟΤΟΜΙΑ» και «Ο ΑΧΙΛΛΕΑΣ ΚΑΙ Η ΧΕΛΩΝΑ»
Οι αποριές του Ζήνωνα βασίζονται σε λογικά λάθη: «ανακρίβεια των ορισμών», που οδηγεί σε λανθασμένο «υπόβημα συμπερασμάτων» και «αρχική υπόθεση» («Λογικά παράδοξα. Λύσεις», κεφάλαια «Σφάλματα στην κατανόηση των παραδόξων - ανακρίβεια ορισμών», «Λάθη στην κατανόηση των παραδόξων - υπομόχλιο συμπερασμάτων», «Σφάλματα συλλογισμού στα παράδοξα - η αρχική προϋπόθεση», ).
Το συμπέρασμα για το άπειρο της διαίρεσης του χώρου, το μονοπάτι, προκύπτει από τον ανακριβή ορισμό του «μισού από κάτι», που βασίζεται στην ίδια ανακριβή έννοια της «μονάδας μήκους». Άλλωστε το «μισό» είναι σχετική έννοια, το οποίο δεν έχει μονοσήμαντη σημασία, γιατί εκφράζει την αναλογία του μήκους της απόστασης μεταξύ των τελικών σημείων ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ διαδρομής προς το μεσαίο σημείο της. Αλλά η "απόσταση", το "μήκος" μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, επομένως το "μισό" μπορεί επίσης να είναι απολύτως οποιοσδήποτε σε μαθηματικούς όρους. Με βάση αυτό, η έννοια του «μήκους διαδρομής (απόσταση)» χρησιμοποιείται για τη μέτρηση των αποστάσεων, η οποία φέρνει σαφήνεια και ασάφεια στη σύγκριση διαφορετικών αποστάσεων. Και αυτό, με τη σειρά του, χρησιμοποιεί την έννοια της «μονάδας μέτρησης» ως βάση. Αυτή η θεμελιώδης έννοια που σχηματίζει σύστημα δεν ορίζεται ως «οποιαδήποτε μονάδα μέτρησης», η οποία δεν θα έφερνε σαφήνεια, αλλά μάλλον ασάφεια στην κατανόησή της, αλλά μόνο έναν ορισμένο «τύπο μονάδων για τη μέτρηση αποστάσεων», συμπεριλαμβανομένων, για παράδειγμα, « χιλιόμετρο», «μέτρο» , «δεκατόμετρο», «εκατοστό», «χιλιοστό» ή «βερστ», «αρσίν», «αγκώνας», «παλάμη», «δάχτυλο» ή άλλα. Επομένως, υπάρχει πάντα ένα ορισμένο ΟΡΙΟ στη μέτρηση των αποστάσεων, που αντικατοπτρίζει το χαμηλότερο επίπεδο της μονάδας μέτρησης που χρησιμοποιούμε. Από το οποίο προκύπτει ένα απλό συμπέρασμα ότι η άπειρη μέτρηση αποστάσεων δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη μέτρηση των αποστάσεων, αντανακλώντας την άπειρη μετάβαση σε μικρότερους «τύπους μονάδων μέτρησης», για παράδειγμα, τη μετάβαση από το μετρικό σύστημα στο μικρομετρικό σύστημα και περαιτέρω στον προσδιορισμό των μοριακών, ατομικών και υποατομικών αποστάσεων στη δομή της ύλης. Με άλλα λόγια, ο συλλογισμός στην απορία περιέχει το σφάλμα της «υποκατάστασης της βάσης των συμπερασμάτων», με βάση τα λάθη του «ανακριβούς ορισμού» που αναφέρθηκαν παραπάνω. Αυτό οδηγεί στην απουσία ενός ενιαίου «υπόκεντρου συμπερασμάτων», το οποίο συνίσταται στην αντικατάσταση της έννοιας «μονάδας μέτρησης του μήκους διαδρομής του μακρόκοσμου» με την έννοια «μονάδας μέτρησης του διατομικού χώρου του μικρόκοσμου». ”, δηλαδή η μετάβαση από τη γεωμετρία και τη γεωγραφία στη φυσική και την κβαντομηχανική. Επομένως, για να επιλύσετε αυτή και άλλες «δυσκολίες» χρειάζεται απλώς να συμβαδίζετε με τη λογική, χωρίς να βουτήξετε στη φυσική ή στα μαθηματικά, γιατί αυτό δεν απαιτείται απολύτως και παρεμβαίνει μόνο στην κανονική λογική.
Από αυτό προκύπτει ότι η διαίρεση του «μήκους οποιουδήποτε μονοπατιού» στη μέση (διχοτομία) ή σε άλλα μέρη δεν επιμηκύνει σε καμία περίπτωση την ίδια τη διαδρομή, το «μήκος» της και, ακόμη περισσότερο, δεν την επιμηκύνει στο άπειρο. Επειδή μια τέτοια διαίρεση δεν είναι μια άπειρη σειρά του αθροίσματος των μερών του μήκους της διαδρομής, η οποία παριστάνεται ως το άθροισμα μιας συγκλίνουσας σειράς 1/2+1/4+1/8+1/N = 1, αλλά μια πεπερασμένη σειρά στην οποία το Ν δεν ισούται με το άπειρο. Το συμπέρασμα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι υπάρχει συμπέρασμαδιαίρεση της μεγαλύτερης ισχύουσας «μονάδας μήκους διαδρομής». Για παράδειγμα, για "χιλιόμετρο" ένα τέτοιο όριο θα είναι "μέτρο" ή ακόμα και "χιλιοστό", για "αστρονομική μονάδα" - "χιλιόμετρο", "για parsec" - "αστρονομική μονάδα" κ.λπ. Κάτω από αυτό το όριο, χρησιμοποιείται σε συγκεκριμένη κατάσταση, η μέτρηση της διαδρομής, πρώτον, δεν έχει νόημα ως προς την εγκυρότητα - νοητική αναπαράσταση, διευκρίνιση του μήκους ή σύγκριση της απόστασης που μας ενδιαφέρει - και δεύτερον, είναι λανθασμένη από την άποψη της ίδιας της διαδικασίας μέτρησης "μήκος". Άλλωστε, η γεωμετρία και η αριθμητική χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση, και όχι η φυσική και η κβαντομηχανική, που αντιστοιχεί στη θεώρηση του επιπέδου του σύμπαντος - του μακρόκοσμου - και όχι στη θεώρηση του μικρόκοσμου.
Η εσφαλμένη αντικατάσταση της διαδικασίας «μέτρησης του μήκους της διαδρομής» με τη διαδικασία «μέτρησης της δομής της ύλης» συνιστά το λογικό λάθος «χρησιμοποιώντας μια ψευδή αρχική προϋπόθεση». Συνίσταται στο γεγονός ότι η έννοια του «μήκους διαδρομής», που αρχικά έγινε αποδεκτή ως «αντανάκλαση της σχέσης της χωρικής διάταξης των αντικειμένων», παραμορφώνεται στην έννοια της «δομής της ύλης», πιο συγκεκριμένα, στην «απόσταση μεταξύ μικροσωματίδια ύλης» ως «αντανάκλαση της χωρικής διάταξης των μικροσωματιδίων της ύλης».
Αυτό σημαίνει ότι ο συλλογισμός στη «Διχοτομία» και στο «Αχιλλέας και η χελώνα» βασίζεται, στην πραγματικότητα, στο τίποτα, αφού ο συλλογισμός βασίζεται στην κενή, αόριστη έννοια του «μισού» στη βάση της αόριστης έννοιας του « μονάδα μέτρησης". Έτσι, η λύση στα απορία είναι μια σαφής κατανόηση της "μονάδας του μήκους διαδρομής" ως τελικής μονάδας του υπολογισμού του μήκους διαδρομής. Από το οποίο προκύπτει: «το μισό μονοπάτι», και επομένως ολόκληρη η «απόσταση», «ολόκληρο» ή «ΟΛΟ ΤΟΝ ΔΡΟΜΟ», ΟΧΙ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΑΠΕΙΡΑ ΑΡΙΘΜΟ «ΜΙΣΩΝ ΜΙΣΩΝ», ΑΛΛΑ ΑΠΟ ΠΕΡΙΑΡΙΣΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟ « μισά μισά».
Στον Αχιλλέα, προστέθηκε ένας άλλος ανακριβής ορισμός - (η χελώνα θα κινηθεί) "λίγο μπροστά", που είναι προφανώς μικρότερος αριθμός πεπερασμένων τμημάτων του μήκους του μονοπατιού από ό,τι ο Αχιλλέας τρέχει στην ίδια πεπερασμένη χρονική περίοδο.
Έτσι, η σαφής κατανόηση της «μονάδας μήκους διαδρομής» ως τελικής μονάδας μέτρησης σημαίνει:
1) για τη "Διχοτομία" - η πεπερασμένη απόσταση και το πεπερασμένο της διαδικασίας μέτρησης ή διέλευσης.
2) για το "Αχιλλέας και η χελώνα" - η τελευταία φορά για την οποία θα προσπεράσει τη χελώνα, σέρνοντας ένα πεπερασμένο τμήμα του μήκους του μονοπατιού που είναι προφανώς μικρότερο από αυτό που τρέχει ο Αχιλλέας.
"ΒΕΛΟΣ"
Σε αυτή τη «δυσκολία», το συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει κίνηση αυτή καθαυτή, με βάση το ότι αποτελείται από πολλές «καταστάσεις ανάπαυσης» σε κάθε συγκεκριμένη χρονική στιγμή, είναι ψευδές, αφού βασίζεται στο σφάλμα «ανακριβής ορισμός» , γεγονός που οδηγεί στην απουσία ενός ενιαίου «συμπεράσματος υπομόχλιο».
Στη διαδικασία του συλλογισμού, η έννοια της "κίνησης" ως κίνηση στο χώρο σε σχέση με οποιοδήποτε ΕΝΑ σημείο αναφοράς (σύστημα συντεταγμένων) αντικαθίσταται από τον ορισμό της κίνησης ως κίνηση στο χώρο σε σχέση με ΠΟΛΛΑ σημεία αναφοράς. Αυτό εξαλείφει το ενιαίο «υπόβημα των συμπερασμάτων», βάσει του οποίου θα πρέπει να συλλογιστεί κανείς για να βγάλει ένα αληθινό λογικό συμπέρασμα. Αντικαθίσταται από πολλά «σημεία συμπερασμάτων», με βάση τη θεώρηση της «κίνησης» ως θέση στο χώρο σε σχέση με ένα σύνολο σημείων αναφοράς στο διάνυσμα κατεύθυνσης.
Έτσι, ο ακριβής ορισμός της «κίνησης» ως κίνησης σε σχέση με ένα μόνο σημείο αναφοράς οδηγεί σε ένα αληθινό συμπέρασμα - όταν κινείται, ένα βέλος (οποιοδήποτε αντικείμενο) δεν ακουμπάει, αλλά κινείται στο χώρο.
"ΣΤΑΔΙΟ"
Αυτή η «πολυπλοκότητα» θεωρεί την κίνηση των αντικειμένων σε σχέση μεταξύ τους και σε σχέση με ένα τρίτο αντικείμενο, ή, με άλλα λόγια, σε σχέση με την ίδια απόσταση. Με βάση το γεγονός ότι τα αντικείμενα μπορούν να διανύσουν την ίδια απόσταση διαφορετική ώρα(συναντιούνται ενώ κινούνται ο ένας στον άλλον), εξάγεται ένα συμπέρασμα σχετικά με τη σχετικότητα του χρόνου (αφού η απόσταση λαμβάνεται αμετάβλητη), τη μεταβλητότητά του και επομένως τη μεταβλητότητα της ίδιας της κίνησης, δηλαδή την απουσία αμετάβλητης κίνησης ως τέτοια.
Αυτό το συμπέρασμα είναι εξίσου ψευδές με τα προηγούμενα γιατί βασίζεται στα ίδια λάθη. Η έννοια του "χρόνου για ένα αντικείμενο να περάσει μια διαδρομή (ή ένα τμήμα μιας διαδρομής)" στο όρισμα αντικαθίσταται από μια εσφαλμένη.
Πρώτον, ο «χρόνος της διαδρομής του αντικειμένου» νοείται ως το χρονικό διάστημα της κίνησης του αντικειμένου κατά μήκος της διαδρομής από το αρχικό σημείο αναφοράς της κίνησης (ή τη στιγμή της έναρξης της κίνησης) μέχρι το τελικό σημείο της αναφοράς του κινήματος. Τα σημεία έναρξης και λήξης μπορεί να μην είναι απαραίτητα τα σημεία έναρξης και λήξης της απόστασης, αλλά για παράδειγμα, ένα τέταρτο και ένα μεσαίο, ένα τρίτο και 2/3 κ.λπ., που αναδεικνύει αυτό που μας ενδιαφέρει αυτή τη στιγμήτμήμα της διαδρομής. Στη συνέχεια, όμως, όταν εξετάζεται η κίνηση δύο αντικειμένων (συνόλων, συστημάτων, αλυσίδων αντικειμένων) σε σχέση με το τρίτο και μεταξύ τους, πράγμα που ισοδυναμεί με την εξέταση της κίνησής τους κατά μήκος της ίδιας διαδρομής, τότε υπάρχει μια παραμόρφωση, μια αντικατάσταση εννοιών. .
Όταν η «κίνηση» νοείται ως η προσέγγιση των αντικειμένων μεταξύ τους, η έννοια του «χρόνου ταξιδιού του μονοπατιού (απόσταση) μεταξύ δύο αντικειμένων» αντικαθίσταται από την έννοια του «χρόνου διέλευσης του ΒΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΜΟΝΟΠΑΤΙΟΥ ΜΕΧΡΙ ΤΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΣΥΝΑΝΤΗΣΗ στο δρόμο για τον άλλον». Γιατί όταν ένα αντικείμενο βρίσκεται σε ηρεμία και ένα άλλο κινείται προς αυτό, τότε το κινούμενο αντικείμενο διανύει μια διαδρομή κάποιου μήκους. Αλλά όταν και τα δύο αντικείμενα κινούνται το ένα προς το άλλο, καθένα από αυτά ταξιδεύει μόνο ΜΕΡΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ που διανύει το κινούμενο αντικείμενο για πρώτη φορά (ή και από τα δύο αντικείμενα, αν υποθέσουμε ότι το άθροισμα των μηκών διαδρομής τους περιλαμβάνει το μηδενικό μήκος διαδρομής του αντικείμενο σε ηρεμία). Με βάση αυτό το σφάλμα, συνάγεται το συμπέρασμα ότι το πρώτο μήκος της διαδρομής είναι ίσο με το δεύτερο και ένας χρόνος κίνησης είναι ίσος με έναν άλλο, μισό μήκος. Αλλά στην πραγματικότητα δεν είναι. Μέρος της διαδρομής δεν είναι ίσο με ολόκληρο το μονοπάτι. Η άρνηση αυτού είναι λάθος.
Επομένως, μια σαφής κατανόηση του "μήκους διαδρομής" εξαλείφει αυτό το σφάλμα, οδηγώντας σε μια ξεκάθαρη κατανόηση του "χρόνου ταξιδιού", ο οποίος και στις δύο περιπτώσεις δεν είναι ίσος.
Συμπερασματικά, μπορεί να επισημανθεί ότι μόνο ένας σαφής ορισμός επιτρέπει τη σαφή συλλογιστική και οδηγεί σε ένα μονοσήμαντο συμπέρασμα, και όχι μόνο στις αποριές. Και για αυτό δεν είναι απαραίτητο να εμπλέκονται φυσικές ή μαθηματικές μέθοδοι, η ίδια η λογική αρκεί για να βάλει σε σειρά τα λογικά συμπεράσματα.
«Όπως γνωρίζετε, ο Ζήνων διατύπωσε τέσσερις απορία κατά της κίνησης... ας στραφούμε στη Φυσική του Αριστοτέλη (Αριστοτέλης. Φυσική. Ζ, 9).
Διχοτόμηση
«Υπάρχουν τέσσερα επιχειρήματα του Ζήνωνα για το κίνημα που προκαλούν δυσκολίες σε όσους προσπαθούν να τα λύσουν. Το πρώτο αφορά την αδυναμία κίνησης, αφού το κινούμενο [σώμα] πρέπει πρώτα να φτάσει στο μισό, παρά στο τέλος »(239b, 9-13).
«Το δεύτερο [επιχείρημα] είναι το λεγόμενο Αχιλλέα. Λέει ότι ένας αργός [δρομέας] δεν θα τον ξεπεράσει ποτέ ένας γρήγορος [δρομέας], γιατί είναι απαραίτητο αυτός που προλαβαίνει πρώτος να φτάσει [στο σημείο] από το οποίο ξεκίνησε ο αποφυγής, επομένως ο πιο αργός [δρομέας] πρέπει πάντα να είναι ελαφρώς μπροστά από την ανάγκη »(239b, 14 -δεκαοκτώ).
Το τρίτο [επιχείρημα] που αναφέρεται τώρα [λέει] ότι το ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο. [Αυτό το συμπέρασμα] προκύπτει από την υπόθεση ότι ο χρόνος αποτελείται από [ξεχωριστά] «τώρα» (239b, 30-32)
«Το τέταρτο [επιχείρημα] αφορά ίσα σώματα που κινούνται κατά μήκος της σκηνής σε αντίθετες κατευθύνσεις παράλληλα με ίσα [σώματα]. άλλοι [κινούνται] από το τέλος του σταδίου, άλλοι από τη μέση με ίση ταχύτητα, από όπου, όπως νομίζει, προκύπτει ότι ο μισός χρόνος ισούται με το διπλάσιο "(239b, 33-36)". Τέλος αποσπάσματος (Ruslan Khazarzar/Aporii Zanon, http://warrax.net/88/zenon.html).
Φωτογραφία - http://mjah.livejournal.com/104617.html