Αυτό το άρθρο δίνει μια ιδέα για το πώς να γράψετε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε τρισδιάστατο χώρο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Ας αναλύσουμε τον παραπάνω αλγόριθμο χρησιμοποιώντας το παράδειγμα επίλυσης τυπικών προβλημάτων.

Εύρεση της εξίσωσης ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο στο χώρο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία

Ας δοθεί ένας τρισδιάστατος χώρος και ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες O x y z σε αυτό. Δίνονται επίσης το σημείο Μ 1 (x 1, y 1, z 1), η ευθεία α και το επίπεδο α που διέρχεται από το σημείο Μ 1 που είναι κάθετο στην ευθεία α. Είναι απαραίτητο να γράψετε την εξίσωση του επιπέδου α.

Πριν προχωρήσουμε στην επίλυση αυτού του προβλήματος, ας θυμηθούμε το θεώρημα της γεωμετρίας από το πρόγραμμα για τους βαθμούς 10 - 11, το οποίο έχει ως εξής:

Ορισμός 1

Ένα μόνο επίπεδο διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε τρισδιάστατο χώρο και είναι κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

Τώρα σκεφτείτε πώς να βρείτε την εξίσωση αυτού του απλού επιπέδου που διέρχεται από το σημείο εκκίνησης και είναι κάθετο στη δεδομένη ευθεία.

Είναι δυνατόν να γράψουμε τη γενική εξίσωση ενός επιπέδου αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες ενός σημείου που ανήκει σε αυτό το επίπεδο, καθώς και οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου.

Με την συνθήκη του προβλήματος, μας δίνονται οι συντεταγμένες x 1, y 1, z 1 του σημείου M 1 από το οποίο διέρχεται το επίπεδο α. Αν προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου α, τότε θα μπορέσουμε να γράψουμε την επιθυμητή εξίσωση.

Το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου α, εφόσον είναι μη μηδενικό και βρίσκεται στην ευθεία a, κάθετη στο επίπεδο α, θα είναι οποιοδήποτε κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας α. Άρα, το πρόβλημα της εύρεσης των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος του επιπέδου α μετατρέπεται στο πρόβλημα του προσδιορισμού των συντεταγμένων του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας a .

Ο προσδιορισμός των συντεταγμένων του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας γραμμής a μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικές μεθόδους: εξαρτάται από την παραλλαγή της ρύθμισης της ευθείας γραμμής a στις αρχικές συνθήκες. Για παράδειγμα, εάν δίνεται η γραμμή a στη δήλωση προβλήματος κανονικές εξισώσειςείδος

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ή παραμετρικές εξισώσεις της μορφής:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

τότε το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας θα έχει συντεταγμένες a x, a y και a z. Στην περίπτωση που η ευθεία α παριστάνεται από δύο σημεία M 2 (x 2, y 2, z 2) και M 3 (x 3, y 3, z 3), τότε οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης θα καθοριστούν ως (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

Ορισμός 2

Αλγόριθμος για την εύρεση της εξίσωσης ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία:

Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας α: a → = (a x, a y, a z) ;

Ορίζουμε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου α ως τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας α:

n → = (A , B , C) , όπου A = a x, B = a y, C = a z;

Γράφουμε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1) και έχει κανονικό διάνυσμα n→=(A, B, C) με τη μορφή A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Αυτή θα είναι η απαιτούμενη εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο του χώρου και είναι κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

Η προκύπτουσα γενική εξίσωση του επιπέδου: Το A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 καθιστά δυνατή τη λήψη της εξίσωσης του επιπέδου σε τμήματα ή της κανονικής εξίσωσης του επιπέδου.

Ας λύσουμε μερικά παραδείγματα χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που λήφθηκε παραπάνω.

Παράδειγμα 1

Δίνεται ένα σημείο M 1 (3, - 4, 5), από το οποίο διέρχεται το επίπεδο και το επίπεδο αυτό είναι κάθετο στην ευθεία συντεταγμένων O z.

Λύση

το διάνυσμα κατεύθυνσης της γραμμής συντεταγμένων O z θα είναι το διάνυσμα συντεταγμένων k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Επομένως, το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου έχει συντεταγμένες (0 , 0 , 1) . Ας γράψουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 1 (3, - 4, 5) του οποίου το κανονικό διάνυσμα έχει συντεταγμένες (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Απάντηση: z - 5 = 0 .

Εξετάστε έναν άλλο τρόπο για να λύσετε αυτό το πρόβλημα:

Παράδειγμα 2

Επίπεδο που είναι κάθετο στην ευθεία O z θα δοθεί από μια ημιτελή γενική εξίσωση του επιπέδου της μορφής С z + D = 0 , C ≠ 0 . Ας ορίσουμε τις τιμές των C και D: αυτές για τις οποίες το επίπεδο διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο. Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου στην εξίσωση C z + D = 0 , παίρνουμε: C · 5 + D = 0 . Εκείνοι. Οι αριθμοί, C και D σχετίζονται με - D C = 5 . Λαμβάνοντας C \u003d 1, παίρνουμε D \u003d - 5.

Αντικαταστήστε αυτές τις τιμές στην εξίσωση C z + D = 0 και λάβετε την απαιτούμενη εξίσωση για ένα επίπεδο κάθετο στην ευθεία O z και που διέρχεται από το σημείο M 1 (3, - 4, 5) .

Θα μοιάζει με: z - 5 = 0.

Απάντηση: z - 5 = 0 .

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή και είναι κάθετο στην ευθεία x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Λύση

Με βάση τις συνθήκες του προβλήματος, μπορεί να υποστηριχθεί ότι το διάνυσμα καθοδήγησης μιας δεδομένης ευθείας μπορεί να ληφθεί ως κανονικό διάνυσμα n → ενός δεδομένου επιπέδου. Έτσι: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Ας γράψουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από το σημείο O (0, 0, 0) και έχει κανονικό διάνυσμα n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Έχουμε λάβει την απαιτούμενη εξίσωση για το επίπεδο που διέρχεται από την αρχή που είναι κάθετη στη δεδομένη ευθεία.

Απάντηση:- 3x - 7y + 2z = 0

Παράδειγμα 4

Με δεδομένο ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z στον τρισδιάστατο χώρο, περιέχει δύο σημεία A (2 , - 1 , - 2) και B (3 , - 2 , 4) . Το επίπεδο α διέρχεται από το σημείο Α που είναι κάθετο στην ευθεία ΑΒ. Είναι απαραίτητο να συνθέσουμε την εξίσωση του επιπέδου α σε τμήματα.

Λύση

Το επίπεδο α είναι κάθετο στην ευθεία A B, τότε το διάνυσμα A B → θα είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου α. Οι συντεταγμένες αυτού του διανύσματος προσδιορίζονται ως η διαφορά μεταξύ των αντίστοιχων συντεταγμένων των σημείων B (3, - 2, 4) και A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Η γενική εξίσωση του επιπέδου θα γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Τώρα συνθέτουμε την επιθυμητή εξίσωση του επιπέδου στα τμήματα:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Απάντηση:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι υπάρχουν προβλήματα των οποίων η απαίτηση είναι να γραφεί η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο και είναι κάθετο σε δύο δεδομένα αεροπλάνα. Γενικά, η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι να γράψουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία, αφού δύο τεμνόμενα επίπεδα ορίζουν μια ευθεία γραμμή.

Παράδειγμα 5

Δίνεται ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z, σε αυτό είναι ένα σημείο M 1 (2, 0, - 5) . Δίνονται επίσης οι εξισώσεις δύο επιπέδων 3 x + 2 y + 1 = 0 και x + 2 z - 1 = 0, που τέμνονται κατά μήκος της ευθείας a . Είναι απαραίτητο να συνθέσουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από το σημείο M 1 κάθετο στην ευθεία α.

Λύση

Ας προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας a . Είναι κάθετο τόσο στο κανονικό διάνυσμα n 1 → (3 , 2 , 0) του επιπέδου n → (1 , 0 , 2) όσο και στο κανονικό διάνυσμα 3 x + 2 y + 1 = 0 του επιπέδου x + 2 z - 1 = 0 .

Τότε το κατευθυντικό διάνυσμα α → ευθεία a παίρνουμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων n 1 → και n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Έτσι, το διάνυσμα n → = (4, - 6, - 2) θα είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου που είναι κάθετο στην ευθεία a. Γράφουμε την επιθυμητή εξίσωση του επιπέδου:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Απάντηση: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Μπορεί να ρυθμιστεί διαφορετικοί τρόποι(ένα σημείο και ένα διάνυσμα, δύο σημεία και ένα διάνυσμα, τρία σημεία κ.λπ.). Με αυτό κατά νου μπορεί να έχει η εξίσωση του επιπέδου διαφορετικά είδη. Επίσης, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, τα επίπεδα μπορεί να είναι παράλληλα, κάθετα, τεμνόμενα κ.λπ. Θα μιλήσουμε για αυτό σε αυτό το άρθρο. Θα μάθουμε πώς να γράφουμε τη γενική εξίσωση του επιπέδου και όχι μόνο.

Κανονική μορφή της εξίσωσης

Ας πούμε ότι υπάρχει ένα διάστημα R 3 που έχει ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων XYZ. Θέτουμε το διάνυσμα α, το οποίο θα απελευθερωθεί από το αρχικό σημείο Ο. Μέσα από το άκρο του διανύσματος α σχεδιάζουμε το επίπεδο P, που θα είναι κάθετο σε αυτό.

Να συμβολίσετε με P ένα αυθαίρετο σημείο Q=(x, y, z). Θα υπογράψουμε το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Q με το γράμμα p. Το μήκος του διανύσματος α είναι p=IαI και Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Αυτό είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα που δείχνει προς τα πλάγια, ακριβώς όπως το διάνυσμα α. α, β και γ είναι οι γωνίες που σχηματίζονται μεταξύ του διανύσματος Ʋ και των θετικών κατευθύνσεων των διαστημικών αξόνων x, y, z, αντίστοιχα. Η προβολή κάποιου σημείου QϵП στο διάνυσμα Ʋ ​​είναι μια σταθερή τιμή ίση με р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Αυτή η εξίσωση έχει νόημα όταν p=0. Το μόνο πράγμα είναι ότι το επίπεδο P σε αυτή την περίπτωση θα τέμνει το σημείο O (α=0), που είναι η αρχή, και το μοναδιαίο διάνυσμα Ʋ ​​που απελευθερώνεται από το σημείο O θα είναι κάθετο στο P, ανεξάρτητα από την κατεύθυνσή του, που σημαίνει ότι το διάνυσμα Ʋ ​​προσδιορίζεται από το πρόσημο-ακριβές. Η προηγούμενη εξίσωση είναι η εξίσωση του επιπέδου P μας, εκφρασμένη σε διανυσματική μορφή. Αλλά στις συντεταγμένες θα μοιάζει με αυτό:

Το P εδώ είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0. Βρήκαμε την εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα στην κανονική του μορφή.

Γενική Εξίσωση

Αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση σε συντεταγμένες με οποιονδήποτε αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν, παίρνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη, η οποία καθορίζει το ίδιο επίπεδο. Θα μοιάζει με αυτό:

Εδώ τα Α, Β, Γ είναι αριθμοί που διαφέρουν ταυτόχρονα από το μηδέν. Αυτή η εξίσωση αναφέρεται ως εξίσωση γενικού επιπέδου.

Επίπεδες εξισώσεις. Ειδικές περιπτώσεις

Εξίσωση σε γενική εικόναμπορεί να αλλάξει εάν είναι διαθέσιμο πρόσθετες προϋποθέσεις. Ας εξετάσουμε μερικά από αυτά.

Ας υποθέσουμε ότι ο συντελεστής Α είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι το δεδομένο επίπεδο είναι παράλληλο στον δεδομένο άξονα Ox. Σε αυτήν την περίπτωση, η μορφή της εξίσωσης θα αλλάξει: Ву+Cz+D=0.

Ομοίως, η μορφή της εξίσωσης θα αλλάξει υπό τις ακόλουθες συνθήκες:

• Πρώτον, εάν B = 0, τότε η εξίσωση θα αλλάξει σε Ax + Cz + D = 0, που θα υποδηλώνει παραλληλισμό με τον άξονα Oy.
• Δεύτερον, αν С=0, τότε η εξίσωση μετατρέπεται σε Ах+Ву+D=0, που θα υποδηλώνει παραλληλισμό με τον δεδομένο άξονα Oz.
• Τρίτον, εάν D=0, η εξίσωση θα μοιάζει με Ax+By+Cz=0, που θα σημαίνει ότι το επίπεδο τέμνει το O (την αρχή).
• Τέταρτον, αν A=B=0, τότε η εξίσωση θα αλλάξει σε Cz+D=0, που θα αποδειχθεί παράλληλη με το Oxy.
• Πέμπτον, αν B=C=0, τότε η εξίσωση γίνεται Ax+D=0, που σημαίνει ότι το επίπεδο προς το Oyz είναι παράλληλο.
• Έκτον, αν A=C=0, τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή Ву+D=0, δηλαδή θα αναφέρει παραλληλισμό στο Oxz.

Τύπος εξίσωσης σε τμήματα

Στην περίπτωση που οι αριθμοί A, B, C, D είναι μη μηδενικοί, η μορφή της εξίσωσης (0) μπορεί να είναι η εξής:

x/a + y/b + z/c = 1,

στο οποίο ένα \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Λαμβάνουμε ως αποτέλεσμα Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτό το επίπεδο θα τέμνει τον άξονα Ox σε ένα σημείο με συντεταγμένες (a,0,0), Oy - (0,b,0) και Oz - (0,0,c) .

Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση x/a + y/b + z/c = 1, είναι εύκολο να αναπαρασταθεί οπτικά η τοποθέτηση του επιπέδου σε σχέση με ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων.

Κανονικές διανυσματικές συντεταγμένες

Το κανονικό διάνυσμα n προς το επίπεδο P έχει συντεταγμένες που είναι οι συντελεστές της γενικής εξίσωσης του δεδομένου επιπέδου, δηλαδή n (A, B, C).

Για να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του κανονικού n, αρκεί να γνωρίζουμε τη γενική εξίσωση ενός δεδομένου επιπέδου.

Όταν χρησιμοποιείται η εξίσωση σε τμήματα, που έχει τη μορφή x/a + y/b + z/c = 1, καθώς και όταν χρησιμοποιείται η γενική εξίσωση, μπορούμε να γράψουμε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε κανονικού διανύσματος ενός δεδομένου επιπέδου: (1 /a + 1/b + 1/ Με).

Πρέπει να σημειωθεί ότι το κανονικό διάνυσμα βοηθά στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων. Οι πιο συνηθισμένες είναι εργασίες που συνίστανται στην απόδειξη της καθετότητας ή παραλληλισμού των επιπέδων, προβλήματα στην εύρεση γωνιών μεταξύ επιπέδων ή γωνιών μεταξύ επιπέδων και ευθειών.

Άποψη της εξίσωσης του επιπέδου σύμφωνα με τις συντεταγμένες του σημείου και του κανονικού διανύσματος

Ένα μη μηδενικό διάνυσμα n κάθετο σε ένα δεδομένο επίπεδο ονομάζεται κανονικό (κανονικό) για ένα δεδομένο επίπεδο.

Ας υποθέσουμε ότι στον χώρο συντεταγμένων (ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων) Δίνονται Oxyz:

• σημείο Mₒ με συντεταγμένες (xₒ,yₒ,zₒ);
• μηδενικό διάνυσμα n=A*i+B*j+C*k.

Είναι απαραίτητο να συνθέσουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που θα διέρχεται από το σημείο Mₒ κάθετο στην κανονική n.

Στο διάστημα επιλέγουμε οποιοδήποτε αυθαίρετο σημείο και το συμβολίζουμε με M (x y, z). Έστω το διάνυσμα ακτίνας οποιουδήποτε σημείου M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k και το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Το σημείο M θα ανήκει στο δεδομένο επίπεδο εάν το διάνυσμα MₒM είναι κάθετο στο διάνυσμα n. Γράφουμε τη συνθήκη ορθογωνικότητας χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο:

[MₒM, n] = 0.

Δεδομένου ότι MₒM \u003d r-rₒ, η διανυσματική εξίσωση του επιπέδου θα μοιάζει με αυτό:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να πάρει άλλη μορφή. Για αυτό, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος και το αριστερή πλευράεξισώσεις. = - . Εάν συμβολίζεται ως c, τότε θα ληφθεί η ακόλουθη εξίσωση: - c \u003d 0 ή \u003d c, η οποία εκφράζει τη σταθερότητα των προβολών στο κανονικό διάνυσμα των διανυσμάτων ακτίνας των δεδομένων σημείων που ανήκουν στο επίπεδο.

Τώρα μπορείτε να πάρετε τη μορφή συντεταγμένων γράφοντας τη διανυσματική εξίσωση του επιπέδου μας = 0. Αφού r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, και n = A*i+B *j+C*k, έχουμε:

Αποδεικνύεται ότι έχουμε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο στην κανονική n:

A*(x-x2)+B*(y-y2)C*(z-z2)=0.

Άποψη της εξίσωσης επιπέδου σύμφωνα με τις συντεταγμένες δύο σημείων και ενός διανύσματος συγγραμμικού με το επίπεδο

Ορίζουμε δύο αυθαίρετα σημεία M′ (x′,y′,z′) και M″ (x″,y″,z″), καθώς και το διάνυσμα a (a′,a″,a‴).

Τώρα μπορούμε να συνθέσουμε μια εξίσωση για ένα δεδομένο επίπεδο, το οποίο θα διέρχεται από τα διαθέσιμα σημεία M′ και M″, καθώς και από οποιοδήποτε σημείο M με συντεταγμένες (x, y, z) παράλληλες στο δεδομένο διάνυσμα a.

Στην περίπτωση αυτή, τα διανύσματα M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) και M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) πρέπει να είναι συνεπίπεδα με το διάνυσμα a=(a′,a″,a‴), που σημαίνει ότι (M′M, M″M, a)=0.

Έτσι, η εξίσωσή μας ενός επιπέδου στο διάστημα θα μοιάζει με αυτό:

Τύπος εξίσωσης επιπέδου που τέμνει τρία σημεία

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τρία σημεία: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία. Είναι απαραίτητο να γράψουμε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα δεδομένα τρία σημεία. Η θεωρία της γεωμετρίας ισχυρίζεται ότι αυτού του είδους το επίπεδο υπάρχει πραγματικά, μόνο που είναι το μοναδικό και αμίμητο. Εφόσον αυτό το επίπεδο τέμνει το σημείο (x′, y′, z′), η μορφή της εξίσωσής του θα είναι η εξής:

Εδώ τα Α, Β, Γ διαφέρουν από το μηδέν ταυτόχρονα. Επίσης, το δεδομένο επίπεδο τέμνει δύο ακόμη σημεία: (x″,y″,z″) και (x‴,y‴,z‴). Ως προς αυτό, πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

Τώρα μπορούμε να συνθέσουμε ένα ομοιογενές σύστημα με αγνώστους u, v, w:

Στο δικό μας περίπτωση x,yή z είναι ένα αυθαίρετο σημείο που ικανοποιεί την εξίσωση (1). Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση (1) και το σύστημα των εξισώσεων (2) και (3), το σύστημα των εξισώσεων που υποδεικνύεται στο παραπάνω σχήμα ικανοποιεί το διάνυσμα N (A, B, C), το οποίο είναι μη τετριμμένο. Γι' αυτό η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι ίση με μηδέν.

Η εξίσωση (1), που λάβαμε, είναι η εξίσωση του επιπέδου. Περνάει ακριβώς από 3 σημεία, και αυτό είναι εύκολο να ελεγχθεί. Για να γίνει αυτό, πρέπει να επεκτείνουμε την ορίζοντή μας στα στοιχεία της πρώτης σειράς. Από τις υπάρχουσες ιδιότητες της ορίζουσας προκύπτει ότι το επίπεδό μας τέμνει ταυτόχρονα τρία αρχικά δεδομένα σημεία (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Δηλαδή, έχουμε λύσει την εργασία που μας έχει τεθεί.

Διεδρική γωνία μεταξύ των επιπέδων

Η διεδρική γωνία είναι χωρική γεωμετρικό σχήμα, που σχηματίζεται από δύο ημιεπίπεδα που προέρχονται από μια ευθεία γραμμή. Με άλλα λόγια, αυτό είναι το μέρος του χώρου που περιορίζεται από αυτά τα ημιεπίπεδα.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο επίπεδα με τις ακόλουθες εξισώσεις:

Γνωρίζουμε ότι τα διανύσματα N=(A,B,C) και N1=(A1,B1,C1) είναι κάθετα σύμφωνα με τα δεδομένα επίπεδα. Από αυτή την άποψη, η γωνία φ μεταξύ των διανυσμάτων N και N1 είναι ίση με τη γωνία (διεδρική), η οποία βρίσκεται μεταξύ αυτών των επιπέδων. Το κλιμακωτό γινόμενο έχει τη μορφή:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

ακριβώς επειδή

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB1+CC1)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B1)²+(C1)²)).

Αρκεί να ληφθεί υπόψη ότι 0≤φ≤π.

Στην πραγματικότητα, δύο επίπεδα που τέμνονται σχηματίζουν δύο (διεδρικές) γωνίες: φ 1 και φ 2 . Το άθροισμά τους είναι ίσο με π (φ 1 + φ 2 = π). Όσον αφορά τα συνημίτονά τους, οι απόλυτες τιμές τους είναι ίσες, αλλά διαφέρουν σε πρόσημα, δηλαδή cos φ 1 =-cos φ 2. Αν στην εξίσωση (0) αντικαταστήσουμε τα Α, Β και Γ με τους αριθμούς -Α, -Β και -Γ αντίστοιχα, τότε η εξίσωση που θα πάρουμε θα καθορίσει το ίδιο επίπεδο, τη μοναδική γωνία φ στην εξίσωση cos φ= ΝΝ. 1 /| N||N 1 | θα αντικατασταθεί από το π-φ.

Εξίσωση κάθετου επιπέδου

Τα επίπεδα ονομάζονται κάθετα αν η γωνία μεταξύ τους είναι 90 μοίρες. Χρησιμοποιώντας το υλικό που περιγράφηκε παραπάνω, μπορούμε να βρούμε την εξίσωση ενός επιπέδου κάθετου σε ένα άλλο. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο επίπεδα: Ax+By+Cz+D=0 και A¹x+B1y+C1z+D=0. Μπορούμε να δηλώσουμε ότι θα είναι κάθετοι αν cosφ=0. Αυτό σημαίνει ότι NN1=AA1+BB1+CC1=0.

Εξίσωση παράλληλου επιπέδου

Παράλληλα είναι δύο επίπεδα που δεν περιέχουν κοινά σημεία.

Η προϋπόθεση (οι εξισώσεις τους είναι ίδιες με την προηγούμενη παράγραφο) είναι ότι τα διανύσματα N και N1, που είναι κάθετα σε αυτά, είναι συγγραμμικά. Αυτό σημαίνει ότι πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις αναλογικότητας:

A/A1=B/B1=C/C1.

Εάν επεκταθούν οι όροι αναλογικότητας - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

αυτό δείχνει ότι αυτά τα αεροπλάνα συμπίπτουν. Αυτό σημαίνει ότι οι εξισώσεις Ax+By+Cz+D=0 και A1x+B1y+C1z+D1=0 περιγράφουν ένα επίπεδο.

Απόσταση σε αεροπλάνο από σημείο

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα επίπεδο P, το οποίο δίνεται από την εξίσωση (0). Είναι απαραίτητο να βρεθεί η απόσταση σε αυτό από το σημείο με συντεταγμένες (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Για να γίνει αυτό, πρέπει να φέρετε την εξίσωση του επιπέδου P σε κανονική μορφή:

(ρ,v)=p (p≥0).

Σε αυτήν την περίπτωση, ρ(x,y,z) είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου μας Q που βρίσκεται στο P, p είναι το μήκος της κάθετου στο P που απελευθερώθηκε από το σημείο μηδέν, v είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που βρίσκεται στο η α σκηνοθεσία.

Η διαφορά ρ-ρº του διανύσματος ακτίνας κάποιου σημείου Q \u003d (x, y, z) που ανήκει στο P, καθώς και του διανύσματος ακτίνας ενός δεδομένου σημείου Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) είναι τέτοια διάνυσμα, η απόλυτη τιμή της προβολής του οποίου στο v είναι ίση με την απόσταση d, η οποία πρέπει να βρεθεί από το Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) έως το P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, αλλά

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =ρ-(ρ 0 ,v).

Έτσι αποδεικνύεται

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Έτσι, θα βρούμε την απόλυτη τιμή της παράστασης που προκύπτει, δηλαδή το επιθυμητό d.

Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα των παραμέτρων, έχουμε το προφανές:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Αν δεδομένο σημείοΤο Q 0 βρίσκεται στην άλλη πλευρά του επιπέδου P, καθώς και η αρχή, τότε μεταξύ του διανύσματος ρ-ρ 0 και v είναι επομένως:

d=-(ρ-ρ 0,v)=(ρ0,v)-p>0.

Στην περίπτωση που το σημείο Q 0, μαζί με την αρχή, βρίσκεται στην ίδια πλευρά του P, τότε η γωνία που δημιουργείται είναι οξεία, δηλαδή:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται ότι στην πρώτη περίπτωση (ρ 0 ,v)> р, στη δεύτερη (ρ 0 ,v)<р.

Εφαπτομενικό επίπεδο και η εξίσωσή του

Το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια στο σημείο επαφής Mº είναι το επίπεδο που περιέχει όλες τις πιθανές εφαπτόμενες στις καμπύλες που χαράσσονται μέσω αυτού του σημείου στην επιφάνεια.

Με αυτήν τη μορφή της εξίσωσης επιφάνειας F (x, y, z) \u003d 0, η εξίσωση του εφαπτομένου επιπέδου στο εφαπτομενικό σημείο Mº (xº, yº, zº) θα μοιάζει με αυτό:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Εάν καθορίσετε την επιφάνεια σε ρητή μορφή z=f (x, y), τότε το εφαπτομενικό επίπεδο θα περιγραφεί από την εξίσωση:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Τομή δύο επιπέδων

Στο σύστημα συντεταγμένων (ορθογώνιο) βρίσκεται το Oxyz, δίνονται δύο επίπεδα П′ και П″, τα οποία τέμνονται και δεν συμπίπτουν. Εφόσον οποιοδήποτε επίπεδο βρίσκεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων καθορίζεται από τη γενική εξίσωση, θα υποθέσουμε ότι τα P′ και P″ δίνονται από τις εξισώσεις A′x+B′y+C′z+D′=0 και A″x +B″y+ С″z+D″=0. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε το κανονικό n′ (A′, B′, C′) του επιπέδου P′ και το κανονικό n″ (A″, B″, C″) του επιπέδου P″. Δεδομένου ότι τα επίπεδά μας δεν είναι παράλληλα και δεν συμπίπτουν, αυτά τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά. Χρησιμοποιώντας τη γλώσσα των μαθηματικών, μπορούμε να γράψουμε αυτή τη συνθήκη ως εξής: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Έστω η ευθεία που βρίσκεται στη τομή των P′ και P″ συμβολίζεται με το γράμμα a, στην περίπτωση αυτή a = P′ ∩ P″.

Η α είναι μια ευθεία που αποτελείται από το σύνολο όλων των σημείων των (κοινών) επιπέδων П′ και П″. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στην ευθεία a πρέπει ταυτόχρονα να ικανοποιούν τις εξισώσεις A′x+B′y+C′z+D′=0 και A″x+B″y+C″z+D″= 0. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες του σημείου θα είναι μια συγκεκριμένη λύση του ακόλουθου συστήματος εξισώσεων:

Ως αποτέλεσμα, αποδεικνύεται ότι η (γενική) λύση αυτού του συστήματος εξισώσεων θα καθορίσει τις συντεταγμένες καθενός από τα σημεία της ευθείας γραμμής, τα οποία θα λειτουργήσουν ως το σημείο τομής των Π′ και Π″ και θα καθορίσουν την ευθεία γραμμή α στο σύστημα συντεταγμένων Oxyz (ορθογώνια) στο διάστημα.

Αν όλοι οι αριθμοί A, B, C και D είναι μη μηδενικοί, τότε η γενική εξίσωση του επιπέδου ονομάζεται πλήρης. Διαφορετικά, ονομάζεται η γενική εξίσωση του επιπέδου ατελής.

Ας εξετάσουμε όλες τις πιθανές γενικές ημιτελείς εξισώσεις του επιπέδου στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz στον τρισδιάστατο χώρο.

Έστω D = 0, τότε έχουμε μια γενική ημιτελή εξίσωση του επιπέδου της μορφής . Αυτό το επίπεδο στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz διέρχεται από την αρχή. Πράγματι, όταν αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου στην προκύπτουσα ημιτελή εξίσωση του επιπέδου, φτάνουμε στην ταυτότητα .

Για , ή , ή έχουμε γενικές ημιτελείς εξισώσεις των επιπέδων , ή , ή αντίστοιχα. Αυτές οι εξισώσεις ορίζουν επίπεδα που είναι παράλληλα με τα επίπεδα συντεταγμένων Oxy , Oxz και Oyz αντίστοιχα (δείτε το άρθρο Συνθήκη παραλληλισμού για επίπεδα) και διέρχονται από τα σημεία και αντίστοιχα. Στο. Από το σημείο ανήκει στο επίπεδο κατά συνθήκη, τότε οι συντεταγμένες αυτού του σημείου πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου, δηλαδή η ισότητα να είναι αληθής. Από εδώ βρίσκουμε . Έτσι, η επιθυμητή εξίσωση έχει τη μορφή .

Παρουσιάζουμε τον δεύτερο τρόπο επίλυσης αυτού του προβλήματος.

Εφόσον το επίπεδο, η γενική εξίσωση του οποίου πρέπει να συνθέσουμε, είναι παράλληλο με το επίπεδο Oyz , τότε ως κανονικό διάνυσμα μπορούμε να πάρουμε το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου Oyz . Το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου συντεταγμένων Oyz είναι το διάνυσμα συντεταγμένων. Τώρα γνωρίζουμε το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου και το σημείο του επιπέδου, επομένως, μπορούμε να γράψουμε τη γενική του εξίσωση (λύσαμε ένα παρόμοιο πρόβλημα στην προηγούμενη παράγραφο αυτού του άρθρου):
, τότε οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου. Επομένως, η ισότητα όπου βρίσκουμε. Τώρα μπορούμε να γράψουμε την επιθυμητή γενική εξίσωση του επιπέδου, έχει τη μορφή .

Απάντηση:

Βιβλιογραφία.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Ανώτερα μαθηματικά. Τόμος Πρώτος: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Αναλυτική γεωμετρία.

Ιδιότητες ευθείας στην Ευκλείδεια γεωμετρία.

Υπάρχουν άπειρες γραμμές που μπορούν να τραβηχτούν σε οποιοδήποτε σημείο.

Μέσω οποιωνδήποτε δύο σημείων που δεν συμπίπτουν, υπάρχει μόνο μία ευθεία γραμμή.

Δύο μη συμπίπτουσες γραμμές στο επίπεδο είτε τέμνονται σε ένα μόνο σημείο είτε είναι

παράλληλη (ακολουθεί από την προηγούμενη).

Στον τρισδιάστατο χώρο, υπάρχουν τρεις επιλογές για τη σχετική θέση δύο γραμμών:

• γραμμές τέμνονται?

• οι ευθείες είναι παράλληλες.

• ευθείες γραμμές τέμνονται.

Ευθεία γραμμή- αλγεβρική καμπύλη πρώτης τάξης: στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, μια ευθεία γραμμή

δίνεται στο επίπεδο από εξίσωση πρώτου βαθμού (γραμμική εξίσωση).

Γενική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Ορισμός. Οποιαδήποτε ευθεία στο επίπεδο μπορεί να δοθεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ah + Wu + C = 0,

και σταθερό Α, Βόχι ίσο με μηδέν ταυτόχρονα. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται γενικός

ευθύγραμμη εξίσωση.Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών Α, ΒΚαι ΜΕΕίναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- η γραμμή διέρχεται από την αρχή

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Ω

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- ευθεία παράλληλη προς τον άξονα OU

. B = C = 0, A ≠ 0- η γραμμή συμπίπτει με τον άξονα OU

. A = C = 0, B ≠ 0- η γραμμή συμπίπτει με τον άξονα Ω

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να αναπαρασταθεί με διάφορες μορφές ανάλογα με κάθε δεδομένο

αρχικές συνθήκες.

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κανονικό διάνυσμα.

Ορισμός. Σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα με συνιστώσες (Α, Β)

κάθετη στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση

Ah + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο A(1, 2)κάθετο στο διάνυσμα (3, -1).

Λύση. Ας συνθέσουμε στο A \u003d 3 και B \u003d -1 την εξίσωση της ευθείας: 3x - y + C \u003d 0. Για να βρούμε τον συντελεστή C

αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου Α στην παράσταση που προκύπτει. Παίρνουμε: 3 - 2 + C = 0, επομένως

C = -1. Σύνολο: η επιθυμητή εξίσωση: 3x - y - 1 \u003d 0.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

Αφήστε δύο σημεία να δίνονται στο διάστημα M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Και M2 (x 2, y 2 , z 2),Επειτα ευθύγραμμη εξίσωση,

περνώντας από αυτά τα σημεία:

Εάν οποιοσδήποτε από τους παρονομαστές είναι ίσος με μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να ισούται με μηδέν. Επί

επίπεδο, η εξίσωση μιας ευθείας που γράφτηκε παραπάνω απλοποιείται:

Αν x 1 ≠ x 2Και x = x 1, Αν x 1 = x 2 .

Κλάσμα = κπου ονομάζεται συντελεστής κλίσης ευθεία.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β(3, 4).

Λύση. Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο, παίρνουμε:

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κλίση.

Αν η γενική εξίσωση μιας ευθείας Ah + Wu + C = 0φέρτε στη φόρμα:

και ορίζουν , τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει

εξίσωση ευθείας με κλίση k.

Η εξίσωση μιας ευθείας σε ένα σημείο και ενός κατευθυντικού διανύσματος.

Κατ' αναλογία με το σημείο που εξετάζει την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω του κανονικού διανύσματος, μπορείτε να εισαγάγετε την εργασία

μια ευθεία γραμμή μέσα από ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής.

Ορισμός. Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα (α 1 , α 2), τα συστατικά του οποίου ικανοποιούν την προϋπόθεση

Αα 1 + Βα 2 = 0που ονομάζεται διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας γραμμής.

Ah + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και που διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).

Λύση. Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας με τη μορφή: Ax + By + C = 0.Σύμφωνα με τον ορισμό,

Οι συντελεστές πρέπει να πληρούν τις προϋποθέσεις:

1 * A + (-1) * B = 0, δηλ. Α = Β.

Τότε η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: Ax + Ay + C = 0,ή x + y + C / A = 0.

στο x=1, y=2παίρνουμε C/A = -3, δηλ. επιθυμητή εξίσωση:

x + y - 3 = 0

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Ah + Wu + C = 0 C≠0, τότε, διαιρώντας με -C, παίρνουμε:

ή πού

Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής a είναι η συντεταγμένη του σημείου τομής

ευθεία με άξονα Ω,ΕΝΑ σι- η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα OU.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας x - y + 1 = 0.Βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ah + Wu + C = 0διαιρέστε με αριθμό , η οποία ονομάζεται

παράγοντα ομαλοποίησης, τότε παίρνουμε

xcosφ + ysinφ - p = 0 -κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Το πρόσημο ± του κανονικοποιητικού παράγοντα πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε μ * Γ< 0.

R- το μήκος της καθέτου που έπεσε από την αρχή στη γραμμή,

ΕΝΑ φ - τη γωνία που σχηματίζει αυτή η κάθετη με τη θετική φορά του άξονα Ω.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας 12x - 5y - 65 = 0. Απαιτείται για τη σύνταξη διαφόρων τύπων εξισώσεων

αυτή η ευθεία γραμμή.

Η εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα:

Η εξίσωση αυτής της ευθείας με την κλίση: (διαιρέστε με 5)

Εξίσωση ευθείας γραμμής:

cos φ = 12/13; αμαρτία φ= -5/13; p=5.

Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε ευθεία με μια εξίσωση σε τμήματα, για παράδειγμα, ευθείες,

παράλληλα με τους άξονες ή περνώντας από την αρχή.

Γωνία μεταξύ των γραμμών σε ένα επίπεδο.

Ορισμός. Αν δίνονται δύο γραμμές y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών

θα οριστεί ως

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2. Δύο ευθείες είναι κάθετες

Αν k 1 \u003d -1 / k 2 .

Θεώρημα.

Απευθείας Ah + Wu + C = 0Και A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0είναι παράλληλοι όταν οι συντελεστές είναι ανάλογοι

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Αν επίσης С 1 \u003d λС, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών

βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των γραμμών.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο είναι κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία.

Ορισμός. Μια γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο M 1 (x 1, y 1)και κάθετα στη γραμμή y = kx + b

παριστάνεται από την εξίσωση:

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.

Θεώρημα. Αν δοθεί ένας βαθμός M(x 0, y 0),τότε η απόσταση από τη γραμμή Ah + Wu + C = 0οριζεται ως:

Απόδειξη. Αφήστε το θέμα M 1 (x 1, y 1)- η βάση της καθέτου έπεσε από το σημείο Μγια ένα δεδομένο

απευθείας. Στη συνέχεια η απόσταση μεταξύ των σημείων ΜΚαι Μ 1:

(1)

Συντεταγμένες x 1Και 1μπορεί να βρεθεί ως λύση στο σύστημα εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετα

δεδομένη γραμμή. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Επίπεδη εξίσωση. Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο;
Αμοιβαία διάταξη αεροπλάνων. Καθήκοντα

Η χωρική γεωμετρία δεν είναι πολύ πιο περίπλοκη από την «επίπεδη» γεωμετρία και οι πτήσεις μας στο διάστημα ξεκινούν με αυτό το άρθρο. Για να κατανοήσει κανείς το θέμα, πρέπει να έχει καλή κατανόηση φορείς, επιπλέον, είναι επιθυμητό να εξοικειωθείτε με τη γεωμετρία του αεροπλάνου - θα υπάρχουν πολλές ομοιότητες, πολλές αναλογίες, οπότε οι πληροφορίες θα αφομοιωθούν πολύ καλύτερα. Σε μια σειρά μαθημάτων μου, ο δισδιάστατος κόσμος ανοίγει με ένα άρθρο Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο. Αλλά τώρα ο Batman έχει βγει από την τηλεόραση επίπεδης οθόνης και ξεκινά από το κοσμοδρόμιο του Baikonur.

Ας ξεκινήσουμε με σχέδια και σύμβολα. Σχηματικά, το επίπεδο μπορεί να σχεδιαστεί ως παραλληλόγραμμο, το οποίο δίνει την εντύπωση του χώρου:

Το αεροπλάνο είναι άπειρο, αλλά έχουμε την ευκαιρία να απεικονίσουμε μόνο ένα κομμάτι του. Στην πράξη, εκτός από το παραλληλόγραμμο, σχεδιάζεται και ένα οβάλ ή και ένα σύννεφο. Για τεχνικούς λόγους, είναι πιο βολικό για μένα να απεικονίσω το αεροπλάνο με αυτόν τον τρόπο και σε αυτή τη θέση. Τα πραγματικά αεροπλάνα, τα οποία θα εξετάσουμε σε πρακτικά παραδείγματα, μπορούν να τακτοποιηθούν όπως θέλετε - πάρτε νοερά το σχέδιο στα χέρια σας και στρίψτε το στο κενό, δίνοντας στο αεροπλάνο οποιαδήποτε κλίση, οποιαδήποτε γωνία.

Σημειογραφία: συνηθίζεται να ορίζονται αεροπλάνα με μικρά ελληνικά γράμματα, προφανώς για να μην τα συγχέουμε με κατευθείαν στο αεροπλάνοή με ευθεία στο διάστημα. Έχω συνηθίσει να χρησιμοποιώ το γράμμα. Στο σχέδιο, είναι το γράμμα «σίγμα», και καθόλου τρύπα. Αν και, ένα αεροπλάνο, είναι σίγουρα πολύ αστείο.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε τα ίδια ελληνικά γράμματα με δείκτες για να ορίσετε αεροπλάνα, για παράδειγμα, .

Είναι προφανές ότι το επίπεδο καθορίζεται μοναδικά από τρία διαφορετικά σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Επομένως, οι ονομασίες αεροπλάνων με τρία γράμματα είναι αρκετά δημοφιλείς - σύμφωνα με τα σημεία που τους ανήκουν, για παράδειγμα, κ.λπ. Συχνά τα γράμματα περικλείονται σε παρένθεση: , για να μην συγχέουμε το επίπεδο με ένα άλλο γεωμετρικό σχήμα.

Για έμπειρους αναγνώστες θα δώσω μενού συντόμευσης:

• Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας ένα σημείο και δύο διανύσματα;
• Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

και δεν θα μαραζώσουμε σε μεγάλες αναμονές:

Γενική εξίσωση του αεροπλάνου

Η γενική εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή , όπου οι συντελεστές είναι ταυτόχρονα μη μηδενικοί.

Ένας αριθμός θεωρητικών υπολογισμών και πρακτικών προβλημάτων ισχύουν τόσο για τη συνήθη ορθοκανονική βάση όσο και για τη συγγενική βάση του χώρου (αν το λάδι είναι λάδι, επιστρέψτε στο μάθημα Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Διανυσματική βάση). Για απλότητα, θα υποθέσουμε ότι όλα τα γεγονότα συμβαίνουν σε μια ορθοκανονική βάση και ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

Και τώρα ας εκπαιδεύσουμε λίγη χωρική φαντασία. Δεν πειράζει αν το έχεις κακό, τώρα θα το αναπτύξουμε λίγο. Ακόμα και το να παίζεις με νεύρα θέλει εξάσκηση.

Στην πιο γενική περίπτωση, όταν οι αριθμοί δεν είναι ίσοι με το μηδέν, το επίπεδο τέμνει και τους τρεις άξονες συντεταγμένων. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Επαναλαμβάνω για άλλη μια φορά ότι το αεροπλάνο συνεχίζει επ 'αόριστον προς όλες τις κατευθύνσεις, και έχουμε την ευκαιρία να απεικονίσουμε μόνο ένα μέρος του.

Εξετάστε τις απλούστερες εξισώσεις των επιπέδων:

Πώς να κατανοήσετε αυτήν την εξίσωση; Σκεφτείτε το: "Z" ΠΑΝΤΑ, γιατί οποιεσδήποτε τιμές των "X" και "Y" είναι ίσες με μηδέν. Αυτή είναι η εξίσωση του "εγγενούς" επιπέδου συντεταγμένων. Πράγματι, τυπικά η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: , από όπου φαίνεται ξεκάθαρα ότι δεν μας ενδιαφέρει, ποιες τιμές παίρνουν το "x" και το "y", είναι σημαντικό το "z" να είναι ίσο με μηδέν.

Ομοίως:
είναι η εξίσωση του επιπέδου συντεταγμένων .
είναι η εξίσωση του επιπέδου συντεταγμένων.

Ας περιπλέκουμε λίγο το πρόβλημα, θεωρούμε ένα επίπεδο (εδώ και παραπέρα στην παράγραφο υποθέτουμε ότι οι αριθμητικοί συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν). Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή: . Πώς να το καταλάβετε; Το "X" είναι ΠΑΝΤΑ, γιατί οποιαδήποτε τιμή του "y" και το "z" ισούται με έναν ορισμένο αριθμό. Αυτό το επίπεδο είναι παράλληλο με το επίπεδο συντεταγμένων. Για παράδειγμα, ένα επίπεδο είναι παράλληλο με ένα επίπεδο και διέρχεται από ένα σημείο.

Ομοίως:
- η εξίσωση του επιπέδου, η οποία είναι παράλληλη με το επίπεδο συντεταγμένων.
- η εξίσωση ενός επιπέδου που είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων.

Προσθήκη μελών: . Η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: , δηλαδή, το "Z" μπορεί να είναι οτιδήποτε. Τι σημαίνει? Το "X" και το "Y" συνδέονται με μια αναλογία που τραβάει μια συγκεκριμένη ευθεία γραμμή στο επίπεδο (θα αναγνωρίσετε εξίσωση ευθείας σε επίπεδο?). Δεδομένου ότι το Z μπορεί να είναι οτιδήποτε, αυτή η γραμμή "αντιλαμβάνεται" σε οποιοδήποτε ύψος. Έτσι, η εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο παράλληλο προς τον άξονα συντεταγμένων

Ομοίως:
- η εξίσωση του επιπέδου, η οποία είναι παράλληλη προς τον άξονα συντεταγμένων.
- η εξίσωση του επιπέδου, που είναι παράλληλη προς τον άξονα των συντεταγμένων.

Εάν οι ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, τότε τα επίπεδα θα διέρχονται απευθείας από τους αντίστοιχους άξονες. Για παράδειγμα, η κλασική «άμεση αναλογικότητα»:. Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο και πολλαπλασιάστε την νοερά πάνω-κάτω (καθώς το "z" είναι οποιοδήποτε). Συμπέρασμα: το επίπεδο που δίνεται από την εξίσωση διέρχεται από τον άξονα των συντεταγμένων.

Ολοκληρώνουμε την ανασκόπηση: η εξίσωση του επιπέδου διέρχεται από την καταγωγή. Λοιπόν, εδώ είναι προφανές ότι το σημείο ικανοποιεί τη δεδομένη εξίσωση.

Και, τέλος, η περίπτωση που φαίνεται στο σχέδιο: - το αεροπλάνο είναι φιλικό με όλους τους άξονες συντεταγμένων, ενώ πάντα «κόβει» ένα τρίγωνο που μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε από τα οκτώ οκτάντια.

Γραμμικές ανισότητες στο χώρο

Για να κατανοήσετε τις πληροφορίες, είναι απαραίτητο να μελετήσετε καλά γραμμικές ανισώσεις στο επίπεδογιατί πολλά πράγματα θα είναι παρόμοια. Η παράγραφος θα είναι μια σύντομη επισκόπηση με μερικά παραδείγματα, καθώς το υλικό είναι αρκετά σπάνιο στην πράξη.

Αν η εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο, τότε οι ανισώσεις
παρακαλώ ημιδιαστήματα. Αν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή (οι δύο τελευταίες της λίστας), τότε η λύση της ανισότητας, εκτός από το μισό διάστημα, περιλαμβάνει και το ίδιο το επίπεδο.

Παράδειγμα 5

Βρείτε το μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα του επιπέδου .

Λύση: Μοναδικό διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ένα. Ας συμβολίσουμε αυτό το διάνυσμα με . Είναι ξεκάθαρο ότι τα διανύσματα είναι συγγραμμικά:

Αρχικά, αφαιρούμε το κανονικό διάνυσμα από την εξίσωση του επιπέδου: .

Πώς να βρείτε το διάνυσμα μονάδας; Για να βρείτε το διάνυσμα μονάδας, χρειάζεστε κάθεδιανυσματική συντεταγμένη διαιρούμενη με το μήκος του διανύσματος.

Ας ξαναγράψουμε το κανονικό διάνυσμα στη φόρμα και ας βρούμε το μήκος του:

Συμφωνα με τα ΠΑΡΑΠΑΝΩ:

Απάντηση:

Έλεγχος: , που απαιτήθηκε για έλεγχο.

Οι αναγνώστες που έχουν μελετήσει προσεκτικά την τελευταία παράγραφο του μαθήματος, μάλλον το παρατήρησαν οι συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος είναι ακριβώς τα συνημίτονα διεύθυνσης του διανύσματος:

Ας ξεφύγουμε από το πρόβλημα αποσυναρμολόγησης: όταν σας δίνεται ένα αυθαίρετο μη μηδενικό διάνυσμα, και από τη συνθήκη απαιτείται να βρεθούν τα συνημίτονα κατεύθυνσής του (δείτε τις τελευταίες εργασίες του μαθήματος Σημείο γινόμενο διανυσμάτων), τότε στην πραγματικότητα βρίσκετε επίσης ένα μοναδιαίο διάνυσμα συγγραμμικό με το δεδομένο. Στην πραγματικότητα, δύο εργασίες σε ένα μπουκάλι.

Η ανάγκη εύρεσης ενός μοναδιαίου κανονικού διανύσματος προκύπτει σε ορισμένα προβλήματα μαθηματικής ανάλυσης.

Καταλάβαμε το ψάρεμα του κανονικού διανύσματος, τώρα θα απαντήσουμε στην αντίθετη ερώτηση:

Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

Αυτή η άκαμπτη κατασκευή ενός κανονικού διανύσματος και ενός σημείου είναι καλά γνωστή από έναν στόχο βελών. Τεντώστε το χέρι σας προς τα εμπρός και επιλέξτε νοερά ένα αυθαίρετο σημείο στο χώρο, για παράδειγμα, μια μικρή γάτα σε ένα μπουφέ. Προφανώς, μέσα από αυτό το σημείο, μπορείτε να σχεδιάσετε ένα μόνο επίπεδο κάθετο στο χέρι σας.

Η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο στο διάνυσμα εκφράζεται με τον τύπο: