Το πρόβλημα της εύρεσης της παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης είναι ένα από τα κύρια στο μάθημα των μαθηματικών του Λυκείου και στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Εκπαιδευτικά ιδρύματα. Είναι αδύνατο να εξερευνήσετε πλήρως μια συνάρτηση, να δημιουργήσετε το γράφημά της χωρίς να λάβετε την παράγωγή της. Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί να βρεθεί εύκολα αν γνωρίζετε τους βασικούς κανόνες διαφοροποίησης, καθώς και τον πίνακα παραγώγων των κύριων συναρτήσεων. Ας δούμε πώς να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης.
Η παράγωγος μιας συνάρτησης ονομάζεται όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος όταν η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν.
Είναι μάλλον δύσκολο να κατανοήσουμε αυτόν τον ορισμό, καθώς η έννοια του ορίου δεν μελετάται πλήρως στο σχολείο. Αλλά για να βρούμε παράγωγα διαφόρων συναρτήσεων, δεν είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τον ορισμό, ας το αφήσουμε στους μαθηματικούς και ας πάμε κατευθείαν στην εύρεση της παραγώγου.
Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση. Όταν διαφοροποιούμε μια συνάρτηση, θα έχουμε μια νέα συνάρτηση.
Για να τα δηλώσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε γράμματαστ, ζ κ.λπ.
Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί συμβολισμοί για τα παράγωγα. Θα χρησιμοποιήσουμε εγκεφαλικό επεισόδιο. Για παράδειγμα, η καταχώρηση g» σημαίνει ότι θα βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης g.
Πίνακας παραγώγων
Για να απαντήσετε στο ερώτημα πώς να βρείτε την παράγωγο, είναι απαραίτητο να παρέχετε έναν πίνακα παραγώγων των κύριων συναρτήσεων. Για τον υπολογισμό των παραγώγων στοιχειώδεις λειτουργίεςδεν είναι απαραίτητο να γίνουν σύνθετοι υπολογισμοί. Αρκεί μόνο να δούμε την αξία του στον πίνακα των παραγώγων.
- (sinx)"=cosx
- (cos x)"= -sin x
- (xn)"=nxn-1
- (πρώην)"=π.χ
- (lnx)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= - 1/αμαρτία 2 x
- (τόξο x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Παράδειγμα 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=500.
Βλέπουμε ότι είναι σταθερά. Σύμφωνα με τον πίνακα των παραγώγων, είναι γνωστό ότι η παράγωγος της σταθεράς είναι ίση με μηδέν (τύπος 1).
Παράδειγμα 2. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=x 100 .
Αυτή είναι μια συνάρτηση ισχύος της οποίας ο εκθέτης είναι 100, και για να βρείτε την παράγωγό της, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τη συνάρτηση με τον εκθέτη και να τη μειώσετε κατά 1 (τύπος 3).
(x 100)"=100 x 99
Παράδειγμα 3. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=5 x
Αυτό εκθετικη συναρτηση, υπολογίζουμε την παράγωγό του με τον τύπο 4.
Παράδειγμα 4. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= log 4 x
Βρίσκουμε την παράγωγο του λογάριθμου χρησιμοποιώντας τον τύπο 7.
(log 4 x)"=1/x ημερολόγιο 4
Κανόνες διαφοροποίησης
Ας δούμε τώρα πώς να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης εάν δεν υπάρχει στον πίνακα. Οι περισσότερες από τις συναρτήσεις που διερευνήθηκαν δεν είναι στοιχειώδεις, αλλά είναι συνδυασμοί στοιχειωδών συναρτήσεων που χρησιμοποιούν τις απλούστερες πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση και πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό). Για να βρείτε τα παράγωγά τους, πρέπει να γνωρίζετε τους κανόνες διαφοροποίησης. Επιπλέον, τα γράμματα f και g υποδηλώνουν συναρτήσεις και το C είναι μια σταθερά.
1. Ένας σταθερός συντελεστής μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου
Παράδειγμα 5. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= 6*x 8
Βγάζουμε τον σταθερό συντελεστή 6 και διαφοροποιούμε μόνο x 4 . Αυτή είναι μια συνάρτηση ισχύος, την παράγωγο της οποίας βρίσκουμε σύμφωνα με τον τύπο 3 του πίνακα παραγώγων.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Η παράγωγος του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των παραγώγων
(f + g)"=f" + g"
Παράδειγμα 6. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= x 100 + sin x
Η συνάρτηση είναι το άθροισμα δύο συναρτήσεων των οποίων οι παράγωγοι μπορούμε να βρούμε από τον πίνακα. Αφού (x 100)"=100 x 99 και (sin x)"=cos x. Η παράγωγος του αθροίσματος θα είναι ίση με το άθροισμα αυτών των παραγώγων:
(x 100 + sin x)" = 100 x 99 + cos x
3. Η παράγωγος της διαφοράς ισούται με τη διαφορά των παραγώγων
(f – g)"=f" – g"
Παράδειγμα 7. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= x 100 - cos x
Αυτή η συνάρτηση είναι η διαφορά δύο συναρτήσεων των οποίων τις παραγώγους μπορούμε να βρούμε και από τον πίνακα. Τότε η παράγωγος της διαφοράς ισούται με τη διαφορά των παραγώγων και μην ξεχάσεις να αλλάξεις το πρόσημο, αφού (cos x) «= - sin x.
(x 100 - cos x) "= 100 x 99 + sin x
Παράδειγμα 8. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y=e x +tg x– x 2 .
Αυτή η συνάρτηση έχει και άθροισμα και διαφορά, βρίσκουμε τις παραγώγους κάθε όρου:
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Τότε η παράγωγος της αρχικής συνάρτησης είναι:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Παράγωγο προϊόντος
(f * g)"=f" * g + f * g"
Παράδειγμα 9. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= cos x *e x
Για να το κάνετε αυτό, βρείτε πρώτα την παράγωγο κάθε παράγοντα (cos x)"=–sin x και (e x)"=e x . Τώρα ας αντικαταστήσουμε τα πάντα στη φόρμουλα του προϊόντος. Πολλαπλασιάστε την παράγωγο της πρώτης συνάρτησης με τη δεύτερη και προσθέστε το γινόμενο της πρώτης συνάρτησης με την παράγωγο της δεύτερης.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Παράγωγος του πηλίκου
(f / g) "= f" * g - f * g "/ g 2
Παράδειγμα 10. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y= x 50 / sin x
Για να βρείτε την παράγωγο του πηλίκου, βρείτε πρώτα την παράγωγο του αριθμητή και του παρονομαστή ξεχωριστά: (x 50)"=50 x 49 και (sin x)"= cos x. Αντικαθιστώντας στον τύπο την παράγωγο του πηλίκου παίρνουμε:
(x 50 / sin x) "= 50x 49 * sin x - x 50 * cos x / sin 2 x
Παράγωγο σύνθετης συνάρτησης
Μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που αντιπροσωπεύεται από μια σύνθεση πολλών συναρτήσεων. Για να βρείτε την παράγωγο σύνθετη λειτουργίαυπάρχει και ένας κανόνας:
(u(v))"=u"(v)*v"
Ας δούμε πώς να βρούμε την παράγωγο μιας τέτοιας συνάρτησης. Έστω y= u(v(x)) μιγαδική συνάρτηση. Η συνάρτηση u θα ονομάζεται εξωτερική και v - εσωτερική.
Για παράδειγμα:
Το y=sin (x 3) είναι μια σύνθετη συνάρτηση.
Τότε y=sin(t) είναι η εξωτερική συνάρτηση
t=x 3 - εσωτερικό.
Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης. Σύμφωνα με τον τύπο, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστούν οι παράγωγοι των εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων.
(sin t)"=cos (t) - παράγωγος της εξωτερικής συνάρτησης (όπου t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - παράγωγος της εσωτερικής συνάρτησης
Τότε (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 είναι η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης.
Όταν ένα άτομο έχει κάνει τα πρώτα ανεξάρτητα βήματα στη μελέτη της μαθηματικής ανάλυσης και αρχίζει να κάνει άβολες ερωτήσεις, δεν είναι πλέον τόσο εύκολο να απαλλαγούμε από τη φράση ότι "βρέθηκε διαφορικός λογισμός στο λάχανο". Ως εκ τούτου, είναι καιρός να προσδιοριστεί και να λυθεί το μυστήριο της γέννησης του πίνακες παραγώγων και κανόνες διαφοροποίησης. Ξεκίνησε στο άρθρο για τη σημασία του παραγώγου, το οποίο προτείνω ανεπιφύλακτα για μελέτη, γιατί εκεί απλά εξετάσαμε την έννοια του παραγώγου και αρχίσαμε να κάνουμε κλικ σε εργασίες στο θέμα. Το ίδιο μάθημα έχει έντονο πρακτικό προσανατολισμό, επιπλέον,
Τα παραδείγματα που εξετάζονται παρακάτω, κατ' αρχήν, μπορούν να χρησιμοποιηθούν καθαρά τυπικά (για παράδειγμα, όταν δεν υπάρχει χρόνος / επιθυμία να εμβαθύνουμε στην ουσία του παραγώγου). Είναι επίσης πολύ επιθυμητό (αλλά και πάλι όχι απαραίτητο) να μπορούμε να βρούμε παράγωγα χρησιμοποιώντας τη "συνήθη" μέθοδο - τουλάχιστον σε επίπεδο δύο βασικών κατηγοριών:Πώς να βρείτε την παράγωγο και την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.
Αλλά χωρίς κάτι, που είναι πλέον σίγουρα απαραίτητο, είναι χωρίς όρια λειτουργίας. Πρέπει να ΚΑΤΑΛΑΒΕΙΣ τι είναι όριο και να μπορείς να τα λύσεις, τουλάχιστον σε ενδιάμεσο επίπεδο. Και όλα αυτά επειδή το παράγωγο
Η συνάρτηση σε ένα σημείο ορίζεται από τον τύπο:
Σας θυμίζω τους χαρακτηρισμούς και τους όρους: καλούν προσαύξηση επιχειρήματος;
– αύξηση συνάρτησης.
- Αυτό ΜΟΝΑ σύμβολα(Το "Delta" δεν μπορεί να "ξεχωριστεί" από το "X" ή το "Y").
Προφανώς, είναι μια "δυναμική" μεταβλητή, είναι μια σταθερά και το αποτέλεσμα του υπολογισμού του ορίου 
- αριθμός (μερικές φορές - "συν" ή "πλην" άπειρο).
Ως ένα σημείο, μπορείτε να εξετάσετε ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ τιμή ανήκει τομείςμια συνάρτηση που έχει παράγωγο.
Σημείωση: η ρήτρα "στην οποία υπάρχει το παράγωγο" - γενικά σημαντική.! Έτσι, για παράδειγμα, το σημείο, αν και μπαίνει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης, αλλά στην παράγωγο
δεν υπάρχει εκεί. Επομένως ο τύπος
δεν ισχύει στο σημείο
και μια συντομευμένη διατύπωση χωρίς επιφύλαξη θα ήταν εσφαλμένη. Παρόμοια γεγονότα ισχύουν και για άλλες συναρτήσεις με «σπασίματα» στο γράφημα, ειδικότερα, για το arcsine και το arccosine.
Έτσι, μετά την αντικατάσταση, λαμβάνουμε τον δεύτερο τύπο εργασίας:
Δώστε προσοχή σε μια ύπουλη περίσταση που μπορεί να προκαλέσει σύγχυση στην τσαγιέρα: σε αυτό το όριο, το "x", όντας το ίδιο μια ανεξάρτητη μεταβλητή, παίζει τον ρόλο ενός επιπλέον και η "δυναμική" ορίζεται ξανά από την αύξηση. Το αποτέλεσμα του υπολογισμού του ορίου
είναι η παράγωγη συνάρτηση.
Με βάση τα παραπάνω, διατυπώνουμε τις συνθήκες δύο τυπικών προβλημάτων:
- Εύρημα παράγωγο σε ένα σημείοχρησιμοποιώντας τον ορισμό μιας παραγώγου.
- Εύρημα παράγωγη συνάρτησηχρησιμοποιώντας τον ορισμό μιας παραγώγου. Αυτή η εκδοχή, σύμφωνα με τις παρατηρήσεις μου, εμφανίζεται πολύ πιο συχνά και θα δοθεί η κύρια προσοχή.
Η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ των εργασιών είναι ότι στην πρώτη περίπτωση απαιτείται να βρεθεί ο αριθμός (προαιρετικά άπειρο), και στο δεύτερο
λειτουργία . Επιπλέον, το παράγωγο μπορεί να μην υπάρχει καθόλου.
Πως ?
Κάντε μια αναλογία και υπολογίστε το όριο.
Πού έκανεπίνακας παραγώγων και κανόνων διαφοροποίησης ? Με ένα μόνο όριο
Μοιάζει μαγικό, αλλά
πραγματικότητα - δολοπλοκία και όχι απάτη. Στο μάθημα Τι είναι ένα παράγωγο;άρχισα να ψάχνω συγκεκριμένα παραδείγματα, όπου, χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρήκε τις παραγώγους μιας γραμμικής και τετραγωνικής συνάρτησης. Για το σκοπό της γνωστικής προθέρμανσης, θα συνεχίσουμε να ενοχλούμε πίνακας παραγώγων, βελτιώνοντας τον αλγόριθμο και τις τεχνικές λύσεις:
Μάλιστα απαιτείται η απόδειξη ειδικής περίπτωσης του παραγώγου λειτουργία ισχύος, που συνήθως εμφανίζεται στον πίνακα: .
Η λύση επισημοποιείται τεχνικά με δύο τρόπους. Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη, ήδη γνωστή προσέγγιση: η σκάλα ξεκινά με μια σανίδα και η παράγωγη συνάρτηση ξεκινά με μια παράγωγο σε ένα σημείο.
Σκεφτείτε κάποιο (συγκεκριμένο) σημείο που ανήκει τομείςμια συνάρτηση που έχει παράγωγο. Ρυθμίστε την αύξηση σε αυτό το σημείο (φυσικά, όχι πιο πέρα o / o - z) και συνθέστε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης:
Ας υπολογίσουμε το όριο:
Η αβεβαιότητα 0:0 εξαλείφεται με μια τυπική τεχνική που θεωρείται ήδη από τον πρώτο αιώνα π.Χ. πολλαπλασιάζω
αριθμητής και παρονομαστής ανά συνημμένη παράσταση 
:
Η τεχνική για την επίλυση ενός τέτοιου ορίου συζητείται λεπτομερώς στο εισαγωγικό μάθημα για τα όρια των συναρτήσεων.
Δεδομένου ότι ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σημείο του διαστήματος μπορεί να επιλεγεί ως
Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας, παίρνουμε:
Για άλλη μια φορά, ας χαρούμε τους λογάριθμους:
Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου
Λύση: Ας εξετάσουμε μια διαφορετική προσέγγιση για την περιστροφή της ίδιας εργασίας. Είναι ακριβώς το ίδιο, αλλά πιο ορθολογικό σχεδιαστικά. Η ιδέα είναι να απαλλαγούμε από το
εγγραφείτε και χρησιμοποιήστε ένα γράμμα αντί για ένα γράμμα.
Σκεφτείτε ένα αυθαίρετο σημείο που ανήκει τομείςσυνάρτηση (διάστημα) και ορίστε την αύξηση σε αυτό. Και εδώ, παρεμπιπτόντως, όπως στις περισσότερες περιπτώσεις, μπορείτε να το κάνετε χωρίς επιφυλάξεις, αφού η λογαριθμική συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη σε οποιοδήποτε σημείο του τομέα ορισμού.
Τότε η αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης είναι:
Ας βρούμε την παράγωγο:
Η απλότητα του σχεδιασμού εξισορροπείται από τη σύγχυση, η οποία μπορεί
προκύπτουν σε αρχάριους (και όχι μόνο). Εξάλλου, έχουμε συνηθίσει στο γεγονός ότι το γράμμα "X" αλλάζει στο όριο! Αλλά εδώ όλα είναι διαφορετικά: - ένα άγαλμα αντίκα και - ένας ζωντανός επισκέπτης, που περπατά βιαστικά στο διάδρομο του μουσείου. Δηλαδή, το "x" είναι "σαν μια σταθερά".
Θα σχολιάσω την εξάλειψη της αβεβαιότητας βήμα προς βήμα:
(1)
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του λογάριθμου
.
(2) Διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή στην παρένθεση.
(3) Στον παρονομαστή πολλαπλασιάζουμε τεχνητά και διαιρούμε με το "x" έτσι ώστε
εκμεταλλευτείτε τα υπέροχα 
, ενώ ως απειροελάχιστοςεκτελεί.
Απάντηση: Εξ ορισμού παραγώγου:
Ή εν συντομία:
Προτείνω να κατασκευάσουμε ανεξάρτητα δύο ακόμη τύπους πινάκων:
Βρείτε την παράγωγο εξ ορισμού
Σε αυτήν την περίπτωση, η μεταγλωττισμένη προσαύξηση είναι άμεσα βολικό να μειωθεί σε έναν κοινό παρονομαστή. Ένα κατά προσέγγιση δείγμα της εργασίας στο τέλος του μαθήματος (η πρώτη μέθοδος).
Βρείτε την παράγωγο εξ ορισμού
Και εδώ όλα πρέπει να περιοριστούν σε ένα αξιοσημείωτο όριο. Η λύση πλαισιώνεται με τον δεύτερο τρόπο.
Ομοίως, μια σειρά από άλλα παράγωγα πίνακα. Πλήρης λίσταμπορεί να βρεθεί σε ένα σχολικό εγχειρίδιο ή, για παράδειγμα, στον 1ο τόμο του Fichtenholtz. Δεν βλέπω πολύ νόημα να ξαναγράφω από βιβλία και αποδείξεις των κανόνων διαφοροποίησης - δημιουργούνται επίσης
τύπος.
Ας προχωρήσουμε σε εργασίες της πραγματικής ζωής: Παράδειγμα 5
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης 
, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου
Λύση: χρησιμοποιήστε το πρώτο στυλ. Ας εξετάσουμε κάποιο σημείο που ανήκει και ας ορίσουμε την αύξηση του επιχειρήματος σε αυτό. Τότε η αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης είναι:
Ίσως ορισμένοι αναγνώστες να μην έχουν ακόμη κατανοήσει πλήρως την αρχή με την οποία πρέπει να γίνει μια αύξηση. Παίρνουμε ένα σημείο (αριθμό) και βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης σε αυτό: 
, δηλαδή στη συνάρτηση
αντί του "x" θα πρέπει να αντικατασταθεί. Τώρα παίρνουμε
Σύνθετη Αύξηση Συνάρτησης είναι ωφέλιμο να απλοποιηθεί αμέσως. Για τι? Διευκολύνετε και συντομεύστε τη λύση του περαιτέρω ορίου.
Χρησιμοποιούμε τύπους, ανοίγουμε αγκύλες και μειώνουμε όλα όσα μπορούν να μειωθούν:
Η γαλοπούλα έχει ξεσπάσει, κανένα πρόβλημα με το ψητό:
Τελικά: 
Δεδομένου ότι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μπορεί να επιλεγεί ως ποιότητα, κάνουμε την αντικατάσταση και παίρνουμε 
.
Απάντηση: 
α-πριό.
Για λόγους επαλήθευσης, βρίσκουμε το παράγωγο χρησιμοποιώντας τους κανόνες
διαφοροποιήσεις και πίνακες:
Είναι πάντα χρήσιμο και ευχάριστο να γνωρίζετε εκ των προτέρων τη σωστή απάντηση, επομένως είναι καλύτερο να διαφοροποιήσετε διανοητικά ή σε προσχέδιο την προτεινόμενη συνάρτηση με «γρήγορο» τρόπο στην αρχή της λύσης.
Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης με τον ορισμό της παραγώγου
Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου». Το αποτέλεσμα βρίσκεται στην επιφάνεια:
Επιστροφή στο Στυλ #2: Παράδειγμα 7
Ας μάθουμε αμέσως τι πρέπει να συμβεί. Με ο κανόνας της διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:
Απόφαση: εξετάστε ένα αυθαίρετο σημείο που ανήκει, ορίστε την αύξηση του επιχειρήματος σε αυτό και κάντε την αύξηση
Ας βρούμε την παράγωγο:
(1) Χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό τύπο
(2) Κάτω από το ημίτονο ανοίγουμε τις αγκύλες, κάτω από το συνημίτονο δίνουμε παρόμοιους όρους.
(3) Κάτω από το ημίτονο μειώνουμε τους όρους, κάτω από το συνημίτονο διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο.
(4) Λόγω της παραδοξότητας του ημιτονοειδούς, βγάζουμε το "μείον". Κάτω από συνημίτονο
υποδεικνύουν ότι ο όρος .
(5) Πολλαπλασιάζουμε τεχνητά τον παρονομαστή για χρήση πρώτο υπέροχο όριο. Έτσι, εξαλείφεται η αβεβαιότητα, χτενίζουμε το αποτέλεσμα.
Απάντηση: εξ ορισμού Όπως μπορείτε να δείτε, η κύρια δυσκολία του υπό εξέταση προβλήματος βασίζεται
η πολυπλοκότητα του ίδιου του ορίου + μια ελαφριά πρωτοτυπία της συσκευασίας. Στην πράξη, συναντώνται και οι δύο μέθοδοι σχεδιασμού, επομένως περιγράφω και τις δύο προσεγγίσεις με όσο το δυνατόν περισσότερες λεπτομέρειες. Είναι ισοδύναμα, αλλά και πάλι, κατά την υποκειμενική μου εντύπωση, είναι πιο σκόπιμο για τα ομοιώματα να παραμείνουν στην 1η επιλογή με "Χ μηδέν".
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
Αυτό είναι ένα καθήκον για ανεξάρτητη απόφαση. Το δείγμα είναι μορφοποιημένο με το ίδιο πνεύμα με το προηγούμενο παράδειγμα.
Ας αναλύσουμε μια πιο σπάνια εκδοχή του προβλήματος:
Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο χρησιμοποιώντας τον ορισμό της παραγώγου.
Πρώτον, ποια πρέπει να είναι η ουσία; Αριθμός Υπολογίστε την απάντηση με τον τυπικό τρόπο:
Απόφαση: από την άποψη της σαφήνειας, αυτή η εργασία είναι πολύ πιο απλή, αφού στον τύπο αντί για
θεωρείται συγκεκριμένη τιμή.
Ορίζουμε μια αύξηση στο σημείο και συνθέτουμε την αντίστοιχη αύξηση της συνάρτησης:
Υπολογίστε την παράγωγο σε ένα σημείο:
Χρησιμοποιούμε έναν πολύ σπάνιο τύπο για τη διαφορά των εφαπτομένων 
και για πολλοστή φορά ανάγουμε τη λύση στην πρώτη
εκπληκτικό όριο:
Απάντηση: εξ ορισμού της παραγώγου σε ένα σημείο.
Το πρόβλημα δεν είναι τόσο δύσκολο να λυθεί και γενική εικόνα”- αρκεί να αντικαταστήσετε το καρφί ή απλό, ανάλογα με τη μέθοδο σχεδίασης. Σε αυτή την περίπτωση, φυσικά, δεν παίρνετε έναν αριθμό, αλλά μια παράγωγη συνάρτηση.
Παράδειγμα 10 Χρησιμοποιώντας τον ορισμό, βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης 
στο σημείο
Αυτό είναι ένα παράδειγμα «φτιάξ' το μόνος σου».
Η τελική εργασία μπόνους προορίζεται κυρίως για μαθητές με εις βάθος μελέτη της μαθηματικής ανάλυσης, αλλά δεν θα βλάψει ούτε όλους τους άλλους:
Θα είναι διαφοροποιήσιμη η συνάρτηση 
στο σημείο?
Λύση: Είναι προφανές ότι μια τμηματικά δεδομένη συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο, αλλά θα είναι διαφοροποιήσιμη εκεί;
Ο αλγόριθμος επίλυσης, και όχι μόνο για τμηματικές συναρτήσεις, είναι ο εξής:
1) Να βρείτε την αριστερή παράγωγο σε ένα δεδομένο σημείο: .
2) Να βρείτε τη δεξιά παράγωγο στο δεδομένο σημείο: .
3) Αν οι μονόπλευρες παράγωγοι είναι πεπερασμένες και συμπίπτουν:
, τότε η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη στο σημείο και
Γεωμετρικά, υπάρχει μια κοινή εφαπτομένη εδώ (βλ. θεωρητικό μέροςμάθημα Ορισμός και έννοια του παραγώγου).
Αν ληφθούν δύο διαφορετικές έννοιες: 
(ένα από τα οποία μπορεί να είναι άπειρο), τότε η συνάρτηση δεν είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο.
Αν και οι δύο μονόπλευρες παράγωγοι είναι ίσες με άπειρο
(ακόμα κι αν έχουν διαφορετικά σημάδια), τότε η λειτουργία δεν έχει
είναι διαφοροποιήσιμο σε ένα σημείο, αλλά υπάρχει μια άπειρη παράγωγος και μια κοινή κάθετη εφαπτομένη στο γράφημα (δείτε Παράδειγμα 5 του μαθήματοςΚανονική εξίσωση) .
Ο υπολογισμός της παραγώγου βρίσκεται συχνά στο ΧΡΗΣΗ Εργασιών. Αυτή η σελίδαπεριέχει μια λίστα τύπων για την εύρεση παραγώγων.
Κανόνες διαφοροποίησης
- (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
- (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
- Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης. Αν y=F(u) και u=u(x), τότε η συνάρτηση y=f(x)=F(u(x)) ονομάζεται μιγαδική συνάρτηση του x. Ισούται με y′(x)=Fu′⋅ ux′.
- Παράγωγο άρρητης συνάρτησης. Η συνάρτηση y=f(x) ονομάζεται άρρητη συνάρτηση που δίνεται από τη σχέση F(x,y)=0 αν F(x,f(x))≡0.
- Παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης. Αν g(f(x))=x, τότε καλείται η συνάρτηση g(x). αντίστροφη συνάρτησηγια τη συνάρτηση y=f(x).
- Παράγωγος παραμετρικά δεδομένης συνάρτησης. Έστω x και y ως συναρτήσεις της μεταβλητής t: x=x(t), y=y(t). Λέγεται ότι η y=y(x) είναι μια παραμετρικά καθορισμένη συνάρτηση στο διάστημα x∈ (a;b) αν σε αυτό το διάστημα η εξίσωση x=x(t) μπορεί να εκφραστεί ως t=t(x) και η συνάρτηση y=y( t(x))=y(x).
- Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης. Βρίσκεται παίρνοντας τον λογάριθμο στη βάση του φυσικού λογάριθμου.
Έστω η συνάρτηση y = f(x) να οριστεί στο διάστημα X. παράγωγοΗ συνάρτηση y \u003d f (x) στο σημείο x o ονομάζεται όριο
=
.
Αν αυτό το όριο πεπερασμένος,τότε καλείται η συνάρτηση f(x). διαφοροποιήσιμοστο σημείο Χ ο; εξάλλου, αποδεικνύεται αναγκαστικά και συνεχής σε αυτό το σημείο.
Αν το εξεταζόμενο όριο είναι ίσο με (ή - ), τότε με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση στο σημείο Χ οείναι συνεχής, θα πούμε ότι η συνάρτηση f(x) έχει σε ένα σημείο Χ ο άπειρη παράγωγος.
Η παράγωγος συμβολίζεται με τα σύμβολα
y , f (x o), , .
Η εύρεση της παραγώγου λέγεται ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηλειτουργίες. Η γεωμετρική σημασία της παραγώγουείναι ότι η παράγωγος είναι η κλίση της εφαπτομένης στην καμπύλη y=f(x) σε ένα δεδομένο σημείο Χ ο ; φυσική αίσθηση -στο ότι η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι η στιγμιαία ταχύτητα του κινούμενου σημείου κατά την ευθύγραμμη κίνηση s = s(t) τη στιγμή t o .
Αν Μεείναι ένας σταθερός αριθμός, και u = u(x), v = v(x) είναι μερικές διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις, λοιπόν ακολουθώντας τους κανόνεςΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκριση:
1) (γ) " = 0, (cu) " = cu";
2) (u+v)" = u"+v";
3) (uv)" \u003d u "v + v" u;
4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;
5) αν y = f(u), u = (x), δηλ. y = f((x)) - σύνθετη λειτουργία,ή προσθήκη, που αποτελείται από διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις και f, τότε , ή
6) αν για τη συνάρτηση y = f(x) υπάρχει αντίστροφη διαφοροποιήσιμη συνάρτηση x = g(y), και 0, τότε .
Με βάση τον ορισμό της παραγώγου και τους κανόνες διαφοροποίησης, μπορεί κανείς να συντάξει μια λίστα με πίνακα παραγώγων των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων.
1. (u )" = u 1 u" ( R).
2. (a u)" = a u lna u".
3. (e u)" = e u u".
4. (log a u)" = u"/(u ln a).
5. (ln u)" = u"/u.
6. (sin u)" = cos u u".
7. (cos u)" = - sin u u".
8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".
9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.
10. (arcsin u)" = u" / .
11. (arccos u)" = - u" / .
12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).
13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).
Ας υπολογίσουμε την παράγωγο της εκθετικής παράστασης y=u v , (u>0), όπου uΚαι vουσία της λειτουργίας Χέχοντας παράγωγα σε ένα δεδομένο σημείο εσύ",v".
Λαμβάνοντας τον λογάριθμο της ισότητας y=u v , παίρνουμε ln y = v ln u.
Εξίσωση παραγώγων σε σχέση με ΧΚαι από τα δύο μέρη της ισότητας που προκύπτει χρησιμοποιώντας τους κανόνες 3, 5 και τον τύπο για την παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης, θα έχουμε:
y"/y = vu"/u + v" ln u, απ' όπου y" = y (vu"/u + v" ln u).
(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.
Για παράδειγμα, αν y \u003d x sin x, τότε y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x ln x).
Αν η συνάρτηση y = f(x) είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο Χ, δηλ. έχει μια πεπερασμένη παράγωγο σε αυτό το σημείο y", τότε = y "+, όπου 0 στο х 0· επομένως y = y" х + x.
Το κύριο μέρος της αύξησης της συνάρτησης, γραμμικό ως προς το x, ονομάζεται διαφορικός λειτουργίεςκαι συμβολίζεται με dy: dy \u003d y "x. Αν βάλουμε y \u003d x σε αυτόν τον τύπο, τότε παίρνουμε dx \u003d x" x \u003d 1x \u003d x, επομένως dy \u003d y "dx, δηλαδή ένα σύμβολο για τον συμβολισμό για την παράγωγο μπορεί να θεωρηθεί ως κλάσμα.
Αύξηση συνάρτησης yείναι η αύξηση της τεταγμένης της καμπύλης, και το διαφορικό d yείναι η προσαύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης.
Ας βρούμε για τη συνάρτηση y=f(x) την παράγωγό της y = f (x). Η παράγωγος αυτής της παραγώγου λέγεται παράγωγο δεύτερης τάξηςσυναρτήσεις f(x), ή δεύτερο παράγωγο,και συμβολίζεται 
.
Τα ακόλουθα ορίζονται και σημειώνονται με τον ίδιο τρόπο:
παράγωγο τρίτης τάξης
-
,
παράγωγο τέταρτης τάξης -
και γενικά μιλώντας παράγωγο νης τάξης
-
.
Παράδειγμα 3.15. Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης y=(3x 3 -2x+1)sin x.
Λύση.Σύμφωνα με τον κανόνα 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1) συν x.
Παράδειγμα 3.16 . Βρείτε y", y = tg x + .
Λύση.Χρησιμοποιώντας τους κανόνες για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος και του πηλίκου, παίρνουμε: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + 
=
.
Παράδειγμα 3.17. Να βρείτε την παράγωγο μιγαδικής συνάρτησης y= , u=x 4 +1.
Λύση.Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης, παίρνουμε: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Αφού u \u003d x 4 +1, μετά (2 x 4 + 2+ 
.
Είναι απολύτως αδύνατο να λυθούν φυσικά προβλήματα ή παραδείγματα στα μαθηματικά χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Η παράγωγος είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο σε αυτό το θεμελιώδες θέμα. Τι είναι παράγωγο, ποια είναι η φυσική του και γεωμετρική σημασίαΠώς να υπολογίσετε την παράγωγο μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;
Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου
Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , δίνεται σε κάποιο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή επιχειρημάτων - διαφορά των τιμών του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα χ και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Η αλλαγή ή η αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:
Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.
Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:
Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Ποιο όμως:
η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.
φυσική έννοιαπαράγωγο: η χρονική παράγωγος της διαδρομής είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.
Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια, όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι ένα ιδιωτικό μονοπάτι. x=f(t) και του χρόνου t . μέση ταχύτηταγια κάποιο χρονικό διάστημα:
Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης κάθε φορά t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:
Κανόνας πρώτος: βγάλτε τη σταθερά
Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Επιπλέον, πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, λάβετε κατά κανόνα - αν μπορείτε να απλοποιήσετε την έκφραση, φροντίστε να απλοποιήσετε .
Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:
Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων
Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.
Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε μάλλον ένα πρακτικό παράδειγμα.
Βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:
Τρίτος κανόνας: η παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων
Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:
Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:
Λύση: 
Εδώ είναι σημαντικό να πούμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα από την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.
Στο παραπάνω παράδειγμα, συναντάμε την έκφραση:
Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, εξετάζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.
Κανόνας Τέταρτος: Η παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων
Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου ενός πηλίκου δύο συναρτήσεων:
Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.
Για οποιαδήποτε ερώτηση σχετικά με αυτό και άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε με τη φοιτητική υπηρεσία. Πίσω βραχυπρόθεσμαθα σας βοηθήσουμε να λύσετε το πιο δύσκολο τεστ και να ασχοληθείτε με εργασίες, ακόμα κι αν δεν έχετε ασχοληθεί ποτέ με τον υπολογισμό των παραγώγων στο παρελθόν.