Ο τύπος για τον όγκο ενός εξαγωνικού πρίσματος. Κανονικό εξαγωνικό πρίσμα

Σε τρίγωνο Β Ε σι1 :

• σι σι1 = h
• B E = 2 ⋅ α- επειδή Ε Ο = Ο Β = α
• ∠ Ε Β σι1 = 90 ∘ - σύμφωνα με τις ιδιότητες μιας κανονικής ευθείας

Έτσι, αποδεικνύεται ότι το τρίγωνο Β Ε σι1 ορθογώνιος. Σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου

μι σι1 = σι σι2 1 +Β μι2 − − − − − − − − − − √ = η2 + 4 ⋅ ένα2 − − − − − − − − √

Αν h = α, οπότε τότε

μι σι1 = 5 √ ⋅ α

Μετά από παρόμοιο σκεπτικό, το καταλαβαίνουμε φά ντο1 = Α ρε1 = Β μι1 = Γ φά1 = Δ ΕΝΑ1 = η2 + 4 ⋅ ένα2 − − − − − − − − √ .

Βρίσκουμε Ο φά1

Σε τρίγωνο Φ Ο φά1 :

• φά φά1 = h
• F O = α
• ∠ O F φά1 = 90 ∘ - σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός κανονικού πρίσματος

Έτσι, αποδεικνύεται ότι το τρίγωνο Φ Ο φά1 ορθογώνιος. Σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου

Ο φά1 = φά φά2 1 + Ο φά2 − − − − − − − − − − √ = η2 + ένα2 − − − − − − √

Αν h = α, οπότε τότε

Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω από αυτήν. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που ο Αχιλλέας τρέχει αυτή την απόσταση, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας έχει τρέξει εκατό βήματα, η χελώνα θα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ' αόριστον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.

Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Ο Αριστοτέλης, ο Διογένης, ο Καντ, ο Χέγκελ, ο Γκίλμπερτ... Όλοι αυτοί, έτσι ή αλλιώς, θεωρούσαν τις απορίας του Ζήνωνα. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται αυτή τη στιγμή, η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος ; κανένα από αυτά δεν έγινε μια παγκοσμίως αποδεκτή λύση στο πρόβλημα ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει ποια είναι η απάτη.

Από τη σκοπιά των μαθηματικών, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την τιμή στο. Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για σταθερές. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για την εφαρμογή μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνήθους λογικής μας οδηγεί σε παγίδα. Εμείς, με την αδράνεια της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στο αντίστροφο. Από φυσική άποψη, αυτό μοιάζει με επιβράδυνση του χρόνου μέχρι να σταματήσει τελείως τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να προσπεράσει τη χελώνα.

Αν γυρίσουμε τη λογική που έχουμε συνηθίσει, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτή την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προσπεράσει απείρως γρήγορα τη χελώνα».

Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες τιμές. Στη γλώσσα του Ζήνωνα, μοιάζει με αυτό:

Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα, ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.

Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά δεν είναι ολοκληρωμένη λύσηΠροβλήματα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ανυπέρβλητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Πρέπει ακόμη να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:

Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.

Σε αυτήν την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή το ιπτάμενο βέλος βρίσκεται σε ηρεμία σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης του αυτοκινήτου, χρειάζονται δύο φωτογραφίες που έχουν ληφθεί από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της απόστασης. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από το αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που λαμβάνονται από διαφορετικά σημεία του χώρου ταυτόχρονα, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης από αυτά (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει). Αυτό που θέλω να επισημάνω συγκεκριμένα είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι δύο διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται καθώς παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για εξερεύνηση.

Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018

Πολύ καλά, οι διαφορές μεταξύ συνόλου και πολλαπλών συνόλων περιγράφονται στη Wikipedia. Εμείς κοιτάμε.

Όπως μπορείτε να δείτε, «το σύνολο δεν μπορεί να έχει δύο πανομοιότυπα στοιχεία», αλλά αν υπάρχουν πανομοιότυπα στοιχεία στο σύνολο, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται «πολυσύνολο». Τα λογικά όντα δεν θα καταλάβουν ποτέ τέτοια λογική του παραλογισμού. Αυτό είναι το επίπεδο των παπαγάλων που μιλάνε και των εκπαιδευμένων πιθήκων, στα οποία το μυαλό απουσιάζει από τη λέξη «εντελώς». Οι μαθηματικοί ενεργούν ως απλοί εκπαιδευτές, κηρύττοντας μας τις παράλογες ιδέες τους.

Μια φορά κι έναν καιρό, οι μηχανικοί που κατασκεύασαν τη γέφυρα βρίσκονταν σε μια βάρκα κάτω από τη γέφυρα κατά τη διάρκεια των δοκιμών της γέφυρας. Αν η γέφυρα κατέρρεε, ο μέτριος μηχανικός πέθαινε κάτω από τα ερείπια του δημιουργήματός του. Αν η γέφυρα μπορούσε να αντέξει το φορτίο, ο ταλαντούχος μηχανικός κατασκεύασε άλλες γέφυρες.

Ανεξάρτητα από το πόσο κρύβονται οι μαθηματικοί πίσω από τη φράση «μυαλό μου, είμαι στο σπίτι», ή μάλλον «τα μαθηματικά μελετούν αφηρημένες έννοιες», υπάρχει ένας ομφάλιος λώρος που τους συνδέει άρρηκτα με την πραγματικότητα. Αυτός ο ομφάλιος λώρος είναι χρήματα. Ας εφαρμόσουμε τη μαθηματική θεωρία συνόλων στους ίδιους τους μαθηματικούς.

Σπουδάσαμε πολύ καλά μαθηματικά και τώρα καθόμαστε στο ταμείο και πληρώνουμε μισθούς. Εδώ μας έρχεται ένας μαθηματικός για τα λεφτά του. Του μετράμε όλο το ποσό και το απλώνουμε στο τραπέζι μας σε διαφορετικούς σωρούς, στους οποίους βάζουμε λογαριασμούς της ίδιας ονομαστικής αξίας. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν λογαριασμό από κάθε σωρό και δίνουμε στον μαθηματικό το «μαθηματικό σύνολο μισθών» του. Εξηγούμε τα μαθηματικά ότι θα λάβει τους υπόλοιπους λογαριασμούς μόνο όταν αποδείξει ότι το σύνολο χωρίς πανομοιότυπα στοιχεία δεν είναι ίσο με το σύνολο με τα ίδια στοιχεία. Εδώ αρχίζει η διασκέδαση.

Καταρχάς θα λειτουργήσει η λογική των βουλευτών: «μπορείς να την εφαρμόσεις σε άλλους, σε μένα όχι!». Επιπλέον, θα ξεκινήσουν οι διαβεβαιώσεις ότι υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί τραπεζογραμματίων σε τραπεζογραμμάτια της ίδιας ονομαστικής αξίας, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να θεωρηθούν πανομοιότυπα στοιχεία. Λοιπόν, μετράμε τον μισθό σε κέρματα - δεν υπάρχουν αριθμοί στα νομίσματα. Εδώ ο μαθηματικός θα αρχίσει να ανακαλεί σπασμωδικά τη φυσική: on διαφορετικά νομίσματαυπάρχει διαφορετική ποσότητα βρωμιάς, κρυσταλλική δομήκαι η διάταξη των ατόμων σε κάθε νόμισμα είναι μοναδική...

Και τώρα έχω τα περισσότερα ενδιαφέρον Ρωτήστε: πού είναι το όριο πέρα ​​από το οποίο τα στοιχεία ενός πολυσυνόλου μετατρέπονται σε στοιχεία ενός συνόλου και το αντίστροφο; Δεν υπάρχει τέτοια γραμμή - όλα αποφασίζονται από σαμάνους, η επιστήμη εδώ δεν είναι καν κοντά.

Κοιτάξτε εδώ. Επιλέγουμε γήπεδα ποδοσφαίρου με τον ίδιο χώρο γηπέδου. Η περιοχή των πεδίων είναι η ίδια, που σημαίνει ότι έχουμε ένα πολυσύνολο. Αλλά αν αναλογιστούμε τα ονόματα των ίδιων γηπέδων, παίρνουμε πολλά, γιατί τα ονόματα είναι διαφορετικά. Όπως μπορείτε να δείτε, το ίδιο σύνολο στοιχείων είναι ταυτόχρονα σύνολο και πολυσύνολο. Πόσο σωστά; Και εδώ ο μαθηματικός-σαμάνος-σούλερ βγάζει έναν άσο ατού από το μανίκι του και αρχίζει να μας λέει είτε για σετ είτε για πολυσετ. Σε κάθε περίπτωση, θα μας πείσει ότι έχει δίκιο.

Για να κατανοήσουμε πώς λειτουργούν οι σύγχρονοι σαμάνοι με τη θεωρία συνόλων, συνδέοντάς την με την πραγματικότητα, αρκεί να απαντήσουμε σε μια ερώτηση: πώς διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Θα σας δείξω, χωρίς κανένα «νοητό ως μη ενιαίο σύνολο» ή «μη νοητό ως ενιαίο σύνολο».

Κυριακή 18 Μαρτίου 2018

Το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού είναι ένας χορός σαμάνων με ντέφι, που δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Ναι, στα μαθήματα των μαθηματικών διδασκόμαστε να βρίσκουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού και να το χρησιμοποιούμε, αλλά είναι σαμάνοι για αυτό, για να διδάξουν στους απογόνους τους τις δεξιότητες και τη σοφία τους, διαφορετικά οι σαμάνοι απλά θα πεθάνουν.

Χρειάζεστε αποδείξεις; Ανοίξτε τη Wikipedia και προσπαθήστε να βρείτε τη σελίδα "Άθροισμα ψηφίων ενός αριθμού". Αυτή δεν υπάρχει. Δεν υπάρχει τύπος στα μαθηματικά με τον οποίο μπορείτε να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων οποιουδήποτε αριθμού. Εξάλλου, οι αριθμοί είναι γραφικά σύμβολα με τα οποία γράφουμε αριθμούς και στη γλώσσα των μαθηματικών, η εργασία ακούγεται ως εξής: "Βρείτε το άθροισμα των γραφικών συμβόλων που αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε αριθμό". Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα, αλλά οι σαμάνοι μπορούν να το κάνουν στοιχειωδώς.

Ας μάθουμε τι και πώς κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων ενός δεδομένου αριθμού. Και έτσι, ας πούμε ότι έχουμε τον αριθμό 12345. Τι πρέπει να κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού; Ας εξετάσουμε όλα τα βήματα με τη σειρά.

1. Σημειώστε τον αριθμό σε ένα κομμάτι χαρτί. Τι καναμε? Μετατρέψαμε τον αριθμό σε γραφικό σύμβολο αριθμού. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.

2. Κόψαμε μια λαμβανόμενη εικόνα σε πολλές εικόνες που περιέχουν ξεχωριστούς αριθμούς. Η κοπή μιας εικόνας δεν είναι μαθηματική πράξη.

3. Μετατρέψτε μεμονωμένους γραφικούς χαρακτήρες σε αριθμούς. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.

4. Προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν. Τώρα είναι μαθηματικά.

Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 12345 είναι 15. Αυτά είναι τα «μαθήματα κοπής και ραπτικής» από σαμάνους που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό.

Από τη σκοπιά των μαθηματικών, δεν έχει σημασία σε ποιο σύστημα αριθμών γράφουμε τον αριθμό. Έτσι, μέσα διαφορετικά συστήματαυπολογίζοντας, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού θα είναι διαφορετικό. Στα μαθηματικά, το σύστημα αριθμών υποδεικνύεται ως δείκτης στα δεξιά του αριθμού. ΜΕ ένας μεγάλος αριθμός 12345 Δεν θέλω να ξεγελάω το κεφάλι μου, σκεφτείτε τον αριθμό 26 από το άρθρο σχετικά. Ας γράψουμε αυτόν τον αριθμό σε δυαδικά, οκταδικά, δεκαδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. Δεν θα εξετάσουμε κάθε βήμα στο μικροσκόπιο, το έχουμε ήδη κάνει. Ας δούμε το αποτέλεσμα.

Όπως μπορείτε να δείτε, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού είναι διαφορετικό. Αυτό το αποτέλεσμα δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Είναι σαν να βρίσκεις το εμβαδόν ενός ορθογωνίου σε μέτρα και εκατοστά θα σου έδινε τελείως διαφορετικά αποτελέσματα.

Το μηδέν σε όλα τα αριθμητικά συστήματα φαίνεται το ίδιο και δεν έχει άθροισμα ψηφίων. Αυτό είναι ένα άλλο επιχείρημα υπέρ του γεγονότος ότι . Μια ερώτηση για τους μαθηματικούς: πώς δηλώνεται στα μαθηματικά αυτό που δεν είναι αριθμός; Τι, για τους μαθηματικούς, δεν υπάρχει τίποτα άλλο εκτός από αριθμούς; Για τους σαμάνους, μπορώ να το επιτρέψω αυτό, αλλά για τους επιστήμονες, όχι. Η πραγματικότητα δεν αφορά μόνο αριθμούς.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα πρέπει να θεωρείται ως απόδειξη ότι τα αριθμητικά συστήματα είναι μονάδες μέτρησης αριθμών. Εξάλλου, δεν μπορούμε να συγκρίνουμε αριθμούς με διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Αν οι ίδιες ενέργειες με διαφορετικές μονάδες μέτρησης της ίδιας ποσότητας οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματα μετά τη σύγκριση τους, τότε αυτό δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά.

Τι είναι τα πραγματικά μαθηματικά; Αυτό συμβαίνει όταν το αποτέλεσμα μιας μαθηματικής ενέργειας δεν εξαρτάται από την τιμή του αριθμού, τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται και από το ποιος εκτελεί αυτήν την ενέργεια.

Ω! Αυτή δεν είναι η γυναικεία τουαλέτα;
- Νέα γυναίκα! Αυτό είναι ένα εργαστήριο για τη μελέτη της αόριστης αγιότητας των ψυχών κατά την ανάληψη στον ουρανό! Nimbus στην κορυφή και βέλος επάνω. Ποια άλλη τουαλέτα;

Θηλυκό... Ένα φωτοστέφανο από πάνω και ένα βέλος κάτω είναι αρσενικό.

Εάν έχετε ένα τέτοιο έργο τέχνης σχεδιασμού να αναβοσβήνει μπροστά στα μάτια σας πολλές φορές την ημέρα,

Τότε δεν είναι περίεργο που βρίσκετε ξαφνικά ένα περίεργο εικονίδιο στο αυτοκίνητό σας:

Προσωπικά, κάνω μια προσπάθεια με τον εαυτό μου να δω μείον τέσσερις μοίρες σε ένα άτομο που σκάει (μία εικόνα) (σύνθεση πολλών εικόνων: σύμβολο μείον, αριθμός τέσσερα, χαρακτηρισμός μοιρών). Και αυτό το κορίτσι δεν το θεωρώ ανόητο που δεν ξέρει φυσική. Απλώς έχει ένα τόξο στερεότυπο της αντίληψης των γραφικών εικόνων. Και αυτό μας διδάσκουν συνέχεια οι μαθηματικοί. Εδώ είναι ένα παράδειγμα.

Το 1Α δεν είναι "μείον τέσσερις μοίρες" ή "ένα α". Αυτό είναι το "pooping man" ή ο αριθμός "είκοσι έξι" στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Όσοι εργάζονται συνεχώς σε αυτό το σύστημα αριθμών αντιλαμβάνονται αυτόματα τον αριθμό και το γράμμα ως ένα γραφικό σύμβολο.

Αγαπητοί φίλοι και φίλες! Για σένα άλλο ένα άρθρο με πρίσματα. Υπάρχει ένας τύπος εργασιών στην εξέταση στις οποίες απαιτείται να προσδιοριστεί ο όγκος του πολυέδρου. Επιπλέον, δεν δίνεται σε «καθαρή μορφή», αλλά πρώτα πρέπει να κατασκευαστεί. Θα το έθετα κάπως έτσι - πρέπει να «δει» σε άλλο δεδομένο σώμα.

Ένα άρθρο σχετικά με τέτοιες εργασίες ήταν ήδη στο ιστολόγιο,. Στις παρακάτω εργασίες, δίνονται ευθύγραμμα κανονικά πρίσματα - τριγωνικά ή εξαγωνικά. Αν ξεχάσατε τελείως τι είναι πρίσμα, τότε.

Ένα κανονικό πρίσμα έχει ένα κανονικό πολύγωνο στη βάση του. Επομένως, στη βάση ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος βρίσκεται ισόπλευρο τρίγωνο, και στη βάση ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος βρίσκεται ένα κανονικό εξάγωνο.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, χρησιμοποιείται ο τύπος όγκου πυραμίδας, συνιστώ να εξετάσετε τις πληροφορίες.Θα είναι επίσης χρήσιμο με παραλληλεπίπεδα, η αρχή της επίλυσης εργασιών είναι παρόμοια.Κοιτάξτε ξανά τους τύπους που πρέπει να γνωρίζετε.

Όγκος πρίσματος:

Ο όγκος της πυραμίδας:

245340. Να βρείτε τον όγκο ενός πολυέδρου του οποίου οι κορυφές είναι τα σημεία Α, Β, Γ, Α 1 κανονικό τριγωνικό πρίσμα ABCA 1 σε 1 με 1 , του οποίου το εμβαδόν βάσης είναι 2 και του οποίου η πλευρική άκρη είναι 3.

Πήραμε μια πυραμίδα με τη βάση ABC και την κορυφή A 1 . Το εμβαδόν της βάσης του είναι ίσο με το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος (η βάση είναι κοινή). Το ύψος είναι επίσης κοινό. Ο όγκος της πυραμίδας είναι:

Απάντηση: 2

245341. Βρείτε τον όγκο ενός πολυέδρου του οποίου οι κορυφές είναι τα σημεία A, B, C, A 1, C 1, ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος ABCA 1 B 1 C 1, του οποίου το εμβαδόν βάσης είναι 3 και η πλευρική ακμή είναι 2.

Ας δημιουργήσουμε το καθορισμένο πολύεδρο στο σκίτσο:

Αυτή είναι μια πυραμίδα με βάση ΑΑ 1 από 1 C και ένα ύψος ίσο με την απόσταση μεταξύ της άκρης AC και της κορυφής Β. Αλλά σε αυτήν την περίπτωση, ο υπολογισμός της περιοχής αυτής της βάσης και του υποδεικνυόμενου ύψους είναι πολύ μακριά για το αποτέλεσμα. Είναι πιο εύκολο να το κάνετε αυτό:

Για να λάβετε τον όγκο του καθορισμένου πολυέδρου, είναι απαραίτητο από τον όγκο του δεδομένου πρίσματος ABCA 1 σε 1 με 1 αφαιρέστε τον όγκο της πυραμίδας ΒΑ 1 σε 1 με 1 . Ας γράψουμε:

Απάντηση: 4

245342. Βρείτε τον όγκο ενός πολυέδρου του οποίου οι κορυφές είναι τα σημεία A 1, B 1, B, C, ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος ABCA 1 B 1 C 1, του οποίου το εμβαδόν βάσης είναι 4 και η πλευρική ακμή είναι 3.

Ας δημιουργήσουμε το καθορισμένο πολύεδρο στο σκίτσο:

Για να λάβετε τον όγκο του υποδεικνυόμενου πολυέδρου, είναι απαραίτητο από τον όγκο του πρίσματος ABCA 1 σε 1 με 1 αφαιρέστε τους όγκους δύο σωμάτων - πυραμίδων ABCA 1 και πυραμίδες CA 1 B 1 C 1 . Ας γράψουμε:

Απάντηση: 4

245343. Να βρείτε τον όγκο ενός πολυέδρου του οποίου οι κορυφές είναι τα σημεία A, B, C, D, E, F, A 1 ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 του οποίου το εμβαδόν βάσης είναι 4 και του οποίου Το πλευρικό άκρο είναι 3.

Ας δημιουργήσουμε το καθορισμένο πολύεδρο στο σκίτσο:

Πρόκειται για μια πυραμίδα που έχει κοινή βάση με πρίσμα και ύψος ίσο ύψοςπρίσματα. Ο όγκος της πυραμίδας θα είναι:

Απάντηση: 4

245344. Να βρείτε τον όγκο ενός πολυέδρου του οποίου οι κορυφές είναι τα σημεία A, B, C, A 1 , B 1 , C 1 ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 του οποίου το εμβαδόν βάσης είναι 6 και του οποίου το εμβαδόν βάσης είναι Το πλευρικό άκρο είναι 3.

Ας δημιουργήσουμε το καθορισμένο πολύεδρο στο σκίτσο:

Το πολύεδρο που προκύπτει είναι ένα ευθύ πρίσμα. Τόμος Prism είναι ίσο με το γινόμενοεπιφάνεια και ύψος βάσης.

Το ύψος του αρχικού πρίσματος και του προκύπτοντος πρίσματος είναι ίσο με τρία (αυτό είναι το μήκος της πλευρικής ακμής). Απομένει να προσδιοριστεί η περιοχή της βάσης, δηλαδή το τρίγωνο ABC.

Δεδομένου ότι το πρίσμα είναι κανονικό, τότε στη βάση του βρίσκεται ένα κανονικό εξάγωνο. Το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι ίσο με το ένα έκτο αυτού του εξαγώνου, περισσότερο σε αυτό (στοιχείο 6). Άρα το εμβαδόν του ABC είναι 1.Υπολογίζουμε:

Απάντηση: 3

245345. Να βρείτε τον όγκο ενός πολυέδρου του οποίου οι κορυφές είναι τα σημεία A, B, D, E, A 1 , B 1 , D 1 , E 1 ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 του οποίου η βάση Το εμβαδόν είναι 6 και το πλευρικό άκρο είναι 2.

Ας δημιουργήσουμε το καθορισμένο πολύεδρο στο σκίτσο:

Το ύψος του αρχικού πρίσματος και του προκύπτοντος πρίσματος είναι ίσο με δύο (αυτό είναι το μήκος της πλευρικής ακμής). Απομένει να προσδιοριστεί η περιοχή της βάσης, δηλαδή του τετράπλευρου ABDE.

Δεδομένου ότι το πρίσμα είναι κανονικό, τότε στη βάση του βρίσκεται ένα κανονικό εξάγωνο. Το εμβαδόν του τετράπλευρου ΑΒΔΕ είναι ίσο με τα τέσσερα έκτα αυτού του εξαγώνου. Γιατί; Δείτε περισσότερα σχετικά με αυτό (σημείο 6). Άρα το εμβαδόν ΑΒΔΕ θα είναι ίσο με 4. Υπολογίζουμε:

Απάντηση: 8

245346. Να βρείτε τον όγκο ενός πολυέδρου του οποίου οι κορυφές είναι τα σημεία A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1 ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 του οποίου η βάση Το εμβαδόν είναι 6 και το πλευρικό άκρο είναι 2.

Ας δημιουργήσουμε το καθορισμένο πολύεδρο στο σκίτσο:

Το πολύεδρο που προκύπτει είναι ένα ευθύ πρίσμα.

Το ύψος του αρχικού πρίσματος και του προκύπτοντος πρίσματος είναι ίσο με δύο (αυτό είναι το μήκος της πλευρικής ακμής). Απομένει να προσδιοριστεί η περιοχή της βάσης, δηλαδή το τετράπλευρο ABCD. Το τμήμα AD συνδέει τα διαμετρικά αντίθετα σημεία ενός κανονικού εξαγώνου, που σημαίνει ότι το χωρίζει σε δύο ίσα τραπεζοειδή. Επομένως, το εμβαδόν του τετράπλευρου ABCD (τραπεζοειδές) είναι ίσο με τρία.

Υπολογίζουμε:

Απάντηση: 6

245347. Βρείτε τον όγκο ενός πολυέδρου του οποίου οι κορυφές είναι τα σημεία A, B, C, B 1 ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 με εμβαδόν βάσης 6 και πλευρική ακμή 3.

Ας δημιουργήσουμε το καθορισμένο πολύεδρο στο σκίτσο:

Το πολύεδρο που προκύπτει είναι μια πυραμίδα με βάση ABC και ύψος BB 1 .

* Το ύψος του αρχικού πρίσματος και του προκύπτοντος πρίσματος είναι ίσο με τρία (αυτό είναι το μήκος της πλευρικής ακμής).

Απομένει να προσδιοριστεί η περιοχή της βάσης της πυραμίδας, δηλαδή το τρίγωνο ABC. Είναι ίσο με το ένα έκτο του εμβαδού ενός κανονικού εξαγώνου, που είναι η βάση του πρίσματος. Υπολογίζουμε:

Απάντηση: 1

245357. Να βρείτε τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος, του οποίου όλες οι ακμές είναι ίσες με τη ρίζα των τριών.

Ο όγκος ενός πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του πρίσματος και του ύψους του.

Το ύψος ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσο με το πλευρικό άκρο του, δηλαδή, μας έχει ήδη δοθεί - αυτή είναι η ρίζα των τριών. Υπολογίστε το εμβαδόν του κανονικού εξαγώνου που βρίσκεται στη βάση. Το εμβαδόν του είναι ίσο με έξι περιοχές κανονικών τριγώνων ίσες μεταξύ τους και η πλευρά ενός τέτοιου τριγώνου είναι ίση με την άκρη του εξαγώνου:

* Χρησιμοποιήσαμε τον τύπο εμβαδού τριγώνου - το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των γειτονικών πλευρών από το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους.

Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος:

Απάντηση: 13.5

Τι μπορεί να σημειωθεί ιδιαίτερα; Φτιάξτε προσεκτικά ένα πολύεδρο, όχι διανοητικά, αλλά σχεδιάστε το σε ένα κομμάτι χαρτί. Τότε θα αποκλειστεί η πιθανότητα λάθους λόγω απροσεξίας. Θυμηθείτε τις ιδιότητες ενός κανονικού εξαγώνου. Λοιπόν, είναι σημαντικό να θυμάστε τους τύπους τόμου που χρησιμοποιήθηκαν.

Λύστε μόνοι σας δύο προβλήματα όγκου:

27084. Να βρείτε τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος με πλευρές βάσης ίσες με 1 και πλευρικές ακμές ίσες με √3.

27108. Να βρείτε τον όγκο ενός πρίσματος του οποίου οι βάσεις είναι κανονικά εξάγωνα με πλευρές 2, και πλευρικές ακμές ίσες με 2√3 και κεκλιμένα προς το επίπεδο της βάσης υπό γωνία 30 0 .

Αυτό είναι όλο. Καλή τύχη!

Με εκτίμηση, Αλέξανδρος.

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα

Ο προσδιορισμός των όγκων των γεωμετρικών σωμάτων είναι ένα από τα σημαντικά καθήκοντα της χωρικής γεωμετρίας. Αυτό το άρθρο συζητά το ερώτημα του τι είναι ένα πρίσμα με εξαγωνική βάση και παρέχει επίσης έναν τύπο για τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος.

Ορισμός πρίσματος

Από τη σκοπιά της γεωμετρίας, ένα πρίσμα είναι μια μορφή στο χώρο, η οποία σχηματίζεται από δύο πανομοιότυπα πολύγωνα που βρίσκονται στο παράλληλα επίπεδα. Καθώς και πολλά παραλληλόγραμμα που συνδέουν αυτά τα πολύγωνα σε ένα ενιαίο σχήμα.

Στον τρισδιάστατο χώρο, ένα πρίσμα αυθαίρετου σχήματος μπορεί να ληφθεί λαμβάνοντας οποιοδήποτε πολύγωνο και τμήμα. Επιπλέον, το τελευταίο επίπεδο του πολυγώνου δεν θα ανήκει. Στη συνέχεια, τοποθετώντας αυτό το τμήμα από κάθε κορυφή του πολυγώνου, μπορεί κανείς να λάβει μια παράλληλη μεταφορά του τελευταίου σε άλλο επίπεδο. Το σχήμα που σχηματίζεται με αυτόν τον τρόπο θα είναι ένα πρίσμα.

Για να έχουμε μια οπτική αναπαράσταση της κατηγορίας των μορφών που εξετάζουμε, παρουσιάζουμε ένα σχέδιο ενός τετράπλευρου πρίσματος.

Πολλοί άνθρωποι γνωρίζουν αυτή τη φιγούρα με το όνομα παραλληλεπίπεδο. Φαίνεται ότι δύο πανομοιότυπα πολύγωνα του πρίσματος είναι τετράγωνα. Ονομάζονται βάσεις του σχήματος. Οι άλλες τέσσερις πλευρές του είναι ορθογώνια, δηλαδή αποτελούν ειδική περίπτωση παραλληλογραμμών.

Εξαγωνικό πρίσμα: ορισμός και τύποι

Πριν δώσετε τον τύπο, πώς προσδιορίζεται ο όγκος ενός εξαγωνικού κανονικού πρίσματος, είναι απαραίτητο να κατανοήσετε με σαφήνεια ποιο σχήμα θα συζητηθούν. έχει εξαγωνική βάση. Δηλαδή ένα επίπεδο πολύγωνο με έξι πλευρές, ισάριθμες γωνίες. Οι πλευρές του σχήματος, όπως και για οποιοδήποτε πρίσμα, είναι γενικά παραλληλόγραμμα. Σημειώνουμε αμέσως ότι η εξαγωνική βάση μπορεί να αντιπροσωπεύεται τόσο από κανονικά όσο και από ακανόνιστα εξάγωνα.

Η απόσταση μεταξύ των βάσεων ενός σχήματος είναι το ύψος του. Στη συνέχεια θα το συμβολίσουμε με το γράμμα η. Γεωμετρικά, το ύψος h είναι τμήμα κάθετο και στις δύο βάσεις. Αν αυτή είναι κάθετη:

• χαμηλωμένο από το γεωμετρικό κέντρο μιας από τις βάσεις.
• τέμνει τη δεύτερη βάση επίσης στο γεωμετρικό κέντρο.

Το σχήμα σε αυτή την περίπτωση ονομάζεται ευθεία γραμμή. Σε κάθε άλλη περίπτωση, το πρίσμα θα είναι λοξό ή λοξό. Η διαφορά μεταξύ αυτών των τύπων εξαγωνικού πρίσματος μπορεί να φανεί με μια ματιά.

Ένα δεξιό εξαγωνικό πρίσμα είναι ένα σχήμα που έχει κανονικά εξάγωνα στη βάση. Ωστόσο, είναι ίσιο. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στις ιδιότητές του.

Στοιχεία κανονικού εξαγωνικού πρίσματος

Για να κατανοήσετε πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος (ο τύπος δίνεται παρακάτω στο άρθρο), πρέπει επίσης να υπολογίσετε από ποια στοιχεία αποτελείται το σχήμα, καθώς και ποιες ιδιότητες έχει. Για να διευκολυνθεί η ανάλυση του σχήματος, θα το δείξουμε στο σχήμα.

Τα κύρια στοιχεία του είναι όψεις, άκρες και κορυφές. Ο αριθμός αυτών των στοιχείων υπακούει στο θεώρημα του Euler. Αν συμβολίσουμε P - τον αριθμό των ακμών, B - τον αριθμό των κορυφών και G - όψεις, τότε μπορούμε να γράψουμε την ισότητα:

Ας το ελέγξουμε. Ο αριθμός των όψεων του σχήματος που εξετάζουμε είναι 8. Δύο από αυτές είναι κανονικά εξάγωνα. Έξι όψεις είναι ορθογώνια, όπως φαίνεται από το σχήμα. Ο αριθμός των κορυφών είναι 12. Πράγματι, 6 κορυφές ανήκουν σε μια βάση και 6 σε μια άλλη. Σύμφωνα με τον τύπο, ο αριθμός των άκρων πρέπει να είναι 18, κάτι που είναι δίκαιο. 12 άκρες βρίσκονται στις βάσεις και 6 σχηματίζουν τις πλευρές των ορθογωνίων παράλληλες μεταξύ τους.

Όσον αφορά τη λήψη του τύπου για τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος, θα πρέπει να εστιάσετε σε μια σημαντική ιδιότητα αυτού του σχήματος: τα ορθογώνια που σχηματίζουν πλευρική επιφάνεια, ίσα μεταξύ τους και κάθετα και στις δύο βάσεις. Αυτό οδηγεί σε δύο σημαντικές συνέπειες:

1. Το ύψος του σχήματος είναι ίσο με το μήκος της πλευρικής ακμής του.
2. Κάθε πλευρικό τμήμα που γίνεται χρησιμοποιώντας ένα επίπεδο κοπής που είναι παράλληλο με τις βάσεις είναι ένα κανονικό εξάγωνο ίσο με αυτές τις βάσεις.

Περιοχή εξάγωνου

Μπορεί κανείς να μαντέψει διαισθητικά ότι αυτή η περιοχή της βάσης του σχήματος θα εμφανίζεται στον τύπο για τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος. Επομένως, σε αυτή την παράγραφο του άρθρου θα βρούμε αυτόν τον τομέα. Ένα κανονικό εξάγωνο χωρισμένο σε 6 πανομοιότυπα τρίγωνα των οποίων οι κορυφές τέμνονται στο γεωμετρικό του κέντρο φαίνεται παρακάτω:

Κάθε ένα από αυτά τα τρίγωνα είναι ισόπλευρο. Δεν είναι πολύ δύσκολο να το αποδείξεις αυτό. Εφόσον ολόκληρος ο κύκλος έχει 360 o , οι γωνίες των τριγώνων κοντά στο γεωμετρικό κέντρο του εξαγώνου είναι 360 o /6=60 o . Οι αποστάσεις από το γεωμετρικό κέντρο έως τις κορυφές του εξαγώνου είναι ίδιες.

Το τελευταίο σημαίνει ότι και τα 6 τρίγωνα θα είναι ισοσκελές. Εφόσον μία από τις γωνίες των ισοσκελές τριγώνων είναι ίση με 60 o , τότε και οι άλλες δύο γωνίες είναι επίσης ίσες με 60 o . ((180 o -60 o) / 2) - ισόπλευρα τρίγωνα.

Να συμβολίσετε το μήκος της πλευράς του εξαγώνου με το γράμμα α. Τότε το εμβαδόν ενός τριγώνου θα είναι ίσο με:

S 1 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a 2 .

Ο τύπος προέρχεται από την τυπική έκφραση για το εμβαδόν ενός τριγώνου. Τότε η περιοχή S 6 για το εξάγωνο θα είναι:

S 6 \u003d 6 * S 1 \u003d 6 * √3 / 4 * a 2 \u003d 3 * √ 3 / 2 * a 2.

Ο τύπος για τον προσδιορισμό του όγκου ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος

Για να γράψετε τον τύπο για τον όγκο του εν λόγω σχήματος, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι παραπάνω πληροφορίες. Για ένα αυθαίρετο πρίσμα, ο όγκος του χώρου που οριοθετείται από τις όψεις του υπολογίζεται ως εξής:

Δηλαδή, το V ισούται με το γινόμενο του εμβαδού βάσης S o και του ύψους h. Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι το ύψος h είναι ίσο με το μήκος της πλευρικής ακμής b για ένα εξαγωνικό κανονικό πρίσμα και το εμβαδόν της βάσης του αντιστοιχεί στο S 6, τότε ο τύπος για τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος θα λάβει τη μορφή:

V 6 \u003d 3 * √ 3 / 2 * a 2 * b.

Παράδειγμα επίλυσης γεωμετρικού προβλήματος

Δίνεται εξαγωνικό κανονικό πρίσμα. Είναι γνωστό ότι είναι εγγεγραμμένο σε κύλινδρο ακτίνας 10 εκ. Το ύψος του πρίσματος είναι διπλάσιο από την πλευρά της βάσης του. Βρείτε τον όγκο του σχήματος.

Για να βρείτε την απαιτούμενη τιμή, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος της πλευράς και της πλευράς. Κατά την εξέταση ενός κανονικού εξαγώνου, αποδείχθηκε ότι το γεωμετρικό του κέντρο βρίσκεται στη μέση του κύκλου που περιγράφεται γύρω του. Η ακτίνα του τελευταίου είναι ίση με την απόσταση από το κέντρο σε οποιαδήποτε από τις κορυφές. Είναι δηλαδή ίσο με το μήκος της πλευράς του εξαγώνου. Αυτές οι σκέψεις οδηγούν στα ακόλουθα αποτελέσματα:

a = r = 10 cm;

b = h = 2*a = 20 cm.

Αντικαθιστώντας αυτά τα δεδομένα στον τύπο για τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος, παίρνουμε την απάντηση: V 6 ≈5196 cm 3 ή περίπου 5,2 λίτρα.