Ποιο είναι το ύψος ενός κανονικού τετραέδρου. Όγκος τετραέδρου

Ορισμός τετραέδρου

Τετράεδρο- το απλούστερο πολυεδρικό σώμα, του οποίου οι όψεις και η βάση είναι τρίγωνα.

Ηλεκτρονική αριθμομηχανή

Ένα τετράεδρο έχει τέσσερις όψεις, καθεμία από τις οποίες σχηματίζεται από τρεις πλευρές. Το τετράεδρο έχει τέσσερις κορυφές, η καθεμία με τρεις ακμές.

Αυτό το σώμα χωρίζεται σε διάφορους τύπους. Παρακάτω είναι η ταξινόμηση τους.

1. Ισοεδρικό τετράεδρο- όλες οι όψεις του είναι τα ίδια τρίγωνα.
2. Ορθόκεντρο τετράεδρο- όλα τα ύψη που λαμβάνονται από κάθε κορυφή προς την αντίθετη όψη έχουν το ίδιο μήκος.
3. Ορθογώνιο τετράεδρο- οι άκρες που προέρχονται από μια κορυφή σχηματίζουν γωνία 90 μοιρών μεταξύ τους.
4. πλαίσιο;
5. Ανάλογος;
6. επίκεντρο.

Τύποι όγκου τετραέδρου

Ο όγκος ενός δεδομένου σώματος μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους. Ας τα αναλύσουμε πιο αναλυτικά.

Μέσω του μικτού γινόμενου διανυσμάτων

Αν το τετράεδρο είναι χτισμένο σε τρία διανύσματα με συντεταγμένες:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)ένα= (ένα Χ​ , ένα y​ , ένα z​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)σι= (σι Χ​ , σι y​ , σι z​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)ντο= (ντο Χ​ , ντο y​ , ντο z​ ) ,

τότε ο όγκος αυτού του τετραέδρου είναι το μικτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων, δηλαδή μια τέτοια ορίζουσα:

Ο όγκος ενός τετραέδρου μέσω της ορίζουσας

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c__z & c_xy )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ένα Χ​ σι Χ​ ντο Χ​ ​ ένα y​ σι y​ ντο y​ ​ ένα z​ σι z​ ντο z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Εργασία 1

Οι συντεταγμένες των τεσσάρων κορυφών του οκταέδρου είναι γνωστές. A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 ), Β(8, 7, 3) Β(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1 , 2 , 3) ​​C(1,2,3) Γ (1 , 2 , 3 ), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Βρείτε τον όγκο του.

Απόφαση

A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 )
Β(8, 7, 3) Β(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1 , 2 , 3) ​​C(1,2,3) Γ (1 , 2 , 3 )
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

Το πρώτο βήμα είναι να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων πάνω στα οποία είναι δομημένο το δεδομένο σώμα.
Για να γίνει αυτό, πρέπει να βρείτε κάθε συντεταγμένη του διανύσματος αφαιρώντας τις αντίστοιχες συντεταγμένες δύο σημείων. Για παράδειγμα, διανυσματικές συντεταγμένες A B → \overrightarrow(AB) Α Β, δηλαδή ένα διάνυσμα που κατευθύνεται από ένα σημείο Α Α ΕΝΑμέχρι κάποιο σημείο Β Β σι, αυτές είναι οι διαφορές των αντίστοιχων συντεταγμένων των σημείων Β Β σικαι Α Α ΕΝΑ:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)Α Β= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -οκτώ)ΕΝΑ Δ= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Τώρα ας βρούμε το μικτό γινόμενο αυτών των διανυσμάτων, για αυτό συνθέτουμε μια ορίζουσα τρίτης τάξης, ενώ υποθέτουμε ότι A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)Α Β= ένα, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ= σι, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)ΕΝΑ Δ= ντο.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 8) ⋅ (− 6) ⋅ − 7 ⋅ (− 6) ⋅ (− 6) ⋅ 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ένα Χ​ σι Χ​ ντοΧ​ ​ έναy​ σιy​ ντοy​ ​ έναz​ σιz​ ντοz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Δηλαδή, ο όγκος ενός τετραέδρου είναι:

$V=61\cdot |$

Απάντηση

$44.8\text{εκ3 .}$

Ο τύπος για τον όγκο ενός ισοεδρικού τετραέδρου κατά μήκος της πλευράς του

Αυτός ο τύπος ισχύει μόνο για τον υπολογισμό του όγκου ενός ισοεδρικού τετραέδρου, δηλαδή ενός τετραέδρου στο οποίο όλες οι όψεις είναι πανομοιότυπα κανονικά τρίγωνα.

Όγκος ενός ισοεδρικού τετραέδρου

$V=12\sqrt{2\cdot {έ\nu \alpha }^3}$

α αέναείναι το μήκος της άκρης του τετραέδρου.

Εργασία 2

Να βρείτε τον όγκο ενός τετραέδρου αν η πλευρά του είναι ίση με $11\text{εκ.}$

Απόφαση

$έ\nu \alpha =11$

Υποκατάστατο α αέναστον τύπο για τον όγκο ενός τετραέδρου:

$V=12\sqrt{2\cdot {έ\nu \alpha }^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{εκ3}}}}}$

Απάντηση

$156.8\text{εκ3 .}$

Σημείωση. Αυτό είναι μέρος του μαθήματος με προβλήματα γεωμετρίας (τμήμα στερεά γεωμετρία, προβλήματα σχετικά με την πυραμίδα). Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα στη γεωμετρία, το οποίο δεν είναι εδώ - γράψτε για αυτό στο φόρουμ. Στις εργασίες, αντί για το σύμβολο "τετραγωνική ρίζα", χρησιμοποιείται η συνάρτηση sqrt (), στην οποία το σύμβολο είναι το sqrt τετραγωνική ρίζα, και μέσα σε παρένθεση είναι η έκφραση ρίζας.Για απλές ριζικές εκφράσεις, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το σύμβολο "√".. κανονικό τετράεδροείναι μια κανονική τριγωνική πυραμίδα στην οποία όλες οι όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα.

Το κανονικό τετράεδρο έχει τα πάντα διεδρικές γωνίεςστα άκρα και όλες οι τριεδρικές γωνίες στις κορυφές είναι ίσες

Ένα τετράεδρο έχει 4 όψεις, 4 κορυφές και 6 ακμές.

Οι βασικοί τύποι για ένα κανονικό τετράεδρο δίνονται στον πίνακα.

Που:
S - Επιφάνεια ενός κανονικού τετραέδρου
V - όγκος
h - ύψος χαμηλωμένο στη βάση
r - ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τετράεδρο
R - ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου
α - μήκος πλευράς

Πρακτικά παραδείγματα

Μια εργασία.
Βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας μιας τριγωνικής πυραμίδας με κάθε άκρη ίση με √3

Απόφαση.
Εφόσον όλες οι άκρες μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι ίσες, είναι σωστό. Η επιφάνεια μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι S = a 2 √3.
Επειτα
S = 3√3

Απάντηση: 3√3

Μια εργασία.
Όλες οι άκρες μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας είναι 4 εκ. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας

Απόφαση.
Εφόσον σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα το ύψος της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της βάσης, που είναι και το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Έτσι το ύψος της πυραμίδας ΟΜ μπορεί να βρεθεί από ορθογώνιο τρίγωνοΑΟΜ

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Ο όγκος της πυραμίδας βρίσκεται με τον τύπο V = 1/3 Sh
Σε αυτήν την περίπτωση, βρίσκουμε το εμβαδόν της βάσης με τον τύπο S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Απάντηση: 16√2/3cm

Θεωρήστε ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC και ένα σημείο D που δεν βρίσκεται στο επίπεδο αυτού του τριγώνου. Συνδέστε αυτό το σημείο με τμήματα στις κορυφές του τριγώνου ABC. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τρίγωνα ADC , CDB , ABD . Η επιφάνεια που οριοθετείται από τέσσερα τρίγωνα ABC, ADC, CDB και ABD ονομάζεται τετράεδρο και συμβολίζεται DABC.
Τα τρίγωνα που αποτελούν ένα τετράεδρο ονομάζονται όψεις του.
Οι πλευρές αυτών των τριγώνων ονομάζονται άκρες του τετραέδρου. Και οι κορυφές τους είναι οι κορυφές ενός τετραέδρου

Το τετράεδρο έχει 4 πρόσωπα, 6 παϊδάκιακαι 4 κορυφές.
Δύο ακμές που δεν έχουν κοινή κορυφή ονομάζονται αντίθετες.
Συχνά, για ευκολία, ονομάζεται ένα από τα πρόσωπα του τετραέδρου βάση, και οι υπόλοιπες τρεις όψεις είναι πλευρικές όψεις.

Έτσι, το τετράεδρο είναι το απλούστερο πολύεδρο, οι όψεις του οποίου είναι τέσσερα τρίγωνα.

Αλλά είναι επίσης αλήθεια ότι κάθε αυθαίρετη τριγωνική πυραμίδα είναι ένα τετράεδρο. Τότε είναι επίσης αλήθεια ότι ονομάζεται τετράεδρο μια πυραμίδα με ένα τρίγωνο στη βάση της.

Το ύψος του τετραέδρουονομάζεται τμήμα που συνδέει μια κορυφή με ένα σημείο που βρίσκεται στην απέναντι όψη και κάθετο σε αυτήν.
Διάμεσος τετραέδρουονομάζεται τμήμα που συνδέει την κορυφή με το σημείο τομής των διαμέσου της απέναντι όψης.
Διμεσικό τετράεδροονομάζεται τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρικών άκρων του τετραέδρου.

Δεδομένου ότι ένα τετράεδρο είναι μια πυραμίδα με τριγωνική βάση, ο όγκος οποιουδήποτε τετραέδρου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

• μικρόείναι η περιοχή οποιουδήποτε προσώπου,
• H- το ύψος χαμηλωμένο σε αυτό το πρόσωπο

Κανονικό τετράεδρο - ένας ειδικός τύπος τετραέδρου

Ένα τετράεδρο με όλα τα πρόσωπα ισόπλευρο τρίγωνοπου ονομάζεται σωστός.
Ιδιότητες ενός κανονικού τετραέδρου:

• Όλες οι άκρες είναι ίσες.
• Όλες οι επίπεδες γωνίες ενός κανονικού τετραέδρου είναι 60°
• Δεδομένου ότι κάθε κορυφή του είναι η κορυφή τριών κανονικών τριγώνων, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 180°
• Οποιαδήποτε κορυφή ενός κανονικού τετραέδρου προβάλλεται στο ορθόκεντρο της απέναντι όψης (στο σημείο τομής των υψών του τριγώνου).

Ας μας δοθεί ένα κανονικό τετράεδρο ABCD με ακμές ίσες με a . DH είναι το ύψος του.
Ας κάνουμε επιπλέον κατασκευές BM - το ύψος του τριγώνου ABC και DM - το ύψος του τριγώνου ACD .
Ύψος ΒΜ ίσον ΒΜ και ίσον
Εξετάστε το τρίγωνο BDM , όπου DH , που είναι το ύψος του τετραέδρου, είναι επίσης το ύψος αυτού του τριγώνου.
Το ύψος ενός τριγώνου που έπεσε στην πλευρά MB μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

, που
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Αντικαταστήστε αυτές τις τιμές στον τύπο ύψους. Παίρνω


Ας βγάλουμε 1/2α. Παίρνω

Εφαρμόστε τη διαφορά τύπου των τετραγώνων

Μετά από κάποιες μικρές μεταμορφώσεις, έχουμε


Ο όγκος οποιουδήποτε τετραέδρου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
,
που ,

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές, παίρνουμε

Έτσι ο τύπος όγκου για ένα κανονικό τετράεδρο είναι

που ένα– ακμή τετραέδρου

Υπολογισμός του όγκου ενός τετραέδρου αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών του

Ας μας δοθούν οι συντεταγμένες των κορυφών του τετραέδρου

Σχεδιάστε διανύσματα από την κορυφή , , .
Για να βρείτε τις συντεταγμένες καθενός από αυτά τα διανύσματα, αφαιρέστε την αντίστοιχη συντεταγμένη έναρξης από τη συντεταγμένη τέλους. Παίρνω

Από τον βασικό τύπο για τον όγκο ενός τετραέδρου

που μικρόείναι η περιοχή οποιουδήποτε προσώπου και H- το ύψος που έχει χαμηλώσει πάνω του, μπορείτε να εξαγάγετε μια ολόκληρη σειρά τύπων που εκφράζουν τον όγκο σε διάφορα στοιχεία του τετραέδρου. Δίνουμε αυτούς τους τύπους για το τετράεδρο Α Β Γ Δ.

(2) ,

που ∠ ( ΕΝΑ Δ,αλφάβητο) είναι η γωνία μεταξύ της άκρης ΕΝΑ Δκαι πρόσωπο αεροπλάνο αλφάβητο;

(3) ,

που ∠ ( αλφάβητο,ABD) είναι η γωνία μεταξύ των όψεων αλφάβητοκαι ABD;

όπου | ΑΒ,CD| - απόσταση μεταξύ των απέναντι πλευρών ΑΒκαι CD, ∠ (ΑΒ,CD) είναι η γωνία μεταξύ αυτών των άκρων.

Οι τύποι (2)–(4) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση των γωνιών μεταξύ ευθειών και επιπέδων. Ο τύπος (4) είναι ιδιαίτερα χρήσιμος, με τον οποίο μπορείτε να βρείτε την απόσταση μεταξύ λοξών γραμμών ΑΒκαι CD.

Οι τύποι (2) και (3) είναι παρόμοιοι με τον τύπο μικρό = (1/2)αβαμαρτία ντογια το εμβαδόν ενός τριγώνου. Τύπος μικρό = rpπαρόμοια φόρμουλα

που rείναι η ακτίνα της εγγεγραμμένης σφαίρας του τετραέδρου, Σ είναι η συνολική του επιφάνεια (το άθροισμα των εμβαδών όλων των όψεων). Υπάρχει επίσης μια όμορφη φόρμουλα που συνδέει τον όγκο ενός τετραέδρου με μια ακτίνα Rτο περιγραφόμενο πεδίο εφαρμογής του ( Φόρμουλα Crelle):

όπου Δ είναι το εμβαδόν ενός τριγώνου του οποίου οι πλευρές είναι αριθμητικά ίσες με τα γινόμενα των απέναντι άκρων ( ΑΒ× CD, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ× BD,ΕΝΑ Δ× προ ΧΡΙΣΤΟΥ). Από τον τύπο (2) και το θεώρημα συνημιτόνου για τις τριεδρικές γωνίες (βλ. Σφαιρική τριγωνομετρία), μπορεί κανείς να εξαγάγει έναν τύπο παρόμοιο με τον τύπο του Ήρωνα για τα τρίγωνα.