Τόμος 6 ενός πρίσματος άνθρακα. Όγκος κανονικού εξαγωνικού πρίσματος

Σε τρίγωνο Β Ε σι1 :

• σι σι1 = h
• B E = 2 ⋅ α- επειδή Ε Ο = Ο Β = α
• ∠ Ε Β σι1 = 90 ∘ - σύμφωνα με τις ιδιότητες μιας κανονικής ευθείας

Έτσι, αποδεικνύεται ότι το τρίγωνο Β Ε σι1 ορθογώνιος. Σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου

μι σι1 = σι σι2 1 + Β μι2 − − − − − − − − − − √ = η2 + 4 ⋅ ένα2 − − − − − − − − √

Αν h = α, οπότε τότε

μι σι1 = 5 √ ⋅ α

Μετά από παρόμοιο σκεπτικό, το καταλαβαίνουμε φά ντο1 = Α ρε1 = Β μι1 =Γ φά1 = Δ ΕΝΑ1 = η2 + 4 ⋅ ένα2 − − − − − − − − √ .

Βρίσκουμε Ο φά1

Σε τρίγωνο Φ Ο φά1 :

• φά φά1 = h
• F O = α
• ∠ O F φά1 = 90 ∘ - σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός κανονικού πρίσματος

Έτσι, αποδεικνύεται ότι το τρίγωνο Φ Ο φά1 ορθογώνιος. Σύμφωνα με τις ιδιότητες ενός ορθογωνίου τριγώνου

Ο φά1 = φά φά2 1 +Ο φά2 − − − − − − − − − − √ = η2 + ένα2 − − − − − − √

Αν h = α, οπότε τότε

Το πρίσμα είναι ένα από τα ογκομετρικά σχήματα, οι ιδιότητες του οποίου μελετώνται στο σχολείο στο μάθημα της χωρικής γεωμετρίας. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε ένα συγκεκριμένο πρίσμα - ένα εξαγωνικό. Τι είδους σχήμα είναι αυτό, πώς να βρείτε τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος και την επιφάνεια του; Οι απαντήσεις σε αυτές τις ερωτήσεις περιέχονται στο άρθρο.

Πρίσμα σχήματος

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα αυθαίρετο πολύγωνο με n πλευρές, το οποίο βρίσκεται σε κάποιο επίπεδο. Για κάθε κορυφή αυτού του πολυγώνου, κατασκευάζουμε ένα διάνυσμα που δεν θα βρίσκεται στο επίπεδο του πολυγώνου. Με αυτή την πράξη, παίρνουμε n πανομοιότυπα διανύσματα, οι κορυφές των οποίων σχηματίζουν ένα πολύγωνο ακριβώς ίσο με το αρχικό. Ένα σχήμα που οριοθετείται από δύο ίδια πολύγωνα και παράλληλες γραμμές που συνδέουν τις κορυφές τους ονομάζεται πρίσμα.

Οι όψεις του πρίσματος είναι δύο βάσεις, που αντιπροσωπεύονται από πολύγωνα με n πλευρές και πλευρά n επιφάνειες-παραλληλόγραμμα. Ο αριθμός των ακμών P ενός σχήματος σχετίζεται με τον αριθμό των κορυφών του B και των όψεων G με τον τύπο Euler:

Για ένα πολύγωνο με n πλευρές, παίρνουμε n + 2 όψεις και 2 * n κορυφές. Τότε ο αριθμός των άκρων θα είναι:

P \u003d C + D - 2 \u003d 2 * n + n + 2 - 2 \u003d 3 * n

Το απλούστερο πρίσμα είναι τριγωνικό, δηλαδή η βάση του είναι τρίγωνο.

Η ταξινόμηση των πρισμάτων είναι αρκετά διαφορετική. Έτσι, μπορεί να είναι κανονικά και ακανόνιστα, ορθογώνια και λοξά, κυρτά και κοίλα.

Εξαγωνικό πρίσμα

Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο στο ζήτημα του όγκου ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος. Αρχικά, ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε αυτό το σχήμα.

Όπως υποδηλώνει το όνομα, η βάση ενός εξαγωνικού πρίσματος είναι ένα πολύγωνο με έξι πλευρές και έξι γωνίες. Στη γενική περίπτωση, τέτοια πολύγωνα μπορούν να αποτελούνται από μεγάλη ποικιλία, ωστόσο, για εξάσκηση και για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων, είναι σημαντική μια μεμονωμένη περίπτωση - ένα κανονικό εξάγωνο. Έχει όλες τις πλευρές ίσες μεταξύ τους και κάθε μία από τις 6 γωνίες είναι 120 o. Μπορείτε εύκολα να κατασκευάσετε αυτό το πολύγωνο εάν διαιρέσετε τον κύκλο σε 6 ίσα μέρη με τρεις διαμέτρους (πρέπει να τέμνονται σε γωνίες 60 o).

Ένα κανονικό εξαγωνικό πρίσμα υποδηλώνει όχι μόνο την παρουσία ενός κανονικού πολυγώνου στη βάση του, αλλά και το γεγονός ότι όλες οι πλευρές του σχήματος πρέπει να είναι ορθογώνια. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν οι πλευρικές όψεις είναι κάθετες στις εξαγωνικές βάσεις.

Ένα κανονικό εξαγωνικό πρίσμα είναι μια αρκετά τέλεια φιγούρα που βρίσκεται στην καθημερινή ζωή και τη φύση. Αρκεί να σκεφτεί κανείς το σχήμα μιας κηρήθρας ή ενός εξαγωνικού κλειδιού. Στον τομέα της νανοτεχνολογίας, τα εξαγωνικά πρίσματα είναι επίσης κοινά. Για παράδειγμα, τα κρυσταλλικά πλέγματα των hcp και C32, που πραγματοποιούνται υπό ορισμένες συνθήκες σε τιτάνιο και ζιρκόνιο, καθώς και το πλέγμα γραφίτη, έχουν τη μορφή εξαγωνικών πρισμάτων.

Επιφάνεια εξαγωνικού πρίσματος

Ας προχωρήσουμε τώρα απευθείας στο θέμα του υπολογισμού του εμβαδού και του όγκου του πρίσματος. Αρχικά, υπολογίστε την επιφάνεια αυτού του σχήματος.

Η επιφάνεια οποιουδήποτε πρίσματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την ακόλουθη εξίσωση:

Δηλαδή, η επιθυμητή περιοχή S είναι ίση με το άθροισμα των εμβαδών των δύο βάσεων S o και το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας S b . Ο προσδιορισμός της τιμής του S o μπορεί να γίνει με δύο τρόπους:

• Υπολογίστε το μόνοι σας. Για να γίνει αυτό, το εξάγωνο χωρίζεται σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα. Γνωρίζοντας ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο του ύψους και της βάσης (το μήκος της πλευράς του εξαγώνου), μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν του εν λόγω πολυγώνου.
• εκμεταλλεύομαι διάσημη φόρμουλα. Αναφέρεται παρακάτω:

S n = n / 4 * a 2 * ctg(pi / n)

Εδώ το a είναι το μήκος πλευράς ενός κανονικού πολυγώνου με n κορυφές.

Προφανώς και οι δύο μέθοδοι οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα. Για ένα κανονικό εξάγωνο, η περιοχή είναι:

S o \u003d S 6 \u003d 3 * √3 * a 2 / 2

Είναι εύκολο να βρείτε την πλευρική επιφάνεια, γι 'αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσετε τη βάση κάθε ορθογωνίου a με το ύψος του πρίσματος h, να πολλαπλασιάσετε την τιμή που προκύπτει με τον αριθμό τέτοιων ορθογωνίων, δηλαδή με 6. Ως αποτέλεσμα :

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη συνολική επιφάνεια, για ένα κανονικό εξαγωνικό πρίσμα, παίρνουμε:

S = 3 * √3 * a 2 + 6 * a * h = 3 * a * (√3 * a + 2 * h)

Πώς να βρείτε τον όγκο ενός πρίσματος;

Ο όγκος είναι μια φυσική ποσότητα που αντανακλά την περιοχή του χώρου που καταλαμβάνει ένα αντικείμενο. Για ένα πρίσμα, αυτή η τιμή μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Αυτή η έκφραση δίνει μια απάντηση στο ερώτημα πώς να βρείτε τον όγκο ενός πρίσματος αυθαίρετου σχήματος, δηλαδή, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε το εμβαδόν της βάσης S o με το ύψος του σχήματος h (το απόσταση μεταξύ των βάσεων).

Σημειώστε ότι η παραπάνω έκφραση ισχύει για οποιοδήποτε πρίσμα, συμπεριλαμβανομένων κοίλων και πλάγιων σχημάτων που σχηματίζονται από ακανόνιστα πολύγωνα στη βάση.

Ο τύπος για τον όγκο ενός εξαγωνικού κανονικού πρίσματος

Επί αυτή τη στιγμήέχουμε εξετάσει όλους τους απαραίτητους θεωρητικούς υπολογισμούς για να λάβουμε μια έκφραση για τον όγκο του υπό εξέταση πρίσματος. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πολλαπλασιάσετε την περιοχή βάσης με το μήκος της πλευρικής άκρης, που είναι το ύψος του σχήματος. Ως αποτέλεσμα, το εξαγωνικό πρίσμα θα πάρει τη μορφή:

V = 3 * √3 * a 2 * h / 2

Έτσι, ο υπολογισμός του όγκου του υπό εξέταση πρίσματος απαιτεί τη γνώση μόνο δύο μεγεθών: του μήκους της πλευράς της βάσης του και του ύψους. Αυτές οι δύο ποσότητες καθορίζουν μοναδικά τον όγκο του σχήματος.

Σύγκριση όγκων και κυλίνδρου

Ειπώθηκε παραπάνω ότι η βάση ενός εξαγωνικού πρίσματος μπορεί εύκολα να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας έναν κύκλο. Είναι επίσης γνωστό ότι αν αυξήσετε τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου, τότε το σχήμα του θα πλησιάσει έναν κύκλο. Από αυτή την άποψη, έχει ενδιαφέρον να υπολογίσουμε πόσο διαφέρει ο όγκος ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος από αυτήν την τιμή για έναν κύλινδρο.

Για να απαντήσετε σε αυτή την ερώτηση, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ενός εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο. Μπορεί εύκολα να φανεί ότι είναι ίση με την ακτίνα. Σημειώνουμε την ακτίνα του κύκλου με το γράμμα R. Ας υποθέσουμε ότι το ύψος του κυλίνδρου και του πρίσματος είναι ίσο με κάποια τιμή h. Τότε ο όγκος του πρίσματος είναι ίσος με την ακόλουθη τιμή:

V p = 3 * √3 * R 2 * h / 2

Ο όγκος ενός κυλίνδρου προσδιορίζεται από τον ίδιο τύπο με τον όγκο ενός αυθαίρετου πρίσματος. Δεδομένου ότι το εμβαδόν του κύκλου είναι pi * R 2 , για τον όγκο του κυλίνδρου έχουμε:

Ας βρούμε την αναλογία των όγκων αυτών των σχημάτων:

V p / V c = 3 * √3 * R 2 * h / 2 / (pi * R 2 * h) = 3 * √3 / (2 * pi)

Ο αριθμός "pi" είναι 3,1416. Αντικαθιστώντας το, παίρνουμε:

Έτσι, ο όγκος ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος είναι περίπου το 83% του όγκου του κυλίνδρου στον οποίο είναι εγγεγραμμένο.

Ο προσδιορισμός των όγκων των γεωμετρικών σωμάτων είναι ένα από τα σημαντικά καθήκοντα της χωρικής γεωμετρίας. Αυτό το άρθρο συζητά το ερώτημα του τι είναι ένα πρίσμα με εξαγωνική βάση και παρέχει επίσης έναν τύπο για τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος.

Ορισμός πρίσματος

Από τη σκοπιά της γεωμετρίας, ένα πρίσμα είναι μια μορφή στο χώρο, η οποία σχηματίζεται από δύο πανομοιότυπα πολύγωνα που βρίσκονται στο παράλληλα επίπεδα. Καθώς και πολλά παραλληλόγραμμα που συνδέουν αυτά τα πολύγωνα σε ένα ενιαίο σχήμα.

Στον τρισδιάστατο χώρο, ένα πρίσμα αυθαίρετου σχήματος μπορεί να ληφθεί λαμβάνοντας οποιοδήποτε πολύγωνο και τμήμα. Επιπλέον, το τελευταίο επίπεδο του πολυγώνου δεν θα ανήκει. Στη συνέχεια, τοποθετώντας αυτό το τμήμα από κάθε κορυφή του πολυγώνου, μπορεί κανείς να λάβει μια παράλληλη μεταφορά του τελευταίου σε άλλο επίπεδο. Το σχήμα που σχηματίζεται με αυτόν τον τρόπο θα είναι ένα πρίσμα.

Για να έχουμε μια οπτική αναπαράσταση της κατηγορίας των μορφών που εξετάζουμε, παρουσιάζουμε ένα σχέδιο ενός τετράπλευρου πρίσματος.

Πολλοί άνθρωποι γνωρίζουν αυτή τη φιγούρα με το όνομα παραλληλεπίπεδο. Φαίνεται ότι δύο πανομοιότυπα πολύγωνα του πρίσματος είναι τετράγωνα. Ονομάζονται βάσεις του σχήματος. Οι άλλες τέσσερις πλευρές του είναι ορθογώνια, δηλαδή αποτελούν ειδική περίπτωση παραλληλογραμμών.

Εξαγωνικό πρίσμα: ορισμός και τύποι

Πριν δώσετε τον τύπο, πώς προσδιορίζεται ο όγκος ενός εξαγωνικού κανονικού πρίσματος, είναι απαραίτητο να κατανοήσετε με σαφήνεια ποιο σχήμα θα συζητηθούν. έχει εξαγωνική βάση. Δηλαδή ένα επίπεδο πολύγωνο με έξι πλευρές, ισάριθμες γωνίες. Οι πλευρές του σχήματος, όπως και για οποιοδήποτε πρίσμα, είναι γενικά παραλληλόγραμμα. Σημειώνουμε αμέσως ότι η εξαγωνική βάση μπορεί να αντιπροσωπεύεται τόσο από κανονικά όσο και από ακανόνιστα εξάγωνα.

Η απόσταση μεταξύ των βάσεων ενός σχήματος είναι το ύψος του. Στη συνέχεια θα το συμβολίσουμε με το γράμμα η. Γεωμετρικά, το ύψος h είναι τμήμα κάθετο και στις δύο βάσεις. Αν αυτή είναι κάθετη:

• χαμηλωμένο από το γεωμετρικό κέντρο μιας από τις βάσεις.
• τέμνει τη δεύτερη βάση επίσης στο γεωμετρικό κέντρο.

Το σχήμα σε αυτή την περίπτωση ονομάζεται ευθεία γραμμή. Σε κάθε άλλη περίπτωση, το πρίσμα θα είναι λοξό ή λοξό. Η διαφορά μεταξύ αυτών των τύπων εξαγωνικού πρίσματος μπορεί να φανεί με μια ματιά.

Ένα δεξιό εξαγωνικό πρίσμα είναι ένα σχήμα που έχει κανονικά εξάγωνα στη βάση. Ωστόσο, είναι ευθύ. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στις ιδιότητές του.

Στοιχεία κανονικού εξαγωνικού πρίσματος

Για να κατανοήσετε πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος (ο τύπος δίνεται παρακάτω στο άρθρο), πρέπει επίσης να υπολογίσετε από ποια στοιχεία αποτελείται το σχήμα, καθώς και ποιες ιδιότητες έχει. Για να διευκολυνθεί η ανάλυση του σχήματος, θα το δείξουμε στο σχήμα.

Τα κύρια στοιχεία του είναι όψεις, άκρες και κορυφές. Ο αριθμός αυτών των στοιχείων υπακούει στο θεώρημα του Euler. Αν συμβολίσουμε P - τον αριθμό των ακμών, B - τον αριθμό των κορυφών και G - όψεις, τότε μπορούμε να γράψουμε την ισότητα:

Ας το ελέγξουμε. Ο αριθμός των όψεων του σχήματος που εξετάζουμε είναι 8. Δύο από αυτές είναι κανονικά εξάγωνα. Έξι όψεις είναι ορθογώνια, όπως φαίνεται από το σχήμα. Ο αριθμός των κορυφών είναι 12. Πράγματι, 6 κορυφές ανήκουν σε μια βάση και 6 σε μια άλλη. Σύμφωνα με τον τύπο, ο αριθμός των άκρων πρέπει να είναι 18, κάτι που είναι δίκαιο. 12 άκρες βρίσκονται στις βάσεις και 6 σχηματίζουν τις πλευρές των ορθογωνίων παράλληλες μεταξύ τους.

Όσον αφορά τη λήψη του τύπου για τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος, θα πρέπει να εστιάσετε σε μια σημαντική ιδιότητα αυτού του σχήματος: τα ορθογώνια που σχηματίζουν πλευρική επιφάνεια, ίσα μεταξύ τους και κάθετα και στις δύο βάσεις. Αυτό οδηγεί σε δύο σημαντικές συνέπειες:

1. Το ύψος του σχήματος είναι ίσο με το μήκος της πλευρικής ακμής του.
2. Κάθε πλευρικό τμήμα που γίνεται χρησιμοποιώντας ένα επίπεδο κοπής που είναι παράλληλο με τις βάσεις είναι ένα κανονικό εξάγωνο ίσο με αυτές τις βάσεις.

Περιοχή εξάγωνου

Μπορεί κανείς να μαντέψει διαισθητικά ότι αυτή η περιοχή της βάσης του σχήματος θα εμφανίζεται στον τύπο για τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος. Επομένως, σε αυτή την παράγραφο του άρθρου θα βρούμε αυτόν τον τομέα. Ένα κανονικό εξάγωνο χωρισμένο σε 6 πανομοιότυπα τρίγωνα των οποίων οι κορυφές τέμνονται στο γεωμετρικό του κέντρο φαίνεται παρακάτω:

Κάθε ένα από αυτά τα τρίγωνα είναι ισόπλευρο. Δεν είναι πολύ δύσκολο να το αποδείξεις αυτό. Εφόσον ολόκληρος ο κύκλος έχει 360 o , οι γωνίες των τριγώνων κοντά στο γεωμετρικό κέντρο του εξαγώνου είναι 360 o /6=60 o . Οι αποστάσεις από το γεωμετρικό κέντρο έως τις κορυφές του εξαγώνου είναι ίδιες.

Το τελευταίο σημαίνει ότι και τα 6 τρίγωνα θα είναι ισοσκελές. Εφόσον μία από τις γωνίες των ισοσκελές τριγώνων είναι ίση με 60 o , τότε και οι άλλες δύο γωνίες είναι επίσης ίσες με 60 o . ((180 o -60 o) / 2) - ισόπλευρα τρίγωνα.

Να συμβολίσετε το μήκος της πλευράς του εξαγώνου με το γράμμα α. Τότε το εμβαδόν ενός τριγώνου θα είναι ίσο με:

S 1 = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a 2 .

Ο τύπος προέρχεται από την τυπική έκφραση για το εμβαδόν ενός τριγώνου. Τότε η περιοχή S 6 για το εξάγωνο θα είναι:

S 6 \u003d 6 * S 1 \u003d 6 * √3 / 4 * a 2 \u003d 3 * √ 3 / 2 * a 2.

Ο τύπος για τον προσδιορισμό του όγκου ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος

Για να γράψετε τον τύπο για τον όγκο του εν λόγω σχήματος, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι παραπάνω πληροφορίες. Για ένα αυθαίρετο πρίσμα, ο όγκος του χώρου που οριοθετείται από τις όψεις του υπολογίζεται ως εξής:

Δηλαδή ο V είναι ίσο με το γινόμενοπεριοχή βάσης S o έως ύψος h. Δεδομένου ότι γνωρίζουμε ότι το ύψος h είναι ίσο με το μήκος της πλευρικής ακμής b για ένα εξαγωνικό κανονικό πρίσμα και το εμβαδόν της βάσης του αντιστοιχεί στο S 6, τότε ο τύπος για τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος θα λάβει τη μορφή:

V 6 \u003d 3 * √ 3 / 2 * a 2 * b.

Παράδειγμα επίλυσης γεωμετρικού προβλήματος

Δίνεται εξαγωνικό κανονικό πρίσμα. Είναι γνωστό ότι είναι εγγεγραμμένο σε κύλινδρο ακτίνας 10 εκ. Το ύψος του πρίσματος είναι διπλάσιο από την πλευρά της βάσης του. Βρείτε τον όγκο του σχήματος.

Για να βρείτε την απαιτούμενη τιμή, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος της πλευράς και της πλευράς. Κατά την εξέταση ενός κανονικού εξαγώνου, αποδείχθηκε ότι το γεωμετρικό του κέντρο βρίσκεται στη μέση του κύκλου που περιγράφεται γύρω του. Η ακτίνα του τελευταίου είναι ίση με την απόσταση από το κέντρο σε οποιαδήποτε από τις κορυφές. Είναι δηλαδή ίσο με το μήκος της πλευράς του εξαγώνου. Αυτές οι σκέψεις οδηγούν στα ακόλουθα αποτελέσματα:

a = r = 10 cm;

b = h = 2*a = 20 cm.

Αντικαθιστώντας αυτά τα δεδομένα στον τύπο για τον όγκο ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος, παίρνουμε την απάντηση: V 6 ≈5196 cm 3 ή περίπου 5,2 λίτρα.