Σε αυτό το άρθρο, θα δώσουμε έναν ορισμό του διανύσματος ως προς τη γεωμετρία, καθώς και τις κύριες σχετικές έννοιες. Στο επίπεδο και στο διάστημα, το διάνυσμα είναι ένα πλήρες γεωμετρικό αντικείμενο, δηλαδή έχει πολύ πραγματικά περιγράμματα που θα δείτε στις παραπάνω γραφικές απεικονίσεις.
Ορισμός.
Διάνυσμαείναι ένα τμήμα κατευθυνόμενης γραμμής.
Δηλαδή, ως διάνυσμα, παίρνουμε ένα τμήμα σε ένα επίπεδο ή στο χώρο, θεωρώντας το ένα οριακό του σημείο ως αρχή, το άλλο ως τέλος.
Για να ορίσουμε διανύσματα, θα χρησιμοποιήσουμε πεζά λατινικά γράμματα με ένα βέλος από πάνω τους, για παράδειγμα . Εάν δίνονται τα οριακά σημεία της αρχής και του τέλους του τμήματος, για παράδειγμα Α και Β, τότε το διάνυσμα θα συμβολίζεται ως .
Ορισμός.
Μηδενικό διάνυσμαείναι οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου ή του χώρου.
Ορισμός.
Διάνυσμα μήκοςείναι ένας μη αρνητικός αριθμός ίσος με το μήκος του τμήματος ΑΒ.
Το μήκος του διανύσματος θα συμβολίζεται ως .
Δεδομένου ότι ο συμβολισμός για το μήκος ενός διανύσματος είναι ακριβώς ο ίδιος με το πρόσημο για το μέτρο, μπορείτε να ακούσετε ότι το μήκος ενός διανύσματος ονομάζεται συντελεστής του διανύσματος. Συνιστούμε ακόμα να χρησιμοποιείτε τον όρο "μήκος διανύσματος". Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι μηδέν.
Ορισμός.
Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικήαν βρίσκονται είτε στην ίδια ευθεία είτε σε παράλληλες ευθείες.
Ορισμός.
Τα δύο διανύσματα ονομάζονται μη γραμμικόαν δεν κείτονται στην ίδια ευθεία ή παράλληλες ευθείες.
Το μηδενικό διάνυσμα είναι συγγραμμικό με οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα.
Ορισμός.
συνκατευθυντική, αν οι κατευθύνσεις τους συμπίπτουν και δηλώνουν .
Ορισμός.
Δύο συγγραμμικά διανύσματα και λέγονται αντίθετες κατευθύνσεις, αν οι κατευθύνσεις τους είναι αντίθετες και δηλώνουν .
Ορισμός.
Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ίσοςαν είναι συμκατευθυντικά και τα μήκη τους είναι ίσα.
Ορισμός.
Τα δύο διανύσματα ονομάζονται απεναντι αποαν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και τα μήκη τους είναι ίσα.
Η έννοια των ίσων διανυσμάτων μας δίνει την ευκαιρία να εξετάσουμε διανύσματα χωρίς αναφορά σε συγκεκριμένα σημεία. Με άλλα λόγια, έχουμε τη δυνατότητα να αντικαταστήσουμε ένα διάνυσμα με ένα διάνυσμα ίσο με αυτό, σχεδιασμένο από οποιοδήποτε σημείο.
Έστω και είναι δύο αυθαίρετα διανύσματα στο επίπεδο ή στο διάστημα. Ας αφήσουμε στην άκρη διανύσματα και από κάποιο σημείο το Ο του επιπέδου ή του χώρου. Οι ακτίνες ΟΑ και ΟΒ σχηματίζουν γωνία.
Όλοι οι ορισμοί και τα θεωρήματα που σχετίζονται με διανύσματα στο επίπεδο ισχύουν επίσης για το διάστημα. Υπενθυμίζουμε τους κύριους ορισμούς.
Για να ορίσουμε ένα διάνυσμα χρειαζόμαστε
Ορισμός
Κατευθυντικό τμήμαονομάζεται διατεταγμένο ζεύγος σημείων στο χώρο. Τα κατευθυνόμενα τμήματα ονομάζονται ίσοςαν έχουν το ίδιο μήκος και κατεύθυνση.
Ορισμός
Διάνυσμαείναι το σύνολο όλων των ίσων κατευθυνόμενων τμημάτων.
Τα διανύσματα συνήθως συμβολίζονται με πεζά με λατινικά γράμματαμε ένα βέλος πάνω: $\vec(a)$, $\vec(b)$, $\vec(c)$. Τα κατευθυνόμενα τμήματα ορίζονται υποδεικνύοντας την αρχή και το τέλος, επίσης με ένα βέλος από πάνω: $\vec(AB)$.
Ένα διάνυσμα είναι ένα σύνολο που αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό στοιχείων. Συχνά, ένα κατευθυνόμενο τμήμα αναφέρεται ως "διάνυσμα". Αν $\vec(AB) \in \vec(a)$, τότε το κατευθυνόμενο τμήμα $\vec(AB)$ λέγεται ότι αντιπροσωπεύει το διάνυσμα $\vec(a)$. Ταυτόχρονα, ένα κατευθυνόμενο τμήμα σχεδιάζεται στο σχέδιο και λένε για αυτό ένα "διάνυσμα". Για παράδειγμα, όταν λέμε "βάλτε το διάνυσμα $\vec(r)$ μακριά από το σημείο $O$, εννοούμε ότι κατασκευάζουμε ένα κατευθυνόμενο τμήμα $\vec(OR)$ που αντιπροσωπεύει το διάνυσμα $\vec(r) $.
Ορισμός
Τα διανύσματα ονομάζονται ίσος, αν τα κατευθυνόμενα τμήματα που τα απεικονίζουν είναι ίσα.
Στα διανύσματα, μπορείτε να εκτελέσετε πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης, καθώς και να πολλαπλασιάσετε ένα δεδομένο διάνυσμα με έναν πραγματικό αριθμό.
Ο κανόνας του τριγώνου είναι γνωστός από την επιπεδομετρία: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$,
κανόνας παραλληλογράμμου: $\vec(a)+\vec(b) = \vec(c)$
και τον κανόνα της πολυγωνικής πρόσθεσης διανυσμάτων για το επίπεδο, που ισχύουν και στον χώρο.
Κανόνας πολυγραμμής για πρόσθεση διανυσμάτων
Εάν τα $A_1, \, A_2, \, \dots, \, A_n$ είναι αυθαίρετα σημεία στο διάστημα, τότε
$ \vec(A_1A_2) + \dots + \vec(A_(n-1)A_n) = \vec(A_1A_n). $
Επιπλέον, στο διάστημα είναι αλήθεια
Κανόνας κουτιού
Αν $\vec(OA) \in \vec(a)$, $\vec(OB) \in \vec(b)$, $\vec(OC) \in \vec(c)$, τότε, κατασκευάζοντας σε κατευθυνόμενα τμήματα του παραλληλεπίπεδου $OAEBCFDG$, μπορεί κανείς να βρει ένα κατευθυνόμενο τμήμα $\vec(OD)$ που αντιπροσωπεύει το διάνυσμα $\vec(d)$, το οποίο είναι το άθροισμα των διανυσμάτων $\vec(a), \, \vec(b), \, \vec(c).$
Διάλεξη 3. Διανύσματα. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων.
Διανύσματα
ΣτόχοςΗ μελέτη του θέματος είναι να γενικεύσει την έννοια του διανύσματος με το οποίο οι μαθητές είναι εξοικειωμένοι σχολικό πρόγραμμα σπουδώνκαι διευρύνοντας τους συστηματικούς της ορίζοντες.
Διανύσματα στο επίπεδο και στο διάστημα.
Διάνυσμα- Αυτό κατευθυνόμενο τμήμα. Τελεία ΕΝΑείναι η αρχή του διανύσματος, σημείο ΣΕ– το άκρο του διανύσματος (Εικ. 3.1.1). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη σημειογραφία .
Μήκος (ενότητα)διάνυσμα είναι ένας αριθμός ίσος με το μήκος του διανύσματος. Η ενότητα του διανύσματος συμβολίζεται με το σύμβολο ή . Αν το μέτρο ενός διανύσματος είναι , το διάνυσμα καλείται μηδέν; η κατεύθυνση του μηδενικού διανύσματος είναι αυθαίρετη.
Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική, αν είναι παράλληλα στην ίδια ευθεία (ή βρίσκονται στην ίδια ευθεία), σε αυτή την περίπτωση γράφουν . Το μηδενικό διάνυσμα είναι συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα.
Δύο φορείς ίσος, δηλαδή αν πληρούνται τρεις προϋποθέσεις: ; και και κατευθύνονται εξίσου.
Διανυσματικό προϊόν ā ανά αριθμό (βαθμωτό) λ λέγεται διάνυσμα που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: , διανύσματα και συνκατευθύνονται αν και κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις αν . Αν , καλείται το διάνυσμα απεναντι αποδιάνυσμα .
Έτσι, η συνθήκη είναι επαρκής για τη συγγραμμικότητα του διανύσματος και ;
Προσθήκη διανυσμάτων. Το άθροισμα δύο διανυσμάτωνκαι ονομάζεται διάνυσμα, Αρχήπου συμπίπτει με την αρχή του διανύσματος και το τέλος - με το τέλος του διανύσματος, υπό την προϋπόθεση ότι η αρχή του διανύσματος συμπίπτει με το τέλος του (κανόνας τριγώνου)(βλ. εικ. 3.1.2).
Δεδομένου ότι το διάνυσμα , τότε για να αποκτήσετε άθροισμα δύοδιανύσματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα παραλληλόγραμμο: άθροισμα δύοτων διανυσμάτων είναι το διαγώνιο διάνυσμα του παραλληλογράμμου που βασίζεται στα διανύσματα και , που βγαίνει από την κοινή αρχή και των δύο διανυσμάτων-αθροισμάτων.
Το άθροισμα πολλώνδιανύσματα βρίσκεται σύμφωνα με τον κανόνα πολύγωνο: για να βρείτε το άθροισμα πολλαπλών διανυσμάτων , πρέπει να συνδυάζετε με συνέπεια την αρχή του επόμενου διανυσματικού όρου με το τέλος του προηγούμενου. τότε το διάνυσμα που σχεδιάζεται από την αρχή του πρώτου διανύσματος μέχρι το τέλος του τελευταίου ονομάζεται άθροισμα όλων αυτών των διανυσμάτων (Εικ. 3.1.3).
διαφοράδύο διανύσματα λέγεται άθροισμα. Εάν το διάνυσμα , τότε, κατ' αναλογία με το άθροισμα δύο διανυσμάτων, αυτό το διάνυσμα είναι η διαγώνιος ενός παραλληλεπίπεδου χτισμένου σε τρία διανύσματα ως πλευρές (Εικ. 3.1.4).
Θεωρήστε ένα διάνυσμα σε ένα επίπεδο. Μεταβείτε στην αρχή του συστήματος hoy.
Παίρνουμε ένα διάνυσμα. Οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι οι συντεταγμένες του σημείου Μ(Χ;στο). Ας εισάγουμε διανύσματα στους άξονες συντεταγμένων ΕγώΚαι ι– μονάδα μήκους (Εικ. 3.1.5).
Προφανώς είτε είτε. Αν το διάνυσμα θεωρηθεί σε τρισδιάστατο χώρο, όπου το σημείο Μ χαρακτηρίζεται από τρεις συντεταγμένες, δηλαδή Μ(x,y,z) , τότε το διάνυσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
Χ Εγώ y ι z κ , (3.1.1)
Οπου i, j, kείναι τα μοναδιαία διανύσματα που βρίσκονται στους άξονες συντεταγμένων. Αφήστε , . Ας βρούμε το άθροισμα και τη διαφορά αυτών των διανυσμάτων:
Η προσθήκη διανυσμάτων και ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν βαθμωτό υπακούει στις ακόλουθες ιδιότητες:
Η απόδειξη προκύπτει από την (3.1.2).
Ορισμός. Προϊόν με τελείεςδιανύσματα και ο αριθμός ονομάζεται ίσος με το γινόμενο των μονάδων αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της γωνίας φ μεταξύ τους, δηλ. (3.1.3)
Από την (3.1.3) ακολουθήστε τις ιδιότητες του κλιμακωτού γινομένου:
4) αν , τότε .
Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του γινόμενου κουκίδων, μπορεί κανείς να βρει το γινόμενο κουκίδων δύο διανυσμάτων σε συντεταγμένη μορφή. Αν τότε ; αν - συνθήκη καθετότητας διανυσμάτων.
Αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, δηλαδή, τότε είναι η προϋπόθεση για να είναι τα διανύσματα συγγραμμικά.
έννοια n -διάνυσμα διαστάσεων. Διάνυσμα χώρο. Γραμμικός συνδυασμός και γραμμική εξάρτηση διανυσμάτων.
Η έννοια του διανύσματος μπορεί να γενικευτεί.
Ορισμός. n-διάνυσμα διαστάσεωνονομάζεται διατεταγμένη συλλογή nπραγματικοί αριθμοί γραμμένοι ως X \u003d (x 1, x 2, ..., x n), x iείναι διανυσματικά συστατικά Χ.
έννοια n -το διάνυσμα διαστάσεων χρησιμοποιείται ευρέως στα οικονομικά. Για παράδειγμα, ένα συγκεκριμένο σύνολο αγαθών μπορεί να χαρακτηριστεί από το διάνυσμα και οι αντίστοιχες τιμές - από το διάνυσμα.
Δύο n -τα διανύσματα διαστάσεων είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συνιστώσες τους είναι ίσες: , .
Κατ' αναλογία με τα γεωμετρικά διανύσματα, εισάγονται τα ακόλουθα: το άθροισμα των διανυσμάτων με συνιστώσες , ; διαφορά διανυσμάτων με συστατικά , , με τις ίδιες ιδιότητες.
Scalar προϊόν n-διανύσματα διαστάσεων:
Αν Χ - ένα σύνολο αγαθών, και Υ - αντιστοιχεί στις τιμές ανά μονάδα κάθε προϊόντος και στη συνέχεια στο κόστος όλων των προϊόντων:
Ορισμός.Το σύνολο των διανυσμάτων με πραγματικές συνιστώσες στο οποίο ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης (αφαίρεσης) και του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με ένα βαθμωτό που ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες ονομάζεται διανυσματικός χώρος.
Ορισμός.Το διάνυσμα ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτωνδιανυσματικός χώρος αν
, (3.1.4)
όπου υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί.
Ορισμός.Τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά εξαρτημένα αν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί που δεν είναι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν, έτσι ώστε ένας γραμμικός συνδυασμός .
Διαφορετικά ονομάζονται διανύσματα (). γραμμικά ανεξάρτητη.
Εάν τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα, τότε τουλάχιστον ένα από αυτά εκφράζεται γραμμικά ως προς τα άλλα. Ας το δείξουμε. Έστω τα διανύσματα () γραμμικά εξαρτημένα, δηλ. n), επομένως
Έχοντας λύσει το σύστημα με οποιαδήποτε μέθοδο (για παράδειγμα, η μέθοδος του Cramer), παίρνουμε τη λύση του: , , . Η επέκταση ενός διανύσματος ως προς τη βάση έχει τη μορφή .
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. ΕΝΕΡΓΕΙΕΣΠΑΝΩ ΑΠΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. ΒΑΘΜΩΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ,
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ, ΜΙΚΤΟ ΠΡΟΪΟΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.
1. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΕΠΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.
Βασικοί ορισμοί.
Ορισμός 1.Μια ποσότητα που χαρακτηρίζεται πλήρως από την αριθμητική της τιμή στο επιλεγμένο σύστημα μονάδων ονομάζεται βαθμωτό μέγεθοςή βαθμωτό μέγεθος .
(Βάρος σώματος, όγκος, χρόνος κ.λπ.)
Ορισμός 2.Η τιμή που χαρακτηρίζεται αριθμητική αξίακαι κατεύθυνση ονομάζεται διάνυσμα ή διάνυσμα .
(Μετατόπιση, δύναμη, ταχύτητα κ.λπ.)
Ονομασίες: , ή , .
Ένα γεωμετρικό διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα.
Για διάνυσμα - σημείο ΕΝΑ- σημείο εκκίνησης ΣΕείναι το τέλος του διανύσματος.
Ορισμός 3.Μονάδα μέτρησης διάνυσμα είναι το μήκος του τμήματος ΑΒ.
Ορισμός 4.Ένα διάνυσμα του οποίου ο συντελεστής είναι μηδέν ονομάζεται μηδέν , υποδεικνύεται.
Ορισμός 5.Τα διανύσματα που βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες ή στην ίδια ευθεία ονομάζονται συγγραμμική . Αν δύο συγγραμμικά διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση, τότε ονομάζονται συνκατευθυντική .
Ορισμός 6.Λαμβάνονται υπόψη δύο διανύσματα ίσος , αν αυτοί συν-σκηνοθεσία και είναι ίσα σε συντελεστή.
Ενέργειες σε διανύσματα.
1) Προσθήκη διανυσμάτων.
Def. 6.άθροισμα δύο διανύσματα και είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που βασίζεται σε αυτά τα διανύσματα, που προέρχεται από ένα κοινό σημείο εφαρμογής τους (κανόνας παραλληλογράμμου).
Εικ.1.
Def. 7.Το άθροισμα τριών διανυσμάτων , , είναι η διαγώνιος του παραλληλεπίπεδου που χτίζεται σε αυτά τα διανύσματα (κανόνας παραλληλεπίπεδου).
Def. 8.Αν ΕΝΑ, ΣΕ, ΜΕ είναι αυθαίρετα σημεία, τότε + = (κανόνας τριγώνου).
εικ.2
Ιδιότητες προσθήκης.
1 Ο . + = + (νόμος μετατόπισης).
2 Ο . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (συνειρμικός νόμος).
3 Ο . + (– ) + .
2) Αφαίρεση διανυσμάτων.
Def. 9.Κάτω από διαφορά διανύσματα και κατανοούν το διάνυσμα = - έτσι ώστε + = .
Σε ένα παραλληλόγραμμο, αυτό είναι άλλο διαγώνιος SD (βλ. εικ. 1).
3) Πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό.
Def. 10. δουλειά διάνυσμα σε βαθμωτό κ που ονομάζεται διάνυσμα
= κ = κ ,
μακρύς κα , και κατεύθυνση, η οποία:
1. συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος αν κ > 0;
2. αντίθετη από τη φορά του διανύσματος αν κ < 0;
3. αυθαίρετα αν κ = 0.
Ιδιότητες πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό.
1 Ο . (κ + μεγάλο ) = κ + μεγάλο .
κ ( + ) = κ + κ .
2 ο . κ (μεγάλο ) = (kl ) .
3 ο . 1 = , (–1) = – , 0 = .
Διανυσματικές ιδιότητες.
Def. έντεκα.Δύο διανύσματα και λέγονται συγγραμμική εάν βρίσκονται στις παράλληλες γραμμέςή στο μια ευθεία γραμμή.
Το μηδενικό διάνυσμα είναι συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα.
Θεώρημα 1.Δύο μη μηδενικά διανύσματα και συγγραμμική, όταν είναι αναλογικά δηλ.
= κ , κ - βαθμωτό μέγεθος.
Def. 12.Τρία διανύσματα , , ονομάζονται ομοεπίπεδη αν είναι παράλληλα με κάποιο επίπεδο ή βρίσκονται σε αυτό.
Θεώρημα 2.Τρία μη μηδενικά διανύσματα, ομοεπίπεδη, όταν ένα από αυτά είναι γραμμικός συνδυασμός των άλλων δύο, δηλ.
= κ + μεγάλο , κ , μεγάλο - σκαλοπάτια.
Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα.
Θεώρημα 3.Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα (κατευθυνόμενη γραμμή) μεγάλοείναι ίσο με το γινόμενο του μήκους του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του διανύσματος και της διεύθυνσης του άξονα, δηλ. = ένα ντο os , = ( , μεγάλο).
2. ΔΙΑΝΥΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΤΟΝΤΙΚΕΣ
Def. 13.Διανυσματικές προβολές σε άξονες συντεταγμένων Ω, OU, Οζπου ονομάζεται διανυσματικές συντεταγμένες. Ονομασία: ένα Χ , ένα y , ένα z .
Μήκος διανύσματος: 
Παράδειγμα:Υπολογίστε το μήκος του διανύσματος .
Λύση:
Απόσταση μεταξύ σημείων 
Και 
υπολογίζεται με τον τύπο: .
Παράδειγμα:Βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων Μ (2,3,-1) και Κ (4,5,2).
Ενέργειες σε διανύσματα σε μορφή συντεταγμένων.
Δοσμένα διανύσματα = ένα Χ , ένα y , ένα z και = σι Χ , σι y , σι z .
1. ( )= ένα Χ σι Χ , ένα y σι y , ένα z σι z .
2. = ένα Χ , ένα y , ένα z, όπου - βαθμωτό μέγεθος.
Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων.
Ορισμός:Κάτω από το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων και
ο αριθμός είναι κατανοητός ίσο με το γινόμενοτα μήκη αυτών των διανυσμάτων κατά το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας, δηλ. = , - γωνία μεταξύ διανυσμάτων και .
Ιδιότητες προϊόντος με κουκκίδες:
1. =
2. ( + ) =
3.
4.
5. , όπου είναι τα σκαλοπάτια.
6. δύο διανύσματα είναι κάθετα (ορθογώνια) αν .
7. αν και μόνο αν 
.
Το κλιμακωτό γινόμενο σε μορφή συντεταγμένων έχει τη μορφή: 
,
πού και .
Παράδειγμα:Βρείτε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων και
Λύση:
Διάνυσμα κρατώντας διανύσματα.
Ορισμός: Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων και νοείται ως διάνυσμα για το οποίο:
Το δομοστοιχείο είναι ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που βασίζεται σε αυτά τα διανύσματα, δηλ. 
, όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και
Αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στα πολλαπλασιασμένα διανύσματα, δηλ.
Εάν τα διανύσματα είναι μη συγγραμμικά, τότε σχηματίζουν ένα δεξιό τρίποντο διανυσμάτων.
Διασταυρούμενες ιδιότητες προϊόντων:
1. Όταν αλλάζει η σειρά των παραγόντων, το διανυσματικό γινόμενο αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο, διατηρώντας τη μονάδα, δηλ. 
2 .Το διάνυσμα τετράγωνο ισούται με μηδενικό διάνυσμα, δηλ.
3
.Ο βαθμωτός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του γινομένου του διανύσματος, δηλ. 
4
.Για οποιαδήποτε τρία διανύσματα, η ισότητα 
5 .Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη συγγραμμικότητα δύο διανυσμάτων και :
Διάνυσμα προϊόν σε μορφή συντεταγμένων.
Αν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων και , τότε το διανυσματικό γινόμενο τους βρίσκεται με τον τύπο:
.
Στη συνέχεια, από τον ορισμό ενός διασταυρούμενου γινομένου προκύπτει ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα και υπολογίζεται από τον τύπο:
Παράδειγμα:Υπολογίστε το εμβαδόν ενός τριγώνου με κορυφές (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).
Λύση: 
.
Τότε το εμβαδόν του τριγώνου ABC θα υπολογιστεί ως εξής:
,
Μικτό γινόμενο διανυσμάτων.
Ορισμός:Ένα μικτό (διανυσματικό-κλιμακωτό) γινόμενο διανυσμάτων είναι ένας αριθμός που καθορίζεται από τον τύπο: 
.
Μικτές ιδιότητες προϊόντος:
1.
Το μικτό προϊόν δεν αλλάζει με μια κυκλική μετάθεση των παραγόντων του, δηλ. 
.
2. Όταν ανταλλάσσονται δύο γειτονικοί παράγοντες, το μικτό προϊόν αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο, δηλ. .
3 .Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη τρία διανύσματα να είναι συνεπίπεδα : =0.
4 .Το μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι ίσο με τον όγκο του παραλληλεπίπεδου που χτίζεται σε αυτά τα διανύσματα, λαμβανόμενο με πρόσημο συν αν αυτά τα διανύσματα σχηματίζουν δεξιό τριπλό και με αρνητικό πρόσημο αν σχηματίζουν αριστερό τριπλό, δηλ. .
Αν είναι γνωστό συντεταγμένεςφορείς ,
τότε το μικτό προϊόν βρίσκεται με τον τύπο: 
Παράδειγμα:Να υπολογίσετε το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων.
Λύση: 
3. Βάση του συστήματος των διανυσμάτων.
Ορισμός.Ένα σύστημα διανυσμάτων νοείται ως πολλά διανύσματα που ανήκουν στον ίδιο χώρο R.
Σχόλιο.Αν το σύστημα αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό διανυσμάτων, τότε αυτά συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με διαφορετικούς δείκτες.
Παράδειγμα. 
Ορισμός. Οποιοδήποτε διάνυσμα της μορφής = 
ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων. Οι αριθμοί είναι οι συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού.
Παράδειγμα. 
.
Ορισμός. Αν το διάνυσμα είναι γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων , τότε λέμε ότι το διάνυσμα εκφράζεται γραμμικά ως προς τα διανύσματα .
Ορισμός.Το σύστημα των διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητη, εάν κανένα από τα διανύσματα του συστήματος δεν μπορεί να είναι ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων διανυσμάτων. Διαφορετικά, το σύστημα ονομάζεται γραμμικά εξαρτημένο.
Παράδειγμα. Διανυσματικό σύστημα 
γραμμικά εξαρτώμενο, αφού το διάνυσμα 
.
Ορισμός βάσης.Ένα σύστημα διανυσμάτων αποτελεί τη βάση εάν:
1) είναι γραμμικά ανεξάρτητο,
2) οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου διαμέσου αυτού εκφράζεται γραμμικά.
Παράδειγμα 1Βάση χώρου: .
2.
Στο σύστημα των διανυσμάτων 
διανύσματα είναι η βάση: , επειδή 
γραμμικά εκφρασμένο σε διανύσματα .
Σχόλιο.Για να βρείτε τη βάση ενός δεδομένου συστήματος διανυσμάτων, πρέπει:
1) γράψτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων στον πίνακα,
2) χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, φέρτε τον πίνακα σε τριγωνική μορφή,
3) μη μηδενικές σειρές του πίνακα θα είναι η βάση του συστήματος,
4) ο αριθμός των διανυσμάτων στη βάση είναι ίσος με την κατάταξη του πίνακα.
Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης προβλημάτων στερεομετρίας
Το πρώτο - κλασικό - απαιτεί άριστη γνώση των αξιωμάτων και των θεωρημάτων της στερεομετρίας, της λογικής, της ικανότητας κατασκευής σχεδίου και αναγωγής ενός τρισδιάστατου προβλήματος σε επιπεδομετρικό. Η μέθοδος είναι καλή γιατί αναπτύσσει εγκεφάλους και χωρική φαντασία.
Μια άλλη μέθοδος είναι η χρήση διανυσμάτων και συντεταγμένων. Αυτό απλοί τύποι, αλγόριθμους και κανόνες. Είναι πολύ βολικό, ειδικά όταν υπάρχει λίγος χρόνος πριν από την εξέταση, αλλά θέλετε να λύσετε το πρόβλημα.
Εάν το έχετε κατακτήσει, τότε θα καταλάβετε τα διανύσματα στο διάστημα. Πολλές έννοιες θα είναι γνωστές.
Σύστημα συντεταγμένων στο διάστημα
Ας επιλέξουμε την προέλευση των συντεταγμένων. Ας σχεδιάσουμε τρεις αμοιβαία κάθετους άξονες X, Y και Z. Ας ορίσουμε μια βολική κλίμακα.
Αποκαλύφθηκε ότι σύστημα συντεταγμένωνσε τρισδιάστατο χώρο. Τώρα κάθε σημείο του χαρακτηρίζεται από τρεις αριθμούς - συντεταγμένες στα X, Y και Z. Για παράδειγμα, η καταχώρηση M(−1; 3; 2) σημαίνει ότι η συντεταγμένη του σημείου M στο X (τετμημένη) είναι −1, η η συντεταγμένη στο Y (τεταγμένη) είναι ίση με 3 και η συντεταγμένη Z (εφαρμογή) είναι 2.
Τα διανύσματα στο χώρο ορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως στο επίπεδο. Αυτά είναι κατευθυνόμενα τμήματα που έχουν αρχή και τέλος. Μόνο στο διάστημα το διάνυσμα δίνεται από τρεις συντεταγμένες x, yΚαι z:
Πώς να βρείτε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος; Όπως και στο επίπεδο, αφαιρούμε τη συντεταγμένη έναρξης από τη συντεταγμένη τέλους.
Το μήκος ενός διανύσματος στο χώρο είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β. Βρίσκεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του διανύσματος.
Έστω σημείο Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. Οι συντεταγμένες του βρίσκονται με τον τύπο:
Για να προσθέσουμε διανύσματα, χρησιμοποιούμε τον ήδη γνωστό κανόνα του τριγώνου και τον κανόνα του παραλληλογράμμου.
Το άθροισμα των διανυσμάτων, η διαφορά τους, το γινόμενο ενός διανύσματος με έναν αριθμό και το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων ορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως στο επίπεδο. Μόνο οι συντεταγμένες δεν είναι δύο, αλλά τρεις. Ας πάρουμε διανύσματα και .
Άθροισμα διανυσμάτων:
Διανυσματική διαφορά:
Το γινόμενο ενός διανύσματος με έναν αριθμό:
Το γινόμενο κουκίδων των διανυσμάτων:
Συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων:
Ο τελευταίος τύπος είναι βολικός για την εύρεση της γωνίας μεταξύ των γραμμών στο διάστημα. Ειδικά αν αυτές οι γραμμές τέμνονται. Θυμηθείτε ότι αυτό είναι το όνομα που δίνεται σε γραμμές που δεν είναι παράλληλες και δεν τέμνονται. Βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα.
1. Στον κύβο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 σημεία E και K είναι τα μέσα των ακμών A 1 B 1 και B 1 C 1 αντίστοιχα. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των ευθειών ΑΕ και ΒΚ.
Εάν έχετε έναν κύβο, τότε είστε τυχεροί. Ταιριάζει τέλεια σε ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες. Κατασκευή σχεδίου:
Το μήκος της άκρης του κύβου δεν δίνεται. Όποια και αν είναι, η γωνία μεταξύ ΑΕ και ΒΚ δεν εξαρτάται από αυτήν. Ας πάρουμε λοιπόν έναν μοναδιαίο κύβο, του οποίου όλες οι άκρες είναι ίσες με 1.
Απευθείας ΑΕ και ΒΚ - σταυρός. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και . Αυτό απαιτεί τις συντεταγμένες τους.
Ας γράψουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων:
και βρείτε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων και :
2. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα SABCD, της οποίας όλες οι ακμές είναι ίσες με 1, τα σημεία E, K είναι τα μέσα των ακμών SB και SC, αντίστοιχα. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των ευθειών ΑΕ και ΒΚ.
Είναι καλύτερο να επιλέξετε την αρχή στο κέντρο της βάσης της πυραμίδας και να κάνετε τους άξονες X και Y παράλληλους με τις πλευρές της βάσης.
Οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ είναι εύκολο να βρεθούν:
Από ορθογώνιο τρίγωνοεύρεση AOS
Συντεταγμένες κορυφής πυραμίδας:
Το σημείο Ε είναι το μέσο του SB και το Κ το μέσο του SC. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος και ας βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων Ε και Κ.
Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και
και η γωνία μεταξύ τους:
Ας δείξουμε τώρα πώς να εγγράψουμε το σύστημα συντεταγμένων σε ένα τριγωνικό πρίσμα:
3. Σε ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα ABCA 1 B 1 C 1 , του οποίου όλες οι ακμές είναι ίσες με 1, το σημείο D είναι το μέσο της ακμής A 1 B 1 . Βρείτε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των ευθειών AD και BC 1
Έστω το σημείο Α η προέλευση. Ας πάρουμε τον άξονα Χ παράλληλο προς την πλευρά BC, και τον άξονα Υ κάθετο σε αυτόν. Με άλλα λόγια, το τμήμα AH θα βρίσκεται στον άξονα Y, που είναι το ύψος του τριγώνου ABC. Σχεδιάστε χωριστά την κάτω βάση του πρίσματος.
Ας γράψουμε τις συντεταγμένες των σημείων:
Το σημείο D είναι το μέσο του A 1 B 1 . Έτσι, χρησιμοποιούμε τους τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου σημείου
τμήμα.
Βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και και στη συνέχεια τη γωνία μεταξύ τους:
Δείτε πόσο εύκολο είναι να βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών χρησιμοποιώντας διανύσματα και συντεταγμένες. Και αν θέλετε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων ή μεταξύ μιας γραμμής και ενός επιπέδου; Για να λύσουμε τέτοια προβλήματα, χρειαζόμαστε την εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα.
Ένα επίπεδο στο διάστημα δίνεται από την εξίσωση:
Εδώ οι αριθμοί A, B και C είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος κάθετου σε αυτό το επίπεδο. Ονομάζεται κανονική προς το αεροπλάνο.
Αντί για x, y και z, μπορείτε να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει σε αυτό το επίπεδο στην εξίσωση. Αποκτήστε τη σωστή ισορροπία.
Ένα επίπεδο στο διάστημα μπορεί να σχεδιαστεί μέσω οποιωνδήποτε τριών σημείων που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Επομένως, για να γράψουμε την εξίσωση ενός επιπέδου, παίρνουμε τις συντεταγμένες των τριών σημείων που ανήκουν σε αυτό. Τα αντικαθιστούμε με τη σειρά τους στην εξίσωση του επιπέδου. Λύνουμε το σύστημα που προκύπτει.
Ας δείξουμε πώς γίνεται.
Ας γράψουμε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) και K (4; 1; 2).
Η εξίσωση του επιπέδου μοιάζει με αυτό:
Αντικαταστήστε με τη σειρά τις συντεταγμένες των σημείων Μ, Ν και Κ.
Για το σημείο Μ:
Δηλαδή, A + C + D = 0.
Για το σημείο Ν:
Ομοίως για το σημείο Κ:
Έχουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων:
Υπάρχουν τέσσερα άγνωστα σε αυτό: Α, Β, Γ και Δ. Επομένως, θα επιλέξουμε μόνοι μας ένα από αυτά, και θα εκφράσουμε τους άλλους μέσω αυτού. Ο κανόνας είναι απλός - αντί για μία από τις μεταβλητές, μπορείτε να πάρετε οποιονδήποτε αριθμό δεν είναι ίσος με μηδέν.
Έστω, για παράδειγμα, D = −2. Επειτα:
Εκφράστε τα C και B ως προς το Α και αντικαταστήστε την στην τρίτη εξίσωση:
Επιλύοντας το σύστημα, παίρνουμε:
Η εξίσωση επιπέδου MNK έχει τη μορφή:
Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με −3. Τότε οι συντελεστές γίνονται ακέραιοι:
Το διάνυσμα είναι το κανονικό στο επίπεδο MNK.
Εξίσωση αεροπλάνου που διέρχεται δεδομένο σημείομοιάζει με:
Γωνία μεταξύ των επιπέδων ίσο με τη γωνίαμεταξύ των κανονικών σε αυτά τα επίπεδα:
Δεν είναι μια γνωστή φόρμουλα; Το κλιμακωτό γινόμενο των κανονικών διαιρέθηκε με το γινόμενο των μηκών τους.
Σημειώστε ότι όταν δύο επίπεδα τέμνονται, στην πραγματικότητα σχηματίζονται τέσσερις γωνίες.
Παίρνουμε το μικρότερο. Επομένως, ο τύπος περιέχει το μέτρο του βαθμωτού γινομένου - έτσι ώστε το συνημίτονο της γωνίας να είναι μη αρνητικό.
4. Στον κύβο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 σημεία E και F είναι τα μέσα των ακμών A 1 B 1 και A 1 D 1 αντίστοιχα. Να βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ των επιπέδων AEF και BDD 1 .
Χτίζουμε ένα σχέδιο. Μπορεί να φανεί ότι τα επίπεδα AEF και BDD 1 τέμνονται κάπου έξω από τον κύβο. Στην κλασική λύση, θα έπρεπε κανείς να χτίσει μια γραμμή της τομής τους. Αλλά η μέθοδος διανύσματος-συντεταγμένων απλοποιεί πολύ τα πάντα. Ας μην μπερδεύουμε τη γραμμή κατά την οποία τέμνονται τα επίπεδα. Απλώς σημειώστε τις συντεταγμένες των σημείων που χρειαζόμαστε και βρείτε τη γωνία μεταξύ των κανονικών προς τα επίπεδα AEF και BDD 1 .
Πρώτον - το κανονικό στο επίπεδο BDD 1 . Φυσικά, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες των σημείων Β, Δ και Δ 1 στην εξίσωση του επιπέδου και να βρούμε τους συντελεστές, που θα είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος. Και μπορούμε να το κάνουμε πιο πονηρά - δείτε το επιθυμητό κανονικό ακριβώς πάνω στο σχέδιο. Εξάλλου, το επίπεδο BDD 1 είναι μια διαγώνια τομή ενός κύβου. Το διάνυσμα είναι κάθετο σε αυτό το επίπεδο.
Έτσι, έχουμε ήδη το πρώτο κανονικό διάνυσμα:
Ας γράψουμε την εξίσωση του επιπέδου AEF.
Παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου και αντικαθιστούμε με τη σειρά του, αντί για x, y και z, τις αντίστοιχες συντεταγμένες των σημείων A, E και F.
Ας απλοποιήσουμε το σύστημα:
Έστω C = -1. Τότε Α = Β = 2.
Εξίσωση επιπέδου AEF:
Κανονικό για αεροπλάνο AEF:
Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων:
5. Η βάση ενός ορθογώνιου τετραγωνικού πρίσματος BCDA 1 B 1 C 1 D 1 είναι ένα ορθογώνιο ABCD, στο οποίο AB = 5, AD = √33. Βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του επιπέδου της όψης AA 1 D 1 D και του επιπέδου που διέρχεται από το μέσο της ακμής CD που είναι κάθετο στην ευθεία B 1 D αν η απόσταση μεταξύ των ευθειών A 1 C 1 και BD είναι √3 .
Αυτή η εργασία δείχνει ξεκάθαρα πόσο απλούστερη είναι η διανυσματική μέθοδος από την κλασική. Προσπαθήστε, για μια αλλαγή, να δημιουργήσετε τα απαραίτητα τμήματα και να εκτελέσετε όλες τις αποδείξεις - όπως γίνεται στα "κλασικά" :-)
Χτίζουμε ένα σχέδιο. Ένα ορθογώνιο τετράγωνο πρίσμα μπορεί να ονομαστεί «παραλληλεπίπεδο» με άλλο τρόπο.
Παρατηρούμε ότι έχουμε το μήκος και το πλάτος του παραλληλεπιπέδου, αλλά το ύψος φαίνεται να μην δίνεται. Πώς να τη βρεις;
"Η απόσταση μεταξύ των γραμμών A 1 C 1 και BD είναι √3". Οι ευθείες A 1 C 1 και BD τέμνονται. Το ένα από αυτά είναι η διαγώνιος της άνω βάσης, το άλλο είναι η διαγώνιος της κάτω. Θυμηθείτε ότι η απόσταση μεταξύ τεμνόμενων ευθειών είναι ίση με το μήκος της κοινής τους καθέτου. Η κοινή κάθετη στο A 1 C 1 και στο BD είναι προφανώς OO 1 , όπου O είναι το σημείο τομής των διαγωνίων της κάτω βάσης, O 1 είναι το σημείο τομής των διαγωνίων της άνω. Και το τμήμα OO 1 και ίσο με το ύψοςπαραλληλεπίπεδο.
Άρα, AA 1 = √3
Το επίπεδο AA 1 D 1 D είναι η πίσω όψη του πρίσματος στο σχέδιό μας. Το κανονικό σε αυτό είναι κάθε διάνυσμα που είναι κάθετο στο πίσω μέρος, όπως ένα διάνυσμα ή, πιο απλά, ένα διάνυσμα.
Παραμένει «ένα επίπεδο που διέρχεται από το μέσο της ακμής CD κάθετο προς την ευθεία B 1 D». Αλλά αν το επίπεδο είναι κάθετο στην ευθεία B 1 D, τότε το B 1 D είναι το κανονικό σε αυτό το επίπεδο! Οι συντεταγμένες των σημείων Β 1 και Δ είναι γνωστές:
Διανυσματικές συντεταγμένες - επίσης.