Κάποιος αντιμετωπίζει τη λέξη «πρόοδος» με προσοχή, ως έναν πολύ σύνθετο όρο από τις ενότητες των ανώτερων μαθηματικών. Εν τω μεταξύ, η απλούστερη αριθμητική πρόοδος είναι η εργασία του γκισέ ταξί (όπου παραμένουν ακόμα). Και πάρτε την ουσία (και δεν υπάρχει τίποτα πιο σημαντικό στα μαθηματικά από το "να καταλάβετε την ουσία") αριθμητική ακολουθίαΔεν είναι τόσο δύσκολο όταν καταλάβετε μερικές βασικές έννοιες.
Μαθηματική ακολουθία αριθμών
Είναι σύνηθες να ονομάζουμε μια αριθμητική ακολουθία μια σειρά αριθμών, καθένας από τους οποίους έχει τον δικό του αριθμό.
και 1 είναι το πρώτο μέλος της ακολουθίας.
και 2 είναι το δεύτερο μέλος της ακολουθίας.
και το 7 είναι το έβδομο μέλος της ακολουθίας.
και το n είναι το ντο μέλος της ακολουθίας.
Ωστόσο, κανένα αυθαίρετο σύνολο αριθμών και αριθμών δεν μας ενδιαφέρει. Θα εστιάσουμε την προσοχή μας σε μια αριθμητική ακολουθία στην οποία η τιμή του n-ου μέλους σχετίζεται με τον τακτικό του αριθμό με μια εξάρτηση που μπορεί να διατυπωθεί καθαρά μαθηματικά. Με άλλα λόγια: η αριθμητική τιμή του nου αριθμού είναι κάποια συνάρτηση του n.
α - τιμή ενός μέλους της αριθμητικής ακολουθίας.
n - του σειριακός αριθμός;
Η f(n) είναι μια συνάρτηση όπου η τακτική στην αριθμητική ακολουθία n είναι το όρισμα.
Ορισμός
Μια αριθμητική πρόοδος ονομάζεται συνήθως μια αριθμητική ακολουθία στην οποία κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος (μικρότερος) από τον προηγούμενο κατά τον ίδιο αριθμό. Ο τύπος για το ντο μέλος μιας αριθμητικής ακολουθίας είναι ο εξής:
a n - η τιμή του τρέχοντος μέλους της αριθμητικής προόδου.
a n+1 - ο τύπος του επόμενου αριθμού.
δ - διαφορά (ορισμένος αριθμός).
Είναι εύκολο να προσδιοριστεί ότι εάν η διαφορά είναι θετική (d>0), τότε κάθε επόμενο μέλος της υπό εξέταση σειράς θα είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο και μια τέτοια αριθμητική πρόοδος θα αυξάνεται.
Στο παρακάτω γράφημα, είναι εύκολο να καταλάβουμε γιατί η αριθμητική ακολουθία ονομάζεται "αύξηση".
Σε περιπτώσεις που η διαφορά είναι αρνητική (δ<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Η τιμή του καθορισμένου μέλους
Μερικές φορές είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η τιμή κάποιου αυθαίρετου όρου a n μιας αριθμητικής προόδου. Μπορείτε να το κάνετε αυτό υπολογίζοντας διαδοχικά τις τιμές όλων των μελών της αριθμητικής προόδου, από το πρώτο στο επιθυμητό. Ωστόσο, αυτός ο τρόπος δεν είναι πάντα αποδεκτός εάν, για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή του πέντε χιλιοστού ή του οκτώ εκατομμυριοστού όρου. Ο παραδοσιακός υπολογισμός θα πάρει πολύ χρόνο. Ωστόσο, μια συγκεκριμένη αριθμητική πρόοδος μπορεί να διερευνηθεί χρησιμοποιώντας ορισμένους τύπους. Υπάρχει επίσης ένας τύπος για τον nο όρο: η τιμή οποιουδήποτε μέλους μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να προσδιοριστεί ως το άθροισμα του πρώτου μέλους της προόδου με τη διαφορά της προόδου, πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό του επιθυμητού μέλους, μείον ένα .
Η φόρμουλα είναι καθολική για την αύξηση και τη μείωση της εξέλιξης.
Ένα παράδειγμα υπολογισμού της τιμής ενός δεδομένου μέλους
Ας λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα εύρεσης της τιμής του ν-ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου.
Προϋπόθεση: υπάρχει μια αριθμητική πρόοδος με παραμέτρους:
Το πρώτο μέλος της ακολουθίας είναι 3.
Η διαφορά στη σειρά αριθμών είναι 1,2.
Εργασία: είναι απαραίτητο να βρείτε την τιμή 214 όρων
Λύση: για να προσδιορίσουμε την τιμή ενός δεδομένου μέλους, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
a(n) = a1 + d(n-1)
Αντικαθιστώντας τα δεδομένα από τη δήλωση προβλήματος στην έκφραση, έχουμε:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Απάντηση: Το 214ο μέλος της ακολουθίας ισούται με 258,6.
Τα πλεονεκτήματα αυτής της μεθόδου υπολογισμού είναι προφανή - ολόκληρη η λύση δεν διαρκεί περισσότερες από 2 γραμμές.
Άθροισμα δεδομένου αριθμού μελών
Πολύ συχνά, σε μια δεδομένη αριθμητική σειρά, απαιτείται να προσδιοριστεί το άθροισμα των τιμών ορισμένων τμημάτων της. Επίσης, δεν χρειάζεται να υπολογίσει τις τιμές κάθε όρου και στη συνέχεια να τις συνοψίσει. Αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται εάν ο αριθμός των όρων των οποίων το άθροισμα πρέπει να βρεθεί είναι μικρός. Σε άλλες περιπτώσεις, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο.
Το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου από το 1 στο n είναι ίσο με το άθροισμα του πρώτου και του nου μέλους, πολλαπλασιασμένο με τον αριθμό μέλους n και διαιρούμενο με δύο. Αν στον τύπο η τιμή του ν-ου μέλους αντικατασταθεί από την έκφραση της προηγούμενης παραγράφου του άρθρου, παίρνουμε:
Παράδειγμα υπολογισμού
Για παράδειγμα, ας λύσουμε ένα πρόβλημα με τις ακόλουθες συνθήκες:
Ο πρώτος όρος της ακολουθίας είναι μηδέν.
Η διαφορά είναι 0,5.
Στο πρόβλημα, απαιτείται να προσδιοριστεί το άθροισμα των όρων της σειράς από 56 έως 101.
Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον προσδιορισμό του αθροίσματος της προόδου:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Αρχικά, προσδιορίζουμε το άθροισμα των τιμών των 101 μελών της προόδου αντικαθιστώντας τις δεδομένες συνθήκες του προβλήματός μας στον τύπο:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Προφανώς, για να βρούμε το άθροισμα των όρων της προόδου από το 56ο στο 101ο, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε το S 55 από το S 101.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Άρα το άθροισμα της αριθμητικής προόδου για αυτό το παράδειγμα είναι:
s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5
Παράδειγμα πρακτικής εφαρμογής της αριθμητικής προόδου
Στο τέλος του άρθρου, ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα της αριθμητικής ακολουθίας που δίνεται στην πρώτη παράγραφο - ένα ταξίμετρο (μετρητής αυτοκινήτου ταξί). Ας εξετάσουμε ένα τέτοιο παράδειγμα.
Η είσοδος σε ταξί (το οποίο περιλαμβάνει 3 χλμ.) κοστίζει 50 ρούβλια. Κάθε επόμενο χιλιόμετρο καταβάλλεται με ρυθμό 22 ρούβλια / km. Απόσταση διαδρομής 30 χλμ. Υπολογίστε το κόστος του ταξιδιού.
1. Ας πετάξουμε τα πρώτα 3 χλμ, η τιμή των οποίων περιλαμβάνεται στο κόστος προσγείωσης.
30 - 3 = 27 χλμ.
2. Ο περαιτέρω υπολογισμός δεν είναι τίποτα άλλο από την ανάλυση μιας αριθμητικής σειράς αριθμών.
Ο αριθμός μέλους είναι ο αριθμός των χιλιομέτρων που διανύθηκαν (μείον τα τρία πρώτα).
Η αξία του μέλους είναι το άθροισμα.
Ο πρώτος όρος σε αυτό το πρόβλημα θα είναι ίσος με 1 = 50 ρούβλια.
Διαφορά προόδου d = 22 p.
ο αριθμός που μας ενδιαφέρει - η τιμή του (27 + 1) μέλους της αριθμητικής προόδου - η ένδειξη του μετρητή στο τέλος του 27ου χιλιομέτρου - 27.999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Οι υπολογισμοί των δεδομένων ημερολογίου για μια αυθαίρετα μεγάλη περίοδο βασίζονται σε τύπους που περιγράφουν ορισμένες αριθμητικές ακολουθίες. Στην αστρονομία, το μήκος της τροχιάς εξαρτάται γεωμετρικά από την απόσταση του ουράνιου σώματος από το φωτιστικό. Επιπλέον, διάφορες αριθμητικές σειρές χρησιμοποιούνται με επιτυχία στη στατιστική και σε άλλους εφαρμοσμένους κλάδους των μαθηματικών.
Ένα άλλο είδος ακολουθίας αριθμών είναι η γεωμετρική
Μια γεωμετρική πρόοδος χαρακτηρίζεται από μεγάλο, σε σύγκριση με έναν αριθμητικό, ρυθμό μεταβολής. Δεν είναι τυχαίο ότι στην πολιτική, την κοινωνιολογία, την ιατρική, συχνά, για να δείξουν την υψηλή ταχύτητα εξάπλωσης ενός συγκεκριμένου φαινομένου, για παράδειγμα, μιας ασθένειας κατά τη διάρκεια μιας επιδημίας, λένε ότι η διαδικασία αναπτύσσεται σε γεωμετρική πρόοδος.
Το Ν-ο μέλος της σειράς γεωμετρικών αριθμών διαφέρει από το προηγούμενο στο ότι πολλαπλασιάζεται με κάποιο σταθερό αριθμό - ο παρονομαστής, για παράδειγμα, το πρώτο μέλος είναι 1, ο παρονομαστής είναι 2, αντίστοιχα, τότε:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - η τιμή του τρέχοντος μέλους της γεωμετρικής προόδου.
b n+1 - ο τύπος του επόμενου μέλους της γεωμετρικής προόδου.
q είναι ο παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου (σταθερός αριθμός).
Εάν η γραφική παράσταση μιας αριθμητικής προόδου είναι ευθεία γραμμή, τότε η γεωμετρική σχεδιάζει μια ελαφρώς διαφορετική εικόνα:
Όπως και στην περίπτωση της αριθμητικής, μια γεωμετρική πρόοδος έχει έναν τύπο για την τιμή ενός αυθαίρετου μέλους. Οποιοσδήποτε ν-ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσος με το γινόμενο του πρώτου όρου και ο παρονομαστής της προόδου στη δύναμη του n μειωμένη κατά ένα:
Παράδειγμα. Έχουμε μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο ίσο με 3 και τον παρονομαστή της προόδου ίσο με 1,5. Βρείτε τον 5ο όρο της προόδου
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875
Το άθροισμα ενός δεδομένου αριθμού μελών υπολογίζεται επίσης χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο. Το άθροισμα των πρώτων n μελών μιας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ του γινόμενου του n ου μέλους της προόδου και του παρονομαστή της και του πρώτου μέλους της προόδου, διαιρούμενο με τον παρονομαστή μειωμένο κατά ένα:
Εάν το b n αντικατασταθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο που συζητήθηκε παραπάνω, η τιμή του αθροίσματος των πρώτων n μελών της εξεταζόμενης σειράς αριθμών θα λάβει τη μορφή:
Παράδειγμα. Η γεωμετρική πρόοδος ξεκινά με τον πρώτο όρο ίσο με 1. Ο παρονομαστής τίθεται ίσος με 3. Ας βρούμε το άθροισμα των πρώτων οκτώ όρων.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Για παράδειγμα, η ακολουθία \(2\); \(5\); \(8\); \(έντεκα\); Το \(14\)… είναι μια αριθμητική πρόοδος, επειδή κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τρία (μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο προσθέτοντας τρία):
Σε αυτή την εξέλιξη, η διαφορά \(d\) είναι θετική (ίση με \(3\)), και επομένως κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Τέτοιες προόδους ονομάζονται αυξανόμενη.
Ωστόσο, το \(d\) μπορεί επίσης να είναι αρνητικός αριθμός. Για παράδειγμα, σε αριθμητική πρόοδο \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… η διαφορά προόδου \(d\) είναι ίση με μείον έξι.
Και σε αυτήν την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο θα είναι μικρότερο από το προηγούμενο. Αυτές οι προόδους ονομάζονται μειώνεται.
Σημειογραφία αριθμητικής προόδου
Η πρόοδος υποδηλώνεται με ένα μικρό λατινικό γράμμα.
Οι αριθμοί που σχηματίζουν μια πρόοδο ονομάζονται μέλη(ή στοιχεία).
Συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με την αριθμητική πρόοδο, αλλά με αριθμητικό δείκτη ίσο με τον αριθμό του στοιχείου κατά σειρά.
Για παράδειγμα, η αριθμητική πρόοδος \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) αποτελείται από τα στοιχεία \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) και ούτω καθεξής.
Με άλλα λόγια, για την εξέλιξη \(a_n = \αριστερά\(2; 5; 8; 11; 14…\δεξιά\)\)
Επίλυση προβλημάτων με αριθμητική πρόοδο
Κατ' αρχήν, οι παραπάνω πληροφορίες είναι ήδη αρκετές για να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα σε μια αριθμητική πρόοδο (συμπεριλαμβανομένων αυτών που προσφέρονται στο OGE).
Παράδειγμα (OGE).
Αριθμητική πρόοδοςδίνεται από τις συνθήκες \(b_1=7; d=4\). Βρείτε το \(b_5\).
Λύση:
Απάντηση: \(b_5=23\)
Παράδειγμα (OGE).
Δίνονται οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου: \(62; 49; 36…\) Βρείτε την τιμή του πρώτου αρνητικού όρου αυτής της προόδου..
Λύση:
|
Μας δίνονται τα πρώτα στοιχεία της ακολουθίας και γνωρίζουμε ότι είναι μια αριθμητική πρόοδος. Δηλαδή, κάθε στοιχείο διαφέρει από το διπλανό του κατά τον ίδιο αριθμό. Βρείτε ποιο αφαιρώντας το προηγούμενο από το επόμενο στοιχείο: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Τώρα μπορούμε να επαναφέρουμε την πρόοδό μας στο επιθυμητό (πρώτο αρνητικό) στοιχείο. |
|
|
Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση. |
Απάντηση: \(-3\)
Παράδειγμα (OGE).
Δίνονται πολλά διαδοχικά στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου: \(...5; x; 10; 12,5...\) Βρείτε την τιμή του στοιχείου που συμβολίζεται με το γράμμα \(x\).
Λύση:
|
|
Για να βρούμε το \(x\), πρέπει να ξέρουμε πόσο διαφέρει το επόμενο στοιχείο από το προηγούμενο, με άλλα λόγια, τη διαφορά προόδου. Ας το βρούμε από δύο γνωστά γειτονικά στοιχεία: \(d=12,5-10=2,5\). |
|
|
Και τώρα βρίσκουμε αυτό που ψάχνουμε χωρίς κανένα πρόβλημα: \(x=5+2,5=7,5\). |
|
|
Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση. |
Απάντηση: \(7,5\).
Παράδειγμα (OGE).
Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις ακόλουθες συνθήκες: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Βρείτε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων αυτής της προόδου.
Λύση:
|
Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων της προόδου. Όμως δεν γνωρίζουμε τις έννοιές τους, μας δίνεται μόνο το πρώτο στοιχείο. Επομένως, υπολογίζουμε πρώτα τις τιμές με τη σειρά, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που μας δίνονται: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Το ποσό που ζητήθηκε βρέθηκε. |
Απάντηση: \(S_6=9\).
Παράδειγμα (OGE).
Σε αριθμητική πρόοδο \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Βρείτε τη διαφορά αυτής της εξέλιξης.
Λύση:
Απάντηση: \(d=7\).
Σημαντικοί τύποι αριθμητικής προόδου
Όπως μπορείτε να δείτε, πολλά προβλήματα αριθμητικής προόδου μπορούν να λυθούν απλά κατανοώντας το κύριο πράγμα - ότι μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αλυσίδα αριθμών και κάθε επόμενο στοιχείο σε αυτήν την αλυσίδα προκύπτει προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό στον προηγούμενο (η διαφορά της προόδου).
Ωστόσο, μερικές φορές υπάρχουν καταστάσεις που είναι πολύ άβολο να λυθεί "στο μέτωπο". Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι στο πρώτο παράδειγμα, δεν χρειάζεται να βρούμε το πέμπτο στοιχείο \(b_5\), αλλά το τριακόσιο ογδόντα έκτο \(b_(386)\). Τι είναι, εμείς \ (385 \) φορές να προσθέσουμε τέσσερις; Ή φανταστείτε ότι στο προτελευταίο παράδειγμα, πρέπει να βρείτε το άθροισμα των πρώτων εβδομήντα τριών στοιχείων. Το μέτρημα είναι μπερδεμένο...
Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν λύνονται "στο μέτωπο", αλλά χρησιμοποιούν ειδικούς τύπους που προέρχονται για αριθμητική πρόοδο. Και οι κυριότεροι είναι ο τύπος για τον nο όρο της προόδου και ο τύπος για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων.
Τύπος για το \(n\)ο μέλος: \(a_n=a_1+(n-1)d\), όπου \(a_1\) είναι το πρώτο μέλος της προόδου.
\(n\) – αριθμός του απαιτούμενου στοιχείου.
Το \(a_n\) είναι μέλος της προόδου με τον αριθμό \(n\).
Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε γρήγορα τουλάχιστον το τριακόσιο, ακόμη και το εκατομμυριοστό στοιχείο, γνωρίζοντας μόνο το πρώτο και τη διαφορά προόδου.
Παράδειγμα.
Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Βρείτε το \(b_(246)\).
Λύση:
Απάντηση: \(b_(246)=1850\).
Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων είναι: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), όπου
\(a_n\) είναι ο τελευταίος αθροιστικός όρος.
Παράδειγμα (OGE).
Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες \(a_n=3,4n-0,6\). Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(25\) όρων αυτής της προόδου.
Λύση:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Για να υπολογίσουμε το άθροισμα των πρώτων είκοσι πέντε στοιχείων, πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου και του εικοστού πέμπτου όρου. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Τώρα ας βρούμε τον εικοστό πέμπτο όρο αντικαθιστώντας τον εικοστό πέντε αντί του \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Λοιπόν, τώρα υπολογίζουμε το απαιτούμενο ποσό χωρίς προβλήματα. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Η απάντηση είναι έτοιμη. |
Απάντηση: \(S_(25)=1090\).
Για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων, μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο: απλά πρέπει να \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) αντί για \(a_n\) αντικαταστήστε τον τύπο για αυτό \(a_n=a_1+(n-1)d\). Παίρνουμε:
Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων είναι: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), όπου
\(S_n\) – το απαιτούμενο άθροισμα \(n\) των πρώτων στοιχείων.
Το \(a_1\) είναι ο πρώτος όρος που αθροίζεται.
\(d\) – διαφορά προόδου.
\(n\) - ο αριθμός των στοιχείων στο άθροισμα.
Παράδειγμα.
Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(33\)-ex όρων της αριθμητικής προόδου: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Λύση:
Απάντηση: \(S_(33)=-231\).
Πιο δύσκολα προβλήματα αριθμητικής προόδου
Τώρα έχετε όλες τις πληροφορίες που χρειάζεστε για να λύσετε σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου. Ας ολοκληρώσουμε το θέμα εξετάζοντας προβλήματα στα οποία πρέπει όχι μόνο να εφαρμόσετε τύπους, αλλά και να σκεφτείτε λίγο (στα μαθηματικά, αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο ☺)
Παράδειγμα (OGE).
Βρείτε το άθροισμα όλων των αρνητικών όρων της προόδου: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Λύση:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Η εργασία μοιάζει πολύ με την προηγούμενη. Ξεκινάμε να λύνουμε με τον ίδιο τρόπο: πρώτα βρίσκουμε το \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\) |
Τώρα θα αντικαθιστούσαμε το \(d\) στον τύπο για το άθροισμα ... και εδώ εμφανίζεται μια μικρή απόχρωση - δεν ξέρουμε \(n\). Με άλλα λόγια, δεν ξέρουμε πόσοι όροι θα χρειαστεί να προστεθούν. Πώς να μάθετε; Ας σκεφτούμε. Θα σταματήσουμε να προσθέτουμε στοιχεία όταν φτάσουμε στο πρώτο θετικό στοιχείο. Δηλαδή, πρέπει να μάθετε τον αριθμό αυτού του στοιχείου. Πως? Ας γράψουμε τον τύπο για τον υπολογισμό οποιουδήποτε στοιχείου μιας αριθμητικής προόδου: \(a_n=a_1+(n-1)d\) για την περίπτωσή μας. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\) |
Χρειαζόμαστε το \(a_n\) να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Ας μάθουμε για τι \(n\) θα συμβεί αυτό. |
|
|
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\) |
||
|
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|: 0,3\) |
Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Μεταφέρουμε μείον ένα, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε ταμπέλες |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Χρήση υπολογιστή... |
|
|
\(n>65.333…\) |
…και αποδεικνύεται ότι το πρώτο θετικό στοιχείο θα έχει τον αριθμό \(66\). Αντίστοιχα, το τελευταίο αρνητικό έχει \(n=65\). Για κάθε ενδεχόμενο, ας το τσεκάρουμε. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) |
Επομένως, πρέπει να προσθέσουμε τα πρώτα \(65\) στοιχεία. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Η απάντηση είναι έτοιμη. |
Απάντηση: \(S_(65)=-630,5\).
Παράδειγμα (OGE).
Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Βρείτε το άθροισμα από το \(26\)ο έως το στοιχείο \(42\) συμπεριλαμβανομένου του στοιχείου.
Λύση:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει επίσης να βρείτε το άθροισμα των στοιχείων, αλλά ξεκινώντας όχι από το πρώτο, αλλά από το \(26\)ο. Δεν έχουμε συνταγή για αυτό. Πώς να αποφασίσετε; |
|
|
Για την πρόοδό μας \(a_1=-33\), και τη διαφορά \(d=4\) (εξάλλου, προσθέτουμε τέσσερα στο προηγούμενο στοιχείο για να βρούμε το επόμενο). Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε το άθροισμα των πρώτων \(42\)-uh στοιχείων. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Τώρα το άθροισμα των πρώτων \(25\)-ου στοιχείων. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Και τέλος, υπολογίζουμε την απάντηση. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Απάντηση: \(S=1683\).
Για μια αριθμητική πρόοδο, υπάρχουν αρκετοί ακόμη τύποι που δεν έχουμε εξετάσει σε αυτό το άρθρο λόγω της χαμηλής πρακτικής χρησιμότητάς τους. Ωστόσο, μπορείτε να τα βρείτε εύκολα.
Όταν μελετάτε την άλγεβρα στο σχολείο γενικής εκπαίδευσης(9η τάξη) Ένα από τα σημαντικά θέματα είναι η μελέτη των αριθμητικών ακολουθιών, οι οποίες περιλαμβάνουν προόδους - γεωμετρικές και αριθμητικές. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε μια αριθμητική πρόοδο και παραδείγματα με λύσεις.
Τι είναι μια αριθμητική πρόοδος;
Για να γίνει κατανοητό αυτό, είναι απαραίτητο να δοθεί ένας ορισμός της εξέλιξης που εξετάζουμε, καθώς και να δοθούν οι βασικοί τύποι που θα χρησιμοποιηθούν περαιτέρω στην επίλυση προβλημάτων.
Είναι γνωστό ότι σε κάποια αλγεβρική πρόοδο ο 1ος όρος είναι ίσος με 6 και ο 7ος όρος είναι ίσος με 18. Είναι απαραίτητο να βρούμε τη διαφορά και να επαναφέρουμε αυτή την ακολουθία στον 7ο όρο.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να προσδιορίσουμε τον άγνωστο όρο: a n = (n - 1) * d + a 1 . Αντικαθιστούμε τα γνωστά δεδομένα από τη συνθήκη σε αυτό, δηλαδή τους αριθμούς a 1 και a 7, έχουμε: 18 \u003d 6 + 6 * d. Από αυτήν την έκφραση, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε τη διαφορά: d = (18 - 6) / 6 = 2. Έτσι, απαντήθηκε το πρώτο μέρος του προβλήματος.
Για να επαναφέρετε την ακολουθία στο 7ο μέλος, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ορισμό μιας αλγεβρικής προόδου, δηλαδή, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, και ούτω καθεξής. Ως αποτέλεσμα, επαναφέρουμε ολόκληρη την ακολουθία: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 και 7 = 18.
Παράδειγμα #3: κάνοντας μια εξέλιξη
Ας περιπλέκουμε ακόμη περισσότερο την κατάσταση του προβλήματος. Τώρα πρέπει να απαντήσετε στην ερώτηση πώς να βρείτε μια αριθμητική πρόοδο. μπορεί να οδηγήσει επόμενο παράδειγμα: δίνονται δύο αριθμοί, για παράδειγμα, - 4 και 5. Είναι απαραίτητο να γίνει μια αλγεβρική πρόοδος ώστε να τοποθετηθούν άλλοι τρεις όροι μεταξύ αυτών.
Πριν ξεκινήσετε την επίλυση αυτού του προβλήματος, είναι απαραίτητο να καταλάβετε ποια θέση θα καταλάβουν οι συγκεκριμένοι αριθμοί στη μελλοντική εξέλιξη. Δεδομένου ότι θα υπάρχουν άλλοι τρεις όροι μεταξύ τους, τότε ένας 1 \u003d -4 και ένας 5 \u003d 5. Έχοντας καθορίσει αυτό, προχωράμε σε μια εργασία που είναι παρόμοια με την προηγούμενη. Και πάλι, για τον nο όρο, χρησιμοποιούμε τον τύπο, παίρνουμε: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Από: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Εδώ, η διαφορά δεν είναι μια ακέραια τιμή, αλλά είναι ένας ρητός αριθμός, επομένως οι τύποι για την αλγεβρική πρόοδο παραμένουν οι ίδιοι.
Τώρα ας προσθέσουμε τη διαφορά που βρέθηκε στο 1 και ας επαναφέρουμε τα μέλη της εξέλιξης που λείπουν. Παίρνουμε: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u που συνέπεσε με την κατάσταση του προβλήματος.
Παράδειγμα #4: Το πρώτο μέλος της εξέλιξης
Συνεχίζουμε να δίνουμε παραδείγματα αριθμητικής προόδου με λύση. Σε όλα τα προηγούμενα προβλήματα, ο πρώτος αριθμός της αλγεβρικής προόδου ήταν γνωστός. Τώρα εξετάστε ένα πρόβλημα διαφορετικού τύπου: ας δοθούν δύο αριθμοί, όπου ένας 15 = 50 και ένας 43 = 37. Είναι απαραίτητο να βρείτε από ποιον αριθμό ξεκινά αυτή η ακολουθία.
Οι τύποι που έχουν χρησιμοποιηθεί μέχρι στιγμής προϋποθέτουν γνώση του 1 και του δ. Τίποτα δεν είναι γνωστό για αυτούς τους αριθμούς στην κατάσταση του προβλήματος. Ωστόσο, ας γράψουμε τις εκφράσεις για κάθε όρο για τον οποίο έχουμε πληροφορίες: a 15 = a 1 + 14 * d και a 43 = a 1 + 42 * d. Πήραμε δύο εξισώσεις στις οποίες υπάρχουν 2 άγνωστα μεγέθη (α 1 και δ). Αυτό σημαίνει ότι το πρόβλημα περιορίζεται στην επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων.
Το καθορισμένο σύστημα είναι πιο εύκολο να λυθεί εάν εκφράσετε ένα 1 σε κάθε εξίσωση και στη συνέχεια συγκρίνετε τις παραστάσεις που προκύπτουν. Πρώτη εξίσωση: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; δεύτερη εξίσωση: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Εξισώνοντας αυτές τις εκφράσεις, παίρνουμε: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, από όπου η διαφορά d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (δίνονται μόνο 3 δεκαδικά ψηφία).
Γνωρίζοντας το d, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε από τις 2 παραπάνω εκφράσεις για ένα 1 . Για παράδειγμα, πρώτα: ένα 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Εάν υπάρχουν αμφιβολίες για το αποτέλεσμα, μπορείτε να το ελέγξετε, για παράδειγμα, να προσδιορίσετε το 43ο μέλος της προόδου, το οποίο καθορίζεται στη συνθήκη. Παίρνουμε: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Ένα μικρό σφάλμα οφείλεται στο γεγονός ότι χρησιμοποιήθηκε στρογγυλοποίηση στα χιλιοστά στους υπολογισμούς.
Παράδειγμα #5: Άθροισμα
Ας δούμε τώρα μερικά παραδείγματα με λύσεις για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.
Έστω μια αριθμητική πρόοδος της ακόλουθης μορφής: 1, 2, 3, 4, ...,. Πώς να υπολογίσετε το άθροισμα των 100 αυτών των αριθμών;
Χάρη στην ανάπτυξη τεχνολογία υπολογιστώνμπορείτε να λύσετε αυτό το πρόβλημα, δηλαδή να προσθέσετε διαδοχικά όλους τους αριθμούς, κάτι που θα κάνει ο υπολογιστής μόλις το άτομο πατήσει το πλήκτρο Enter. Ωστόσο, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί διανοητικά εάν προσέξετε ότι η παρουσιαζόμενη σειρά αριθμών είναι αλγεβρική πρόοδος και η διαφορά της είναι 1. Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα, παίρνουμε: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Είναι περίεργο να σημειωθεί ότι αυτό το πρόβλημα ονομάζεται "Gaussian" επειδή στο αρχές XVIIIτου αιώνα, ο διάσημος Γερμανός, ακόμη σε ηλικία μόλις 10 ετών, μπόρεσε να το λύσει στο μυαλό του μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το αγόρι δεν γνώριζε τον τύπο για το άθροισμα μιας αλγεβρικής προόδου, αλλά παρατήρησε ότι αν προσθέσετε ζεύγη αριθμών που βρίσκονται στις άκρες της ακολουθίας, έχετε πάντα το ίδιο αποτέλεσμα, δηλαδή 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., και δεδομένου ότι αυτά τα αθροίσματα θα είναι ακριβώς 50 (100 / 2), τότε για να πάρετε τη σωστή απάντηση, αρκεί να πολλαπλασιάσετε το 50 με το 101.
Παράδειγμα #6: άθροισμα όρων από n έως m
Αλλο χαρακτηριστικό παράδειγματο άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι το εξής: δεδομένου μιας σειράς αριθμών: 3, 7, 11, 15, ..., πρέπει να βρείτε ποιο θα είναι το άθροισμα των μελών της από το 8 έως το 14.
Το πρόβλημα λύνεται με δύο τρόπους. Το πρώτο από αυτά περιλαμβάνει την εύρεση άγνωστων όρων από το 8 έως το 14 και στη συνέχεια τη διαδοχική άθροισή τους. Δεδομένου ότι υπάρχουν λίγοι όροι, αυτή η μέθοδος δεν είναι αρκετά επίπονη. Ωστόσο, προτείνεται η επίλυση αυτού του προβλήματος με τη δεύτερη μέθοδο, η οποία είναι πιο καθολική.
Η ιδέα είναι να πάρουμε έναν τύπο για το άθροισμα μιας αλγεβρικής προόδου μεταξύ των όρων m και n, όπου n > m είναι ακέραιοι. Και για τις δύο περιπτώσεις, γράφουμε δύο εκφράσεις για το άθροισμα:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Εφόσον n > m, είναι προφανές ότι το άθροισμα 2 περιλαμβάνει το πρώτο. Το τελευταίο συμπέρασμα σημαίνει ότι αν πάρουμε τη διαφορά μεταξύ αυτών των αθροισμάτων και προσθέσουμε τον όρο a m σε αυτήν (στην περίπτωση λήψης της διαφοράς, αφαιρείται από το άθροισμα S n), τότε παίρνουμε την απαραίτητη απάντηση στο πρόβλημα. Έχουμε: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τους τύπους για ένα n και ένα m σε αυτήν την έκφραση. Τότε παίρνουμε: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Ο προκύπτων τύπος είναι κάπως περίπλοκος, ωστόσο, το άθροισμα S mn εξαρτάται μόνο από τα n, m, a 1 και d. Στην περίπτωσή μας, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Αντικαθιστώντας αυτούς τους αριθμούς, παίρνουμε: S mn = 301.
Όπως φαίνεται από τις παραπάνω λύσεις, όλα τα προβλήματα βασίζονται στη γνώση της έκφρασης για τον nο όρο και στον τύπο για το άθροισμα του συνόλου των πρώτων όρων. Πριν ξεκινήσετε να επιλύετε οποιοδήποτε από αυτά τα προβλήματα, συνιστάται να διαβάσετε προσεκτικά την κατάσταση, να κατανοήσετε ξεκάθαρα τι θέλετε να βρείτε και μόνο στη συνέχεια να προχωρήσετε στη λύση.
Μια άλλη συμβουλή είναι να προσπαθήσετε για απλότητα, δηλαδή, εάν μπορείτε να απαντήσετε στην ερώτηση χωρίς να χρησιμοποιήσετε πολύπλοκους μαθηματικούς υπολογισμούς, τότε πρέπει να κάνετε ακριβώς αυτό, καθώς σε αυτήν την περίπτωση η πιθανότητα να κάνετε λάθος είναι μικρότερη. Για παράδειγμα, στο παράδειγμα μιας αριθμητικής προόδου με τη λύση Νο. 6, θα μπορούσε κανείς να σταματήσει στον τύπο S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, και χωρίστε τη γενική εργασία σε ξεχωριστές δευτερεύουσες εργασίες (σε αυτήν την περίπτωση, βρείτε πρώτα τους όρους a n και a m).
Εάν υπάρχουν αμφιβολίες σχετικά με το αποτέλεσμα που προκύπτει, συνιστάται να το ελέγξετε, όπως έγινε σε ορισμένα από τα παραδείγματα που δίνονται. Πώς να βρείτε μια αριθμητική πρόοδο, ανακαλύφθηκε. Μόλις το καταλάβετε, δεν είναι τόσο δύσκολο.
IV Yakovlev | Υλικά για τα μαθηματικά | MathUs.ru
Αριθμητική πρόοδος
Μια αριθμητική πρόοδος είναι ένα ειδικό είδος ακολουθίας. Επομένως, πριν ορίσουμε μια αριθμητική (και στη συνέχεια γεωμετρική) πρόοδο, πρέπει να συζητήσουμε εν συντομία τη σημαντική έννοια μιας αριθμητικής ακολουθίας.
Ακολουθία
Φανταστείτε μια συσκευή στην οθόνη της οποίας εμφανίζονται ορισμένοι αριθμοί ο ένας μετά τον άλλο. Ας πούμε 2? 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ένα τέτοιο σύνολο αριθμών είναι απλώς ένα παράδειγμα ακολουθίας.
Ορισμός. Αριθμητική ακολουθία είναι ένα σύνολο αριθμών στους οποίους σε κάθε αριθμό μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός (δηλαδή να τεθεί σε αντιστοιχία με έναν μοναδικό φυσικό αριθμό)1. Ο αριθμός με νούμε καλείται ντο μέλοςακολουθίες.
Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα, ο πρώτος αριθμός έχει τον αριθμό 2, ο οποίος είναι το πρώτο μέλος της ακολουθίας, ο οποίος μπορεί να συμβολιστεί με a1. ο αριθμός πέντε έχει τον αριθμό 6 που είναι το πέμπτο μέλος της ακολουθίας, που μπορεί να συμβολιστεί με a5 . Καθόλου, ντο μέλοςΟι ακολουθίες συμβολίζονται με ένα (ή bn , cn, κ.λπ.).
Μια πολύ βολική κατάσταση είναι όταν το nο μέλος της ακολουθίας μπορεί να καθοριστεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος an = 2n 3 καθορίζει την ακολουθία: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Ο τύπος an = (1)n ορίζει την ακολουθία: 1; 1; 1; 1; : ::
Δεν είναι κάθε σύνολο αριθμών μια ακολουθία. Άρα, ένα τμήμα δεν είναι ακολουθία. περιέχει ¾πάρα πολλούς¿ αριθμούς που πρέπει να επαναριθμηθούν. Το σύνολο R όλων των πραγματικών αριθμών δεν είναι επίσης ακολουθία. Αυτά τα γεγονότα αποδεικνύονται κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης.
Αριθμητική πρόοδος: βασικοί ορισμοί
Τώρα είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε μια αριθμητική πρόοδο.
Ορισμός. Αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε όρος (ξεκινώντας από τον δεύτερο) ισούται με το άθροισμα του προηγούμενου όρου και κάποιο σταθερό αριθμό (που ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου).
Για παράδειγμα, ακολουθία 2; 5; 8; έντεκα; : : : είναι μια αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο 2 και διαφορά 3. Ακολουθία 7; 2; 3; 8; : : : είναι μια αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο 7 και διαφορά 5. Ακολουθία 3; 3; 3; : : : είναι μια αριθμητική πρόοδος με μηδενική διαφορά.
Ισοδύναμος ορισμός: Μια ακολουθία an ονομάζεται αριθμητική πρόοδος εάν η διαφορά an+1 an είναι σταθερή τιμή (δεν εξαρτάται από το n).
Μια αριθμητική πρόοδος λέγεται ότι αυξάνεται εάν η διαφορά της είναι θετική και μειώνεται εάν η διαφορά της είναι αρνητική.
1 Και εδώ είναι ένας πιο συνοπτικός ορισμός: μια ακολουθία είναι μια συνάρτηση που ορίζεται σε ένα σύνολο φυσικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, η ακολουθία των πραγματικών αριθμών είναι η συνάρτηση f: N! R.
Από προεπιλογή, οι ακολουθίες θεωρούνται άπειρες, δηλαδή περιέχουν άπειρο αριθμό αριθμών. Αλλά κανείς δεν μπαίνει στον κόπο να εξετάσει και πεπερασμένες ακολουθίες. Στην πραγματικότητα, οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο αριθμών μπορεί να ονομαστεί πεπερασμένη ακολουθία. Για παράδειγμα, η τελική ακολουθία 1; 2; 3; 4; Το 5 αποτελείται από πέντε αριθμούς.
Τύπος του ν ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου
Είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι μια αριθμητική πρόοδος καθορίζεται πλήρως από δύο αριθμούς: τον πρώτο όρο και τη διαφορά. Επομένως, τίθεται το ερώτημα: πώς, γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά, βρίσκουμε έναν αυθαίρετο όρο μιας αριθμητικής προόδου;
Δεν είναι δύσκολο να ληφθεί ο επιθυμητός τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου. Αφήστε ένα
αριθμητική πρόοδος με διαφορά δ. Εχουμε: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Συγκεκριμένα γράφουμε: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
και τώρα γίνεται σαφές ότι ο τύπος για ένα είναι: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Εργασία 1. Στην αριθμητική πρόοδο 2; 5; 8; έντεκα; : : : βρείτε τον τύπο του nου μέλους και υπολογίστε τον εκατοστό όρο.
Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο (1) έχουμε:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Ιδιότητα και σημάδι αριθμητικής προόδου
ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου. Στην αριθμητική πρόοδο an για οποιαδήποτε
Με άλλα λόγια, κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου (ξεκινώντας από το δεύτερο) είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των γειτονικών μελών.
Απόδειξη. Εχουμε: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
που ήταν και το ζητούμενο.
Περισσότερο με γενικό τρόπο, η αριθμητική πρόοδος α ικανοποιεί την ισότητα
a n = a n k+ a n+k
για οποιοδήποτε n > 2 και οποιοδήποτε φυσικό k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Αποδεικνύεται ότι ο τύπος (2) δεν είναι μόνο απαραίτητη αλλά και επαρκής προϋπόθεση για να είναι μια ακολουθία αριθμητική πρόοδος.
Σημάδι αριθμητικής προόδου. Αν ισχύει η ισότητα (2) για όλα τα n > 2, τότε η ακολουθία an είναι μια αριθμητική πρόοδος.
Απόδειξη. Ας ξαναγράψουμε τον τύπο (2) ως εξής:
a na n 1= a n+1a n:
Αυτό δείχνει ότι η διαφορά an+1 an δεν εξαρτάται από το n, και αυτό σημαίνει απλώς ότι η ακολουθία an είναι μια αριθμητική πρόοδος.
Η ιδιότητα και το πρόσημο μιας αριθμητικής προόδου μπορούν να διατυπωθούν ως μία πρόταση. για ευκολία, θα το κάνουμε για τρεις αριθμούς (αυτή είναι η κατάσταση που εμφανίζεται συχνά σε προβλήματα).
Χαρακτηρισμός μιας αριθμητικής προόδου. Τρεις αριθμοί a, b, c σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο αν και μόνο αν 2b = a + c.
Πρόβλημα 2. (Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, Οικονομική Σχολή, 2007) Τρεις αριθμοί 8x, 3 x2 και 4 με την καθορισμένη σειρά σχηματίζουν μια φθίνουσα αριθμητική πρόοδο. Βρείτε το x και γράψτε τη διαφορά αυτής της προόδου.
Λύση. Με την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου, έχουμε:
2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:
Αν x = 1, τότε λαμβάνεται μια φθίνουσα πρόοδος 8, 2, 4 με διαφορά 6. Εάν x = 5, τότε προκύπτει μια αύξουσα πρόοδος 40, 22, 4. αυτή η περίπτωση δεν λειτουργεί.
Απάντηση: x = 1, η διαφορά είναι 6.
Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου
Ο μύθος λέει ότι μια φορά ο δάσκαλος είπε στα παιδιά να βρουν το άθροισμα των αριθμών από το 1 έως το 100 και κάθισε να διαβάσει την εφημερίδα ήσυχα. Ωστόσο, μέσα σε λίγα λεπτά, ένα αγόρι είπε ότι είχε λύσει το πρόβλημα. Ήταν ο 9χρονος Carl Friedrich Gauss, αργότερα ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς στην ιστορία.
Η ιδέα του μικρού Γκάους ήταν αυτή. Αφήνω
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Ας γράψουμε αυτό το ποσόμε αντίστροφη σειρά:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
και προσθέστε αυτούς τους δύο τύπους:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Κάθε όρος σε αγκύλες είναι ίσος με 101 και υπάρχουν συνολικά 100 τέτοιοι όροι. Επομένως
2S = 101 100 = 10100;
Χρησιμοποιούμε αυτήν την ιδέα για να εξαγάγουμε τον τύπο του αθροίσματος
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Μια χρήσιμη τροποποίηση του τύπου (3) λαμβάνεται αντικαθιστώντας τον τύπο για τον nο όρο an = a1 + (n 1)d σε αυτόν:
2a1 + (n 1)d | |||||
Εργασία 3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών τριψήφιων αριθμών που διαιρούνται με το 13.
Λύση. Οι τριψήφιοι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια του 13 σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο 104 και τη διαφορά 13. Ο ντος όρος αυτής της προόδου είναι:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Ας μάθουμε πόσα μέλη περιέχει η πρόοδός μας. Για να γίνει αυτό, λύνουμε την ανισότητα:
ένα 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Άρα υπάρχουν 69 μέλη στην πρόοδό μας. Σύμφωνα με τον τύπο (4) βρίσκουμε την απαιτούμενη ποσότητα:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Τύπος μαθήματος:εκμάθηση νέου υλικού.
Στόχοι μαθήματος:
- διεύρυνση και εμβάθυνση των ιδεών των μαθητών σχετικά με εργασίες που επιλύονται με χρήση αριθμητικής προόδου. οργάνωση δραστηριότητα αναζήτησηςοι μαθητές όταν εξάγουν τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n μελών μιας αριθμητικής προόδου.
- ανάπτυξη δεξιοτήτων για την ανεξάρτητη απόκτηση νέων γνώσεων, χρήση ήδη αποκτημένων γνώσεων για την επίτευξη του στόχου.
- ανάπτυξη της επιθυμίας και της ανάγκης για γενίκευση των γεγονότων που αποκτήθηκαν, η ανάπτυξη της ανεξαρτησίας.
Καθήκοντα:
- γενίκευση και συστηματοποίηση της υπάρχουσας γνώσης σχετικά με το θέμα "Αριθμητική πρόοδος".
- εξάγουν τύπους για τον υπολογισμό του αθροίσματος των πρώτων n μελών μιας αριθμητικής προόδου.
- διδάξτε πώς να εφαρμόζετε τους ληφθέντες τύπους στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων.
- να επιστήσει την προσοχή των μαθητών στη διαδικασία εύρεσης της τιμής μιας αριθμητικής παράστασης.
Εξοπλισμός:
- κάρτες με εργασίες για εργασία σε ομάδες και ζευγάρια.
- χαρτί αξιολόγησης·
- παρουσίαση«Αριθμητική πρόοδος».
Ι. Πραγματοποίηση βασικών γνώσεων.
1. Ανεξάρτητη εργασίασε ζευγάρια.
1η επιλογή:
Ορίστε μια αριθμητική πρόοδο. Γράψτε έναν αναδρομικό τύπο που ορίζει μια αριθμητική πρόοδο. Δώστε ένα παράδειγμα αριθμητικής προόδου και υποδείξτε τη διαφορά της.
2η επιλογή:
Να γράψετε τον τύπο για τον ν ο όρο μιας αριθμητικής προόδου. Βρείτε τον 100ο όρο μιας αριθμητικής προόδου ( a n}: 2, 5, 8 …
Αυτή την ώρα, δύο μαθητές στο πίσω μέρος του πίνακα ετοιμάζουν απαντήσεις στις ίδιες ερωτήσεις.
Οι μαθητές αξιολογούν την εργασία του συνεργάτη συγκρίνοντάς την με τον πίνακα. (Παραδίδονται φυλλάδια με απαντήσεις).
2. Στιγμή παιχνιδιού.
Ασκηση 1.
Δάσκαλος.Σκέφτηκα κάποια αριθμητική πρόοδο. Κάντε μου μόνο δύο ερωτήσεις για να μπορέσετε μετά τις απαντήσεις να ονομάσετε γρήγορα το 7ο μέλος αυτής της εξέλιξης. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Ερωτήσεις από μαθητές.
- Ποιος είναι ο έκτος όρος της προόδου και ποια η διαφορά;
- Ποιος είναι ο όγδοος όρος της εξέλιξης και ποια η διαφορά;
Εάν δεν υπάρχουν άλλες ερωτήσεις, τότε ο δάσκαλος μπορεί να τις διεγείρει - μια «απαγόρευση» στο d (διαφορά), δηλαδή, δεν επιτρέπεται να ρωτήσετε ποια είναι η διαφορά. Μπορείτε να κάνετε ερωτήσεις: ποιος είναι ο 6ος όρος της προόδου και ποιος ο 8ος όρος της προόδου;
Εργασία 2.
Υπάρχουν 20 αριθμοί γραμμένοι στον πίνακα: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Ο δάσκαλος στέκεται με την πλάτη στον πίνακα. Οι μαθητές λένε τον αριθμό του αριθμού και ο δάσκαλος καλεί αμέσως τον ίδιο τον αριθμό. Εξηγήστε πώς μπορώ να το κάνω;
Ο δάσκαλος θυμάται τον τύπο του ν’ τριμήνου a n \u003d 3n - 2και, αντικαθιστώντας τις δεδομένες τιμές του n, βρίσκει τις αντίστοιχες τιμές α ν .
II. Δήλωση εκπαιδευτικού έργου.
Προτείνω να λυθεί ένα παλιό πρόβλημα που χρονολογείται από τη 2η χιλιετία π.Χ., που βρέθηκε σε αιγυπτιακούς παπύρους.
Εργο:«Ας σας ειπωθεί: μοιράστε 10 μεζούρες κριθαριού σε 10 άτομα, η διαφορά μεταξύ του κάθε ανθρώπου και του διπλανού του είναι το 1/8 του μέτρου».
- Πώς σχετίζεται αυτό το πρόβλημα με το θέμα της αριθμητικής προόδου; (Κάθε επόμενο άτομο παίρνει το 1/8 του μέτρου περισσότερο, άρα η διαφορά είναι d=1/8, 10 άτομα, άρα n=10.)
- Τι νομίζετε ότι σημαίνει ο αριθμός 10; (Το άθροισμα όλων των μελών της προόδου.)
- Τι άλλο πρέπει να γνωρίζετε για να είναι εύκολο και απλό να χωρίσετε το κριθάρι ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος; (Ο πρώτος όρος της εξέλιξης.)
Στόχος του μαθήματος- να λάβουμε την εξάρτηση του αθροίσματος των όρων της προόδου από τον αριθμό τους, τον πρώτο όρο και τη διαφορά και να ελέγξουμε αν το πρόβλημα λύθηκε σωστά στην αρχαιότητα.
Πριν εξαγάγουμε τον τύπο, ας δούμε πώς έλυσαν το πρόβλημα οι αρχαίοι Αιγύπτιοι.
Και το έλυσαν ως εξής:
1) 10 μέτρα: 10 = 1 μέτρο - μέσο μερίδιο.
2) 1 μέτρο ∙ = 2 μέτρα - διπλασιάστηκε μέση τιμήμερίδιο.
διπλασιάστηκε μέση τιμήη μετοχή είναι το άθροισμα των μετοχών του 5ου και του 6ου προσώπου.
3) 2 μέτρα - 1/8 μέτρο = 1 7/8 μέτρα - διπλάσιο μερίδιο του πέμπτου προσώπου.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - το μερίδιο του πέμπτου. και ούτω καθεξής, μπορείτε να βρείτε το μερίδιο κάθε προηγούμενου και επόμενου ατόμου.
Παίρνουμε τη σειρά:
III. Η λύση της εργασίας.
1. Εργαστείτε σε ομάδες
1ος όμιλος:Να βρείτε το άθροισμα 20 διαδοχικών φυσικών αριθμών: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.
Γενικά 
II ομάδα:Βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 100 (Legend of Little Gauss).
S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050
Συμπέρασμα:
III ομάδα:Να βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 21.
Λύση: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Συμπέρασμα:
IV ομάδα:Να βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το 1 έως το 101.
Συμπέρασμα:
Αυτή η μέθοδος επίλυσης των εξεταζόμενων προβλημάτων ονομάζεται "μέθοδος Gauss".
2. Κάθε ομάδα παρουσιάζει τη λύση του προβλήματος στον πίνακα.
3. Γενίκευση των προτεινόμενων λύσεων για μια αυθαίρετη αριθμητική πρόοδο:
a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Βρίσκουμε αυτό το άθροισμα υποστηρίζοντας παρόμοια:
4. Έχουμε λύσει την εργασία;(Ναί.)
IV. Πρωτογενής κατανόηση και εφαρμογή των τύπων που προέκυψαν στην επίλυση προβλημάτων.
1. Έλεγχος της λύσης ενός παλιού προβλήματος με τον τύπο.
2. Εφαρμογή του τύπου στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων.
3. Ασκήσεις για τη διαμόρφωση της ικανότητας εφαρμογής του τύπου στην επίλυση προβλημάτων.
Α) Νο 613
δεδομένο :( και ν) -αριθμητική πρόοδος?
(a n): 1, 2, 3, ..., 1500
Εύρημα: S 1500
Λύση: , και 1 = 1 και 1500 = 1500,
Β) Δεδομένα: ( και ν) -αριθμητική πρόοδος?
(και ν): 1, 2, 3, ...
S n = 210
Εύρημα: n
Λύση:
V. Ανεξάρτητη εργασία με αμοιβαία επαλήθευση.
Ο Ντένις πήγε να δουλέψει ως κούριερ. Τον πρώτο μήνα, ο μισθός του ήταν 200 ρούβλια, κάθε επόμενο μήνα αυξανόταν κατά 30 ρούβλια. Πόσα κέρδισε σε ένα χρόνο;
δεδομένο :( και ν) -αριθμητική πρόοδος?
a 1 = 200, d=30, n=12
Εύρημα: S 12
Λύση:
Απάντηση: Ο Ντένις έλαβε 4380 ρούβλια για το έτος.
VI. Οδηγία εργασίας για το σπίτι.
- σελ. 4.3 - μάθετε την παραγωγή του τύπου.
- №№ 585, 623 .
- Να συνθέσετε ένα πρόβλημα που θα λυνόταν χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου.
VII. Συνοψίζοντας το μάθημα.
1. Φύλλο βαθμολογίας
2. Συνεχίστε τις προτάσεις
- Σήμερα στην τάξη έμαθα...
- Έμαθες φόρμουλες...
- Το πιστεύω …
3. Μπορείτε να βρείτε το άθροισμα των αριθμών από το 1 έως το 500; Ποια μέθοδο θα χρησιμοποιήσετε για να λύσετε αυτό το πρόβλημα;
Βιβλιογραφία.
1. Άλγεβρα, 9η τάξη. Φροντιστήριο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα. Εκδ. G.V. Dorofeeva.Μόσχα: Διαφωτισμός, 2009.