Ανισότητες και συστήματα ανισοτήτων είναι ένα από τα θέματα που καλύπτονται Λύκειοστην άλγεβρα. Από πλευράς δυσκολίας, δεν είναι και το πιο δύσκολο, γιατί έχει απλούς κανόνες (για αυτούς λίγο αργότερα). Κατά κανόνα, οι μαθητές μαθαίνουν τη λύση συστημάτων ανισοτήτων αρκετά εύκολα. Αυτό οφείλεται και στο γεγονός ότι οι δάσκαλοι απλώς «εκπαιδεύουν» τους μαθητές τους σε αυτό το θέμα. Και δεν μπορούν να μην το κάνουν αυτό, γιατί μελετάται στο μέλλον με τη χρήση άλλων μαθηματικά μεγέθη, και ελέγχεται επίσης για την ΟΓΕ και την Ενιαία Κρατική Εξέταση. Στα σχολικά εγχειρίδια, το θέμα των ανισοτήτων και των συστημάτων ανισοτήτων καλύπτεται με μεγάλη λεπτομέρεια, οπότε αν πρόκειται να το μελετήσετε, τότε είναι καλύτερο να καταφύγετε σε αυτά. Αυτό το άρθρο επαναλαμβάνει μόνο μεγάλα υλικά και μπορεί να υπάρχουν κάποιες παραλείψεις σε αυτό.
Η έννοια ενός συστήματος ανισοτήτων
Αν στραφείτε σε επιστημονική γλώσσα, τότε μπορούμε να ορίσουμε την έννοια του «σύστημα ανισοτήτων». Αυτό είναι ένα τέτοιο μαθηματικό μοντέλο, το οποίο αντιπροσωπεύει αρκετές ανισότητες. Αυτό το μοντέλο, φυσικά, απαιτεί μια λύση και θα είναι η γενική απάντηση για όλες τις ανισότητες του συστήματος που προτείνεται στην εργασία (συνήθως γράφεται ως εξής, για παράδειγμα: "Λύστε το σύστημα ανισώσεων 4 x + 1 > 2 και 30 - x > 6..."). Ωστόσο, πριν προχωρήσετε στα είδη και τις μεθόδους λύσεων, πρέπει να καταλάβετε κάτι άλλο.
Συστήματα ανισώσεων και συστήματα εξισώσεων
Στη διαδικασία της μελέτης νέο θέμαπολύ συχνά υπάρχουν παρεξηγήσεις. Από τη μια όλα είναι ξεκάθαρα και θα προτιμούσα να ξεκινήσω να λύνω εργασίες, αλλά από την άλλη κάποιες στιγμές μένουν στη «σκιά», δεν είναι καλά κατανοητές. Επίσης, ορισμένα στοιχεία ήδη αποκτηθείσας γνώσης μπορούν να συνυπάρξουν με νέα. Ως αποτέλεσμα αυτής της "επικάλυψης" εμφανίζονται συχνά σφάλματα.
Επομένως, πριν προχωρήσουμε στην ανάλυση του θέματός μας, θα πρέπει να θυμηθούμε τις διαφορές μεταξύ εξισώσεων και ανισώσεων, τα συστήματά τους. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εξηγήσετε για άλλη μια φορά ποιες είναι αυτές οι μαθηματικές έννοιες. Μια εξίσωση είναι πάντα μια ισότητα, και είναι πάντα ίση με κάτι (στα μαθηματικά, αυτή η λέξη συμβολίζεται με το σύμβολο "="). Η ανισότητα είναι ένα μοντέλο στο οποίο μια τιμή είναι είτε μεγαλύτερη είτε μικρότερη από μια άλλη, είτε περιέχει τον ισχυρισμό ότι δεν είναι ίδιες. Έτσι, στην πρώτη περίπτωση, είναι σκόπιμο να μιλάμε για ισότητα και στη δεύτερη, όσο προφανές κι αν ακούγεται από το ίδιο το όνομα, για την ανισότητα των αρχικών δεδομένων. Τα συστήματα εξισώσεων και ανισώσεων πρακτικά δεν διαφέρουν μεταξύ τους και οι μέθοδοι επίλυσής τους είναι οι ίδιες. Η μόνη διαφορά είναι ότι το πρώτο χρησιμοποιεί ισότητες, ενώ το δεύτερο χρησιμοποιεί ανισότητες.
Τύποι ανισοτήτων
Υπάρχουν δύο τύποι ανισώσεων: αριθμητικές και με άγνωστη μεταβλητή. Στον πρώτο τύπο παρέχονται τιμές (αριθμοί) που είναι άνισες μεταξύ τους, για παράδειγμα, 8 > 10. Ο δεύτερος είναι ανισότητες που περιέχουν μια άγνωστη μεταβλητή (που υποδεικνύεται με κάποιο γράμμα Λατινικό αλφάβητο, πιο συχνά X). Αυτή η μεταβλητή πρέπει να βρεθεί. Ανάλογα με το πόσες υπάρχουν, το μαθηματικό μοντέλο διακρίνει μεταξύ ανισώσεων με μία (αποτελούν σύστημα ανισώσεων με μία μεταβλητή) ή πολλών μεταβλητών (απαρτίζουν ένα σύστημα ανισώσεων με πολλές μεταβλητές).
Οι δύο τελευταίοι τύποι, ανάλογα με το βαθμό κατασκευής τους και το επίπεδο πολυπλοκότητας της λύσης, χωρίζονται σε απλούς και σύνθετους. Οι απλές ονομάζονται και γραμμικές ανισότητες. Αυτοί, με τη σειρά τους, χωρίζονται σε αυστηρές και μη αυστηρές. Αυστηρά συγκεκριμένα «λέμε» ότι μια τιμή πρέπει να είναι είτε μικρότερη είτε μεγαλύτερη, άρα αυτό είναι καθαρή ανισότητα. Υπάρχουν πολλά παραδείγματα: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, κλπ. Τα μη αυστηρά περιλαμβάνουν επίσης την ισότητα. Δηλαδή, μια τιμή μπορεί να είναι μεγαλύτερη ή ίση με μια άλλη τιμή (σύμβολο "≥") ή μικρότερη ή ίση με μια άλλη τιμή (σύμβολο "≤"). Επίσης σε γραμμικές ανισότητεςαχ η μεταβλητή δεν είναι στη ρίζα, τετράγωνο, διαιρείται με τίποτα, γι' αυτό λέγονται "απλή". Οι σύνθετες περιλαμβάνουν άγνωστες μεταβλητές, η εύρεση των οποίων απαιτεί εκτέλεση περισσότερομαθηματικές πράξεις. Συχνά βρίσκονται σε τετράγωνο, κύβο ή κάτω από τη ρίζα, μπορεί να είναι αρθρωτά, λογαριθμικά, κλασματικά κ.λπ. Επειδή όμως το καθήκον μας είναι να κατανοήσουμε τη λύση συστημάτων ανισώσεων, θα μιλήσουμε για ένα σύστημα γραμμικών ανισώσεων. Ωστόσο, πριν από αυτό, θα πρέπει να ειπωθούν λίγα λόγια για τις ιδιότητές τους.
Ιδιότητες των ανισοτήτων
Οι ιδιότητες των ανισοτήτων περιλαμβάνουν τις ακόλουθες διατάξεις:
- Το πρόσημο της ανισότητας αντιστρέφεται εάν εφαρμοστεί η πράξη αλλαγής της ακολουθίας των πλευρών (για παράδειγμα, εάν t 1 ≤ t 2, τότε t 2 ≥ t 1).
- Και τα δύο μέρη της ανισότητας σάς επιτρέπουν να προσθέσετε τον ίδιο αριθμό στον εαυτό σας (για παράδειγμα, αν t 1 ≤ t 2, τότε t 1 + αριθμός ≤ t 2 + αριθμός).
- Δύο ή περισσότερες ανισώσεις που έχουν το πρόσημο της ίδιας κατεύθυνσης σάς επιτρέπουν να προσθέσετε το αριστερό και το δεξί τους μέρος (για παράδειγμα, εάν t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, τότε t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
- Και τα δύο μέρη της ανίσωσης επιτρέπουν να πολλαπλασιαστούν ή να διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό (για παράδειγμα, αν t 1 ≤ t 2 και ο αριθμός ≤ 0, τότε ο αριθμός t 1 ≥ ο αριθμός t 2).
- Δύο ή περισσότερες ανισώσεις που έχουν θετικούς όρους και πρόσημο της ίδιας κατεύθυνσης επιτρέπουν να πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους (για παράδειγμα, αν t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 μετά t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
- Και τα δύο μέρη της ανισότητας επιτρέπουν στον εαυτό τους να πολλαπλασιαστεί ή να διαιρεθεί με το ίδιο αρνητικός αριθμός, αλλά το πρόσημο της ανισότητας αλλάζει (για παράδειγμα, αν t 1 ≤ t 2 και αριθμός ≤ 0, τότε ο αριθμός t 1 ≥ αριθμός t 2).
- Όλες οι ανισότητες έχουν την ιδιότητα της μεταβατικότητας (για παράδειγμα, αν t 1 ≤ t 2 και t 2 ≤ t 3, τότε t 1 ≤ t 3).
Τώρα, αφού μελετήσουμε τις κύριες διατάξεις της θεωρίας που σχετίζονται με τις ανισότητες, μπορούμε να προχωρήσουμε απευθείας στην εξέταση των κανόνων για την επίλυση των συστημάτων τους.
Επίλυση συστημάτων ανισοτήτων. Γενικές πληροφορίες. Λύσεις
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η λύση είναι οι τιμές της μεταβλητής που ταιριάζουν σε όλες τις ανισότητες του δεδομένου συστήματος. Η λύση συστημάτων ανισοτήτων είναι η υλοποίηση μαθηματικών πράξεων που τελικά οδηγούν στη λύση ολόκληρου του συστήματος ή αποδεικνύουν ότι δεν έχει λύσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, η μεταβλητή λέγεται ότι αναφέρεται στο κενό αριθμητικό σύνολο (γραμμένο ως εξής: ένα γράμμα που δηλώνει μια μεταβλητή∈ (σύμβολο «ανήκει») ø (σύμβολο «κενό σύνολο»), για παράδειγμα, x ∈ ø (διαβάζει: «Η μεταβλητή «x» ανήκει στο κενό σύνολο»). Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης συστημάτων ανισώσεων: γραφικός, αλγεβρικός, μέθοδος αντικατάστασης. Αξίζει να σημειωθεί ότι αναφέρονται σε εκείνα τα μαθηματικά μοντέλα που έχουν αρκετές άγνωστες μεταβλητές. Στην περίπτωση που υπάρχει μόνο ένα, η μέθοδος του διαστήματος είναι κατάλληλη.
Γραφικός τρόπος
Σας επιτρέπει να λύσετε ένα σύστημα ανισώσεων με πολλούς αγνώστους (από δύο ή περισσότερους). Χάρη σε αυτή τη μέθοδο, το σύστημα των γραμμικών ανισώσεων λύνεται αρκετά εύκολα και γρήγορα, επομένως είναι η πιο κοινή μέθοδος. Αυτό συμβαίνει επειδή η γραφική παράσταση μειώνει τον όγκο της εγγραφής μαθηματικών πράξεων. Γίνεται ιδιαίτερα ευχάριστο να κάνετε ένα μικρό διάλειμμα από το στυλό, να σηκώνετε ένα μολύβι με χάρακα και να προχωρήσετε σε περαιτέρω ενέργειες με τη βοήθειά τους όταν έχει γίνει πολλή δουλειά και θέλετε λίγη ποικιλία. Ωστόσο αυτή τη μέθοδομερικοί το αντιπαθούν λόγω του γεγονότος ότι πρέπει να ξεφύγετε από την εργασία και να αλλάξετε τη διανοητική σας δραστηριότητα στο σχέδιο. Ωστόσο, είναι ένας πολύ αποτελεσματικός τρόπος.
Για να λυθεί ένα σύστημα ανισώσεων χρησιμοποιώντας μια γραφική μέθοδο, είναι απαραίτητο να μεταφερθούν όλα τα μέλη κάθε ανισότητας στην αριστερή τους πλευρά. Τα πρόσημα θα αντιστραφούν, το μηδέν θα πρέπει να γραφεί στα δεξιά και μετά θα πρέπει να γραφεί κάθε ανισότητα ξεχωριστά. Ως αποτέλεσμα, οι συναρτήσεις θα ληφθούν από τις ανισότητες. Μετά από αυτό, μπορείτε να πάρετε ένα μολύβι και έναν χάρακα: τώρα πρέπει να σχεδιάσετε ένα γράφημα για κάθε συνάρτηση που λαμβάνεται. Όλο το σύνολο των αριθμών που θα βρίσκεται στο διάστημα της τομής τους θα είναι η λύση του συστήματος των ανισώσεων.
Αλγεβρικός τρόπος
Σας επιτρέπει να λύσετε ένα σύστημα ανισοτήτων με δύο άγνωστες μεταβλητές. Επίσης, οι ανισότητες πρέπει να έχουν το ίδιο πρόσημο ανισότητας (δηλαδή, πρέπει να περιέχουν είτε μόνο το πρόσημο "μεγαλύτερο από" ή μόνο το πρόσημο "λιγότερο από" κ.λπ.) Παρά τους περιορισμούς της, αυτή η μέθοδος είναι επίσης πιο περίπλοκη. Εφαρμόζεται σε δύο στάδια.
Το πρώτο περιλαμβάνει τις ενέργειες για να απαλλαγούμε από μια από τις άγνωστες μεταβλητές. Πρώτα πρέπει να το επιλέξετε και μετά να ελέγξετε για την παρουσία αριθμών μπροστά από αυτήν τη μεταβλητή. Εάν δεν υπάρχει καμία (τότε η μεταβλητή θα μοιάζει με ένα μόνο γράμμα), τότε δεν αλλάζουμε τίποτα, εάν υπάρχει (ο τύπος της μεταβλητής θα είναι, για παράδειγμα, 5y ή 12y), τότε είναι απαραίτητο να βεβαιωθείτε ότι σε κάθε ανισότητα ο αριθμός μπροστά από την επιλεγμένη μεταβλητή είναι ο ίδιος. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε μέλος των ανισώσεων με έναν κοινό παράγοντα, για παράδειγμα, εάν γράφεται 3y στην πρώτη ανισότητα και 5y στη δεύτερη, τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλα τα μέλη της πρώτης ανισότητας με 5 , και το δεύτερο κατά 3. Θα βγει 15ετ και 15ετ αντίστοιχα.
Το δεύτερο στάδιο της απόφασης. Είναι απαραίτητο να μεταφέρετε την αριστερή πλευρά κάθε ανισότητας στις δεξιές τους πλευρές με αλλαγή του πρόσημου κάθε όρου στο αντίθετο, γράψτε μηδέν στα δεξιά. Έπειτα έρχεται το διασκεδαστικό μέρος: να απαλλαγούμε από την επιλεγμένη μεταβλητή (αλλιώς γνωστή ως "μείωση") αθροίζοντας τις ανισότητες. Θα λάβετε μια ανισότητα με μια μεταβλητή που πρέπει να λυθεί. Μετά από αυτό, θα πρέπει να κάνετε το ίδιο, μόνο με μια άλλη άγνωστη μεταβλητή. Τα αποτελέσματα που θα προκύψουν θα είναι η λύση του συστήματος.
Μέθοδος αντικατάστασης
Σας επιτρέπει να λύσετε ένα σύστημα ανισοτήτων όταν είναι δυνατή η εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής. Συνήθως αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν η άγνωστη μεταβλητή σε έναν όρο της ανισότητας αυξάνεται στην τέταρτη δύναμη και στον άλλο όρο τετραγωνίζεται. Έτσι, αυτή η μέθοδος στοχεύει στη μείωση του βαθμού ανισοτήτων στο σύστημα. Η δειγματική ανισότητα x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 λύνεται με αυτόν τον τρόπο ως εξής. Εισάγεται μια νέα μεταβλητή, για παράδειγμα t. Γράφουν: "Έστω t = x 2", μετά το μοντέλο ξαναγράφεται σε νέα μορφή. Στην περίπτωσή μας, παίρνουμε t 2 - t - 1 ≤0. Αυτή η ανισότητα πρέπει να λυθεί με τη μέθοδο του διαστήματος (σχετικά με αυτό λίγο αργότερα), στη συνέχεια να επιστρέψετε στη μεταβλητή X και μετά να κάνετε το ίδιο με μια άλλη ανισότητα. Οι απαντήσεις που θα ληφθούν θα είναι η απόφαση του συστήματος.
Μέθοδος διαστήματος
Αυτός είναι ο ευκολότερος τρόπος επίλυσης συστημάτων ανισοτήτων, και ταυτόχρονα είναι καθολικός και διαδεδομένος. Χρησιμοποιείται στο γυμνάσιο, ακόμα και στο γυμνάσιο. Η ουσία του έγκειται στο γεγονός ότι ο μαθητής αναζητά διαστήματα ανισότητας στην αριθμητική γραμμή, η οποία σχεδιάζεται σε ένα σημειωματάριο (αυτό δεν είναι γράφημα, αλλά απλώς μια συνηθισμένη ευθεία γραμμή με αριθμούς). Όπου τέμνονται τα διαστήματα των ανισώσεων, βρίσκεται η λύση του συστήματος. Για να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διαχωρισμού, πρέπει να ακολουθήσετε τα εξής βήματα:
- Όλα τα μέλη κάθε ανισότητας μεταφέρονται στην αριστερή πλευρά με αλλαγή πρόσημου προς την αντίθετη (δεξιά γράφεται το μηδέν).
- Οι ανισότητες καταγράφονται χωριστά, προσδιορίζεται η λύση καθεμιάς από αυτές.
- Βρίσκονται οι τομές των ανισώσεων στην πραγματική ευθεία. Όλοι οι αριθμοί σε αυτές τις διασταυρώσεις θα είναι η λύση.
Ποιο τρόπο να χρησιμοποιήσετε;
Προφανώς αυτό που φαίνεται το πιο εύκολο και βολικό, αλλά υπάρχουν στιγμές που οι εργασίες απαιτούν μια συγκεκριμένη μέθοδο. Τις περισσότερες φορές, λένε ότι πρέπει να λύσετε είτε χρησιμοποιώντας ένα γράφημα είτε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διαστήματος. Η αλγεβρική μέθοδος και η αντικατάσταση χρησιμοποιούνται εξαιρετικά σπάνια ή δεν χρησιμοποιούνται καθόλου, καθώς είναι αρκετά περίπλοκες και συγκεχυμένες, και επιπλέον, χρησιμοποιούνται περισσότερο για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων παρά ανισώσεων, επομένως θα πρέπει να καταφύγετε στη σχεδίαση γραφημάτων και διαστημάτων. Φέρνουν ορατότητα, η οποία δεν μπορεί παρά να συμβάλει στην αποτελεσματική και γρήγορη διεξαγωγή των μαθηματικών πράξεων.
Αν κάτι δεν λειτουργεί
Κατά τη μελέτη ενός συγκεκριμένου θέματος στην άλγεβρα, φυσικά, μπορεί να προκύψουν προβλήματα με την κατανόησή του. Και αυτό είναι φυσιολογικό, γιατί ο εγκέφαλός μας είναι σχεδιασμένος με τέτοιο τρόπο ώστε να μην μπορεί να κατανοήσει σύνθετο υλικό με μια κίνηση. Συχνά χρειάζεται να ξαναδιαβάσετε μια παράγραφο, να πάρετε τη βοήθεια ενός δασκάλου ή να εξασκηθείτε στην επίλυση τυπικών προβλημάτων. Στην περίπτωσή μας, φαίνονται, για παράδειγμα, ως εξής: «Λύστε το σύστημα των ανισώσεων 3 x + 1 ≥ 0 και 2 x - 1 > 3». Έτσι, η προσωπική προσπάθεια, η βοήθεια τρίτων και η πρακτική βοηθούν στην κατανόηση οποιουδήποτε πολύπλοκου θέματος.
Ρεσέμπνικ;
Και το βιβλίο λύσεων είναι επίσης πολύ κατάλληλο, αλλά όχι για εξαπάτηση της εργασίας, αλλά για αυτοβοήθεια. Σε αυτά, μπορείτε να βρείτε συστήματα ανισοτήτων με μια λύση, να τα δείτε (ως μοτίβα), να προσπαθήσετε να καταλάβετε ακριβώς πώς ο συγγραφέας της λύσης αντιμετώπισε την εργασία και στη συνέχεια να προσπαθήσετε να το κάνετε μόνοι σας.
συμπεράσματα
Η άλγεβρα είναι ένα από τα πιο δύσκολα μαθήματα στο σχολείο. Λοιπόν, τι μπορείτε να κάνετε; Τα μαθηματικά ήταν πάντα έτσι: για άλλους έρχονται εύκολα και για άλλους είναι δύσκολα. Αλλά σε κάθε περίπτωση, να το θυμάστε αυτό πρόγραμμα γενικής εκπαίδευσηςσχεδιασμένο έτσι ώστε να μπορεί να το χειριστεί οποιοσδήποτε μαθητής. Επιπλέον, πρέπει να έχετε κατά νου έναν τεράστιο αριθμό βοηθών. Μερικοί από αυτούς έχουν αναφερθεί παραπάνω.
Δείτε επίσης Επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού γραφικά, Κανονική μορφή προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού
Το σύστημα περιορισμών για ένα τέτοιο πρόβλημα αποτελείται από ανισότητες σε δύο μεταβλητές:
και η αντικειμενική συνάρτηση έχει τη μορφή φά = ντο 1 Χ + ντο 2 y, το οποίο πρέπει να μεγιστοποιηθεί.
Ας απαντήσουμε στην ερώτηση: τι ζεύγη αριθμών ( Χ; y) είναι λύσεις στο σύστημα των ανισοτήτων, δηλαδή, ικανοποιούν κάθε μία από τις ανισότητες ταυτόχρονα; Με άλλα λόγια, τι σημαίνει να λύνεις ένα σύστημα γραφικά;
Πρώτα πρέπει να καταλάβετε ποια είναι η λύση μιας γραμμικής ανισότητας με δύο αγνώστους.
Για να λύσετε μια γραμμική ανισότητα με δύο άγνωστα σημαίνει να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη τιμών των αγνώστων για τα οποία ικανοποιείται η ανισότητα.
Για παράδειγμα, η ανισότητα 3 Χ
– 5y≥ 42 ικανοποιούν τα ζεύγη ( Χ , y): (100, 2); (3, –10) κ.λπ. Το πρόβλημα είναι να βρούμε όλα αυτά τα ζεύγη.
Εξετάστε δύο ανισότητες: τσεκούρι
+ με≤ ντο, τσεκούρι + με≥ ντο. Ευθεία τσεκούρι + με = ντοχωρίζει το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα έτσι ώστε οι συντεταγμένες των σημείων ενός από αυτά να ικανοποιούν την ανισότητα τσεκούρι + με >ντο, και η άλλη ανισότητα τσεκούρι + +με <ντο.
Πράγματι, πάρτε ένα σημείο με συντεταγμένες Χ = Χ 0; μετά ένα σημείο που βρίσκεται σε ευθεία γραμμή και έχει μια τετμημένη Χ 0 , έχει τεταγμένη
Αφήστε για βεβαιότητα ένα<0, σι>0,
ντο>0. Όλα τα σημεία με τετμημένη Χ 0 παραπάνω Π(π.χ. τελεία Μ), έχουν y Μ>y 0 , και όλα τα σημεία κάτω από το σημείο Π, με τετμημένη Χ 0 , έχουν yN<y 0 . Επειδή η ΧΤο 0 είναι ένα αυθαίρετο σημείο, τότε θα υπάρχουν πάντα σημεία στη μία πλευρά της γραμμής για τα οποία τσεκούρι+ με > ντο, σχηματίζοντας ένα ημιεπίπεδο, και από την άλλη, σημεία για τα οποία τσεκούρι + με< ντο.
Εικόνα 1
Το πρόσημο της ανισότητας στο ημιεπίπεδο εξαρτάται από τους αριθμούς ένα, σι , ντο.
Αυτό συνεπάγεται την ακόλουθη μέθοδο για γραφική επίλυση συστημάτων γραμμικών ανισοτήτων σε δύο μεταβλητές. Για να λύσετε το σύστημα, χρειάζεστε:
- Για κάθε ανισότητα, γράψτε την εξίσωση που αντιστοιχεί στη δεδομένη ανισότητα.
- Κατασκευάστε γραμμές που είναι γραφήματα συναρτήσεων που δίνονται με εξισώσεις.
- Για κάθε ευθεία, προσδιορίστε το ημιεπίπεδο, το οποίο δίνεται από την ανισότητα. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο που δεν βρίσκεται σε ευθεία γραμμή, αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του στην ανισότητα. αν η ανισότητα είναι αληθής, τότε το ημιεπίπεδο που περιέχει το επιλεγμένο σημείο είναι η λύση της αρχικής ανισότητας. Εάν η ανισότητα είναι ψευδής, τότε το ημιεπίπεδο στην άλλη πλευρά της γραμμής είναι το σύνολο των λύσεων αυτής της ανισότητας.
- Για την επίλυση ενός συστήματος ανισώσεων, είναι απαραίτητο να βρεθεί η περιοχή τομής όλων των ημιεπίπεδων που είναι η λύση για κάθε ανισότητα στο σύστημα.
Αυτή η περιοχή μπορεί να αποδειχθεί άδεια, τότε το σύστημα των ανισοτήτων δεν έχει λύσεις, είναι ασυνεπές. Διαφορετικά, το σύστημα λέγεται ότι είναι συνεπές.
Οι λύσεις μπορεί να είναι ένας πεπερασμένος αριθμός και ένα άπειρο σύνολο. Η περιοχή μπορεί να είναι ένα κλειστό πολύγωνο ή μπορεί να είναι απεριόριστη.
Ας δούμε τρία σχετικά παραδείγματα.
Παράδειγμα 1. Λύστε γραφικά το σύστημα:
Χ + y- 1 ≤ 0;
–2Χ- 2y + 5 ≤ 0.
- Θεωρήστε τις εξισώσεις x+y–1=0 και –2x–2y+5=0 που αντιστοιχούν στις ανισώσεις.
- ας κατασκευάσουμε τις ευθείες που δίνονται από αυτές τις εξισώσεις.
Σχήμα 2
Ας ορίσουμε τα ημιεπίπεδα που δίνονται από τις ανισώσεις. Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο, έστω (0; 0). Σκεφτείτε Χ+ y- 1 0, αντικαθιστούμε το σημείο (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. επομένως, στο ημιεπίπεδο όπου βρίσκεται το σημείο (0; 0), Χ + y –
1 ≤ 0, δηλ. το ημιεπίπεδο που βρίσκεται κάτω από την ευθεία είναι η λύση στην πρώτη ανισότητα. Αντικαθιστώντας αυτό το σημείο (0; 0) με το δεύτερο, παίρνουμε: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, δηλ. στο ημιεπίπεδο όπου βρίσκεται το σημείο (0; 0), -2 Χ – 2y+ 5≥ 0, και μας ρωτήθηκε πού -2 Χ
– 2y+ 5 ≤ 0, επομένως, σε ένα άλλο ημιεπίπεδο - σε αυτό πάνω από την ευθεία.
Βρείτε την τομή αυτών των δύο ημιεπίπεδων. Οι ευθείες είναι παράλληλες, άρα τα επίπεδα δεν τέμνονται πουθενά, πράγμα που σημαίνει ότι το σύστημα αυτών των ανισοτήτων δεν έχει λύσεις, είναι ασυνεπές.
Παράδειγμα 2. Βρείτε γραφικά λύσεις στο σύστημα των ανισώσεων: 
Εικόνα 3
1. Να γράψετε τις εξισώσεις που αντιστοιχούν στις ανισώσεις και να κατασκευάσετε ευθείες γραμμές.
Χ + 2y– 2 = 0
| Χ | 2 | 0 |
| y | 0 | 1 |
y – Χ – 1 = 0
| Χ | 0 | 2 |
| y | 1 | 3 |
y + 2 = 0;
y = –2.
2. Έχοντας επιλέξει το σημείο (0; 0), προσδιορίζουμε τα πρόσημα των ανισώσεων στα ημιεπίπεδα:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, δηλ. Χ + 2y– 2 ≤ 0 στο ημιεπίπεδο κάτω από την ευθεία.
0 – 0 – 1 ≤ 0, δηλ. y –Χ– 1 ≤ 0 στο ημιεπίπεδο κάτω από την ευθεία.
0 + 2 =2 ≥ 0, δηλ. y+ 2 ≥ 0 στο ημιεπίπεδο πάνω από τη γραμμή.
3. Η τομή αυτών των τριών ημιεπίπεδων θα είναι μια περιοχή που είναι τρίγωνο. Δεν είναι δύσκολο να βρούμε τις κορυφές της περιοχής ως σημεία τομής των αντίστοιχων ευθειών
Ετσι, ΕΝΑ(–3; –2), ΣΕ(0; 1), ΜΕ(6; –2).
Ας εξετάσουμε ένα ακόμη παράδειγμα, στο οποίο η προκύπτουσα περιοχή της λύσης του συστήματος δεν είναι περιορισμένη.
Ας δούμε παραδείγματα για το πώς να λύσουμε ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων.
4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}
Για να λυθεί ένα σύστημα, χρειάζεται καθεμία από τις συστατικές του ανισότητες. Μόνο η απόφαση λαμβάνεται να σημειωθεί όχι χωριστά, αλλά μαζί, συνδυάζοντάς τα με σγουρό βραχίονα.
Σε κάθε μια από τις ανισότητες του συστήματος, μεταφέρουμε τους αγνώστους στη μια πλευρά, τους γνωστούς στην άλλη πλευρά. αντίθετο σημάδι:
Title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}
Μετά την απλοποίηση, και τα δύο μέρη της ανίσωσης πρέπει να διαιρεθούν με τον αριθμό πριν από το x. Διαιρούμε την πρώτη ανισότητα με έναν θετικό αριθμό, οπότε το πρόσημο της ανισότητας δεν αλλάζει. Διαιρούμε τη δεύτερη ανισότητα με έναν αρνητικό αριθμό, οπότε το πρόσημο της ανισότητας πρέπει να αντιστραφεί:
Title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}
Σημειώνουμε τη λύση των ανισώσεων στις αριθμητικές ευθείες:
Σε απάντηση, σημειώνουμε την τομή των λύσεων, δηλαδή το τμήμα όπου η σκίαση είναι και στις δύο γραμμές.
Απάντηση: x∈[-2;1).
Ας απαλλαγούμε από το κλάσμα στην πρώτη ανισότητα. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη όρο προς όρο με τον ελάχιστο κοινό παρονομαστή 2. Όταν πολλαπλασιαζόμαστε με έναν θετικό αριθμό, το πρόσημο της ανισότητας δεν αλλάζει.
Ανοίξτε τις αγκύλες στη δεύτερη ανισότητα. Το γινόμενο του αθροίσματος και της διαφοράς δύο παραστάσεων είναι ίσο με τη διαφορά των τετραγώνων αυτών των παραστάσεων. Στη δεξιά πλευρά είναι το τετράγωνο της διαφοράς μεταξύ των δύο εκφράσεων.
Title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}
Μεταφέρουμε τα άγνωστα στη μια πλευρά, τα γνωστά στην άλλη με το αντίθετο πρόσημο και απλοποιούμε:
Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της ανίσωσης με τον αριθμό πριν από το x. Στην πρώτη ανισότητα, διαιρούμε με έναν αρνητικό αριθμό, οπότε το πρόσημο της ανισότητας αντιστρέφεται. Στο δεύτερο, διαιρούμε με έναν θετικό αριθμό, το πρόσημο της ανισότητας δεν αλλάζει:
Title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}
Και οι δύο ανισότητες σημειώνονται «λιγότερο από» (δεν είναι απαραίτητο το ένα ζώδιο να είναι αυστηρά «μικρότερο από», το άλλο να μην είναι αυστηρό, «μικρότερο ή ίσο με»). Δεν μπορούμε να επισημάνουμε και τις δύο λύσεις, αλλά χρησιμοποιούμε τον κανόνα "". Το μικρότερο είναι 1, επομένως, το σύστημα μειώνεται στην ανισότητα
Σημειώνουμε τη λύση του στην αριθμητική γραμμή:
Απάντηση: x∈(-∞;1].
Ανοίγουμε τις αγκύλες. Στην πρώτη ανισότητα - . Είναι ίσο με το άθροισμα των κύβων αυτών των παραστάσεων.
Στη δεύτερη - το γινόμενο του αθροίσματος και της διαφοράς δύο παραστάσεων, που ισούται με τη διαφορά των τετραγώνων. Δεδομένου ότι υπάρχει ένα σύμβολο μείον μπροστά από τις αγκύλες, είναι καλύτερο να τις ανοίξετε σε δύο στάδια: πρώτα χρησιμοποιήστε τον τύπο και μόνο στη συνέχεια ανοίξτε τις αγκύλες, αλλάζοντας το πρόσημο κάθε όρου στο αντίθετο.
Μεταφέρουμε τα άγνωστα στη μια πλευρά, τα γνωστά στην άλλη με το αντίθετο πρόσημο:
Title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}
Και τα δύο είναι μεγαλύτερα από τα σημάδια. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα «περισσότερο από περισσότερα», μειώνουμε το σύστημα των ανισοτήτων σε μία ανισότητα. Ο μεγαλύτερος από τους δύο αριθμούς είναι 5, άρα
Title="Απόδοση από QuickLaTeX.com">!}
Σημειώνουμε τη λύση της ανίσωσης σε μια αριθμητική γραμμή και γράφουμε την απάντηση: 
Απάντηση: x∈(5;∞).
Δεδομένου ότι τα συστήματα γραμμικών ανισώσεων εμφανίζονται στην άλγεβρα όχι μόνο ως ανεξάρτητες εργασίες, αλλά και κατά την επίλυση διαφόρων ειδών εξισώσεων, ανισώσεων κ.λπ., είναι σημαντικό να μάθετε αυτό το θέμα εγκαίρως.
Την επόμενη φορά θα εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών ανισώσεων σε ειδικές περιπτώσεις όπου μια από τις ανισώσεις δεν έχει λύσεις ή οποιοσδήποτε αριθμός είναι η λύση της.
Ρουμπρίκα: |Αυτό το άρθρο έχει συλλέξει αρχικές πληροφορίες σχετικά με συστήματα ανισοτήτων. Εδώ δίνουμε έναν ορισμό ενός συστήματος ανισοτήτων και έναν ορισμό μιας λύσης σε ένα σύστημα ανισοτήτων. Απαριθμεί επίσης τους κύριους τύπους συστημάτων με τους οποίους πρέπει να εργαστείτε συχνότερα στα μαθήματα άλγεβρας στο σχολείο και δίνονται παραδείγματα.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Τι είναι ένα σύστημα ανισοτήτων;
Είναι βολικό να ορίζουμε συστήματα ανισοτήτων με τον ίδιο τρόπο που εισαγάγαμε τον ορισμό ενός συστήματος εξισώσεων, δηλαδή σύμφωνα με τον τύπο της εγγραφής και το νόημα που είναι ενσωματωμένο σε αυτό.
Ορισμός.
Σύστημα ανισοτήτωνείναι μια εγγραφή που αντιπροσωπεύει έναν ορισμένο αριθμό ανισοτήτων γραμμένων η μία κάτω από την άλλη, ενωμένη στα αριστερά με μια σγουρή αγκύνη και δηλώνει το σύνολο όλων των λύσεων που είναι ταυτόχρονα λύσεις σε κάθε ανισότητα του συστήματος.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα ενός συστήματος ανισοτήτων. Πάρτε δύο αυθαίρετα, για παράδειγμα, 2 x−3>0 και 5−x≥4 x−11, γράψτε το ένα κάτω από το άλλο
2x−3>0,
5−x≥4 x−11
και ενωθείτε με το σύμβολο του συστήματος - μια σγουρή αγκύλη, ως αποτέλεσμα παίρνουμε ένα σύστημα ανισοτήτων της ακόλουθης μορφής:
Ομοίως, δίνεται μια ιδέα για συστήματα ανισοτήτων στα σχολικά εγχειρίδια. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι ορισμοί σε αυτά δίνονται πιο στενά: για ανισότητες με μία μεταβλητή ή με δύο μεταβλητές.
Οι κύριοι τύποι συστημάτων ανισοτήτων
Είναι ξεκάθαρο ότι είναι άπειρα πολλά διάφορα συστήματαανισότητες. Για να μην χαθείτε σε αυτή την ποικιλομορφία, καλό είναι να τα εξετάζετε από ομάδες που έχουν τη δική τους χαρακτηριστικά. Όλα τα συστήματα ανισοτήτων μπορούν να χωριστούν σε ομάδες σύμφωνα με τα ακόλουθα κριτήρια:
- από τον αριθμό των ανισοτήτων στο σύστημα.
- από τον αριθμό των μεταβλητών που εμπλέκονται στην καταγραφή·
- από τη φύση των ανισοτήτων.
Σύμφωνα με τον αριθμό των ανισοτήτων που περιλαμβάνονται στην καταγραφή, διακρίνονται συστήματα των δύο, τριών, τεσσάρων κ.λπ. ανισότητες. Στην προηγούμενη παράγραφο, δώσαμε ένα παράδειγμα συστήματος που είναι ένα σύστημα δύο ανισοτήτων. Ας δείξουμε ένα άλλο παράδειγμα συστήματος τεσσάρων ανισοτήτων 
.
Ξεχωριστά, λέμε ότι δεν έχει νόημα να μιλάμε για ένα σύστημα μιας ανισότητας, στην περίπτωση αυτή, στην πραγματικότητα, μιλάμε για την ίδια την ανισότητα και όχι για το σύστημα.
Αν κοιτάξετε τον αριθμό των μεταβλητών, τότε υπάρχουν συστήματα ανισοτήτων με μία, δύο, τρεις κ.λπ. μεταβλητές (ή, όπως λένε, άγνωστες). Κοιτάξτε το τελευταίο σύστημα ανισοτήτων που γράφτηκε δύο παραγράφους παραπάνω. Αυτό είναι ένα σύστημα με τρεις μεταβλητές x , y και z . Σημειώστε ότι οι δύο πρώτες ανισότητες της δεν περιέχουν και τις τρεις μεταβλητές, αλλά μόνο μία από αυτές. Στο πλαίσιο αυτού του συστήματος, θα πρέπει να νοούνται ως ανισότητες με τρία μεταβλητές της φόρμας x+0 y+0 z≥−2 και 0 x+y+0 z≤5 αντίστοιχα. Σημειώστε ότι το σχολείο εστιάζει στις ανισότητες με μία μεταβλητή.
Μένει να συζητήσουμε ποιοι τύποι ανισοτήτων εμπλέκονται στα συστήματα γραφής. Στο σχολείο, εξετάζουν κυρίως συστήματα δύο ανισοτήτων (λιγότερο συχνά - τρεις, ακόμη πιο σπάνια - τέσσερις ή περισσότερες) με μία ή δύο μεταβλητές και οι ίδιες οι ανισότητες είναι συνήθως ακέραιες ανισότητεςπρώτου ή δεύτερου βαθμού (λιγότερο συχνά - υψηλότεροι βαθμοί ή κλασματικά ορθολογικοί). Αλλά μην εκπλαγείτε εάν στα υλικά προετοιμασίας για το OGE συναντήσετε συστήματα ανισώσεων που περιέχουν παράλογες, λογαριθμικές, εκθετικές και άλλες ανισότητες. Ως παράδειγμα, παρουσιάζουμε το σύστημα των ανισοτήτων 
, έχει ληφθεί από .
Ποια είναι η λύση ενός συστήματος ανισοτήτων;
Εισάγουμε έναν άλλο ορισμό που σχετίζεται με συστήματα ανισοτήτων - τον ορισμό μιας λύσης σε ένα σύστημα ανισοτήτων:
Ορισμός.
Επίλυση συστήματος ανισώσεων με μία μεταβλητήονομάζεται μια τέτοια τιμή μιας μεταβλητής που μετατρέπει καθεμία από τις ανισότητες του συστήματος σε αληθή, με άλλα λόγια, είναι η λύση σε κάθε ανισότητα του συστήματος.
Ας εξηγήσουμε με ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε ένα σύστημα δύο ανισοτήτων με μία μεταβλητή. Ας πάρουμε την τιμή της μεταβλητής x ίση με 8 , είναι εξ ορισμού λύση στο σύστημα ανισώσεων μας, αφού η αντικατάστασή της στις ανισώσεις του συστήματος δίνει δύο σωστές αριθμητικές ανισώσεις 8>7 και 2−3 8≤0 . Αντίθετα, η μονάδα δεν είναι λύση στο σύστημα, αφού όταν αντικατασταθεί με τη μεταβλητή x, η πρώτη ανισότητα θα μετατραπεί σε λανθασμένη αριθμητική ανισότητα 1>7 .
Παρομοίως, μπορούμε να εισαγάγουμε τον ορισμό μιας λύσης σε ένα σύστημα ανισώσεων με δύο, τρία και ένας μεγάλος αριθμόςμεταβλητές:
Ορισμός.
Επίλυση συστήματος ανισώσεων με δύο, τρία κ.λπ. μεταβλητέςονομάζεται ζευγάρι, τριπλό κ.λπ. Τιμές αυτών των μεταβλητών, που είναι ταυτόχρονα μια λύση σε κάθε ανισότητα του συστήματος, δηλαδή μετατρέπει κάθε ανισότητα του συστήματος σε αληθινή αριθμητική ανισότητα.
Για παράδειγμα, ένα ζεύγος τιμών x=1, y=2, ή σε άλλη σημείωση (1, 2) είναι μια λύση σε ένα σύστημα ανισώσεων με δύο μεταβλητές, αφού 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .
Τα συστήματα ανισοτήτων μπορεί να μην έχουν λύσεις, μπορεί να έχουν πεπερασμένο αριθμό λύσεων ή μπορεί να έχουν άπειρες λύσεις. Συχνά μιλάμε για ένα σύνολο λύσεων σε ένα σύστημα ανισοτήτων. Όταν ένα σύστημα δεν έχει λύσεις, τότε υπάρχει ένα κενό σύνολο λύσεων του. Όταν υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός λύσεων, τότε το σύνολο των λύσεων περιέχει έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων και όταν υπάρχουν άπειρες λύσεις, τότε το σύνολο των λύσεων αποτελείται από άπειρο αριθμό στοιχείων.
Ορισμένες πηγές εισάγουν ορισμούς μιας συγκεκριμένης και γενικής λύσης σε ένα σύστημα ανισοτήτων, όπως, για παράδειγμα, στα σχολικά βιβλία του Mordkovich. Κάτω από μια συγκεκριμένη λύση στο σύστημα των ανισοτήτωνκατανοήσουν τη μοναδική λύση του. Με τη σειρά του γενική λύση του συστήματος των ανισοτήτων- αυτές είναι όλες οι ιδιωτικές της αποφάσεις. Ωστόσο, αυτοί οι όροι έχουν νόημα μόνο όταν απαιτείται να τονιστεί ποια λύση συζητείται, αλλά συνήθως αυτό είναι ήδη ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα, επομένως είναι πολύ πιο συνηθισμένο να λέμε απλώς «λύση συστήματος ανισοτήτων».
Από τους ορισμούς ενός συστήματος ανισώσεων και τις λύσεις του που εισάγονται σε αυτό το άρθρο, προκύπτει ότι η λύση ενός συστήματος ανισώσεων είναι η τομή των συνόλων λύσεων όλων των ανισώσεων αυτού του συστήματος.
Βιβλιογραφία.
- Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 8 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Αλγεβρα: 9η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2009. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Mordkovich A. G.Αλγεβρα. Βαθμός 9 Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13η έκδ., Sr. - Μ.: Μνημοσύνη, 2011. - 222 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Mordkovich A. G.Άλγεβρα και αρχή μαθηματικής ανάλυσης. Βαθμός 11. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων (επίπεδο προφίλ) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 287 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01027-2.
- ΧΡΗΣΗ-2013. Μαθηματικά: τυπικές επιλογές εξέτασης: 30 επιλογές / εκδ. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. - Μ .: Εκδοτικός οίκος "Εθνική Παιδεία", 2012. - 192 σελ. - (ΧΡΗΣΗ-2013. FIPI - σχολείο).
Το σύστημα των ανισοτήτωνΕίναι σύνηθες να ονομάζουμε οποιοδήποτε σύνολο δύο ή περισσότερων ανισώσεων που περιέχει μια άγνωστη ποσότητα.
Αυτή η διατύπωση απεικονίζεται ξεκάθαρα, για παράδειγμα, από τέτοια συστήματα ανισοτήτων:
Λύστε το σύστημα των ανισοτήτων - σημαίνει να βρεθούν όλες οι τιμές της άγνωστης μεταβλητής για τις οποίες πραγματοποιείται κάθε ανισότητα του συστήματος ή να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν τέτοιες .
Έτσι, για κάθε άτομο ανισότητες του συστήματοςυπολογίστε την άγνωστη μεταβλητή. Επιπλέον, από τις προκύπτουσες τιμές, επιλέγει μόνο αυτές που ισχύουν τόσο για την πρώτη όσο και για τη δεύτερη ανισότητα. Επομένως, κατά την αντικατάσταση της επιλεγμένης τιμής, και οι δύο ανισότητες του συστήματος γίνονται σωστές.
Ας αναλύσουμε τη λύση πολλών ανισοτήτων:
Τοποθετήστε το ένα κάτω από το άλλο ζευγάρι αριθμητικών γραμμών. βάλτε την αξία στην κορυφή Χ, κάτω από την οποία η πρώτη ανισότητα o ( Χ> 1) γίνονται αληθινές και στο κάτω μέρος η τιμή Χ, που είναι η λύση της δεύτερης ανισότητας ( Χ> 4).
Συγκρίνοντας τα δεδομένα για αριθμητικές γραμμές, σημειώστε ότι η λύση και για τα δύο ανισότητεςθα Χ> 4. Απάντηση, Χ> 4.
Παράδειγμα 2
Υπολογισμός του πρώτου ανισότηταπαίρνουμε -3 Χ< -6, или Χ> 2, το δεύτερο - Χ> -8, ή Χ < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения Χ, υπό την οποία η πρώτη ανισότητα συστήματος, και στην κάτω αριθμητική γραμμή, όλες αυτές οι τιμές Χ, κάτω από την οποία πραγματοποιείται η δεύτερη ανισότητα του συστήματος.
Συγκρίνοντας τα δεδομένα, διαπιστώνουμε ότι και τα δύο ανισότητεςθα εφαρμοστεί για όλες τις τιμές Χτοποθετείται από το 2 έως το 8. Σύνολα αξιών Χδείχνω διπλή ανισότητα 2 < Χ< 8.
Παράδειγμα 3Ας βρούμε