Το όρισμα x, τότε ονομάζεται περιοδικό αν υπάρχει αριθμός Τ τέτοιος ώστε για κάθε x F(x + T) = F(x). Αυτός ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης.
Μπορεί να υπάρχουν αρκετές περίοδοι. Για παράδειγμα, η συνάρτηση F = const παίρνει την ίδια τιμή για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος, και επομένως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί περίοδός του.
Συνήθως ενδιαφέρεται για τη μικρότερη μη μηδενική περίοδο της συνάρτησης. Για συντομία, ονομάζεται απλώς περίοδος.
Κλασικό παράδειγμαπεριοδικές συναρτήσεις - τριγωνομετρικές: ημιτονοειδές, συνημίτονο και εφαπτομένη. Η περίοδός τους είναι ίδια και ίση με 2π, δηλαδή sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) κ.ο.κ. Ωστόσο, φυσικά, τριγωνομετρικές συναρτήσεις- όχι τα μόνα περιοδικά.
Σχετικά με απλές, βασικές λειτουργίες ο μόνος τρόποςκαθορίζουν την περιοδικότητα ή μη τους - υπολογισμούς. Αλλά για πολύπλοκες λειτουργίες, υπάρχουν ήδη αρκετές απλούς κανόνες.
Εάν η F(x) είναι με περίοδο T και ορίζεται μια παράγωγος για αυτήν, τότε αυτή η παράγωγος f(x) = F′(x) είναι επίσης μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T. Εξάλλου, η τιμή της παραγώγου στο Το σημείο x είναι ίσο με την εφαπτομένη της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης του αντιπαραγώγου του σε αυτό το σημείο στον άξονα x, και εφόσον το αντιπαράγωγο επαναλαμβάνεται περιοδικά, η παράγωγος πρέπει επίσης να επαναλαμβάνεται. Για παράδειγμα, το παράγωγο του συναρτήσεις αμαρτίαςΤο (x) είναι ίσο με το cos(x), και είναι περιοδικό. Λαμβάνοντας την παράγωγο του cos(x) σας δίνει -sin(x). Η περιοδικότητα παραμένει αμετάβλητη.
Ωστόσο, το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Έτσι, η συνάρτηση f(x) = const είναι περιοδική, αλλά η αντιπαράγωγός της F(x) = const*x + C δεν είναι.
Αν η F(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, τότε G(x) = a*F(kx + b), όπου τα a, b και k είναι σταθερές και το k δεν είναι ίσο με μηδέν - επίσης περιοδική συνάρτηση, και η περίοδος του είναι ίση με Τ/κ. Για παράδειγμα το sin(2x) είναι μια περιοδική συνάρτηση και η περίοδος της είναι π. Οπτικά, αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: πολλαπλασιάζοντας το x με κάποιο αριθμό, φαίνεται να συμπιέζετε το γράφημα της συνάρτησης οριζόντια ακριβώς τόσες φορές
Αν οι F1(x) και F2(x) είναι περιοδικές συναρτήσεις και οι περίοδοι τους είναι ίσες με T1 και T2, αντίστοιχα, τότε το άθροισμα αυτών των συναρτήσεων μπορεί επίσης να είναι περιοδικό. Ωστόσο, η περίοδός του δεν θα είναι ένα απλό άθροισμα των περιόδων Τ1 και Τ2. Εάν το αποτέλεσμα της διαίρεσης των T1/T2 είναι ένας ρητός αριθμός, τότε το άθροισμα των συναρτήσεων είναι περιοδικό και η περίοδος του είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των περιόδων T1 και T2. Για παράδειγμα, εάν η περίοδος της πρώτης συνάρτησης είναι 12 και η περίοδος της δεύτερης είναι 15, τότε η περίοδος του αθροίσματος τους θα είναι LCM (12, 15) = 60.
Οπτικά, αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: οι συναρτήσεις έρχονται με διαφορετικά "πλάτη βημάτων", αλλά εάν η αναλογία των πλάτη τους είναι ορθολογική, τότε αργά ή γρήγορα (ή μάλλον, ακριβώς μέσω του LCM των βημάτων), θα γίνουν ξανά ίσες , και το άθροισμά τους θα ξεκινήσει μια νέα περίοδο.
Ωστόσο, εάν ο λόγος των περιόδων είναι παράλογος, τότε η συνολική συνάρτηση δεν θα είναι καθόλου περιοδική. Για παράδειγμα, έστω F1(x) = x mod 2 (το υπόλοιπο του x διαιρούμενο με 2) και F2(x) = sin(x). Το T1 εδώ θα είναι ίσο με 2 και το T2 είναι ίσο με 2π. Ο λόγος των περιόδων είναι ίσος με π - ένας άρρητος αριθμός. Επομένως, η συνάρτηση sin(x) + x mod 2 δεν είναι περιοδική.
Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό για τον εαυτό σας ( λογαριασμός) Google και συνδεθείτε: https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφανειών:
Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, τάξη 10 (επίπεδο προφίλ) A.G. Mordkovich, P.E. Semenov Δάσκαλος Volkova S.E.
Ορισμός 1 Μια συνάρτηση y = f (x), x ∈ X λέγεται ότι έχει περίοδο T εάν για οποιοδήποτε x ∈ X η ισότητα f (x - T) = f (x) = f (x + T) είναι αληθής. Αν μια συνάρτηση με περίοδο T ορίζεται σε ένα σημείο x, τότε ορίζεται και στα σημεία x + T, x - T. Κάθε συνάρτηση έχει περίοδο ίση με μηδέν στο T = 0, παίρνουμε f (x - 0 ) = f (x) = f ( x + 0) .
Ορισμός 2 Μια συνάρτηση που έχει μη μηδενική περίοδο Τ ονομάζεται περιοδική. Αν μια συνάρτηση y = f (x), x ∈ X, έχει περίοδο T, τότε οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του T (δηλαδή ένας αριθμός της μορφής kT, k ∈ Z) είναι επίσης περίοδος της.
Απόδειξη Έστω 2Τ η περίοδος της συνάρτησης. Τότε f(x) = f(x + T) = f((x + T) + T) = f(x + 2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Ομοίως, αποδεικνύεται ότι f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T) κ.λπ. Άρα f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)
Η μικρότερη περίοδος μεταξύ των θετικών περιόδων μιας περιοδικής συνάρτησης ονομάζεται κύρια περίοδος αυτής της συνάρτησης.
Χαρακτηριστικά του γραφήματος μιας περιοδικής συνάρτησης Εάν T είναι η κύρια περίοδος της συνάρτησης y \u003d f (x), τότε αρκεί: να δημιουργήσετε έναν κλάδο του γραφήματος σε ένα από τα διαστήματα μήκους T, να εκτελέσετε μια παράλληλη μετάφραση αυτού του κλάδου κατά μήκος του άξονα x κατά ±T, ±2T, ±3T, κ.λπ. Συνήθως επιλέγετε ένα κενό με άκρα σε σημεία
Ιδιότητες περιοδικών συναρτήσεων 1. Αν η f(x) είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, τότε η συνάρτηση g(x) = A f(kx + b), όπου k > 0, είναι επίσης περιοδική με περίοδο T 1 = T/ κ. 2. Έστω η συνάρτηση f 1 (x) και f 2 (x) να οριστεί σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα και να είναι περιοδική με περιόδους T 1 > 0 και T 2 >0. Τότε, για T 1 /T 2 ∈ Q, η συνάρτηση f(x) = f(x) + f 2 (x) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών T 1 και T 2 .
Παραδείγματα 1. Η περιοδική συνάρτηση y = f(x) ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Η περίοδος του είναι 3 και f(0) =4 . Βρείτε την τιμή της παράστασης 2f(3) - f(-3). Λύση. T \u003d 3, f (3) \u003d f (0 + 3) \u003d 4, f (-3) \u003d f (0–3) \u003d 4, f (0) \u003d 4. Αντικατάσταση των τιμών που λαμβάνονται στην έκφραση 2f (3) - f(-3), παίρνουμε 8 - 4 =4. Απάντηση: 4.
Παραδείγματα 2. Η περιοδική συνάρτηση y = f(x) ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Η περίοδός του είναι 5, και f(-1) = 1. Βρείτε f(-12) αν 2f(3) - 5f(9) = 9. Λύση T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Απάντηση: 7.
Παραπομπές A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Άλγεβρα και οι αρχές της ανάλυσης (επίπεδο προφίλ), Βαθμός 10 A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης (επίπεδο προφίλ), τάξη 10. Εργαλειοθήκηγια τον δάσκαλο
Με θέμα: μεθοδολογικές εξελίξεις, παρουσιάσεις και σημειώσεις
Περιοδικός νόμος και περιοδικό σύστημα Δ.Ι. Μεντελέεφ.
Ένα γενικό μάθημα για αυτό το θέμα διεξάγεται με τη μορφή παιχνιδιού, χρησιμοποιώντας στοιχεία της τεχνολογίας των παιδαγωγικών εργαστηρίων....
Εξωσχολική εκδήλωση "Περιοδικός νόμος και περιοδικό σύστημα χημικών στοιχείων του D.I. Mendeleev"
Μια εξωσχολική εκδήλωση αποκαλύπτει την ιστορία της δημιουργίας του περιοδικού νόμου και του περιοδικού συστήματος του Δ.Ι. Μεντελέεφ. Οι πληροφορίες παρουσιάζονται σε ποιητική μορφή, η οποία συμβάλλει γρήγορη απομνημόνευσηΜ...
Εφαρμογή στην εξωσχολική εκδήλωση "Ο περιοδικός νόμος και ο περιοδικός πίνακας των χημικών στοιχείων του D.I. Mendeleev"
Της ανακάλυψης του νόμου προηγήθηκε μια μακρά και έντονη επιστημονική εργασία DI. Μεντελέεφ για 15 χρόνια, και άλλα 25 χρόνια δόθηκαν για την περαιτέρω εμβάθυνσή του….
Στα συνηθισμένα σχολικές εργασίες αποδεικνύουν περιοδικότηταη μία ή η άλλη συνάρτηση συνήθως δεν είναι δύσκολη: επομένως, για να επαληθεύσετε ότι η συνάρτηση $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ είναι περιοδική, αρκεί απλώς να σημειώσετε ότι το γινόμενο $T=4\times7\times 2 \pi$ είναι η περίοδός του: αν προσθέσουμε τον αριθμό T στο x, τότε αυτό το γινόμενο θα "τρώει" και τους δύο παρονομαστές και κάτω από το ημιτονικό πρόσημο μόνο ακέραια πολλαπλάσια των $2\pi$ θα είναι περιττά, τα οποία θα "τρώει" το ίδιο το ημίτονο. .
Αλλά απόδειξη μη περιοδικότηταςη μία ή η άλλη συνάρτηση απευθείας εξ ορισμού μπορεί να μην είναι καθόλου απλή. Έτσι, για να αποδείξουμε τη μη περιοδικότητα της παραπάνω συνάρτησης $y=\sin x^2$, μπορούμε να γράψουμε την ισότητα $sin(x+T)^2=\sin x^2$, αλλά να μην τη λύσουμε της συνήθειας τριγωνομετρική εξίσωση, και μαντέψτε να αντικαταστήσετε το x=0 σε αυτό, μετά το οποίο τα υπόλοιπα θα βγουν σχεδόν αυτόματα: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, όπου k είναι κάποιος ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 0, δηλ. $T=\sqrt (k\pi)$, και αν τώρα μαντέψετε και αντικαταστήσετε το $x=\sqrt (\pi)$ σε αυτό, αποδεικνύεται ότι $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, από όπου $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, και έτσι το p είναι η ρίζα της εξίσωσης $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, δηλ. είναι αλγεβρικό, το οποίο δεν είναι αληθές: το $\pi$ είναι, ως γνωστόν, υπερβατικό, δηλ. δεν είναι ρίζα οποιασδήποτε αλγεβρικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Ωστόσο, στο μέλλον θα έχουμε μια πολύ πιο απλή απόδειξη αυτής της δήλωσης - αλλά με τη βοήθεια εργαλείων μαθηματικής ανάλυσης.
Όταν αποδεικνύεται η μη περιοδικότητα των συναρτήσεων, συχνά βοηθά ένα στοιχειώδες λογικό τέχνασμα: εάν όλες οι περιοδικές συναρτήσεις έχουν κάποια ιδιότητα, και δεδομένη λειτουργίαδεν το κατέχει, τότε φυσικά, δεν είναι περιοδική. Έτσι, μια περιοδική συνάρτηση παίρνει οποιαδήποτε από τις τιμές της άπειρες φορές, και επομένως, για παράδειγμα, η συνάρτηση $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ είναι όχι περιοδική, αφού η τιμή 7 παίρνει μόνο δύο βαθμούς. Συχνά, για να αποδειχθεί η μη περιοδικότητα, είναι βολικό να χρησιμοποιηθούν οι ιδιομορφίες του τομείς, και για να βρείτε την επιθυμητή ιδιότητα των περιοδικών συναρτήσεων, μερικές φορές πρέπει να δείξετε μια συγκεκριμένη φαντασία.
Σημειώνουμε επίσης ότι πολύ συχνά στην ερώτηση, τι είναι μια μη περιοδική συνάρτηση, πρέπει να ακούσουμε μια απάντηση στο ύφος για το οποίο μιλήσαμε σε σχέση με άρτιες και περιττές συναρτήσεις, είναι όταν $f(x+T)\neq f(x)$, το οποίο, φυσικά, δεν επιτρέπεται.
Και η σωστή απάντηση εξαρτάται από τον συγκεκριμένο ορισμό μιας περιοδικής συνάρτησης και, με βάση τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω, μπορεί κανείς, φυσικά, να πει ότι μια συνάρτηση δεν είναι περιοδική εάν δεν έχει μία μόνο περίοδο, αλλά αυτό θα είναι ένας «κακός» ορισμός που δεν δίνει κατεύθυνση στοιχεία μη περιοδικότητας. Και αν το αποκρυπτογραφήσουμε περαιτέρω, περιγράφοντας τι σημαίνει η πρόταση "η συνάρτηση f δεν έχει τελεία" ή, το ίδιο, "κανένας αριθμός $T \neq 0$ είναι περίοδος της συνάρτησης f", τότε παίρνουμε ότι η συνάρτηση f δεν είναι περιοδική εάν και μόνο εάν για κάθε $T \neq 0$ υπάρχει ένας αριθμός $x\στο D(f)$ έτσι ώστε είτε τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς $x+T$ και $x-T$ να είναι δεν ανήκει στο D(f) ή στο $f(x+T)\neq f(x)$.
Μπορεί επίσης να ειπωθεί διαφορετικά: "Υπάρχει ένας αριθμός $x\in D(f)$ έτσι ώστε η ισότητα $f(x+T) = f(x)$ δεν ισχύει" - αυτή η ισότητα μπορεί να μην ισχύει για δύο λόγοι: είτε αυτό δεν έχει νόημα, δηλ. ένα από τα μέρη του δεν έχει οριστεί ή - διαφορετικά, δεν είναι έγκυρο. Για λόγους ενδιαφέροντος, προσθέτουμε ότι το γλωσσικό αποτέλεσμα για το οποίο μιλήσαμε παραπάνω εκδηλώνεται επίσης εδώ: γιατί η ισότητα, το «να μην είσαι αληθινός» και το «να είσαι λάθος» δεν είναι το ίδιο πράγμα - η ισότητα μπορεί να μην έχει νόημα.
Μια λεπτομερής διευκρίνιση των αιτιών και των συνεπειών αυτού του γλωσσικού αποτελέσματος στην πραγματικότητα δεν είναι το θέμα των μαθηματικών, αλλά η θεωρία της γλώσσας, η γλωσσολογία ή μάλλον το ειδικό τμήμα της: σημασιολογία - η επιστήμη του νοήματος, όπου, ωστόσο, αυτά τα ερωτήματα είναι πολύ περίπλοκη και δεν έχουν ξεκάθαρη λύση. Και τα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων των σχολικών μαθηματικών, αναγκάζονται να τα βάλουν με αυτές τις δυσκολίες και να ξεπεράσουν τις γλωσσικές «διαταραχές» - μέχρι εκεί και στο βαθμό που χρησιμοποιούν, μαζί με τη συμβολική, φυσική γλώσσα.
Με σχολικά μαθήματαΜαθηματικά, όλοι θυμούνται το γράφημα του ημιτονοειδούς, που υποχωρεί στην απόσταση σε ομοιόμορφα κύματα. Μια παρόμοια ιδιότητα - να επαναλαμβάνεται σε ένα ορισμένο διάστημα - έχει πολλές άλλες λειτουργίες. Ονομάζονται περιοδικές. Η περιοδικότητα είναι μια πολύ σημαντική ποιότητα μιας συνάρτησης, που συχνά απαντάται σε διαφορετικές εργασίες. Επομένως, είναι ωφέλιμο να μπορούμε να προσδιορίσουμε εάν μια συνάρτηση είναι περιοδική.
Εντολή
1. Αν η F(x) είναι συνάρτηση απόδειξης x, τότε ονομάζεται περιοδική αν υπάρχει ένας αριθμός Τ τέτοιος ώστε για κάθε x F(x + T) = F(x). Αυτός ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης. Μπορεί να υπάρχουν πολλές περίοδοι. Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση F = const παίρνει την ίδια τιμή για όλες τις τιμές του ορίσματος, και επομένως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί η περίοδος του. Παραδοσιακά, τα μαθηματικά ενδιαφέρονται για την ελάχιστη μη μηδενική περίοδο της συνάρτησης. Για συντομία, ονομάζεται πρωτόγονη περίοδος.
2. Χαρακτηριστικό παράδειγμαπεριοδικές συναρτήσεις - τριγωνομετρικές: ημιτονοειδές, συνημίτονο και εφαπτομένη. Η περίοδός τους είναι πανομοιότυπη και ίση με 2?, δηλ. sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) και ούτω καθεξής. Ωστόσο, φυσικά, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις δεν είναι εξαιρετικές περιοδικές.
3. Όσον αφορά τις πρωτόγονες, βασικές συναρτήσεις, μια εξαιρετική μέθοδος για τον προσδιορισμό της περιοδικότητας ή της μη περιοδικότητάς τους είναι οι υπολογισμοί. Αλλά για τις δύσκολες λειτουργίες υπάρχουν πιο πρωτόγονοι κανόνες.
4. Εάν η F(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, και μια παράγωγος ορίζεται για αυτήν, τότε αυτή η παράγωγος f(x) = F?(x) είναι επίσης μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T. Η τιμή της παραγώγου στο Το σημείο x είναι ίσο με την εφαπτομένη της κλίσης της εφαπτομένης η γραφική παράσταση της αντιπαράγωγής της σε αυτό το σημείο στον άξονα x, και από το γεγονός ότι η αντιπαράγωγος επαναλαμβάνεται περιοδικά, η παράγωγος πρέπει επίσης να επαναλαμβάνεται. Ας πούμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης sin(x) είναι ίση με cos(x), και είναι περιοδική. Λαμβάνοντας την παράγωγο του cos(x) σας δίνει -sin(x). Η περιοδικότητα διατηρείται πάντα, ωστόσο, το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Έτσι, η συνάρτηση f(x) = const είναι περιοδική, αλλά η αντιπαράγωγός της F(x) = const*x + C δεν είναι.
5. Αν η F(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, τότε G(x) = a*F(kx + b), όπου τα a, b και k είναι σταθερές και το k δεν είναι ίσο με μηδέν - επίσης περιοδική συνάρτηση, και η περίοδος του είναι ίση με Τ/κ. Ας πούμε ότι το sin(2x) είναι μια περιοδική συνάρτηση και η περίοδος του είναι ?. Οπτικά, αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: πολλαπλασιάζοντας το x με οποιονδήποτε αριθμό, φαίνεται να συμπιέζετε το γράφημα της συνάρτησης οριζόντια ακριβώς τόσες φορές
6. Αν οι F1(x) και F2(x) είναι περιοδικές συναρτήσεις και οι περίοδοι τους είναι ίσες με T1 και T2, αντίστοιχα, τότε το άθροισμα αυτών των συναρτήσεων μπορεί επίσης να είναι περιοδικό. Ωστόσο, η περίοδός του δεν θα είναι ένα εύκολο άθροισμα των περιόδων Τ1 και Τ2. Εάν το αποτέλεσμα της διαίρεσης των T1/T2 είναι ένας εύλογος αριθμός, τότε το άθροισμα των συναρτήσεων είναι περιοδικό και η περίοδος του είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των περιόδων T1 και T2. Ας πούμε, εάν η περίοδος της πρώτης συνάρτησης είναι 12 και η περίοδος της 2ης είναι 15, τότε η περίοδος του αθροίσματος τους θα είναι ίση με LCM (12, 15) = 60. Οπτικά, αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: Οι συναρτήσεις έρχονται με διαφορετικά «πλάτη βημάτων», αλλά εάν η αναλογία των πλάτη τους είναι σημαντική, τότε αργά ή γρήγορα (ή μάλλον, ακριβώς μέσω του LCM των βημάτων), θα γίνουν ξανά ίσες και το άθροισμά τους θα ξεκινήσει την πιο πρόσφατη περίοδο.
7. Ωστόσο, εάν ο λόγος των περιόδων είναι παράλογος, τότε η συνολική συνάρτηση δεν θα είναι καθόλου περιοδική. Ας πούμε έστω F1(x) = x mod 2 (το υπόλοιπο της διαίρεσης του x με 2), και F2(x) = sin(x). Το T1 εδώ θα είναι ίσο με 2 και το T2 είναι ίσο με 2;. Είναι ίσος ο λόγος των περιόδων; - ένας παράλογος αριθμός. Κατά συνέπεια, η συνάρτηση sin(x) + x mod 2 δεν είναι περιοδική.
Πολλές μαθηματικές συναρτήσεις έχουν μια ιδιαιτερότητα που διευκολύνει την κατασκευή τους - αυτή είναι περιοδικότης, δηλαδή την επαναληψιμότητα του γραφήματος στο πλέγμα συντεταγμένων σε τακτά χρονικά διαστήματα.
Εντολή
1. Οι πιο γνωστές περιοδικές συναρτήσεις στα μαθηματικά είναι το ημιτονοειδές και το συνημιτονοειδές κύμα. Αυτές οι συναρτήσεις έχουν κυματοειδή φύση και κομβική περίοδο ίση με 2P. Επίσης ειδική περίπτωση περιοδικής συνάρτησης είναι η f(x)=const. Οποιοσδήποτε αριθμός είναι κατάλληλος για τη θέση x, αυτή η συνάρτηση δεν έχει κύρια περίοδο, επειδή είναι ευθεία γραμμή.
2. Γενικά, μια συνάρτηση είναι περιοδική εάν υπάρχει ένας ακέραιος N που δεν είναι μηδενικός και ικανοποιεί τον κανόνα f(x)=f(x+N), εξασφαλίζοντας έτσι επαναληψιμότητα. Η περίοδος της συνάρτησης είναι ο μικρότερος αριθμός N, αλλά όχι μηδέν. Δηλαδή, ας πούμε ότι η συνάρτηση sin x είναι ίση με τη συνάρτηση sin (x + 2ПN), όπου N=±1, ±2, κ.λπ.
3. Περιστασιακά, μια συνάρτηση μπορεί να έχει έναν πολλαπλασιαστή (ας πούμε, αμαρτία 2x), που θα αυξήσει ή θα συντομεύσει την περίοδο της συνάρτησης. Για να βρεθεί η περίοδος γραφικά, πρέπει να προσδιορίσετε το άκρο της συνάρτησης - το υψηλότερο και το μεγαλύτερο χαμηλό σημείογράφημα συνάρτησης. Επειδή τα ημιτονοειδή και συνημιτονοειδή κύματα είναι κυματιστά, αυτό είναι αρκετά εύκολο να γίνει. Από αυτά τα σημεία, κατασκευάστε κάθετες ευθείες στην τομή με τον άξονα x.
4. Η απόσταση από το άνω άκρο στο κάτω θα είναι η μισή περίοδος της συνάρτησης. Είναι πιο βολικό για όλους να υπολογίσουν την περίοδο από την τομή του γραφήματος με τον άξονα Υ και, κατά συνέπεια, το μηδενικό σημάδι στον άξονα x. Μετά από αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την τιμή που προκύπτει επί δύο και να λάβετε την περίοδο περιστροφής της συνάρτησης.
5. Για ευκολία σχεδίασης καμπυλών ημιτονοειδούς και συνημιτονίου, θα πρέπει να σημειωθεί ότι εάν η συνάρτηση είναι ακέραιος, τότε η περίοδός της θα επιμηκυνθεί (δηλαδή, το 2P πρέπει να πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον δείκτη) και το γράφημα θα φαίνεται πιο απαλό, ομαλό. και αν ο αριθμός είναι κλασματικός, αντίθετα, θα μειωθεί και το γράφημα θα γίνει πιο «κοφτερό», άλμα στην εμφάνιση.
Σχετικά βίντεο
Μελέτη των φαινομένων της φύσης, επίλυση τεχνικά καθήκοντα, βρισκόμαστε αντιμέτωποι με περιοδικές διεργασίες που μπορούν να περιγραφούν με συναρτήσεις ειδικής μορφής.
Μια συνάρτηση y = f(x) με πεδίο ορισμού D ονομάζεται περιοδική εάν υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός T > 0 έτσι ώστε να πληρούνται οι ακόλουθες δύο συνθήκες:
1) τα σημεία x + T, x − T ανήκουν στο πεδίο ορισμού D για οποιοδήποτε x ∈ D;
2) για κάθε x από το D έχουμε τη σχέση
f(x) = f(x + T) = f(x − T).
Ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης f(x). Με άλλα λόγια, μια περιοδική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας οι τιμές επαναλαμβάνονται μετά από ένα ορισμένο διάστημα. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y = sin x είναι περιοδική (Εικ. 1) με περίοδο 2π.
Σημειώστε ότι εάν ο αριθμός T είναι η περίοδος της συνάρτησης f(x), τότε ο αριθμός 2T θα είναι επίσης η περίοδός της, καθώς και 3T, και 4T, κ.λπ., δηλαδή, μια περιοδική συνάρτηση έχει άπειρες διαφορετικές περιόδους. Αν ανάμεσά τους υπάρχει η μικρότερη (όχι ίση με μηδέν), τότε όλες οι άλλες περίοδοι της συνάρτησης είναι πολλαπλάσια αυτού του αριθμού. Σημειώστε ότι δεν έχει κάθε περιοδική συνάρτηση τόσο μικρότερη θετική περίοδο. για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x)=1 δεν έχει τέτοια περίοδο. Είναι επίσης σημαντικό να έχουμε κατά νου ότι, για παράδειγμα, το άθροισμα δύο περιοδικών συναρτήσεων που έχουν την ίδια μικρότερη θετική περίοδο T 0 δεν έχει απαραίτητα την ίδια θετική περίοδο. Άρα, το άθροισμα των συναρτήσεων f(x) = sin x και g(x) = −sin x δεν έχει καθόλου τη μικρότερη θετική περίοδο και το άθροισμα των συναρτήσεων f(x) = sin x + sin 2x και g( x) = −sin x, του οποίου οι ελάχιστες περίοδοι είναι 2π έχει τη μικρότερη θετική περίοδο ίση με π.
Αν ο λόγος των περιόδων δύο συναρτήσεων f(x) και g(x) είναι ρητός αριθμός, τότε το άθροισμα και το γινόμενο αυτών των συναρτήσεων θα είναι επίσης περιοδικές συναρτήσεις. Αν ο λόγος των περιόδων των παντού καθορισμένων και συνεχών συναρτήσεων f και g είναι άρρητος αριθμός, τότε οι συναρτήσεις f + g και fg θα είναι ήδη μη περιοδικές συναρτήσεις. Έτσι, για παράδειγμα, οι συναρτήσεις cos x sin √2 x και cosj √2 x + sin x είναι μη περιοδικές, αν και οι συναρτήσεις sin x και cos x είναι περιοδικές με περίοδο 2π, οι συναρτήσεις sin √2 x και cos Τα √2 x είναι περιοδικά με περίοδο √2 π .
Σημειώστε ότι αν η f(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, τότε η μιγαδική συνάρτηση (αν, φυσικά, έχει νόημα) F(f(x)) είναι επίσης μια περιοδική συνάρτηση και ο αριθμός T θα χρησιμεύσει ως περίοδος. Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις y \u003d sin 2 x, y \u003d √ (cos x) (Εικ. 2.3) είναι περιοδικές συναρτήσεις (εδώ: F 1 (z) \u003d z 2 και F 2 (z) \u003d √z ). Ωστόσο, δεν πρέπει να σκεφτεί κανείς ότι εάν η συνάρτηση f(x) έχει τη μικρότερη θετική περίοδο T 0 , τότε η συνάρτηση F(f(x)) θα έχει την ίδια μικρότερη θετική περίοδο. για παράδειγμα, η συνάρτηση y \u003d sin 2 x έχει τη μικρότερη θετική περίοδο, η οποία είναι 2 φορές μικρότερη από τη συνάρτηση f (x) \u003d sin x (Εικ. 2).
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αν η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο T, ορίζεται και διαφοροποιείται σε κάθε σημείο της πραγματικής ευθείας, τότε η συνάρτηση f "(x) (παράγωγος) είναι επίσης περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, ωστόσο αντιπαράγωγη λειτουργίαΗ F(x) (βλ. Ολοκληρωτικός Λογισμός) για την f(x) θα είναι περιοδική συνάρτηση μόνο αν
F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.