Έννοια πυραμίδας
Ορισμός 1
Γεωμετρικό σχήμα, που σχηματίζεται από ένα πολύγωνο και ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο που περιέχει αυτό το πολύγωνο, συνδεδεμένο με όλες τις κορυφές του πολυγώνου, ονομάζεται πυραμίδα (Εικ. 1).
Το πολύγωνο από το οποίο αποτελείται η πυραμίδα ονομάζεται βάση της πυραμίδας, τα τρίγωνα που προκύπτουν από τη σύνδεση με το σημείο είναι οι πλευρικές όψεις της πυραμίδας, οι πλευρές των τριγώνων είναι οι πλευρές της πυραμίδας και το κοινό σημείο για όλους τρίγωνα είναι η κορυφή της πυραμίδας.
Τύποι πυραμίδων
Ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών στη βάση της πυραμίδας, μπορεί να ονομαστεί τριγωνική, τετραγωνική και ούτω καθεξής (Εικ. 2).
Σχήμα 2.
Ένας άλλος τύπος πυραμίδας είναι μια κανονική πυραμίδα.
Ας εισαγάγουμε και ας αποδείξουμε την ιδιότητα μιας κανονικής πυραμίδας.
Θεώρημα 1
Όλες οι πλευρικές όψεις μιας κανονικής πυραμίδας είναι ισοσκελές τρίγωνα που είναι ίσα μεταξύ τους.
Απόδειξη.
Θεωρήστε μια κανονική $n-$gonal πυραμίδα με κορυφή $S$ ύψους $h=SO$. Ας περιγράψουμε έναν κύκλο γύρω από τη βάση (Εικ. 4).
Εικόνα 4
Εξετάστε το τρίγωνο $SOA$. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε
Προφανώς, κάθε πλευρικό άκρο θα οριστεί με αυτόν τον τρόπο. Επομένως, όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες μεταξύ τους, δηλαδή όλες οι πλευρικές όψεις είναι ισοσκελές τρίγωνα. Ας αποδείξουμε ότι είναι ίσοι μεταξύ τους. Δεδομένου ότι η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, οι βάσεις όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσες μεταξύ τους. Κατά συνέπεια, όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίσες σύμφωνα με το σύμβολο III της ισότητας των τριγώνων.
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Ας εισαγάγουμε τώρα τον ακόλουθο ορισμό που σχετίζεται με την έννοια της κανονικής πυραμίδας.
Ορισμός 3
Το απόθεμα μιας κανονικής πυραμίδας είναι το ύψος της πλευρικής της όψης.
Προφανώς, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, όλα τα αποθέματα είναι ίσα.
Θεώρημα 2
Η πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας ορίζεται ως το γινόμενο της ημιπεριμέτρου της βάσης και του αποθέματος.
Απόδειξη.
Ας συμβολίσουμε την πλευρά της βάσης της πυραμίδας $n-$ άνθρακα ως $a$ και το απόθεμα ως $d$. Επομένως, η περιοχή της πλευρικής όψης είναι ίση με
Αφού, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, όλες οι πλευρές είναι ίσες, τότε
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Ένας άλλος τύπος πυραμίδας είναι η κολοβωμένη πυραμίδα.
Ορισμός 4
Εάν ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση του τραβηχτεί μέσω μιας συνηθισμένης πυραμίδας, τότε το σχήμα που σχηματίζεται μεταξύ αυτού του επιπέδου και του επιπέδου της βάσης ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα (Εικ. 5).
Εικόνα 5. Κόλουρη πυραμίδα
Οι πλευρικές όψεις της κολοβωμένης πυραμίδας είναι τραπεζοειδείς.
Θεώρημα 3
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής κόλουρης πυραμίδας ορίζεται ως το γινόμενο του αθροίσματος των ημιπεριμέτρων των βάσεων και του αποθέματος.
Απόδειξη.
Ας συμβολίσουμε τις πλευρές των βάσεων της πυραμίδας $n-$ άνθρακα με $a\ και\ b$, αντίστοιχα, και το απόθεμα με $d$. Επομένως, η περιοχή της πλευρικής όψης είναι ίση με
Αφού όλες οι πλευρές είναι ίσες, λοιπόν
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Παράδειγμα εργασίας
Παράδειγμα 1
Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κόλουρης τριγωνικής πυραμίδας εάν λαμβάνεται από μια κανονική πυραμίδα με πλευρά βάσης 4 και απόθεμα 5 αποκόπτοντας από ένα επίπεδο που διέρχεται από τη μέση γραμμή των πλευρικών όψεων.
Λύση.
Σύμφωνα με το θεώρημα της διάμεσης γραμμής, λαμβάνουμε ότι η άνω βάση της κολοβωμένης πυραμίδας είναι ίση με $4\cdot \frac(1)(2)=2$ και το απόθεμα είναι ίσο με $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.
Στη συνέχεια, με το Θεώρημα 3, παίρνουμε
Πρώτο επίπεδο
Πυραμίδα. οπτικός οδηγός (2019)
Τι είναι μια πυραμίδα;
Πώς της φαίνεται;
Βλέπετε: στην πυραμίδα από κάτω (λένε " στη βάση"") κάποιο πολύγωνο, και όλες οι κορυφές αυτού του πολυγώνου συνδέονται με κάποιο σημείο του χώρου (αυτό το σημείο ονομάζεται " κορυφή»).
Όλη αυτή η δομή έχει πλαϊνά πρόσωπα, πλαϊνά πλευράΚαι νευρώσεις βάσης. Για άλλη μια φορά, ας σχεδιάσουμε μια πυραμίδα μαζί με όλα αυτά τα ονόματα:
Μερικές πυραμίδες μπορεί να φαίνονται πολύ περίεργες, αλλά εξακολουθούν να είναι πυραμίδες.
Εδώ, για παράδειγμα, αρκετά "λοξό" πυραμίδα.
Και λίγα περισσότερα για τα ονόματα: εάν υπάρχει ένα τρίγωνο στη βάση της πυραμίδας, τότε η πυραμίδα ονομάζεται τριγωνική.
Ταυτόχρονα, το σημείο που έπεσε ύψος, λέγεται βάση ύψους. Σημειώστε ότι στις «στραβές» πυραμίδες ύψοςμπορεί να είναι ακόμη και έξω από την πυραμίδα. Σαν αυτό:
Και δεν υπάρχει τίποτα τρομερό σε αυτό. Μοιάζει με αμβλύ τρίγωνο.
Σωστή πυραμίδα.
Πολλά απο σύνθετες λέξεις? Ας αποκρυπτογραφήσουμε: " Στη βάση - σωστό"- αυτό είναι κατανοητό. Και τώρα θυμηθείτε ότι ένα κανονικό πολύγωνο έχει ένα κέντρο - ένα σημείο που είναι το κέντρο του και , και .
Λοιπόν, και οι λέξεις "η κορυφή προβάλλεται στο κέντρο της βάσης" σημαίνουν ότι η βάση του ύψους πέφτει ακριβώς στο κέντρο της βάσης. Δείτε πόσο απαλό και χαριτωμένο φαίνεται δεξιά πυραμίδα.
Εξαγώνιος: στη βάση - ένα κανονικό εξάγωνο, η κορυφή προβάλλεται στο κέντρο της βάσης.
τετράπλευρος: στη βάση - ένα τετράγωνο, η κορυφή προβάλλεται στο σημείο τομής των διαγωνίων αυτού του τετραγώνου.
τριγωνικός: στη βάση είναι κανονικό τρίγωνο, η κορυφή προβάλλεται στο σημείο τομής των υψών (είναι επίσης διάμεσοι και διχοτόμοι) αυτού του τριγώνου.
Πολύ σημαντικές ιδιότητες μιας κανονικής πυραμίδας:
Στη δεξιά πυραμίδα
- όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες.
- όλες οι πλευρικές όψεις είναι ισοσκελές τρίγωνα και όλα αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα.
Όγκος πυραμίδας
Ο κύριος τύπος για τον όγκο της πυραμίδας:
Από πού ακριβώς προήλθε; Αυτό δεν είναι τόσο απλό και στην αρχή πρέπει απλώς να θυμάστε ότι η πυραμίδα και ο κώνος έχουν όγκο στον τύπο, αλλά ο κύλινδρος δεν έχει.
Τώρα ας υπολογίσουμε τον όγκο των πιο δημοφιλών πυραμίδων.
Αφήστε την πλευρά της βάσης να είναι ίση και η πλευρική άκρη ίση. Πρέπει να βρω και.
Αυτό είναι το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου.
Ας θυμηθούμε πώς να αναζητήσουμε αυτήν την περιοχή. Χρησιμοποιούμε τον τύπο της περιοχής:
Έχουμε "" - αυτό, και "" - και αυτό, ε.
Τώρα ας βρούμε.
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα για
Τι σημασία έχει? Αυτή είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου μέσα, επειδή πυραμίδασωστόςκαι ως εκ τούτου το κέντρο.
Αφού - το σημείο τομής και η διάμεσος επίσης.
(Πυθαγόρειο θεώρημα για)
Υποκατάστατο στον τύπο για.
Ας συνδέσουμε τα πάντα στον τύπο έντασης:
Προσοχή:Αν εσύ κανονικό τετράεδρο(δηλαδή), τότε ο τύπος είναι:
Αφήστε την πλευρά της βάσης να είναι ίση και η πλευρική άκρη ίση.
Δεν χρειάζεται να ψάξετε εδώ. γιατί στη βάση είναι ένα τετράγωνο, και επομένως.
Ας βρούμε. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα για
Ξέρουμε; Σχεδόν. Κοίτα:
(το είδαμε αναθεωρώντας).
Υποκατάστατο στον τύπο για:
Και τώρα αντικαθιστούμε τον τύπο όγκου.
Αφήστε την πλευρά της βάσης να είναι ίση και η πλαϊνή άκρη.
Πως να βρεις? Κοιτάξτε, ένα εξάγωνο αποτελείται από ακριβώς έξι ίδια κανονικά τρίγωνα. Έχουμε ήδη αναζητήσει το εμβαδόν ενός κανονικού τριγώνου κατά τον υπολογισμό του όγκου μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας, εδώ χρησιμοποιούμε τον τύπο που βρέθηκε.
Τώρα ας το βρούμε (αυτό).
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα για
Τι σημασία έχει όμως; Είναι απλό γιατί (και όλοι οι άλλοι επίσης) έχουν δίκιο.
Αντικαθιστούμε:
\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))
ΠΥΡΑΜΙΔΑ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ
Μια πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο που αποτελείται από οποιοδήποτε επίπεδο πολύγωνο (), ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης (κορυφή της πυραμίδας) και όλα τα τμήματα που συνδέουν την κορυφή της πυραμίδας με τα σημεία βάσης (πλευρικές ακμές).
Μια κάθετη έπεσε από την κορυφή της πυραμίδας στο επίπεδο της βάσης.
Σωστή πυραμίδα- μια πυραμίδα, η οποία έχει ένα κανονικό πολύγωνο στη βάση, και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της βάσης.
Ιδιότητα κανονικής πυραμίδας:
- Σε μια κανονική πυραμίδα, όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες.
- Όλες οι πλευρικές όψεις είναι ισοσκελές τρίγωνα και όλα αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα.
Στο οποίο ένα από τα πλευρικά άκρα είναι κάθετο στη βάση.
Σε αυτή την περίπτωση, αυτή η άκρη θα είναι το ύψος της πυραμίδας.
ιδιότητες πυραμίδας.
1. Όταν όλες οι πλευρικές άκρες έχουν το ίδιο μέγεθος, τότε:
- Κοντά στη βάση της πυραμίδας είναι εύκολο να περιγραφεί ένας κύκλος, ενώ η κορυφή της πυραμίδας θα προβάλλεται στο κέντρο αυτού του κύκλου.
- Οι πλευρικές νευρώσεις σχηματίζουν ίσες γωνίες με το επίπεδο βάσης.
- επιπλέον ισχύει και το αντίστροφο, δηλ. όταν σχηματίζονται οι πλευρικές νευρώσεις με το επίπεδο βάσης ίσες γωνίες, ή όταν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί κοντά στη βάση της πυραμίδας και η κορυφή της πυραμίδας θα προβάλλεται στο κέντρο αυτού του κύκλου, πράγμα που σημαίνει ότι όλες οι πλευρικές ακμές της πυραμίδας έχουν το ίδιο μέγεθος.
2. Όταν οι πλευρικές όψεις έχουν γωνία κλίσης ως προς το επίπεδο της βάσης της ίδιας τιμής, τότε:
- κοντά στη βάση της πυραμίδας, είναι εύκολο να περιγραφεί ένας κύκλος, ενώ η κορυφή της πυραμίδας θα προβάλλεται στο κέντρο αυτού του κύκλου.
- τα ύψη των πλευρικών όψεων είναι ίσου μήκους.
- το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι το ½ του γινόμενου της περιμέτρου της βάσης και του ύψους της πλευρικής όψης.
3. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί κοντά στην πυραμίδα εάν η βάση της πυραμίδας είναι ένα πολύγωνο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Το κέντρο της σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των επιπέδων που διέρχονται από τα μεσαία σημεία των κάθετων σε αυτά άκρων της πυραμίδας. Από αυτό το θεώρημα συμπεραίνουμε ότι μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί τόσο γύρω από οποιοδήποτε τριγωνικό όσο και γύρω από οποιαδήποτε κανονική πυραμίδα.
4. Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα επίπεδα διχοτόμου του εσωτερικού διεδρικές γωνίεςοι πυραμίδες τέμνονται στο 1ο σημείο (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Αυτό το σημείο θα γίνει το κέντρο της σφαίρας.
5. Ο κώνος θα εγγραφεί στην πυραμίδα όταν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου θα εγγραφεί στη βάση της πυραμίδας. Ταυτόχρονα, είναι δυνατή η εγγραφή ενός κώνου σε μια πυραμίδα μόνο εάν τα αποθέματα της πυραμίδας έχουν ίσες τιμές (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη).
6. Ο κώνος θα εγγραφεί κοντά στην πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου θα εγγραφεί κοντά στη βάση της πυραμίδας. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι δυνατό να περιγραφεί ένας κώνος κοντά στην πυραμίδα μόνο εάν όλες οι πλευρικές άκρες της πυραμίδας έχουν τις ίδιες τιμές (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Τα ύψη αυτών των κώνων και των πυραμίδων είναι τα ίδια.
7. Ο κύλινδρος θα εγγραφεί στην πυραμίδα εάν 1-αλλά η βάση του συμπίπτει με τον κύκλο, ο οποίος είναι εγγεγραμμένος στο τμήμα της πυραμίδας από ένα επίπεδο, παράλληλα με τη βάση, και η δεύτερη βάση θα ανήκει στη βάση της πυραμίδας.
8. Ο κύλινδρος θα εγγράφεται κοντά στην πυραμίδα όταν η κορυφή της πυραμίδας ανήκει στη μία βάση της και η δεύτερη βάση του κυλίνδρου θα εγγράφεται κοντά στη βάση της πυραμίδας. Ταυτόχρονα, είναι δυνατό να περιγραφεί ένας κύλινδρος κοντά στην πυραμίδα μόνο εάν η βάση της πυραμίδας είναι ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη).
Τύποι για τον προσδιορισμό του όγκου και του εμβαδού μιας ορθογώνιας πυραμίδας.
V- ο όγκος της πυραμίδας,
μικρόείναι το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας,
η- το ύψος της πυραμίδας,
Sbείναι η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας,
ένα- αποθέμ (δεν πρέπει να συγχέεται με α ) πυραμίδες,
Π- η περίμετρος της βάσης της πυραμίδας,
n- τον αριθμό των πλευρών της βάσης της πυραμίδας,
σι- μήκος πλευρική πλευράπυραμίδες,
α - επίπεδη γωνία στην κορυφή της πυραμίδας.