Κατά προτίμηση μηχανικής - ένα στο οποίο υπάρχει ένα κουμπί με το σύμβολο της ρίζας: "√". Συνήθως, για να εξαγάγετε τη ρίζα, αρκεί να πληκτρολογήσετε τον ίδιο τον αριθμό και, στη συνέχεια, να πατήσετε το κουμπί: "√".
Στα πιο σύγχρονα κινητά τηλέφωναυπάρχει μια εφαρμογή "αριθμομηχανή" με λειτουργία εξαγωγής ρίζας. Η διαδικασία εύρεσης της ρίζας ενός αριθμού με χρήση τηλεφωνικής αριθμομηχανής είναι παρόμοια με την παραπάνω.
Παράδειγμα.
Βρείτε από το 2.
Ενεργοποιούμε την αριθμομηχανή (αν είναι απενεργοποιημένη) και πατάμε διαδοχικά τα κουμπιά με την εικόνα των δύο και τη ρίζα (“2”, “√”). Το πάτημα του πλήκτρου "=" συνήθως δεν είναι απαραίτητο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε έναν αριθμό όπως 1,4142 (ο αριθμός των χαρακτήρων και η "στρογγυλότητα" εξαρτάται από το βάθος bit και τις ρυθμίσεις της αριθμομηχανής).
Σημείωση: όταν προσπαθείτε να βρείτε τη ρίζα, η αριθμομηχανή συνήθως δίνει ένα σφάλμα.
Εάν έχετε πρόσβαση σε υπολογιστή, τότε η εύρεση της ρίζας ενός αριθμού είναι πολύ απλή.
1. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την εφαρμογή Αριθμομηχανή που είναι διαθέσιμη σε σχεδόν οποιονδήποτε υπολογιστή. Για τα Windows XP, αυτό το πρόγραμμα μπορεί να εκτελεστεί ως εξής:
"Έναρξη" - "Όλα τα προγράμματα" - "Αξεσουάρ" - "Αριθμομηχανή".
Είναι καλύτερα να ρυθμίσετε την προβολή σε "κανονική". Παρεμπιπτόντως, σε αντίθεση με μια πραγματική αριθμομηχανή, το κουμπί για την εξαγωγή της ρίζας επισημαίνεται ως "sqrt", όχι "√".
Εάν δεν φτάσετε στην αριθμομηχανή με τον καθορισμένο τρόπο, τότε μπορείτε να ξεκινήσετε την τυπική αριθμομηχανή "μη αυτόματα":
"Start" - "Run" - "calc".
2. Για να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε ορισμένα προγράμματα που είναι εγκατεστημένα στον υπολογιστή σας. Επιπλέον, το πρόγραμμα έχει τη δική του ενσωματωμένη αριθμομηχανή.
Για παράδειγμα, για την εφαρμογή MS Excel, μπορείτε να κάνετε την ακόλουθη σειρά ενεργειών:
Ξεκινάμε το MS Excel.
Γράφουμε σε οποιοδήποτε κελί τον αριθμό από τον οποίο θέλετε να εξαγάγετε τη ρίζα.
Μετακινήστε τον δείκτη κελιού σε διαφορετική θέση
Πατήστε το κουμπί επιλογής λειτουργίας (fx)
Επιλέξτε τη λειτουργία "ROOT".
Ως όρισμα συνάρτησης, καθορίστε ένα κελί με έναν αριθμό
Πατήστε "OK" ή "Enter"
πλεονέκτημα αυτή τη μέθοδοείναι ότι τώρα αρκεί να εισαγάγετε οποιαδήποτε τιμή στο κελί με τον αριθμό, όπως στο με η συνάρτηση εμφανίζεται αμέσως.
Σημείωση.
Υπάρχουν αρκετοί άλλοι, πιο εξωτικοί τρόποι για να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού. Για παράδειγμα, μια "γωνία", χρησιμοποιώντας έναν κανόνα διαφανειών ή πίνακες Bradis. Ωστόσο, αυτές οι μέθοδοι δεν εξετάζονται σε αυτό το άρθρο λόγω της πολυπλοκότητας και της πρακτικής αχρηστίας τους.
Σχετικά βίντεο
Πηγές:
- πώς να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού
Μερικές φορές υπάρχουν περιπτώσεις όπου πρέπει να εκτελέσετε μαθηματικούς υπολογισμούς, συμπεριλαμβανομένης της εξαγωγής τετραγωνικών ριζών και ριζών υψηλότερου βαθμού από έναν αριθμό. Η ρίζα "n" του "a" είναι ο αριθμός η ισχύςπου είναι ο αριθμός «α».
Εντολή
Για να βρείτε τη ρίζα "n" του , κάντε τα εξής.
Κάντε κλικ στον υπολογιστή σας "Έναρξη" - "Όλα τα προγράμματα" - "Αξεσουάρ". Στη συνέχεια, μπείτε στην υποενότητα "Βοηθητικά προγράμματα" και επιλέξτε "Αριθμομηχανή". Μπορείτε να το κάνετε χειροκίνητα: κάντε κλικ στο "Start", πληκτρολογήστε "calk" στη γραμμή "run" και πατήστε "Enter". θα ανοίξει. Για να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε αριθμού, πληκτρολογήστε τη στη γραμμή της αριθμομηχανής και πατήστε το κουμπί με την ένδειξη "sqrt". Η αριθμομηχανή θα εξαγάγει τη ρίζα του δεύτερου βαθμού, που ονομάζεται τετράγωνο, από τον εισαγόμενο αριθμό.
Για να εξαγάγετε τη ρίζα, ο βαθμός της οποίας είναι υψηλότερος από τη δεύτερη, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ένα διαφορετικό είδος αριθμομηχανής. Για να το κάνετε αυτό, κάντε κλικ στο κουμπί "Προβολή" στη διεπαφή της αριθμομηχανής και επιλέξτε τη γραμμή "Μηχανική" ή "Επιστημονική" από το μενού. Αυτός ο τύπος αριθμομηχανής έχει τα απαραίτητα για τον υπολογισμό ρίζα nthσυνάρτηση βαθμού.
Για να εξαγάγετε τη ρίζα του τρίτου βαθμού (), στην αριθμομηχανή "engineering", πληκτρολογήστε τον επιθυμητό αριθμό και πατήστε το κουμπί "3√". Για να αποκτήσετε ρίζα μεγαλύτερη από την 3η, πληκτρολογήστε τον επιθυμητό αριθμό, πατήστε το κουμπί με το εικονίδιο "y√x" και, στη συνέχεια, εισαγάγετε τον αριθμό - τον εκθέτη. Μετά από αυτό, πατήστε το σύμβολο ίσον (κουμπί "=") και θα λάβετε τη ρίζα που αναζητάτε.
Εάν η αριθμομηχανή σας δεν έχει τη συνάρτηση "y√x", τα ακόλουθα.
Για να εξαγάγετε τη ρίζα του κύβου, εισαγάγετε τη ριζική έκφραση και, στη συνέχεια, επιλέξτε το πλαίσιο δίπλα στην επιγραφή "Inv". Με αυτήν την ενέργεια, θα αντιστρέψετε τις λειτουργίες των κουμπιών της αριθμομηχανής, δηλαδή κάνοντας κλικ στο κουμπί σε κύβο, θα εξαγάγετε τη ρίζα του κύβου. Στο κουμπί που εσείς
Η εξαγωγή μιας ρίζας είναι η αντίστροφη πράξη της εκθέσεως. Δηλαδή, εξάγοντας τη ρίζα του αριθμού Χ, παίρνουμε έναν αριθμό που, στο τετράγωνο, θα δώσει τον ίδιο αριθμό Χ.
Η εξαγωγή της ρίζας είναι μια αρκετά απλή διαδικασία. Ένας πίνακας τετραγώνων μπορεί να διευκολύνει την εργασία εξαγωγής. Επειδή είναι αδύνατο να θυμάστε όλα τα τετράγωνα και τις ρίζες από την καρδιά, και οι αριθμοί μπορεί να είναι μεγάλοι.
Εξαγωγή της ρίζας από έναν αριθμό
εξαγωγή τετραγωνική ρίζααπό τον αριθμό είναι απλό. Επιπλέον, αυτό μπορεί να γίνει όχι αμέσως, αλλά σταδιακά. Για παράδειγμα, πάρτε την έκφραση √256. Αρχικά, είναι δύσκολο για ένα άτομο που δεν γνωρίζει να δώσει μια απάντηση αμέσως. Μετά θα κάνουμε τα βήματα. Αρχικά, διαιρούμε μόνο με τον αριθμό 4, από τον οποίο βγάζουμε το επιλεγμένο τετράγωνο ως ρίζα.
Ισοπαλία: √(64 4), τότε θα είναι ισοδύναμο με 2√64. Και όπως γνωρίζετε, σύμφωνα με τον πίνακα πολλαπλασιασμού 64 = 8 8. Η απάντηση θα είναι 2*8=16.
Εγγραφείτε στο μάθημα "Επιτάχυνση της νοητικής μέτρησης, ΟΧΙ νοητικής αριθμητικής" για να μάθετε πώς να προσθέτετε, αφαιρείτε, πολλαπλασιάζετε, διαιρείτε, τετραγωνίζετε αριθμούς και ακόμη και παίρνετε ρίζες γρήγορα και σωστά. Σε 30 ημέρες, θα μάθετε πώς να χρησιμοποιείτε εύκολα κόλπα για να απλοποιήσετε τις αριθμητικές πράξεις. Κάθε μάθημα περιέχει νέες τεχνικές, ξεκάθαρα παραδείγματα και χρήσιμες εργασίες.
Σύνθετη εξαγωγή ριζών
Η τετραγωνική ρίζα δεν μπορεί να υπολογιστεί από αρνητικούς αριθμούς, γιατί κάθε αριθμός στο τετράγωνο είναι θετικός αριθμός!
Μιγαδικός αριθμός είναι ένας αριθμός i που στο τετράγωνο είναι -1. Δηλαδή i2=-1.
Στα μαθηματικά, υπάρχει ένας αριθμός που προκύπτει παίρνοντας τη ρίζα του αριθμού -1.
Δηλαδή, είναι δυνατό να υπολογιστεί η ρίζα του αρνητικός αριθμός, αλλά αυτό ισχύει ήδη για τα ανώτερα μαθηματικά, όχι για το σχολείο.
Εξετάστε ένα παράδειγμα τέτοιας εξαγωγής ριζών: √(-49)=7*√(-1)=7i.
Αριθμομηχανή ρίζας σε απευθείας σύνδεση
Με τη βοήθεια της αριθμομηχανής μας, μπορείτε να υπολογίσετε την εξαγωγή ενός αριθμού από την τετραγωνική ρίζα:
Μετατροπή παραστάσεων που περιέχουν τη λειτουργία εξαγωγής της ρίζας
Η ουσία του μετασχηματισμού των ριζικών εκφράσεων είναι να αποσυντεθεί ο ριζικός αριθμός σε απλούστερους, από τους οποίους μπορεί να εξαχθεί η ρίζα. Όπως 4, 9, 25 και ούτω καθεξής.
Ας πάρουμε ένα παράδειγμα, √625. Διαιρούμε τη ριζική έκφραση με τον αριθμό 5. Παίρνουμε √(125 5), επαναλαμβάνουμε τη λειτουργία √(25 25), αλλά γνωρίζουμε ότι το 25 είναι 52. Άρα η απάντηση είναι 5*5=25.
Υπάρχουν όμως αριθμοί για τους οποίους η ρίζα δεν μπορεί να υπολογιστεί με αυτή τη μέθοδο και απλά πρέπει να γνωρίζετε την απάντηση ή να έχετε διαθέσιμο έναν πίνακα με τετράγωνα.
√289=√(17*17)=17
Αποτέλεσμα
Έχουμε εξετάσει μόνο την κορυφή του παγόβουνου, για να κατανοήσουμε καλύτερα τα μαθηματικά - εγγραφείτε στο μάθημά μας: Επιταχύνετε τη νοητική μέτρηση - ΟΧΙ νοητική αριθμητική.
Από το μάθημα όχι μόνο θα μάθετε δεκάδες κόλπα για απλοποιημένο και γρήγορο πολλαπλασιασμό, πρόσθεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση, υπολογισμό ποσοστών, αλλά και να τα επεξεργαστείτε σε ειδικές εργασίες και εκπαιδευτικά παιχνίδια! Η νοητική καταμέτρηση απαιτεί επίσης πολλή προσοχή και συγκέντρωση, τα οποία εκπαιδεύονται ενεργά στην επίλυση ενδιαφέροντων προβλημάτων.
Και έχετε εξάρτηση από την αριθμομηχανή? Ή πιστεύετε ότι, εκτός από μια αριθμομηχανή ή χρησιμοποιώντας έναν πίνακα τετραγώνων, είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστεί, για παράδειγμα,.
Συμβαίνει ότι οι μαθητές είναι δεμένοι σε μια αριθμομηχανή και μάλιστα πολλαπλασιάζουν το 0,7 επί 0,5 πατώντας τα αγαπημένα κουμπιά. Λένε, καλά, ξέρω ακόμα πώς να υπολογίσω, αλλά τώρα θα εξοικονομήσω χρόνο ... Θα υπάρξει μια εξέταση ... μετά θα τεταθώ ...
Γεγονός λοιπόν είναι ότι ούτως ή άλλως θα υπάρξουν πολλές «τεταμένες στιγμές» στις εξετάσεις... Όπως λένε, το νερό φθείρει την πέτρα. Έτσι, στις εξετάσεις, τα μικρά πράγματα, αν είναι πολλά, μπορούν να σε γκρεμίσουν…
Ας ελαχιστοποιήσουμε τον αριθμό των πιθανών προβλημάτων.
Λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα ενός μεγάλου αριθμού
Τώρα θα μιλήσουμε μόνο για την περίπτωση που το αποτέλεσμα της εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας είναι ακέραιος.
Περίπτωση 1
Έτσι, ας χρειαστεί οπωσδήποτε (για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό της διάκρισης) να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα του 86436.
Θα αναλύσουμε τον αριθμό 86436 σε πρωταρχικούς παράγοντες. Διαιρούμε με το 2, παίρνουμε 43218. πάλι διαιρούμε με το 2, - παίρνουμε 21609. Ο αριθμός δεν διαιρείται με 2 ακόμη. Επειδή όμως το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το 3, τότε ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 3 (γενικά μιλώντας, φαίνεται ότι διαιρείται επίσης με το 9). . Για άλλη μια φορά διαιρούμε με το 3, παίρνουμε το 2401. Το 2401 δεν διαιρείται πλήρως με το 3. Δεν διαιρείται με το πέντε (δεν τελειώνει με 0 ή 5).
Υποπτευόμαστε τη διαιρετότητα με το 7. Πράγματι, ένα ,
Λοιπόν, πλήρης παραγγελία!
Περίπτωση 2
Ας πρέπει να υπολογίσουμε. Δεν είναι βολικό να ενεργείτε με τον ίδιο τρόπο όπως περιγράφεται παραπάνω. Προσπάθεια παραγοντοποίησης...
Ο αριθμός 1849 δεν διαιρείται πλήρως με το 2 (δεν είναι ζυγός) ...
Δεν διαιρείται πλήρως με το 3 (το άθροισμα των ψηφίων δεν είναι πολλαπλάσιο του 3) ...
Δεν διαιρείται πλήρως με το 5 (το τελευταίο ψηφίο δεν είναι 5 ή 0) ...
Δεν διαιρείται πλήρως με το 7, δεν διαιρείται με το 11, δεν διαιρείται με το 13 ... Λοιπόν, πόσο καιρό θα μας πάρει για να περάσουμε όλους τους πρώτους αριθμούς έτσι;
Ας μαλώσουμε λίγο διαφορετικά.
Το καταλαβαίνουμε
Περιορίσαμε την αναζήτηση. Τώρα ταξινομούμε τους αριθμούς από το 41 έως το 49. Επιπλέον, είναι σαφές ότι αφού το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το 9, τότε αξίζει να σταματήσουμε στις επιλογές 43 ή 47 - μόνο αυτοί οι αριθμοί, όταν τετραγωνιστούν, θα δώσουν τελευταίο ψηφίο 9.
Λοιπόν, εδώ ήδη, φυσικά, σταματάμε στα 43. Πράγματι,
ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ.Πώς στο διάολο πολλαπλασιάζουμε το 0,7 με το 0,5;
Θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 5 με το 7, αγνοώντας τα μηδενικά και τα σημάδια, και στη συνέχεια να διαχωρίσετε, πηγαίνοντας από τα δεξιά προς τα αριστερά, δύο δεκαδικά ψηφία. Παίρνουμε 0,35.
Τα μαθηματικά γεννήθηκαν όταν ένα άτομο συνειδητοποίησε τον εαυτό του και άρχισε να τοποθετεί τον εαυτό του ως μια αυτόνομη μονάδα του κόσμου. Η επιθυμία να μετρήσετε, να συγκρίνετε, να υπολογίσετε αυτό που σας περιβάλλει είναι αυτό που κρύβει μια από τις θεμελιώδεις επιστήμες των ημερών μας. Στην αρχή, αυτά ήταν κομμάτια στοιχειωδών μαθηματικών, που επέτρεψαν τη σύνδεση αριθμών με τις φυσικές τους εκφράσεις, αργότερα τα συμπεράσματα άρχισαν να παρουσιάζονται μόνο θεωρητικά (λόγω της αφηρητότητάς τους), αλλά μετά από λίγο, όπως το έθεσε ένας επιστήμονας, " τα μαθηματικά έφτασαν στο ανώτατο όριο της πολυπλοκότητας όταν όλοι οι αριθμοί». Η έννοια της «τετραγωνικής ρίζας» εμφανίστηκε σε μια εποχή που μπορούσε εύκολα να υποστηριχθεί από εμπειρικά δεδομένα, ξεπερνώντας το επίπεδο των υπολογισμών.
Πώς ξεκίνησαν όλα
Η πρώτη αναφορά της ρίζας, η οποία στις αυτή τη στιγμήπου συμβολίζεται ως √, καταγράφηκε στα γραπτά των Βαβυλωνίων μαθηματικών, που έθεσαν τα θεμέλια για τη σύγχρονη αριθμητική. Φυσικά, έμοιαζαν λίγο με τη σημερινή μορφή - οι επιστήμονες εκείνων των χρόνων χρησιμοποίησαν για πρώτη φορά ογκώδη δισκία. Όμως στη δεύτερη χιλιετία π.Χ. μι. κατέληξαν σε έναν κατά προσέγγιση τύπο υπολογισμού που έδειχνε πώς να πάρει την τετραγωνική ρίζα. Η παρακάτω φωτογραφία δείχνει μια πέτρα στην οποία οι Βαβυλώνιοι επιστήμονες χάραξαν τη διαδικασία εξόδου √2 και αποδείχθηκε τόσο σωστή που η απόκλιση στην απάντηση βρέθηκε μόνο στο δέκατο δεκαδικό ψηφίο.
Επιπλέον, η ρίζα χρησιμοποιήθηκε αν ήταν απαραίτητο να βρεθεί η πλευρά ενός τριγώνου, με την προϋπόθεση ότι οι άλλες δύο ήταν γνωστές. Λοιπόν, όταν λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις, δεν υπάρχει διαφυγή από την εξαγωγή της ρίζας.
Μαζί με τα βαβυλωνιακά έργα, το αντικείμενο του άρθρου μελετήθηκε στο κινεζικό έργο "Mathematics in Nine Books" και οι αρχαίοι Έλληνες κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οποιοσδήποτε αριθμός από τον οποίο δεν εξάγεται η ρίζα χωρίς υπόλοιπο δίνει ένα παράλογο αποτέλεσμα.
Η προέλευση αυτού του όρου συνδέεται με την αραβική αναπαράσταση του αριθμού: οι αρχαίοι επιστήμονες πίστευαν ότι το τετράγωνο ενός αυθαίρετου αριθμού μεγαλώνει από τη ρίζα, όπως ένα φυτό. Στα λατινικά, αυτή η λέξη ακούγεται σαν ρίζα (μπορεί κανείς να εντοπίσει ένα μοτίβο - οτιδήποτε έχει σημασιολογικό φορτίο «ρίζας» είναι σύμφωνο, είτε είναι ραπανάκι είτε ισχιαλγία).
Οι επιστήμονες των επόμενων γενεών άντλησαν αυτήν την ιδέα, χαρακτηρίζοντάς την ως Rx. Για παράδειγμα, τον 15ο αιώνα, για να υποδείξουν ότι η τετραγωνική ρίζα προέρχεται από έναν αυθαίρετο αριθμό α, έγραψαν R 2 a. Το «τσιμπούρι» √, γνωστό στη σύγχρονη εμφάνιση, εμφανίστηκε μόλις τον 17ο αιώνα χάρη στον Rene Descartes.
Οι μέρες μας
Μαθηματικά, η τετραγωνική ρίζα του y είναι ο αριθμός z του οποίου το τετράγωνο είναι y. Με άλλα λόγια, το z 2 =y είναι ισοδύναμο με √y=z. Ωστόσο αυτόν τον ορισμόαφορά μόνο την αριθμητική ρίζα, αφού υποδηλώνει μια μη αρνητική τιμή της έκφρασης. Με άλλα λόγια, √y=z, όπου το z είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0.
Γενικά, που ισχύει για τον προσδιορισμό μιας αλγεβρικής ρίζας, η τιμή μιας παράστασης μπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική. Έτσι, λόγω του γεγονότος ότι z 2 =y και (-z) 2 =y, έχουμε: √y=±z ή √y=|z|.
Λόγω του γεγονότος ότι η αγάπη για τα μαθηματικά έχει αυξηθεί μόνο με την ανάπτυξη της επιστήμης, υπάρχουν διάφορες εκδηλώσεις στοργής για αυτά, που δεν εκφράζονται σε ξηρούς υπολογισμούς. Για παράδειγμα, μαζί με τόσο ενδιαφέροντα γεγονότα όπως η ημέρα του Πι, γιορτάζονται και οι διακοπές της τετραγωνικής ρίζας. Γιορτάζονται εννέα φορές σε εκατό χρόνια και καθορίζονται σύμφωνα με την ακόλουθη αρχή: οι αριθμοί που δηλώνουν την ημέρα και τον μήνα κατά σειρά πρέπει να είναι η τετραγωνική ρίζα του έτους. Έτσι, την επόμενη φορά αυτή η γιορτή θα γιορταστεί στις 4 Απριλίου 2016.
Ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας στο πεδίο R
Σχεδόν όλες οι μαθηματικές εκφράσεις έχουν γεωμετρική βάση, αυτή η μοίρα δεν πέρασε και √y, που ορίζεται ως η πλευρά ενός τετραγώνου με εμβαδόν y.
Πώς να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού;
Υπάρχουν αρκετοί αλγόριθμοι υπολογισμού. Ο απλούστερος, αλλά ταυτόχρονα αρκετά δυσκίνητος, είναι ο συνηθισμένος αριθμητικός υπολογισμός, ο οποίος έχει ως εξής:
1) από τον αριθμό του οποίου τη ρίζα χρειαζόμαστε, οι περιττοί αριθμοί αφαιρούνται με τη σειρά τους - έως ότου το υπόλοιπο της παραγωγής είναι μικρότερο από το αφαιρούμενο ή ίσο με μηδέν. Ο αριθμός των κινήσεων θα γίνει τελικά ο επιθυμητός αριθμός. Για παράδειγμα, υπολογίζοντας την τετραγωνική ρίζα του 25:
Ο επόμενος περιττός αριθμός είναι το 11, το υπόλοιπο είναι: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Για τέτοιες περιπτώσεις, υπάρχει μια επέκταση της σειράς Taylor:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , όπου το n παίρνει τιμές από 0 έως
+∞ και |y|≤1.
Γραφική παράσταση της συνάρτησης z=√y
Θεωρήστε μια στοιχειώδη συνάρτηση z=√y στο πεδίο των πραγματικών αριθμών R, όπου το y είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν. Το διάγραμμα της μοιάζει με αυτό:
Η καμπύλη μεγαλώνει από την αρχή και αναγκαστικά διασχίζει το σημείο (1; 1).
Ιδιότητες της συνάρτησης z=√y στο πεδίο των πραγματικών αριθμών R
1. Το πεδίο ορισμού της εξεταζόμενης συνάρτησης είναι το διάστημα από το μηδέν έως το συν άπειρο (περιλαμβάνεται το μηδέν).
2. Το εύρος τιμών της εξεταζόμενης συνάρτησης είναι το διάστημα από το μηδέν έως το συν άπειρο (περιλαμβάνεται και πάλι το μηδέν).
3. Η συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη τιμή (0) μόνο στο σημείο (0; 0). Δεν υπάρχει μέγιστη τιμή.
4. Η συνάρτηση z=√y δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
5. Η συνάρτηση z=√y δεν είναι περιοδική.
6. Υπάρχει μόνο ένα σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης z=√y με τους άξονες συντεταγμένων: (0; 0).
7. Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης z=√y είναι και το μηδέν αυτής της συνάρτησης.
8. Η συνάρτηση z=√y αυξάνεται συνεχώς.
9. Η συνάρτηση z=√y παίρνει μόνο θετικές τιμές, επομένως, η γραφική παράσταση της καταλαμβάνει την πρώτη γωνία συντεταγμένων.
Επιλογές για την εμφάνιση της συνάρτησης z=√y
Στα μαθηματικά, για να διευκολυνθεί ο υπολογισμός μιγαδικών παραστάσεων, χρησιμοποιείται μερικές φορές η μορφή ισχύος της γραφής της τετραγωνικής ρίζας: √y=y 1/2. Αυτή η επιλογή είναι βολική, για παράδειγμα, για την αύξηση μιας συνάρτησης σε μια ισχύ: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Αυτή η μέθοδος είναι επίσης μια καλή αναπαράσταση για διαφοροποίηση με ολοκλήρωση, αφού χάρη σε αυτήν η τετραγωνική ρίζα αντιπροσωπεύεται από μια συνηθισμένη συνάρτηση ισχύος.
Και στον προγραμματισμό, η αντικατάσταση του συμβόλου √ είναι ο συνδυασμός των γραμμάτων sqrt.
Αξίζει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περιοχή η τετραγωνική ρίζα έχει μεγάλη ζήτηση, καθώς αποτελεί μέρος των περισσότερων γεωμετρικών τύπων που είναι απαραίτητοι για τους υπολογισμούς. Ο ίδιος ο αλγόριθμος μέτρησης είναι αρκετά περίπλοκος και βασίζεται στην αναδρομή (μια συνάρτηση που καλεί τον εαυτό του).
Η τετραγωνική ρίζα στο μιγαδικό πεδίο Γ
Σε γενικές γραμμές, ήταν το θέμα αυτού του άρθρου που ώθησε την ανακάλυψη του πεδίου των μιγαδικών αριθμών C, καθώς οι μαθηματικοί κυνηγούνταν από το ζήτημα της απόκτησης ρίζας ζυγού βαθμού από έναν αρνητικό αριθμό. Έτσι εμφανίστηκε η φανταστική μονάδα i, η οποία χαρακτηρίζεται από μια πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα: το τετράγωνό της είναι -1. Χάρη σε αυτό, οι τετραγωνικές εξισώσεις και με αρνητική διάκριση πήραν μια λύση. Στο C, για την τετραγωνική ρίζα, οι ίδιες ιδιότητες είναι σχετικές με το R, το μόνο πράγμα είναι ότι αφαιρούνται οι περιορισμοί στην έκφραση ρίζας.
Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας χωρίς αριθμομηχανή.
Πώς να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού - 1 τρόπος
- Μία από τις μεθόδους είναι η παραγοντοποίηση του αριθμού που βρίσκεται κάτω από τη ρίζα. Αυτά τα συστατικά, ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, σχηματίζουν μια ριζική τιμή. Η ακρίβεια του αποτελέσματος που προκύπτει εξαρτάται από τον αριθμό κάτω από τη ρίζα.
- Για παράδειγμα, εάν λάβετε τον αριθμό 1.600 και αρχίσετε να τον παραγοντοποιείτε, τότε ο συλλογισμός θα κατασκευαστεί ως εξής: αυτός ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 100, που σημαίνει ότι μπορεί να διαιρεθεί με το 25. Εφόσον εξάγεται η ρίζα του αριθμού 25, ο αριθμός είναι τετράγωνος και κατάλληλος για περαιτέρω υπολογισμούς. κατά τη διαίρεση, παίρνουμε έναν άλλο αριθμό - 64. Αυτός ο αριθμός είναι επίσης τετράγωνος, επομένως η ρίζα εξάγεται καλά. Μετά από αυτούς τους υπολογισμούς, κάτω από τη ρίζα, μπορείτε να γράψετε τον αριθμό 1600 ως γινόμενο του 25 και του 64.
- Ένας από τους κανόνες για την εξαγωγή της ρίζας λέει ότι η ρίζα του γινομένου των παραγόντων είναι ίση με τον αριθμό που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των ριζών κάθε παράγοντα. Αυτό σημαίνει ότι: √(25*64) = √25 * √64. Αν εξαγάγουμε τις ρίζες από το 25 και το 64, παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση: 5 * 8 = 40. Δηλαδή, η τετραγωνική ρίζα του αριθμού 1600 είναι 40.
- Αλλά συμβαίνει ότι ο αριθμός κάτω από τη ρίζα δεν αποσυντίθεται σε δύο παράγοντες, από τους οποίους εξάγεται ολόκληρη η ρίζα. Συνήθως αυτό μπορεί να γίνει μόνο για έναν από τους πολλαπλασιαστές. Επομένως, τις περισσότερες φορές είναι αδύνατο να βρεθεί μια απολύτως ακριβής απάντηση σε μια τέτοια εξίσωση.
- Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να υπολογιστεί μόνο μια κατά προσέγγιση τιμή. Επομένως, πρέπει να πάρετε τη ρίζα του παράγοντα, που είναι ένας τετράγωνος αριθμός. Αυτή η τιμή στη συνέχεια πολλαπλασιάζεται με τη ρίζα του δεύτερου αριθμού, που δεν είναι ο τετραγωνικός όρος της εξίσωσης.
- Φαίνεται κάπως έτσι, για παράδειγμα, πάρτε τον αριθμό 320. Μπορεί να αποσυντεθεί σε 64 και 5. Μπορείτε να εξαγάγετε ολόκληρη τη ρίζα από το 64, αλλά όχι από το 5. Επομένως, η έκφραση θα μοιάζει με αυτό: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
- Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να βρείτε μια κατά προσέγγιση τιμή αυτού του αποτελέσματος υπολογίζοντας
√5 ≈ 2,236, επομένως, √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18. - Επίσης, ο αριθμός κάτω από τη ρίζα μπορεί να αποσυντεθεί σε πολλούς πρώτους παράγοντες και να αφαιρεθούν οι ίδιοι από κάτω. Παράδειγμα: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.
Πώς να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού - 2 τρόπος
- Ένας άλλος τρόπος είναι να χωρίσετε σε στήλη. Η διαίρεση είναι παρόμοια, αλλά χρειάζεται μόνο να αναζητήσετε τετράγωνους αριθμούς, από τους οποίους στη συνέχεια εξάγετε τη ρίζα.
- Σε αυτή την περίπτωση, γράφουμε από πάνω τον τετράγωνο αριθμό και τον αφαιρούμε στην αριστερή πλευρά και την εξαγόμενη ρίζα από κάτω.
- Τώρα η δεύτερη τιμή πρέπει να διπλασιαστεί και να γραφεί από κάτω δεξιά με τη μορφή: αριθμός_x_=. Τα κενά πρέπει να συμπληρωθούν με έναν αριθμό που θα είναι μικρότερος ή ίσος με την απαιτούμενη τιμή στα αριστερά - όπως και στην κανονική διαίρεση.
- Εάν είναι απαραίτητο, αυτό το αποτέλεσμα αφαιρείται και πάλι από τα αριστερά. Τέτοιοι υπολογισμοί συνεχίζονται μέχρι να επιτευχθεί το αποτέλεσμα. Μπορούν επίσης να προστεθούν μηδενικά μέχρι να λάβετε τον επιθυμητό αριθμό δεκαδικών ψηφίων.