Για να παραγοντοποιήσουμε, είναι απαραίτητο να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις. Αυτό είναι απαραίτητο για να μπορεί να μειωθεί περαιτέρω. Η επέκταση ενός πολυωνύμου έχει νόημα όταν ο βαθμός του δεν είναι μικρότερος από δύο. Ένα πολυώνυμο με τον πρώτο βαθμό ονομάζεται γραμμικό.
Το άρθρο θα καλύψει όλες τις έννοιες της αποσύνθεσης, θεωρητική βάσηκαι μέθοδοι παραγοντοποίησης πολυωνύμου.
Θεωρία
Θεώρημα 1Όταν οποιοδήποτε πολυώνυμο με βαθμό n, που έχει τη μορφή P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, αντιπροσωπεύονται ως γινόμενο με σταθερό παράγοντα με τον υψηλότερο βαθμό a n και n γραμμικούς συντελεστές (x - x i), i = 1, 2, ..., n, μετά P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , όπου x i, i = 1, 2, …, n είναι οι ρίζες του πολυωνύμου.
Το θεώρημα προορίζεται για ρίζες μιγαδικού τύπου x i, i = 1, 2, …, n και για μιγαδικούς συντελεστές a k, k = 0, 1, 2, …, n. Αυτή είναι η βάση οποιασδήποτε αποσύνθεσης.
Όταν οι συντελεστές της μορφής a k, k = 0, 1, 2, …, n είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε οι μιγαδικές ρίζες θα εμφανίζονται σε συζυγή ζεύγη. Για παράδειγμα, οι ρίζες x 1 και x 2 σχετίζονται με ένα πολυώνυμο της μορφής P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 θεωρούνται μιγαδικές συζυγείς, τότε οι άλλες ρίζες είναι πραγματικές, από τις οποίες προκύπτει ότι το πολυώνυμο παίρνει τη μορφή P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, όπου x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Σχόλιο
Οι ρίζες ενός πολυωνύμου μπορούν να επαναληφθούν. Ας εξετάσουμε την απόδειξη του θεωρήματος της άλγεβρας, συνέπεια του θεωρήματος του Bezout.
Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας
Θεώρημα 2Κάθε πολυώνυμο με βαθμό n έχει τουλάχιστον μία ρίζα.
Το θεώρημα του Bezout
Μετά τη διαίρεση ενός πολυωνύμου της μορφής P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 on (x - s), τότε παίρνουμε το υπόλοιπο, που είναι ίσο με το πολυώνυμο στο σημείο s, τότε παίρνουμε
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , όπου Q n - 1 (x) είναι ένα πολυώνυμο με βαθμό n - 1.
Συμπέρασμα στο θεώρημα του Bezout
Όταν η ρίζα του πολυωνύμου P n (x) θεωρείται s, τότε P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Αυτό το συμπέρασμα είναι αρκετό όταν χρησιμοποιείται για την περιγραφή της λύσης.
Παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού τριωνύμου
Ένα τετράγωνο τριώνυμο της μορφής a x 2 + b x + c μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε γραμμικούς παράγοντες. τότε παίρνουμε ότι a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , όπου x 1 και x 2 είναι ρίζες (σύνθετες ή πραγματικές).
Από αυτό είναι σαφές ότι η ίδια η επέκταση μειώνεται στη λύση τετραγωνική εξίσωσηακολούθως.
Παράδειγμα 1
Συντελεστής το τετραγωνικό τριώνυμο.
Λύση
Είναι απαραίτητο να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε την τιμή του διαχωριστή χρησιμοποιώντας τον τύπο και, στη συνέχεια, παίρνουμε D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Από εδώ το έχουμε
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Από αυτό παίρνουμε ότι 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Για να εκτελέσετε τον έλεγχο, πρέπει να ανοίξετε τις παρενθέσεις. Τότε παίρνουμε μια έκφραση της φόρμας:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Αφού ελέγξουμε, φτάνουμε στην αρχική έκφραση. Δηλαδή, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η αποσύνθεση έγινε σωστά.
Παράδειγμα 2
Συντελεστής το τετραγωνικό τριώνυμο της μορφής 3 x 2 - 7 x - 11 .
Λύση
Διαπιστώνουμε ότι είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε την προκύπτουσα τετραγωνική εξίσωση της μορφής 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Για να βρείτε τις ρίζες, πρέπει να προσδιορίσετε την τιμή του διαχωριστή. Το καταλαβαίνουμε
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Από αυτό παίρνουμε ότι 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Παράδειγμα 3
Συντελεστής το πολυώνυμο 2 x 2 + 1.
Λύση
Τώρα πρέπει να λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση 2 x 2 + 1 = 0 και να βρούμε τις ρίζες της. Το καταλαβαίνουμε
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i
Αυτές οι ρίζες ονομάζονται σύνθετες συζυγείς, που σημαίνει ότι η ίδια η επέκταση μπορεί να απεικονιστεί ως 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Παράδειγμα 4
Διασπάστε το τετραγωνικό τριώνυμο x 2 + 1 3 x + 1 .
Λύση
Πρώτα πρέπει να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση της μορφής x 2 + 1 3 x + 1 = 0 και να βρείτε τις ρίζες της.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Έχοντας αποκτήσει τις ρίζες, γράφουμε
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i
Σχόλιο
Εάν η τιμή διάκρισης είναι αρνητική, τότε τα πολυώνυμα θα παραμείνουν πολυώνυμα δεύτερης τάξης. Από αυτό προκύπτει ότι δεν θα τους επεκτείνουμε σε γραμμικούς παράγοντες.
Μέθοδοι παραγοντοποίησης πολυωνύμου βαθμού μεγαλύτερου από δύο
Κατά την αποσύνθεση, θεωρείται μια καθολική μέθοδος. Οι περισσότερες περιπτώσεις βασίζονται σε μια απόρροια του θεωρήματος του Bezout. Για να γίνει αυτό, πρέπει να επιλέξετε την τιμή της ρίζας x 1 και να μειώσετε το βαθμό της διαιρώντας με ένα πολυώνυμο με 1 διαιρώντας με (x - x 1). Το πολυώνυμο που προκύπτει πρέπει να βρει τη ρίζα x 2 και η διαδικασία αναζήτησης είναι κυκλική μέχρι να λάβουμε μια πλήρη επέκταση.
Εάν δεν βρεθεί η ρίζα, τότε χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι παραγοντοποίησης: ομαδοποίηση, πρόσθετοι όροι. Αυτό το θέμαθέτει τη λύση των εξισώσεων με μεγαλύτερες δυνάμεις και ακέραιους συντελεστές.
Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων
Θεωρήστε την περίπτωση που ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με μηδέν, τότε η μορφή του πολυωνύμου γίνεται P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Μπορεί να φανεί ότι η ρίζα ενός τέτοιου πολυωνύμου θα είναι ίση με x 1 = 0, τότε το πολυώνυμο μπορεί να αναπαρασταθεί ως η έκφραση P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Αυτή η μέθοδος θεωρείται ότι αφαιρεί τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.
Παράδειγμα 5
Συντελεστής το πολυώνυμο τρίτου βαθμού 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Λύση
Βλέπουμε ότι x 1 = 0 είναι η ρίζα του δεδομένου πολυωνύμου, τότε μπορούμε να αφαιρέσουμε το x από τις αγκύλες ολόκληρης της παράστασης. Παίρνουμε:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Ας προχωρήσουμε στην εύρεση των ριζών του τετραγωνικού τριωνύμου 4 x 2 + 8 x - 1. Ας βρούμε τη διάκριση και τις ρίζες:
D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2
Τότε προκύπτει ότι
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Αρχικά, ας λάβουμε υπόψη μια μέθοδο αποσύνθεσης που περιέχει ακέραιους συντελεστές της μορφής P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, όπου ο συντελεστής του υψηλότερου βαθμού είναι 1.
Όταν ένα πολυώνυμο έχει ακέραιες ρίζες, τότε θεωρούνται διαιρέτες του ελεύθερου όρου.
Παράδειγμα 6
Να αποσυνθέσετε την παράσταση f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Λύση
Ας εξετάσουμε αν υπάρχουν πλήρεις ρίζες. Είναι απαραίτητο να γράψετε τους διαιρέτες του αριθμού - 18. Παίρνουμε ότι ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Από αυτό προκύπτει ότι αυτό το πολυώνυμο έχει ακέραιες ρίζες. Μπορείτε να ελέγξετε χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner. Είναι πολύ βολικό και σας επιτρέπει να αποκτήσετε γρήγορα τους συντελεστές διαστολής ενός πολυωνύμου:
Από αυτό προκύπτει ότι x = 2 και x = - 3 είναι οι ρίζες του αρχικού πολυωνύμου, το οποίο μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο της μορφής:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Προχωράμε στην επέκταση ενός τετραγωνικού τριωνύμου της μορφής x 2 + 2 x + 3.
Εφόσον η διάκριση είναι αρνητική, σημαίνει ότι δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.
Απάντηση: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Σχόλιο
Επιτρέπεται η χρήση επιλογής ρίζας και διαίρεση ενός πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο αντί του σχήματος του Horner. Ας προχωρήσουμε στην εξέταση της επέκτασης ενός πολυωνύμου που περιέχει ακέραιους συντελεστές της μορφής P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , το υψηλότερο από τα οποία είναι ίσο με ένα.
Αυτή η περίπτωση συμβαίνει για λογικά κλάσματα.
Παράδειγμα 7
Παραγοντοποιήστε f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Λύση
Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τη μεταβλητή y = 2 x, θα πρέπει να προχωρήσετε σε ένα πολυώνυμο με συντελεστές ίσους με 1 στον υψηλότερο βαθμό. Πρέπει να ξεκινήσετε πολλαπλασιάζοντας την έκφραση με 4. Το καταλαβαίνουμε
4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Όταν η προκύπτουσα συνάρτηση της μορφής g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 έχει ακέραιες ρίζες, τότε η θέση τους είναι μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου. Η καταχώρηση θα μοιάζει με:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Ας προχωρήσουμε στον υπολογισμό της συνάρτησης g (y) σε αυτά τα σημεία για να πάρουμε το μηδέν ως αποτέλεσμα. Το καταλαβαίνουμε
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Διαπιστώνουμε ότι το y = - 5 είναι η ρίζα μιας εξίσωσης της μορφής y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, που σημαίνει ότι x = y 2 = - 5 2 είναι η ρίζα της αρχικής συνάρτησης.
Παράδειγμα 8
Είναι απαραίτητο να διαιρέσετε με μια στήλη 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 με x + 5 2.
Λύση
Ας το γράψουμε και ας πάρουμε:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Ο έλεγχος των διαιρετών θα πάρει πολύ χρόνο, επομένως είναι πιο κερδοφόρο να παραγοντοποιήσετε το προκύπτον τετραγωνικό τριώνυμο της μορφής x 2 + 7 x + 3. Εξισώνοντας με το μηδέν βρίσκουμε τη διάκριση.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Από αυτό προκύπτει ότι
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Τεχνητές τεχνικές παραγοντοποίησης πολυωνύμου
Οι ορθολογικές ρίζες δεν είναι εγγενείς σε όλα τα πολυώνυμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ειδικές μεθόδους για να βρείτε παράγοντες. Αλλά δεν μπορούν όλα τα πολυώνυμα να επεκταθούν ή να αναπαρασταθούν ως γινόμενο.
Μέθοδος ομαδοποίησης
Υπάρχουν περιπτώσεις που μπορείτε να ομαδοποιήσετε τους όρους ενός πολυωνύμου για να βρείτε έναν κοινό παράγοντα και να τον βάλετε εκτός παρενθέσεων.
Παράδειγμα 9
Συντελεστής το πολυώνυμο x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Λύση
Επειδή οι συντελεστές είναι ακέραιοι, τότε οι ρίζες μπορεί πιθανώς να είναι και ακέραιοι. Για έλεγχο, πάρτε τις τιμές 1, - 1, 2 και - 2 για να υπολογίσετε την τιμή του πολυωνύμου σε αυτά τα σημεία. Το καταλαβαίνουμε
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Αυτό δείχνει ότι δεν υπάρχουν ρίζες· είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε άλλη μέθοδο επέκτασης και λύσης.
Είναι απαραίτητο να ομαδοποιηθούν:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Αφού ομαδοποιήσετε το αρχικό πολυώνυμο, πρέπει να το αναπαραστήσετε ως το γινόμενο δύο τετραγωνικών τριωνύμων. Για να γίνει αυτό πρέπει να παραγοντοποιήσουμε. το καταλαβαίνουμε
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Σχόλιο
Η απλότητα της ομαδοποίησης δεν σημαίνει ότι η επιλογή όρων είναι αρκετά εύκολη. Δεν υπάρχει συγκεκριμένη μέθοδος επίλυσης, επομένως είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν ειδικά θεωρήματα και κανόνες.
Παράδειγμα 10
Συντελεστής το πολυώνυμο x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Λύση
Το δεδομένο πολυώνυμο δεν έχει ακέραιες ρίζες. Οι όροι πρέπει να ομαδοποιηθούν. Το καταλαβαίνουμε
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Μετά την παραγοντοποίηση παίρνουμε ότι
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Χρησιμοποιώντας συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού και διωνύμου του Νεύτωνα για τον παράγοντα ενός πολυωνύμου
Η εμφάνιση συχνά δεν καθιστά σαφές ποια μέθοδος πρέπει να χρησιμοποιηθεί κατά την αποσύνθεση. Αφού γίνουν οι μετασχηματισμοί, μπορείτε να δημιουργήσετε μια γραμμή που αποτελείται από το τρίγωνο του Πασκάλ, διαφορετικά ονομάζονται διώνυμο του Νεύτωνα.
Παράδειγμα 11
Συντελεστής το πολυώνυμο x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Λύση
Είναι απαραίτητο να μετατρέψετε την έκφραση στη μορφή
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Η ακολουθία των συντελεστών του αθροίσματος σε παρένθεση υποδεικνύεται με την έκφραση x + 1 4 .
Αυτό σημαίνει ότι έχουμε x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Αφού εφαρμόσουμε τη διαφορά των τετραγώνων, παίρνουμε
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Εξετάστε την έκφραση που βρίσκεται στη δεύτερη αγκύλη. Είναι σαφές ότι δεν υπάρχουν ιππότες εκεί, οπότε θα πρέπει να εφαρμόσουμε ξανά τον τύπο της διαφοράς των τετραγώνων. Παίρνουμε μια έκφραση της φόρμας
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Παράδειγμα 12
Factorize x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Λύση
Ας αρχίσουμε να μεταμορφώνουμε την έκφραση. Το καταλαβαίνουμε
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο τύπος για συντομευμένο πολλαπλασιασμό της διαφοράς των κύβων. Παίρνουμε:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Μια μέθοδος για την αντικατάσταση μιας μεταβλητής κατά την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου
Κατά την αντικατάσταση μιας μεταβλητής, ο βαθμός μειώνεται και το πολυώνυμο συνυπολογίζεται.
Παράδειγμα 13
Συντελεστής το πολυώνυμο της μορφής x 6 + 5 x 3 + 6 .
Λύση
Σύμφωνα με την προϋπόθεση, είναι σαφές ότι είναι απαραίτητο να γίνει η αντικατάσταση y = x 3. Παίρνουμε:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης που προκύπτει είναι y = - 2 και y = - 3, τότε
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο τύπος για συντομευμένο πολλαπλασιασμό του αθροίσματος των κύβων. Παίρνουμε εκφράσεις της φόρμας:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Δηλαδή, αποκτήσαμε την επιθυμητή αποσύνθεση.
Οι περιπτώσεις που συζητήθηκαν παραπάνω θα βοηθήσουν στην εξέταση και την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου με διαφορετικούς τρόπους.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Πρώτα από όλα, ας επισημάνουμε μερικά κοινά ονόματα. Ας εξετάσουμε πολυώνυμα που περιέχουν μόνο ένα γράμμα, για παράδειγμα, το γράμμα x. Τότε το απλούστερο είναι ένα πολυώνυμο στο οποίο υπάρχουν δύο όροι, και ο ένας από αυτούς περιέχει το γράμμα x στον πρώτο βαθμό και ο άλλος δεν έχει καθόλου το γράμμα x, για παράδειγμα, 3x – 5 ή 15 – 7x ή 8z + 7 (εδώ αντί για το γράμμα x λαμβάνεται το γράμμα z), κλπ. Τέτοια πολυώνυμα ονομάζονται γραμμικά διώνυμα .
3x² – 5x + 7 ή x² + 2x – 1
ή 5y² + 7y + 8 ή z² – 5z – 2, κ.λπ.
Τέτοια πολυώνυμα ονομάζονται τετράγωνα τριώνυμα.
Τότε, μπορούμε να σχηματίσουμε ένα κυβικό τετραώνυμο, για παράδειγμα:
x³ + 2x² – x + 1 ή 3x³ – 5x² – 2x – 3 κ.λπ.,
πολυώνυμο τέταρτου βαθμού, για παράδειγμα:
x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5, κ.λπ.
Είναι δυνατόν να υποδηλώσουμε τους συντελεστές στο x, στο x², στο x³ κ.λπ. επίσης με γράμματα, για παράδειγμα, με τα γράμματα a, b, c, κλπ. Τότε παίρνουμε:
1) γενική μορφήγραμμικό σε σχέση με x διωνυμικό ax + b,
2) γενική μορφή του τετραγωνικού τριωνύμου (σε σχέση με x): ax² + bx + c,
3) γενική μορφή του κυβικού τριωνύμου (σε σχέση με x): ax³ + bx² + cx + d, κ.λπ.
Αντικαθιστώντας τα γράμματα a, b, c, d... σε αυτούς τους τύπους με διαφορετικούς αριθμούς, παίρνουμε κάθε είδους γραμμικά διώνυμα, τετράγωνα τριώνυμα κ.λπ. Για παράδειγμα, στον τύπο ax² + bx + c, που εκφράζει τη γενική μορφή τετραγωνικού τριωνύμου, αντικαθιστούμε το γράμμα a με τον αριθμό + 3, το γράμμα β με τον αριθμό –2 και το γράμμα με τον αριθμό –1, παίρνουμε το τετράγωνο τριώνυμο 3x² – 2x – 1. Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, είναι επίσης δυνατό να ληφθεί ένα διώνυμο αντικαθιστώντας ένα από τα γράμματα με μηδέν, για παράδειγμα, εάν a = +1, b = 0 και c = –3, τότε παίρνουμε το τετραγωνικό δυώνυμο x² – 3.
Μπορείτε να μάθετε να συνυπολογίζετε ορισμένα τετραγωνικά τριώνυμα αρκετά γρήγορα σε γραμμικούς παράγοντες. Ωστόσο, θα περιοριστούμε στο να εξετάσουμε μόνο εκείνα τα τετραγωνικά τριώνυμα που ικανοποιούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
1) ο συντελεστής για τον κύριο όρο (για x²) είναι +1,
2) μπορείτε να βρείτε δύο ακέραιους αριθμούς (με πρόσημα, ή δύο σχετικούς ακέραιους αριθμούς) τέτοιους ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με τον συντελεστή x στην πρώτη δύναμη και το γινόμενο τους να είναι ίσο με τον όρο χωρίς x (όπου δεν υπάρχει γράμμα x στο όλα).
Παραδείγματα. 1. x² + 5x + 6; Είναι εύκολο να βρείτε νοερά δύο αριθμούς (με πρόσημα) έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με +5 (ο συντελεστής του x) και έτσι ώστε το γινόμενο τους = +6 (ο όρος χωρίς x) - αυτοί οι αριθμοί είναι: +2 και + 3 [στην πραγματικότητα, +2 + 3 = +5 και (+2) ∙ (+3) = +6]. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους δύο αριθμούς, αντικαθιστούμε τον όρο +5x με δύο όρους, δηλαδή: +2x + 3x (φυσικά, +2x + 3x = +5x). τότε ο τεχνικός μας όρος θα μετατραπεί τεχνητά σε τετραετή x² + 2x + 3x + 6. Ας εφαρμόσουμε τώρα την τεχνική ομαδοποίησης σε αυτόν, εκχωρώντας τους δύο πρώτους όρους σε μια ομάδα και τους δύο τελευταίους σε μια άλλη:
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).
Στην πρώτη ομάδα βγάλαμε το x από την αγκύλη και στη δεύτερη +3, πήραμε δύο όρους που είχαν κοινό παράγοντα (x + 2), τον οποίο επίσης βγάλαμε από την αγκύλη και το τριώνυμο x² + 5x + 6 διασπάται σε 2 γραμμικούς παράγοντες: x + 2 και x + 3.
2. x² – x – 12. Εδώ πρέπει να βρείτε δύο αριθμούς (σχετικούς) ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με –1 και το γινόμενο τους να είναι ίσο με –12. Αυτοί οι αριθμοί είναι: –4 και +3.
Έλεγχος: –4 + 3 = –1; (–4) (+3) = –12. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους αριθμούς, αντικαθιστούμε τον όρο –x με δύο όρους: –x = –4x + 3x, – παίρνουμε:
x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).
3. x² – 7x + 6; Εδώ οι απαιτούμενοι αριθμοί είναι: –6 και –1. [Έλεγχος: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].
x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).
Εδώ τα μέλη της δεύτερης ομάδας –x + 6 έπρεπε να κλειστούν σε παρένθεση, με το σύμβολο μείον μπροστά τους.
4. x² + 8x – 48. Εδώ πρέπει να βρείτε δύο αριθμούς ώστε το άθροισμά τους να είναι +8 και το γινόμενο τους να είναι –48. Δεδομένου ότι το προϊόν πρέπει να έχει σύμβολο μείον, οι απαιτούμενοι αριθμοί πρέπει να είναι με διαφορετικά σημάδια, αφού το άθροισμα των αριθμών μας έχει πρόσημο +, τότε η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού πρέπει να είναι μεγαλύτερη. ξεδιπλώνεται αριθμητικός αριθμός 48 με δύο παράγοντες (και αυτό μπορεί να γίνει με διαφορετικούς τρόπους), παίρνουμε: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Από αυτές τις επεκτάσεις είναι εύκολο να επιλέξετε το ένα που ταιριάζει στις απαιτήσεις μας, δηλαδή : 48 = 4 ∙ 12. Τότε οι αριθμοί μας είναι: +12 και –4. Τα υπόλοιπα είναι απλά:
x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).
5. x² + 7x – 12. Εδώ πρέπει να βρείτε 2 αριθμούς ώστε το άθροισμά τους να είναι +7 και το γινόμενο τους = –12. 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Προφανώς, κατάλληλους αριθμούςθα ήταν 3 και 4, αλλά πρέπει να ληφθούν με διαφορετικά πρόσημα, ώστε το γινόμενο τους να είναι ίσο με –12, και τότε το άθροισμά τους σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να είναι ίσο με +7 [–3 + (+4) = +1, + 3 + ( –4) = –1]. Άλλες παραγοντοποιήσεις επίσης δεν δίνουν τους απαιτούμενους αριθμούς. Επομένως, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι δεν είμαστε ακόμη σε θέση να αποσυνθέσουμε αυτά τα τετραγωνικά τριώνυμα σε γραμμικούς παράγοντες, αφού η τεχνική μας δεν είναι εφαρμόσιμη σε αυτό (δεν ικανοποιεί τη δεύτερη από τις προϋποθέσεις που καθορίστηκαν στην αρχή).
Δίνονται 8 παραδείγματα πολυωνύμων παραγοντοποίησης. Περιλαμβάνουν παραδείγματα επίλυσης τετραγωνικών και διτετραγωνικών εξισώσεων, παραδείγματα αμοιβαίων πολυωνύμων και παραδείγματα εύρεσης ακέραιων ριζών πολυωνύμων τρίτου και τέταρτου βαθμού.
Περιεχόμενο
Δείτε επίσης: Μέθοδοι παραγοντοποίησης πολυωνύμων
Ρίζες τετραγωνικής εξίσωσης
Επίλυση κυβικών εξισώσεων
1. Παραδείγματα επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης
Παράδειγμα 1.1
Χ 4 + x 3 - 6 x 2.
Βγάζουμε x 2
εκτός παρενθέσεων:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Οι ρίζες της εξίσωσης:
, .
.
Παράδειγμα 1.2
Συντελεστής το πολυώνυμο τρίτου βαθμού:
Χ 3 + 6 x 2 + 9 x.
Ας βγάλουμε το x από αγκύλες:
.
Επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x 2 + 6 x + 9 = 0:
Η διάκρισή του: .
Εφόσον η διάκριση είναι μηδέν, οι ρίζες της εξίσωσης είναι πολλαπλές: ;
.
Από αυτό προκύπτει η παραγοντοποίηση του πολυωνύμου:
.
Παράδειγμα 1.3
Συντελεστής το πολυώνυμο πέμπτου βαθμού:
Χ 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Βγάζουμε x 3
εκτός παρενθέσεων:
.
Επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x 2 - 2 x + 10 = 0.
Η διάκρισή του: .
Από τη διάκριση λιγότερο από το μηδέν, τότε οι ρίζες της εξίσωσης είναι μιγαδικές: ;
, .
Η παραγοντοποίηση του πολυωνύμου έχει τη μορφή:
.
Αν μας ενδιαφέρει η παραγοντοποίηση με πραγματικούς συντελεστές, τότε:
.
Παραδείγματα παραγοντοποίησης πολυωνύμων με χρήση τύπων
Παραδείγματα με διτετραγωνικά πολυώνυμα
Παράδειγμα 2.1
Συντελεστής το διτετραγωνικό πολυώνυμο:
Χ 4 + x 2 - 20.
Ας εφαρμόσουμε τους τύπους:
ένα 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ένα 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Παράδειγμα 2.2
Υπολογίστε το πολυώνυμο που ανάγεται σε διτετραγωνικό:
Χ 8 + x 4 + 1.
Ας εφαρμόσουμε τους τύπους:
ένα 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ένα 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Παράδειγμα 2.3 με επαναλαμβανόμενο πολυώνυμο
Συνυπολογίστε το αμοιβαίο πολυώνυμο:
.
Ένα αμοιβαίο πολυώνυμο έχει περιττό βαθμό. Επομένως έχει ρίζα x = - 1
. Διαιρέστε το πολυώνυμο με x - (-1) = x + 1. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:
.
Ας κάνουμε μια αντικατάσταση:
, ;
;
;
.
Παραδείγματα παραγοντοποίησης πολυωνύμων με ακέραιες ρίζες
Παράδειγμα 3.1
Συντελεστής το πολυώνυμο:
.
Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Έτσι, βρήκαμε τρεις ρίζες:
Χ 1 = 1
, Χ 2 = 2
, Χ 3 = 3
.
Δεδομένου ότι το αρχικό πολυώνυμο είναι τρίτου βαθμού, δεν έχει περισσότερες από τρεις ρίζες. Αφού βρήκαμε τρεις ρίζες, είναι απλές. Επειτα
.
Παράδειγμα 3.2
Συντελεστής το πολυώνυμο:
.
Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση
έχει τουλάχιστον ένα ολόκληρη ρίζα. Τότε είναι διαιρέτης του αριθμού 2
(μέλος χωρίς x). Δηλαδή, ολόκληρη η ρίζα μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς:
-2, -1, 1, 2
.
Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές μία προς μία:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.
Βρήκαμε λοιπόν μια ρίζα:
Χ 1 = -1
.
Διαιρέστε το πολυώνυμο με x - x 1 = x - (-1) = x + 1:
Επειτα,
.
Τώρα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση τρίτου βαθμού:
.
Αν υποθέσουμε ότι αυτή η εξίσωση έχει ακέραια ρίζα, τότε είναι διαιρέτης του αριθμού 2
(μέλος χωρίς x). Δηλαδή, ολόκληρη η ρίζα μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς:
1, 2, -1, -2
.
Ας αντικαταστήσουμε το x = -1
:
.
Έτσι, βρήκαμε μια άλλη ρίζα x 2
= -1
. Θα ήταν δυνατό, όπως στην προηγούμενη περίπτωση, να διαιρέσουμε το πολυώνυμο με , αλλά θα ομαδοποιήσουμε τους όρους:
.
Είναι ένα τετράγωνο και αποτελείται από τρεις όρους (). Έτσι αποδεικνύεται - ένα τετράγωνο τριώνυμο.
Παραδείγματα Δεντετράγωνα τριώνυμα:
\(x^3-3x^2-5x+6\) - κυβικό τετραώνυμο
\(2x+1\) - γραμμικό δυώνυμο
Τετραγωνική ρίζα του τριωνύμου:
Παράδειγμα:
Το τριώνυμο \(x^2-2x+1\) έχει ρίζα \(1\), επειδή \(1^2-2 1+1=0\)
Το τριώνυμο \(x^2+2x-3\) έχει ρίζες \(1\) και \(-3\), επειδή \(1^2+2-3=0\) και \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)
Για παράδειγμα:αν χρειάζεται να βρείτε ρίζες για το τετραγωνικό τριώνυμο \(x^2-2x+1\), το εξισώνουμε με το μηδέν και λύνουμε την εξίσωση \(x^2-2x+1=0\).
\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)
Ετοιμος. Η ρίζα είναι \(1\).
Αποσύνθεση τετραγωνικού τριωνύμου σε:
Το τετράγωνο τριώνυμο \(ax^2+bx+c\) μπορεί να επεκταθεί ως \(a(x-x_1)(x-x_2)\) εάν οι εξισώσεις \(ax^2+bx+c=0\) είναι μεγαλύτερο από μηδέν \ (x_1\) και \(x_2\) είναι ρίζες της ίδιας εξίσωσης).
Για παράδειγμα, θεωρήστε το τριώνυμο \(3x^2+13x-10\).
Η τετραγωνική εξίσωση \(3x^2+13x-10=0\) έχει διάκριση ίση με 289 (μεγαλύτερη από το μηδέν) και ρίζες ίσες με \(-5\) και \(\frac(2)(3)\) . Επομένως \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε την ορθότητα αυτής της δήλωσης - αν , τότε θα λάβουμε το αρχικό τριώνυμο.
Το τετράγωνο τριώνυμο \(ax^2+bx+c\) μπορεί να αναπαρασταθεί ως \(a(x-x_1)^2\) εάν η διάκριση της εξίσωσης \(ax^2+bx+c=0\) είναι μηδέν.
Για παράδειγμα, θεωρήστε το τριώνυμο \(x^2+6x+9\).Η τετραγωνική εξίσωση \(x^2+6x+9=0\) έχει μια διάκριση ίση με \(0\) και μια μοναδική ρίζα ίση με \(-3\). Αυτό σημαίνει \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (εδώ ο συντελεστής είναι \(a=1\), επομένως δεν γράφεται πριν από την αγκύλη - δεν χρειάζεται). Λάβετε υπόψη ότι η ίδια μετατροπή μπορεί να γίνει με .
Το τετράγωνο τριώνυμο \(ax^2+bx+c\) δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί εάν η διάκριση της εξίσωσης \(ax^2+bx+c=0\) είναι μικρότερη από το μηδέν.
Για παράδειγμα, τα τριώνυμα \(x^2+x+4\) και \(-5x^2+2x-1\) έχουν διακριτικό μικρότερο από μηδέν. Επομένως, είναι αδύνατο να τα συνυπολογίσουμε.
Παράδειγμα
. Συντελεστής \(2x^2-11x+12\).
Λύση
:
Ας βρούμε τις ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης \(2x^2-11x+12=0\)
\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)
Άρα, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Απάντηση
: \(2(x-1,5)(x-4)\)
Η απάντηση που προκύπτει μπορεί να γραφτεί διαφορετικά: \((2x-3)(x-4)\).
Παράδειγμα
. (Εργασία από την ΟΓΕ)Το τετράγωνο τριώνυμο συνυπολογίζεται \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Βρες ένα\).
Λύση:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Απάντηση
: \(-1,6\)
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΤΡΙΠΛΟ ΙΙΙ
§ 54. Αποσύνθεση τετραγωνικού τριωνύμου σε γραμμικούς συντελεστές
Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουμε το εξής ερώτημα: σε ποια περίπτωση είναι το τετραγωνικό τριώνυμο τσεκούρι 2 + bx + c μπορεί να αναπαρασταθεί ως προϊόν
(ένα 1 x+b 1) (ένα 2 x+b 2)
δύο γραμμικές συγγενείς Χ πολλαπλασιαστές με πραγματικούς συντελεστές ένα 1 , σι 1 , ένα 2 , σι 2 (ένα 1 =/=0, ένα 2 =/=0) ?
1. Έστω ότι το δεδομένο τετραγωνικό τριώνυμο τσεκούρι 2 + bx + c ας το παραστήσουμε στη μορφή
τσεκούρι 2 + bx + c = (ένα 1 x+b 1) (ένα 2 x+b 2). (1)
Η δεξιά πλευρά του τύπου (1) εξαφανίζεται όταν Χ = - σι 1 / ένα 1 και Χ = - σι 2 / ένα 2 (ένα 1 και ένα 2 δεν είναι ίσα με μηδέν από συνθήκη). Αλλά σε αυτή την περίπτωση οι αριθμοί είναι σι 1 / ένα 1 και - σι 2 / ένα 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης
τσεκούρι 2 + bx + c = 0.
Επομένως, η διάκριση του τετραγωνικού τριωνύμου τσεκούρι 2 + bx + c πρέπει να είναι μη αρνητικό.
2. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι η διάκριση D = σι 2 - 4μετα Χριστον τετραγωνικό τριώνυμο τσεκούρι 2 + bx + c μη αρνητικό. Τότε αυτό το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες Χ 1 και Χ 2. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, παίρνουμε:
τσεκούρι 2 + bx + c =ΕΝΑ (Χ 2 + σι / ένα Χ + ντο / ένα ) = ΕΝΑ [Χ 2 - (Χ 1 + Χ 2) Χ + Χ 1 Χ 2 ] =
= ΕΝΑ [(Χ 2 - Χ 1 Χ ) - (Χ 2 Χ - Χ 1 Χ 2)] = ΕΝΑ [Χ (Χ - Χ 1) - Χ 2 (Χ - Χ 1) =
=ένα (Χ - Χ 1)(Χ - Χ 2).
τσεκούρι 2 + bx + c = ένα (Χ - Χ 1)(Χ - Χ 2), (2)
Οπου Χ 1 και Χ 2 - ρίζες του τριωνύμου τσεκούρι 2 + bx + c . Συντελεστής ΕΝΑ μπορεί να αποδοθεί σε έναν από τους δύο γραμμικούς παράγοντες, για παράδειγμα,
ένα (Χ - Χ 1)(Χ - Χ 2) = (αχ - τσεκούρι 1)(Χ - Χ 2).
Αυτό όμως σημαίνει ότι στην υπό εξέταση περίπτωση το τετράγωνο τριώνυμο τσεκούρι 2 + bx + c το αναπαριστούν ως γινόμενο δύο γραμμικών παραγόντων με πραγματικούς συντελεστές.
Συνδυάζοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν στις παραγράφους 1 και 2, καταλήγουμε στο ακόλουθο θεώρημα.
Θεώρημα. Τετράγωνο τριώνυμο τσεκούρι 2 + bx + cτότε και μόνο τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο δύο γραμμικών παραγόντων με πραγματικούς συντελεστές,
τσεκούρι 2 + bx + c = (αχ - τσεκούρι 1)(Χ - Χ 2),
όταν η διάκριση αυτού του τετραγωνικού τριωνύμου είναι μη αρνητική (όταν δηλαδή αυτό το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες).
Παράδειγμα 1. Γραμμική παραγοντοποίηση 6 Χ 2 - Χ -1.
Οι ρίζες αυτού του τετραγωνικού τριωνύμου είναι ίσες Χ 1 = 1/2 και Χ 2 = - 1 / 3 .
Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (2)
6Χ 2 - Χ -1 = 6 (Χ - 1 / 2)(Χ + 1 / 3) = (2Χ - 1) (3Χ + 1).
Παράδειγμα 2. Γραμμική παραγοντοποίηση Χ 2 + Χ + 1. Η διάκριση αυτού του τετραγωνικού τριωνύμου είναι αρνητική:
D = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.
Επομένως, αυτό το τετραγωνικό τριώνυμο δεν μπορεί να επεκταθεί σε γραμμικούς συντελεστές με πραγματικούς συντελεστές.
Γυμνάσια
Παράγοντες τις ακόλουθες εκφράσεις σε γραμμικούς παράγοντες (Αρ. 403 - 406):
403. 6Χ 2 - 7Χ + 2. 405. Χ 2 - Χ + 1.
404. 2Χ 2 - 7Ω + 6ΕΝΑ 2 . 406. Χ 2 - 3Ω + 2ΕΝΑ 2 - αβ - σι 2 .
Μειώστε τα κλάσματα (Αρ. 407, 408):
Λύστε εξισώσεις:
