Θεωρήστε μια τετραγωνική εξίσωση.
Ας ορίσουμε τις ρίζες του.
Δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι -1. Αν όμως ο τύπος ορίζει τον τελεστή Εγώως φανταστική μονάδα, τότε η λύση αυτής της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί με τη μορφή 
. Εν 
Και 
- μιγαδικοί αριθμοί, στους οποίους -1 είναι το πραγματικό μέρος, 2 ή στη δεύτερη περίπτωση -2 είναι το φανταστικό μέρος. Το φανταστικό μέρος είναι επίσης πραγματικός (πραγματικός) αριθμός. Το φανταστικό μέρος πολλαπλασιασμένο με τη φανταστική μονάδα σημαίνει ήδη φανταστικός αριθμός.
ΣΕ γενική εικόναμιγαδικός αριθμός έχει τη μορφή
z = Χ + iy ,
Οπου x, yείναι πραγματικοί αριθμοί, είναι μια φανταστική μονάδα. Σε έναν αριθμό εφαρμοσμένων επιστημών, για παράδειγμα, στην ηλεκτρική μηχανική, την ηλεκτρονική, τη θεωρία σημάτων, η φανταστική μονάδα συμβολίζεται με ι. Πραγματικοί αριθμοί x = Re(z)Και y=είμαι(z)που ονομάζεται πραγματικά και φανταστικά μέρηαριθμοί z.Η έκφραση ονομάζεται αλγεβρική μορφήσημειογραφία ενός μιγαδικού αριθμού.
Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός είναι μια ειδική περίπτωση ενός μιγαδικού αριθμού στη μορφή 
. Ένας φανταστικός αριθμός είναι επίσης μια ειδική περίπτωση ενός μιγαδικού αριθμού. 
.
Ορισμός του συνόλου των μιγαδικών αριθμών Γ
Αυτή η έκφραση έχει ως εξής: set ΜΕ, που αποτελείται από στοιχεία τέτοια ώστε ΧΚαι yανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Rκαι είναι η φανταστική μονάδα. Σημειώστε ότι κ.λπ.
Δύο μιγαδικοί αριθμοί 
Και 
είναι ίσα αν και μόνο αν τα πραγματικά και φανταστικά μέρη τους είναι ίσα, δηλ. Και .
Οι μιγαδικοί αριθμοί και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρέως στην επιστήμη και την τεχνολογία, ιδίως στη μηχανική, την ανάλυση και τον υπολογισμό κυκλωμάτων εναλλασσόμενου ρεύματος, την αναλογική ηλεκτρονική, τη θεωρία και επεξεργασία σημάτων, τη θεωρία αυτόματου ελέγχου και άλλες εφαρμοσμένες επιστήμες.
- Αριθμητική μιγαδικών αριθμών
Η πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών συνίσταται στην πρόσθεση των πραγματικών και φανταστικών μερών τους, δηλ.
Αντίστοιχα, η διαφορά δύο μιγαδικών αριθμών
Μιγαδικός αριθμός 
που ονομάζεται συγκρότημα κλίνωαριθμός z=x +i.y.
Οι μιγαδικοί συζυγείς αριθμοί z και z * διαφέρουν ως προς τα πρόσημα του φανταστικού μέρους. Είναι προφανές ότι
.
Οποιαδήποτε ισότητα μεταξύ σύνθετων εκφράσεων παραμένει έγκυρη αν σε αυτήν την ισότητα παντού Εγώαντικαταστάθηκε από -
Εγώ, δηλ. πηγαίνετε στην ισότητα των συζυγών αριθμών. Αριθμοί ΕγώΚαι –
Εγώείναι αλγεβρικά δυσδιάκριτα γιατί 
.
Το γινόμενο (πολλαπλασιασμός) δύο μιγαδικών αριθμών μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
Διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών:
Παράδειγμα:
- Σύνθετο αεροπλάνο
Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Τοποθετημένο στο αεροπλάνο ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες (x, y).
στον άξονα Βόδιθα τακτοποιήσουμε τα πραγματικά μέρη Χ, ονομάζεται πραγματικός (πραγματικός) άξονας, στον άξονα Oy– φανταστικά μέρη yμιγαδικοί αριθμοί. Φέρει το όνομα φανταστικός άξονας. Επιπλέον, κάθε μιγαδικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα ορισμένο σημείο του επιπέδου και ένα τέτοιο επίπεδο ονομάζεται σύνθετο επίπεδο. Σημείο ΕΝΑτο μιγαδικό επίπεδο θα αντιστοιχεί στο διάνυσμα ΟΑ.
Αριθμός Χπου ονομάζεται τετμημένημιγαδικός αριθμός, αριθμός y – τεταγμένη.
Ένα ζεύγος μιγαδικών συζευγμένων αριθμών εμφανίζεται ως κουκκίδες που βρίσκονται συμμετρικά γύρω από τον πραγματικό άξονα.
 |
Αν στο αεροπλάνο σετ πολικό σύστημα συντεταγμένων, τότε κάθε μιγαδικός αριθμός zκαθορίζεται από πολικές συντεταγμένες. Εν μονάδα μέτρησηςαριθμοί 
είναι η πολική ακτίνα του σημείου και η γωνία 
- το όρισμα της πολικής του γωνίας ή μιγαδικού αριθμού z.
Συντελεστής μιγαδικού αριθμού 
πάντα μη αρνητικό. Το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού δεν ορίζεται μοναδικά. Η κύρια τιμή του επιχειρήματος πρέπει να ικανοποιεί την προϋπόθεση 
. Σε κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου αντιστοιχεί επίσης γενική σημασίαδιαφωνία . Ορίσματα που διαφέρουν κατά πολλαπλάσιο του 2π θεωρούνται ίσα. Το αριθμητικό όρισμα μηδέν δεν ορίζεται.
Η κύρια τιμή του επιχειρήματος καθορίζεται από τις εκφράσεις:
Είναι προφανές ότι
Εν
, 
.
Αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών zόπως και
που ονομάζεται τριγωνομετρική μορφή μιγαδικός αριθμός.
Παράδειγμα.
- Η εκθετική μορφή μιγαδικών αριθμών
Αποσύνθεση σε Σειρά Maclaurinγια συναρτήσεις πραγματικού ορίσματος 
μοιάζει με:
Για την εκθετική συνάρτηση ενός μιγαδικού ορίσματος zη αποσύνθεση είναι παρόμοια
.
Η επέκταση της σειράς Maclaurin για την εκθετική συνάρτηση του φανταστικού ορίσματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως
Η ταυτότητα που προκύπτει ονομάζεται Φόρμουλα Euler.
Για ένα αρνητικό επιχείρημα, μοιάζει
Συνδυάζοντας αυτές τις εκφράσεις, μπορούμε να ορίσουμε τις ακόλουθες εκφράσεις για ημίτονο και συνημίτονο
.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο Euler, από την τριγωνομετρική μορφή της αναπαράστασης μιγαδικών αριθμών
διαθέσιμος εκδηλωτικός(εκθετική, πολική) μορφή μιγαδικού αριθμού, δηλ. την αναπαράστασή του στη μορφή
,
Οπου 
- πολικές συντεταγμένες ενός σημείου με ορθογώνιες συντεταγμένες ( Χ,y).
Το συζυγές ενός μιγαδικού αριθμού γράφεται σε εκθετική μορφή ως εξής.
Για την εκθετική μορφή, είναι εύκολο να οριστούν οι ακόλουθοι τύποι για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση μιγαδικών αριθμών
Δηλαδή, σε εκθετική μορφή, το γινόμενο και η διαίρεση των μιγαδικών αριθμών είναι ευκολότερη από την αλγεβρική μορφή. Κατά τον πολλαπλασιασμό, οι ενότητες των παραγόντων πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματα προστίθενται. Αυτός ο κανόνας ισχύει για οποιονδήποτε αριθμό παραγόντων. Ειδικότερα, κατά τον πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού αριθμού zεπί Εγώδιάνυσμα zπεριστρέφεται αριστερόστροφα κατά 90
Στη διαίρεση, ο συντελεστής αριθμητή διαιρείται με τον συντελεστή παρονομαστή και το όρισμα του παρονομαστή αφαιρείται από το όρισμα του αριθμητή.
Χρησιμοποιώντας την εκθετική μορφή μιγαδικών αριθμών, μπορεί κανείς να αποκτήσει εκφράσεις για γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες. Για παράδειγμα, από την ταυτότητα
χρησιμοποιώντας τον τύπο Euler, μπορούμε να γράψουμε
Εξισώνοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος σε αυτήν την παράσταση, λαμβάνουμε εκφράσεις για το συνημίτονο και το ημίτονο του αθροίσματος των γωνιών
- Δυνάμεις, ρίζες και λογάριθμοι μιγαδικών αριθμών
Αύξηση ενός μιγαδικού αριθμού σε μια φυσική δύναμη nπαράγεται σύμφωνα με τον τύπο
Παράδειγμα. Υπολογίζω 
.
Φανταστείτε έναν αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή
’
Εφαρμόζοντας τον τύπο εκθέσεως, παίρνουμε
Βάζοντας την τιμή στην έκφραση r= 1, παίρνουμε το λεγόμενο Η φόρμουλα του De Moivre, με το οποίο μπορείτε να προσδιορίσετε τις εκφράσεις για τα ημίτονο και συνημίτονο πολλαπλών γωνιών.
Ρίζα nη δύναμη ενός μιγαδικού αριθμού zΕχει nδιαφορετικές τιμές που καθορίζονται από την έκφραση
Παράδειγμα. Ας βρούμε .
Για να γίνει αυτό, εκφράζουμε τον μιγαδικό αριθμό () στην τριγωνομετρική μορφή
.
Σύμφωνα με τον τύπο για τον υπολογισμό της ρίζας ενός μιγαδικού αριθμού, παίρνουμε
Λογάριθμος μιγαδικού αριθμού zείναι ένας αριθμός w, για το οποίο . φυσικός λογάριθμοςΟ μιγαδικός αριθμός έχει άπειρο αριθμό τιμών και υπολογίζεται από τον τύπο
Αποτελείται από πραγματικά (συνημίτονο) και φανταστικό (ημιτονοειδές) μέρη. Μια τέτοια τάση μπορεί να αναπαρασταθεί ως διάνυσμα μήκους U m, αρχική φάση (γωνία), περιστρεφόμενη με γωνιακή ταχύτητα ω .
Επιπλέον, αν προστεθούν σύνθετες συναρτήσεις, τότε προστίθενται τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη τους. Αν μια σύνθετη συνάρτηση πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά ή μια πραγματική συνάρτηση, τότε τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη της πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο παράγοντα. Η διαφοροποίηση/ολοκλήρωση μιας τέτοιας πολύπλοκης συνάρτησης ανάγεται σε διαφοροποίηση/ολοκλήρωση του πραγματικού και του φανταστικού μέρους.
Για παράδειγμα, η διαφοροποίηση της έκφρασης σύνθετου στρες
είναι να το πολλαπλασιάσουμε επί Το iω είναι το πραγματικό μέρος της συνάρτησης f(z), και 
είναι το φανταστικό μέρος της συνάρτησης. Παραδείγματα: 
.
Εννοια zαντιπροσωπεύεται από ένα σημείο στο μιγαδικό z επίπεδο και την αντίστοιχη τιμή w- ένα σημείο στο μιγαδικό επίπεδο w. Όταν εμφανίζεται w = f(z)γραμμές αεροπλάνων zπερνούν στις γραμμές του αεροπλάνου w, τα σχήματα ενός επιπέδου σε σχήματα ενός άλλου, αλλά τα σχήματα των γραμμών ή των σχημάτων μπορεί να αλλάξουν σημαντικά.