Среди множества знаний, которые являются признаком грамотности, на первом месте стоит азбука. Следующим, таким же «знаковым» элементом, являются навыки сложения-умножения и, примыкающие к ним, но обратные по смыслу, арифметические операции вычитания-деления. Усвоенные в далеком школьном детстве навыки, служат верой и правдой денно и нощно: ТВ, газета, СМС, И везде читаем, пишем, считаем, складываем, вычитаем, умножаем. А, скажите, часто ли вам приходилось по жизни, извлекать корни, кроме, как на даче? Например, такая занимательная задачка, типа, корень квадратный из числа 12345… Есть еще порох в пороховницах? Осилим? Да нет ничего проще! Где тут мой калькулятор… А без него, врукопашную, слабо?
Сначала уточним, что же это такое - квадратный корень числа. Вообще говоря, «извлечь корень из числа» означает выполнить арифметическое действие противоположное возведению в степень - вот вам и единство противоположностей в жизненном приложении. допустим, квадрат, это умножение числа на самое себя, т.е., как учили в школе, Х * Х = А или в другой записи Х2 = А, а словами - «Х в квадрате равняется А». Тогда обратная задача звучит так: квадратный корень числа А, представляет собой число Х, которое будучи возведено в квадрат равно А.
Извлекаем квадратный корень
Из школьного курса арифметики известны способы вычислений «в столбик», которые помогают выполнить любые подсчеты с применением первых четырех арифметических действий. Увы… Для квадратных, и не только квадратных, корней таких алгоритмов не существует. А в таком случае, как извлечь квадратный корень без калькулятора? Исходя из определения квадратного корня вывод один - необходимо подбирать значение результата последовательным перебором чисел, квадрат которых приближается к значению подкоренного выражения. Только и всего! Не успеет пройти час-другой, как можно посчитать, используя хорошо известный прием умножения в «столбик», любой квадратный корень. При наличии навыков для этого достаточно пары минут. Даже не совсем продвинутый пользователь калькулятора или ПК делает это одним махом - прогресс.
А если серьезно, то вычисление квадратного корня часто выполняют, используя прием «артиллерийской вилки»: сначала берут число, квадрат которого, примерно, соответствует подкоренному выражению. Лучше, если «наш квадрат» чуть меньше этого выражения. Затем корректируют число по собственному умению-разумению, например, умножают на два, и… вновь возводят в квадрат. Если результат больше числа под корнем, последовательно корректируя исходное число, постепенно приближаются к его «коллеге» под корнем. Как видите - никакого калькулятора, только умение считать «в столбик». Конечно же, есть множество научно-аргументированных и оптимизированных алгоритмов вычислений квадратного корня, но для «домашнего применения» указанный выше прием дает 100% уверенность в результате.
Да, чуть не забыл, чтобы подтвердить свою возросшую грамотность, вычислим квадратный корень ранее указанного числа 12345. Делаем пошагово:
1. Возьмем, чисто интуитивно, Х=100. Подсчитаем: Х * Х = 10000. Интуиция на высоте - результат меньше 12345.
2. Попробуем, тоже чисто интуитивно, Х = 120. Тогда: Х * Х = 14400.И опять с интуицией порядок - результат больше 12345.
3. Выше получена «вилка» 100 и 120. Выберем новые числа - 110 и 115. Получаем, соответственно, 12100 и 13225 - вилка сужается.
4. Пробуем на «авось» Х=111. Получаем Х * Х = 12321. Это число уже достаточно близко к 12345. В соответствии с требуемой точностью «подгонку» можно продолжить или остановиться на полученном результате. Вот и все. Как и было обещано - все очень просто и без калькулятора.
Совсем немного истории…
Додумались до использования квадратных корней еще пифагорейцы, ученики школы и последователи Пифагора, за 800 лет до н.э. и тут же, «нарвались» на новые открытия в области чисел. И откуда что взялось?
1. Решение задачи с извлечением корня, дает результат в виде чисел нового класса. Их назвали иррациональными, иначе говоря, «неразумными», т.к. они не записываются законченным числом. Самый классический пример такого рода - квадратный корень из 2. Этот случай соответствует вычислению диагонали квадрата со стороной равной 1 - вот оно, влияние школы Пифагора. Оказалось, что у треугольника с вполне конкретным единичным размером сторон, гипотенуза имеет размер, который выражается числом, у которого «нет конца». Так в математике появились
2. Известно, что Оказалось, что эта математическая операция содержит еще один подвох - извлекая корень, мы не знаем, квадратом какого числа, положительного или отрицательного, является подкоренное выражение. Эта неопределенность, двойной результат от одной операции, так и записывается.
Изучение связанных с этим явлением проблем стало направлением в математике под названием теория комплексной переменной, имеющим большое практическое значение в математической физике.
Любопытно, что обозначение корня - радикал - применил в своей «Универсальной арифметике» все тот же вездесущий И. Ньютон, а в точности современный вид записи корня известен с 1690 года из книги француза Ролля «Руководство алгебры».
Возведение числа в степень - это сокращенная форма записи операции многократного умножения, в котором все множители равны исходному числу. А извлечение корня означает обратную операцию - определение множителя, который должен быть задействован в операции многократного умножения, чтобы в ее результате получилось подкоренное число. Как показатель степени, так и показатель корня указывают на одно и то же - сколько сомножителей должно быть в такой операции умножения.
Вам понадобится
- Доступ в интернет.
Инструкция
- Если к числу или выражению требуется применить одновременно и операцию извлечения корня, и возведения его в степень, сведите оба действия в одно - в возведение в степень с дробным показателем. В числителе дроби должен стоять показатель степени, а в знаменателе - корня. Например, если нужно возвести в квадрат кубический корень , то две эти операции будут эквивалентны одному возведению числа в степень ⅔.
- Если в условиях требуется возвести в квадрат корень с показателем степени, равным двойке, это задача не на вычисление, а на проверку ваших знаний. Воспользуйтесь способом из первого шага, и вы получите дробь 2/2, т.е. 1. Это значит, что результатом возведения в квадрат квадратного корня из любого числа будет само это число.
- При необходимости возвести в квадрат корень с четным показателем степени, всегда есть возможность упростить операцию. Так как у двойки (числителя дробного показателя степени) и любого четного числа (знаменателя) есть общий делитель, то после упрощения дроби в числителе останется единица, а это значит, что возводить в степень при расчетах не требуется, достаточно извлечь корень с половинным показателем степени. Например, возведение в квадрат корня шестой степени из восьмерки можно свести к извлечению из нее кубического корня, т.к. 2/6=1/3.
- Для вычисления результата при любых показателях степени корня воспользуйтесь, например, калькулятором, встроенным в поисковую систему Google. Это, пожалуй, самый легкий способ расчетов при наличии выхода в интернет с вашего компьютера. Общепринятым заменителем знака операции возведения в степень является вот такая «крышка»: ^. Используйте ее при вводе в Google поискового запроса. Например, если требуется возвести в квадрат корень пятой степени из числа 750, сформулируйте запрос так: 750^(2/5). После его ввода поисковик даже без нажатия кнопки отправки на сервер покажет результат вычислений с точностью до семи знаков после запятой: 750^(2 / 5) = 14,1261725.
Площадь квадратного участка земли равна 81 дм². Найти его сторону. Предположим, что длина стороны квадрата равна х дециметрам. Тогда площадь участка равна х ² квадратным дециметрам. Так как по условию эта площадь равна 81 дм², то х ² = 81. Длина стороны квадрата — положительное число. Положительным числом, квадрат которого равен 81, является число 9. При решении задачи требовалось найти число х, квадрат которого равен 81, т. е. решить уравнение х ² = 81. Это уравнение имеет два корня: x 1 = 9 и x 2 = — 9, так как 9² = 81 и (- 9)² = 81. Оба числа 9 и — 9 называют квадратными корнями из числа 81.
Заметим, что один из квадратных корней х = 9 является положительным числом. Его называют арифметическим квадратным корнем из числа 81 и обозначают √81, таким образом √81 = 9.
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а .
Например, числа 6 и — 6 являются квадратными корнями из числа 36. При этом число 6 является арифметическим квадратным корнем из 36, так как 6 — неотрицательное число и 6² = 36. Число — 6 не является арифметическим корнем.
Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так: √а.
Знак называется знаком арифметического квадратного корня; а — называется подкоренным выражением. Выражение √а читается так: арифметический квадратный корень из числа а. Например, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. В тех случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, кратко говорят: «корень квадратный из а «.
Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Это действие является обратным к возведению в квадрат.
Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратные корни можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа — 4. Если бы такой корень существовал, то, обозначив его буквой х , мы получили бы неверное равенство х² = — 4, так как слева стоит неотрицательное число, а справа отрицательное.
Выражение √а имеет смысл только при а ≥ 0. Определение квадратного корня можно кратко записать так: √а ≥ 0, (√а )² = а . Равенство (√а )² = а справедливо при а ≥ 0. Таким образом, чтобы убедиться в том, что квадратный корень из неотрицательного числа а равен b , т. е. в том, что √а =b , нужно проверить, что выполняются следующие два условия: b ≥ 0, b ² = а.
Квадратный корень из дроби
Вычислим . Заметим, что √25 = 5, √36 = 6, и проверим выполняется ли равенство .
Так как 
и , то равенство верно. Итак, 
.
Теорема:
Если а
≥ 0 и b
> 0, то т. е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. Требуется доказать, что: и 
.
Так как √а ≥0 и √b > 0, то .
По свойству возведения дроби в степень и определению квадратного корня 
теорема доказана. Рассмотрим несколько примеров.
Вычислить , по доказанной теореме 
.
Второй пример: Доказать, что 
, если а
≤ 0, b
< 0. 
.
Еще примерчик: Вычислить .
.
Преобразование квадратных корней
Вынесение множителя из-под знака корня. Пусть дано выражение . Если а ≥ 0 и b ≥ 0, то по теореме о корне из произведения можно записать:
Такое преобразование называется вынесение множителя из под знака корня. Рассмотрим пример;
Вычислить при х = 2. Непосредственная подстановка х = 2 в подкоренное выражение приводит к сложным вычислениям. Эти вычисления можно упростить, если вначале вынести из-под знака корня множители: . Подставив теперь х = 2, получим:.
Итак, при вынесении множителя из-под знака корня представляют подкоренное выражение в виде произведения, в котором один или несколько множителей являются квадратами неотрицательных чисел. Затем применяют теорему о корне из произведения и извлекают корень из каждого множителя. Рассмотрим пример: Упростить выражение А = √8 + √18 — 4√2 вынося в первых двух слагаемых множители из-под знака корня, получим:. Подчеркнем, что равенство 
справедливо только при а
≥ 0 и b
≥ 0. если же а
< 0, то .
Математика зародилась тогда, когда человек осознал себя и стал позиционироваться как автономная единица мира. Желание измерить, сравнить, посчитать то, что тебя окружает, - вот что лежало в основе одной из фундаментальных наук наших дней. Сначала это были частички элементарной математики, что позволили связать числа с их физическими выражениями, позже выводы стали излагаться лишь теоретически (в силу своей абстрактности), ну а через некоторое время, как выразился один ученый, "математика достигла потолка сложности, когда из нее исчезли все числа". Понятие "квадратный корень" появилось еще в то время, когда его можно было без проблем подкрепить эмпирическими данными, выходя за плоскость вычислений.
С чего все начиналось
Первое упоминание корня, который на данный момент обозначается как √, было зафиксировано в трудах вавилонских математиков, положивших начало современной арифметике. Конечно, на нынешнюю форму они походили мало - ученые тех лет сначала пользовались громоздкими табличками. Но во втором тысячелетии до н. э. ими была выведена приближенная формула вычислений, которая показывала, как извлечь квадратный корень. На фото ниже изображен камень, на котором вавилонские ученые высекли процесс вывода √2 , причем он оказался настолько верным, что расхождение в ответе нашли лишь в десятом знаке после запятой.
Помимо этого, корень применялся, если нужно было найти сторону треугольника, при условии, что две другие известны. Ну и при решении квадратных уравнений от извлечения корня никуда не деться.
Наравне с вавилонскими работами объект статьи изучался и в китайской работе "Математика в девяти книгах", а древние греки пришли к выводу, что любое число, из которого не извлекается корень без остатка, дает иррациональный результат.
Происхождение данного термина связывают с арабским представлением числа: древние ученые полагали, что квадрат произвольного числа произрастает из корня, подобно растению. На латыни это слово звучит как radix (можно проследить закономерность - все, что имеет под собой "корневую" смысловую нагрузку, созвучно, будь то редис или радикулит).
Ученые последующих поколений подхватили эту мысль, обозначая его как Rx. Например, в XV веке, дабы указать, что извлекается корень квадратный из произвольного числа a, писали R 2 a. Привычная современному взгляду "галочка" √ появилась лишь в XVII веке благодаря Рене Декарту.
Наши дни
С точки зрения математики, квадратный корень из числа y - это такое число z, квадрат которого равен y. Иными словами, z 2 =y равносильно √y=z. Однако данное определение актуально лишь для арифметического корня, так как оно подразумевает неотрицательное значение выражения. Иными словами, √y=z, где z больше либо равно 0.
В общем случае, что действует для определения алгебраического корня, значение выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, в силу того, что z 2 =y и (-z) 2 =y, имеем: √y=±z или √y=|z|.
Благодаря тому, что любовь к математике с развитием науки лишь возросла, существуют разнообразные проявления привязанности к ней, не выраженные в сухих вычислениях. Например, наравне с такими занятными явлениями, как день числа Пи, отмечаются и праздники корня квадратного. Отмечаются они девять раз в сто лет, и определяются по следующему принципу: числа, которые обозначают по порядку день и месяц, должна быть корнем квадратным из года. Так, в следующий раз предстоит отмечать сей праздник 4 апреля 2016 года.
Свойства квадратного корня на поле R
Практически все математические выражения имеют под собой геометрическую основу, не миновала эта участь и √y, который определяется как сторона квадрата с площадью y.
Как найти корень числа?
Алгоритмов вычисления существует несколько. Наиболее простым, но при этом достаточно громоздким, является обычный арифметический подсчет, который заключается в следующем:
1) из числа, корень которого нам нужен, по очереди вычитаются нечетные числа - до тех пор, пока остаток на выходе не получится меньше вычитаемого или вообще будет равен нулю. Количество ходов и станет в итоге искомым числом. Например, вычисление квадратного корня из 25:
Следующее нечетное число - это 11, остаток у нас следующий: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Для таких случаев существует разложение в ряд Тейлора:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , где n принимает значения от 0 до
+∞, а |y|≤1.
Графическое изображение функции z=√y
Рассмотрим элементарную функцию z=√y на поле вещественных чисел R, где y больше либо равен нулю. График ее выглядит следующим образом:
Кривая растет из начала координат и обязательно пересекает точку (1; 1).
Свойства функции z=√y на поле действительных чисел R
1. Область определения рассматриваемой функции - промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль включен).
2. Область значений рассматриваемой функции - промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль опять же включен).
3. Минимальное значение (0) функция принимает лишь в точке (0; 0). Максимальное значение отсутствует.
4. Функция z=√y ни четная, ни нечетная.
5. Функция z=√y не является периодической.
6. Точка пересечения графика функции z=√y с осями координат лишь одна: (0; 0).
7. Точка пересечения графика функции z=√y также является и нулем этой функции.
8. Функция z=√y непрерывно растет.
9. Функция z=√y принимает лишь положительные значения, следовательно, график ее занимает первый координатный угол.
Варианты изображения функции z=√y
В математике для облегчения вычислений сложных выражений порой используют степенную форму написания корня квадратного: √y=y 1/2 . Такой вариант удобен, например, в возведении функции в степень: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Этот метод является удачным представлением и при дифференцировании с интегрированием, так как благодаря ему корень квадратный представляется обычной степенной функцией.
А в программировании заменой символа √ является комбинация букв sqrt.
Стоит отметить, что в данной области квадратный корень очень востребован, так как входит в состав большинства геометрических формул, необходимых для вычислений. Сам алгоритм подсчета достаточно сложен и строится на рекурсии (функции, что вызывает сама себя).
Корень квадратный в комплексном поле С
По большому счету именно предмет данной статьи стимулировал открытие поля комплексных чисел C, так как математикам не давал покоя вопрос получения корня четной степени из отрицательного числа. Так появилась мнимая единица i, которая характеризуется очень интересным свойством: ее квадратом есть -1. Благодаря этому квадратные уравнения и при отрицательном дискриминанте получили решение. В С для корня квадратного актуальны те же свойства, что и в R, единственное, сняты ограничения с подкоренного выражения.
А у вас есть зависимость от калькулятора ? Или вы считаете, что кроме как с калькулятором или при помощи таблицы квадратов очень сложно вычислить, например, .
Случается, школьники привязаны к калькулятору и даже 0,7 на 0,5 умножают, нажимая на заветные кнопочки. Говорят, ну я все равно знаю как посчитать, а сейчас сэкономлю время… Вот будет экзамен… тогда и напрягусь…
Так дело в том, что на экзамене и так будет предостаточно «напряжных моментов»… Как говорится, вода камень точит. Вот и на экзамене мелочи, если их много, способны подкосить…
Давайте минимизируем количество возможных неприятностей.
Извлекаем квадратный корень из большого числа
Мы будем говорить сейчас только о случае, когда результат извлечения корня квадратного – целое число.
Случай 1.
Итак, пусть нам во что-бы то ни стало (например, при вычислении дискриминанта) нужно вычислить корень квадратный из 86436.
Мы будем раскладывать число 86436 на простые множители. Делим на 2, – получаем 43218; снова делим на 2, – получаем 21609. На 2 больше нацело число не делится. Но так как сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3 (вообще говоря, видно, что оно и на 9 делится). . Еще раз делим на 3, – получаем 2401. 2401 на 3 нацело не делится. На пять не делится (не оканчивается цифрой 0 или 5).
Подозреваем делимость на 7. Действительно, а ,
Итак, Полный порядок!
Случай 2.
Пусть нам нужно вычислить . Действовать так же, как описано выше, неудобно. Пытаемся разложить на простые множители…
На 2 число 1849 нацело не делится (не является четным)…
На 3 нацело не делится (сумма цифр не кратна 3)…
На 5 нацело не делится (последняя цифра – не 5 и не 0)…
На 7 нацело не делится, на 11 не делится, на 13 не делится… Ну и долго нам так перебирать все простые числа?
Будем рассуждать несколько иначе.
Мы понимаем, что
Мы сузили круг поиска. Теперь перебираем числа от 41 до 49. Причем ясно, что раз последняя цифра числа – 9, то останавливаться стоит на вариантах 43 или 47, – только эти числа при возведении в квадрат дадут последнюю цифру 9.
Ну и тут уже, конечно, мы останавливаемся на 43. Действительно,
P.S. А как, ксатати, мы умножаем 0,7 на 0,5?
Следует умножить 5 на 7, не обращая внимание на нули и знаки, а потом отделить, идя справа налево, два знака запятой. Получаем 0,35.