Решение целых и дробно рациональных неравенств. Как решать неравенства? Как решать дробные и квадратные неравенства

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), С числовыми неравенствами вы встречались и в младших классах. Знаете, что неравенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Например, \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3} \) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 - неверное числовое неравенство.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 - неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а Таким образом, неравенство а > b означает, что разность а - b положительна, т.е. а - b > 0. Неравенство а Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a > b, a = b, a Сравнить числа а и b - значит выяснить, какой из знаков >, = или Теорема. Если a > b и Ь > с, то а > с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй - более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d - положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c Наряду со знаками строгих неравенств > и Точно так же неравенство \(a \geq b \) означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b.

Неравенства, содержащие знак \(\geq \) или знак \(\leq \), называют нестрогими. Например, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) - нестрогие неравенства.

Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом если для строгих неравенств противоположными считались знаки > и Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы уравнений. Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными. Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства.

Неравенства вида
\(ax > b, \quad ax в которых а и b - заданные числа, а x - неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным .

Определение. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся с помощью свойств привести к виду простейших неравенств.

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
\(ax^2+bx+c >0 \) и \(ax^2+bx+c где x - переменная, a, b и c - некоторые числа и \(a \neq 0 \), называют неравенствами второй степени с одной переменной .

Решение неравенства
\(ax^2+bx+c >0 \) или \(ax^2+bx+c можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция \(y= ax^2+bx+c \) принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции \(y= ax^2+bx+c \) в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы - вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.

Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2+bx+c \) и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a > 0 или вниз при a 0 или в нижней при a 3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство \(ax^2+bx+c >0 \)) или ниже оси x (если решают неравенство
\(ax^2+bx+c Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \((5; +\infty) \)

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
где x–переменная, а x 1 , x 2 , ..., x n – не равные друг другу числа. Числа x 1 , x 2 , ..., x n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Это свойство используется для решения неравенств вида
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) где x 1 , x 2 , ..., x n - не равные друг другу числа

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.

Решить неравенство:

\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно, что нулями функции f(x) = x(0,5-x)(x+4) являются точки \(x=0, \; x=\frac{1}{2} , \; x=-4 \)

Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

Ответ:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Продолжаем углубляться в тему «решение неравенств с одной переменной». Нам уже знакомы линейные неравенства и квадратные неравенства . Они являются частными случаями рациональных неравенств , изучением которых мы сейчас и займемся. Начнем с того, что выясним, неравенства какого вида называются рациональными. Дальше разберемся с их подразделением на целые рациональные и дробные рациональные неравенства. А уже после этого будем изучать, как проводится решение рациональных неравенств с одной переменной, запишем соответствующие алгоритмы и рассмотрим решения характерных примеров с детальными пояснениями.

Навигация по странице.

Что такое рациональные неравенства?

В школе на уроках алгебры, как только заходит разговор про решение неравенств, так сразу же и происходит встреча с рациональными неравенствами. Однако сначала их не называют своим именем, так как на этом этапе виды неравенств представляют мало интереса, а основная цель состоит в получении начальных навыков работы с неравенствами. Сам термин «рациональное неравенство» вводится позже в 9 классе, когда начинается детальное изучение неравенств именно этого вида.

Давайте узнаем, что такое рациональные неравенства. Вот определение:

В озвученном определении ничего не сказано о числе переменных, значит, допускается любое их количество. В зависимости от этого различают рациональные неравенства с одной, двумя и т.д. переменными. Кстати, в учебнике дается подобное определение, но для рациональных неравенств с одной переменной. Это и понятно, так как в школе основное внимание уделяется решению неравенств с одной переменной (ниже мы тоже будем говорить лишь о решении рациональных неравенств с одной переменной). Неравенства с двумя переменными рассматривают мало, а неравенствам с тремя и большим числом переменных практически вообще не уделяют внимания.

Итак, рациональное неравенство можно распознать по его записи, для этого достаточно взглянуть на выражения в его левой и правой части и убедиться, что они являются рациональными выражениями. Эти соображения позволяют привести примеры рациональных неравенств. Например, x>4 , x 3 +2·y≤5·(y−1)·(x 2 +1) , - это рациональные неравенства. А неравенство не является рациональным, так как его левая часть содержит переменную под знаком корня, а, значит, не является рациональным выражением. Неравенство тоже не рациональное, так как обе его части не являются рациональными выражениями.

Для удобства дальнейшего описания введем подразделение рациональных неравенств на целые и дробные.

Определение.

Рациональное неравенство будем называть целым , если обе его части – целые рациональные выражения.

Определение.

Дробно рациональное неравенство – это рациональное неравенство, хотя бы одна часть которого – дробное выражение.

Так 0,5·x≤3·(2−5·y) , - целые неравенства, а 1:x+3>0 и - дробно рациональные.

Теперь мы имеем четкое понимание, что представляют собой рациональные неравенства, и можно смело начинать разбираться с принципами решения целых и дробно рациональных неравенств с одной переменной.

Решение целых неравенств

Поставим перед собой задачу: пусть нам надо решить целое рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x), ≥), где r(x) и s(x) – некоторые целые рациональные выражения. Для ее решения будем использовать равносильные преобразования неравенства .

Перенесем выражение из правой части в левую, что нас приведет к равносильному неравенству вида r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) с нулем справа. Очевидно, что выражение r(x)−s(x) , образовавшееся в левой части, тоже целое, а известно, что можно любое . Преобразовав выражение r(x)−s(x) в тождественно равный ему многочлен h(x) (здесь заметим, что выражения r(x)−s(x) и h(x) имеют одинаковую переменной x ), мы перейдем к равносильному неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥).

В простейших случаях проделанных преобразований будет достаточно, чтобы получить искомое решение, так как они приведут нас от исходного целого рационального неравенства к неравенству, которое мы умеем решать, например, к линейному или квадратному. Рассмотрим примеры.

Пример.

Найдите решение целого рационального неравенства x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .

Решение.

Сначала переносим выражение из правой части в левую: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0 . Выполнив все в левой части, приходим к линейному неравенству 3·x−2≤0 , которое равносильно исходному целому неравенству. Его решение не представляет сложности:
3·x≤2 ,
x≤2/3 .

Ответ:

x≤2/3 .

Пример.

Решите неравенство (x 2 +1) 2 −3·x 2 >(x 2 −x)·(x 2 +x) .

Решение.

Начинаем как обычно с переноса выражения из правой части, а дальше выполняем преобразования в левой части, используя :
(x 2 +1) 2 −3·x 2 −(x 2 −x)·(x 2 +x)>0 ,
x 4 +2·x 2 +1−3·x 2 −x 4 +x 2 >0 ,
1>0 .

Так, выполняя равносильные преобразования, мы пришли к неравенству 1>0 , которое верно при любых значениях переменной x . А это означает, что решением исходного целого неравенства является любое действительное число.

Ответ:

x - любое.

Пример.

Выполните решение неравенства x+6+2·x 3 −2·x·(x 2 +x−5)>0 .

Решение.

В правой части нуль, так что из нее ничего переносить не нужно. Преобразуем целое выражение, находящееся в левой части, в многочлен:
x+6+2·x 3 −2·x 3 −2·x 2 +10·x>0 ,
−2·x 2 +11·x+6>0 .

Получили квадратное неравенство, которое равносильно исходному неравенству. Решаем его любым известным нам методом. Проведем решение квадратного неравенства графическим способом .

Находим корни квадратного трехчлена −2·x 2 +11·x+6 :

Делаем схематический чертеж, на котором отмечаем найденные нули, и учитываем, что ветви параболы направлены вниз, так как старший коэффициент отрицательный:

Так как мы решаем неравенство со знаком >, то нас интересуют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Это имеет место на интервале (−0,5, 6) , он и является искомым решением.

Ответ:

(−0,5, 6) .

В более сложных случаях в левой части полученного неравенства h(x)<0 (≤, >, ≥) будет многочлен третьей или более высокой степени. Для решения таких неравенств подходит метод интервалов , на первом шаге которого нужно будет найти все корни многочлена h(x) , что частенько делается через .

Пример.

Найдите решение целого рационального неравенства (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

Решение.

Перенесем все в левую часть, после чего там и :
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
x 3 +4·x 2 +2·x+8−14+9·x<0 ,
x 3 +4·x 2 +11·x−6<0 .

Проделанные манипуляции приводят нас к неравенству, которое равносильно исходному. В его левой части многочлен третьей степени. Решить его можно методом интервалов. Для этого в первую очередь надо найти корни многочлена, что упирается в x 3 +4·x 2 +11·x−6=0 . Выясним, имеет ли оно рациональные корни, которые могут быть лишь среди делителей свободного члена, то есть, среди чисел ±1 , ±2 , ±3 , ±6 . Подставляя по очереди эти числа вместо переменной x в уравнение x 3 +4·x 2 +11·x−6=0 , выясняем, что корнями уравнения являются числа 1 , 2 и 3 . Это позволяет представить многочлен x 3 +4·x 2 +11·x−6 в виде произведения (x−1)·(x−2)·(x−3) , а неравенство x 3 +4·x 2 +11·x−6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

А дальше остается выполнить стандартные шаги метода интервалов: отметить на числовой прямой точки с координатами 1 , 2 и 3 , которые разбивают эту прямую на четыре промежутка, определить и расставить знаки, изобразить штриховку над промежутками со знаком минус (так как мы решаем неравенство со знаком <) и записать ответ.

Откуда имеем (−∞, 1)∪(2, 3) .

Ответ:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

Следует отметить, что иногда нецелесообразно от неравенства r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) переходить к неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥), где h(x) – многочлен степени выше второй. Это касается тех случаев, когда сложнее разложить многочлен h(x) на множители, чем представить выражение r(x)−s(x) в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, например, путем вынесения за скобки общего множителя. Поясним это на примере.

Пример.

Решите неравенство (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1) .

Решение.

Это целое неравенство. Если перенести выражение из его правой части в левую, после чего раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится неравенство x 4 −4·x 3 −16·x 2 +40·x+19≥0 . Решить его очень непросто, так как это предполагает поиск корней многочлена четвертой степени. Несложно проверить, что рациональных корней он не имеет (ими могли бы быть числа 1 , −1 , 19 или −19 ), а другие его корни искать проблематично. Поэтому этот путь тупиковый.

Давайте поищем другие возможности решения. Несложно заметить, что после переноса выражения из правой части исходного целого неравенства в левую, можно вынести за скобки общий множитель x 2 −2·x−1 :
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0 ,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0 .

Проделанное преобразование является равносильным, поэтому решение полученного неравенства будет решением и исходного неравенства.

А теперь мы можем найти нули выражения, находящегося в левой части полученного неравенства, для этого надо x 2 −2·x−1=0 и x 2 −2·x−19=0 . Их корнями являются числа . Это позволяет перейти к равносильному неравенству , а его мы можем решить методом интервалов:

По чертежу записываем ответ .

Ответ:

В заключение этого пункта хочется лишь добавить, что далеко не всегда есть возможность найти все корни многочлена h(x) , и как следствие разложить его в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов. В этих случаях нет возможности решить неравенство h(x)<0 (≤, >, ≥), а значит, нет возможности найти решение исходного целого рационального уравнения.

Решение дробно рациональных неравенств

Теперь займемся решением такой задачи: пусть требуется решить дробно рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x), ≥), где r(x) и s(x) – некоторые рациональные выражения, причем хотя бы одно из них – дробное. Давайте сразу приведем алгоритм ее решения, после чего внесем необходимые пояснения.

Алгоритм решения дробно рационального неравенства с одной переменной r(x), ≥):

Сначала надо найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной x для исходного неравенства.
Дальше нужно перенести выражение из правой части неравенства в левую, и образовавшееся там выражение r(x)−s(x) преобразовать к виду дроби p(x)/q(x) , где p(x) и q(x) – целые выражения, представляющие собой произведения линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов и их степеней с натуральным показателем.
Дальше надо решить полученное неравенство методом интервалов.
Наконец, из полученного на предыдущем шаге решения нужно исключить точки, не входящие в ОДЗ переменной x для исходного неравенства, которая была найдена на первом шаге.

Так будет получено искомое решение дробно рационального неравенства.

Пояснений требует второй шаг алгоритма. Перенос выражения из правой части неравенства в левую дает неравенство r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), которое равносильно исходному. Здесь все понятно. А вот вопросы вызывает дальнейшее его преобразование к виду p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

Первый вопрос: «Всегда ли его возможно провести»? Теоретически, да. Мы знаем, что можно любое . В числителе и знаменателе рациональной дроби находятся многочлены. А из основной теоремы алгебры и теоремы Безу следует, что любой многочлен степени n с одной переменной можно представить в виде произведения линейных двучленов. Это и объясняет возможность проведения указанного преобразования.

На практике же довольно сложно раскладывать многочлены на множители, а если их степень выше четвертой, то и не всегда возможно. Если разложение на множители невозможно, то не будет и возможности найти решение исходного неравенства, но в школе такие случаи обычно не встречаются.

Второй вопрос: «Будет ли неравенство p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) равносильно неравенству r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), а значит, и исходному»? Оно может быть как равносильно, так и неравносильно. Оно равносильно тогда, когда ОДЗ для выражения p(x)/q(x) совпадает с ОДЗ для выражения r(x)−s(x) . В этом случае последний шаг алгоритма будет излишним. Но ОДЗ для выражения p(x)/q(x) может оказаться шире, чем ОДЗ для выражения r(x)−s(x) . Расширение ОДЗ может происходить при сокращении дробей, как, например, при переходе от к . Также расширению ОДЗ может способствовать приведение подобных слагаемых, как, например, при переходе от к . Для этого случая и предназначен последний шаг алгоритма, на котором исключаются посторонние решения, возникающие из-за расширения ОДЗ. Давайте последим за этим, когда будем разбирать ниже решения примеров.

На этом уроке мы продолжим решение рациональных неравенств методом интервалов для более сложных неравенств. Рассмотрим решение дробно-линейных и дробно-квадратичных неравенств и сопутствующие задачи.

Теперь возвращаемся к неравенству

Рассмотрим некоторые сопутствующие задачи.

Найти наименьшее решение неравенства.

Найти число натуральных решений неравенства

Найти длину интервалов, составляющих множество решений неравенства.

2. Портал Естественных Наук ().

3. Электронный учебно-методический комплекс для подготовки 10-11 классов к вступительным экзаменам по информатике, математике, русскому языку ().

5. Центр образования «Технология обучения» ().

6. Раздел College.ru по математике ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. №№ 28(б,в); 29(б,в); 35(а,б); 37(б,в); 38(а).

Выработать умение решать рациональные неравенства методом интервалов при кратных корнях, способствовать выработке у учащихся потребности и желания обобщения изученного материала;
Развивать умение сравнивать решения, выявлять правильные ответы; развивать любознательность, логическое мышление, познавательный интерес к предмету
Воспитывать аккуратность при оформлении решения, умение преодолевать трудности при решении неравенств.

Материалы и оборудование: интерактивна доска, карточки, сборник тестов.

Ход занятия

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний

Фронтальный опрос класса по вопросам:

При каких значениях переменной дробь имеет смысл (рис.1)?

Повторить алгоритм решения неравенств вида (x - x 1)(x - x 2)…(x - x n) > 0 или (x - x 1)(x - x 2)…(x - x n) < 0, где x 1 , x 2 , … x n не равные друг другу числа.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов высвечивается на интерактивной доске:

III. Изучение нового материала. Решение дробно-рациональных неравенств с кратными корнями методом интервалов.

Решение неравенств с кратными критическими значениями переменной связано, обычно, с наибольшими сложностями. Если ранее можно было расставлять знаки на интервалах просто чередуя их, то теперь при переходе через критическое значение знак всего выражения может не измениться. Мы познакомимся с так называемым методом «лепестков», который поможет преодолеть трудности, связанные с расстановкой знаков функции на интервалах.

Рассмотрим пример: (x+3) 2 > 0/

Левая часть имеет единственную критическую точку х = - 3. Отметим ее на числовой прямой. Эта точка имеет кратность 2, поэтому можно считать, что у нас две слившиеся критические точки, между которыми также есть интервал с началом и концом в одной и той же точке -3. Будем отмечать такие интервалы «лепестками», как на рис.3. Таким образом, получились три интервала: два числовых промежутка (-∞; -3); (-3; +∞) и «лепесток» между ними. Осталось расставить знаки. Для этого вычислим знак на интервале, содержащего ноль, и на остальных расставим знаки, просто их чередуя. Результат расстановки знаков показан на рис.4


Рис. 3	Рис. 4

Ответ: x € (-∞; -3) U (-3; +∞)

Рассмотрим теперь более сложное неравенство (рис.5):

Введем функцию (рис.6):

Отметим на числовой прямой критические точки, учитывая их кратность, - на каждую дополнительную скобку с данным критическим значением рисуем дополнительный «лепесток». Так, на рис.7 у точки х=3 появится один «лепесток», так как (x-3)?=(x-3)(x-3).

Поскольку (x - 6) 3 = (x - 6) (x - 6) (x - 6), у точки х = 6 появляются два «лепестка». Первым множитель учитывается точкой 6 на оси, а два дополнительных множителя учитываются добавлением двух «лепестков». Далее определяем знак на одном из интервалов и расставляем знаки на остальных, чередуя минусы и плюсы.

Все промежутки, отмеченные знаком «+», и темные точки дают ответ.