План-конспект урока математики в 6 классе
Тема урока: «Сравнение смешанных чисел»
Цель урока: изучить правила сравнения смешанных чисел; закрепить умения и навыки сравнения обыкновенных дробей и смешанных чисел при решении задач.
Задачи:
обобщить знания учащихся об обыкновенных дробях и смешанных числах, формировать умения сравнивать обыкновенные дроби и смешанные числа;
продолжить работу по развитию логического мышления, памяти, воображения, формированию математически грамотной речи;
воспитать у учащихся чувство ответственности, совершенствовать навыки самостоятельной деятельности.
Тип урока: урок изучения новых знаний .
Оборудование: проектор, интерактивная доска, раздаточный материал.
Структура урока:
1. Организационный момент (3 мин).
2. Актуализация знаний (10мин).
3. Изучение нового материала (8мин).
4. Физкультминутка (1 мин).
5. Закрепление пройденного (15мин).
6. Домашнее задание (1 мин).
7. Итог урока (2 мин).
Ход урока.
I. Организационный момент . (Слайд №2)
Ребята, открываем тетради, записываем дату и тему урока «Сравнение смешанных чисел».
Сегодня мы изучим новую тему, научимся сравнивать смешанные числа. Но до этого мы должны повторить одну важную тему. А какую, узнаете, если решите ребус :
( дробь )
II. Актуализация знаний. Устная работа .
1) - Посмотрите на экран (слайд№3 ).
- Напишите какая часть фигуры закрашена? запишите дробь (3/8)
Как называется число, записанное под чертой? (знаменатель )
Что показывает знаменатель дроби? (знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое )
Как называется число, записанное над чертой? (числитель )
Что показывает числитель дроби? (числитель показывает, сколько частей взяли )
2) - Следующее задание « Найдите лишнее» (слайд№4) :
А) числитель; сумма; знаменатель; дробь.
Б) ;. ()
Почему лишнее? ( это неправильная дробь, остальные – правильные )
Какие дроби называются правильными? (у правильных дробей числитель меньше знаменателя)
- Какие дроби называются неправильными? (у неправильных дробей числитель больше или равен знаменателю)
В) ;. ()
Почему оно лишнее? (это смешанное число) Записываю на доске
Из каких частей состоит смешанное число? (из целого числа и дроби или целой части и дробной части )
3) Самостоятельная работа на карточках.
Теперь вспомним, как сравнивают обыкновенные дроби. Для этого выполним самостоятельную работу . Решения записываем на листочках с заданиями:
…. ; …. ;
…. ; …. ;
…. ; …. .
Проверим ваши решения. У кого правильно, без ошибок - ставим «5», у кого 1-2 ошибки- «4», у кого 3 и более – «3».
Самопроверка (на слайде№5 ответы)
Какими правилами сравнения обыкновенных дробей вы воспользовались? (с правилами сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями и с одинаковыми числителями)
Давайте прочтём вместе вслух правила сравнения:
Правило 1: (Слайд №6)
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше .
Правило 2: (Слайд№6)
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше .
Изучение новой темы « Сравнение смешанных чисел »
При сравнении смешанных чисел могут быть два случая сравнения.
Рассмотрим первый случай. Посмотрите на экран (Слайд №7 ).
Какие смешанные числа изображены на экране? ( и )
Запишите их в тетрадь:
Назовите целую часть каждого числа. (3 и 2)
Целые части одинаковые или разные? (разные )
В каком смешанном числе больше целая часть? (в первом )
Какое число больше? ()
- Какой можем сделать вывод? Продолжите …
Значит , чтобы сравнить смешанные числа, вначале сравниваем целые части.
Вывод : Из двух смешанных чисел больше то, в котором целая часть …..больше .
Примеры на закрепление (Слайд №8)
- Выполним устно следующее задание :
Прочитайте и сравните числа: и; и; и. Что больше?
Продолжение и зучения новой темы
Рассмотрим второй случай. Какие смешанные числа изображены на следующем слайде? (Слайд №9)
Запишите в тетради смешанные числа
Что можно сказать о целых частях данных смешанных чисел? (они одинаковые )
Как вы думаете, как сравнить два смешанных числа с одинаковыми целыми частями? (посмотреть на дробные части или дроби )
Что больше ¾ или ¼ ? (¾)
Какое число больше? ()
- Значит, если целые части одинаковы, то смотрим на дробные части
В ывод: (Слайд №8) Продолжите …
Из двух смешанных чисел с одинаковыми целыми частями больше то число, у которого дробная часть ……больше .
Физкультминутка (слайд №9).
Раз – поднялись, потянулись.
Два – нагнулись, разогнулись.
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
На четыре – руки шире.
Пять – руками помахать.
Шесть – за парту тихо сесть.
V. Закрепление изученного .
1 ) Работа с учебником .
Открываем учебники на Стр. 84 решаем № 317 (2)
К доске выходит ….., а остальные решают в тетрадях.
2) - Решите устно задачу (на Слайде №10) .
У Маши апельсин, у Алёны апельсин, у Оли апельсин. У кого больше апельсин? У кого меньше апельсин?
3) Игра «Математические бусы».
На доске нарисованы бусы. Вам нужно по очереди выходить к доске, придумать и записать в кружочки смешанные числа в порядке возрастания .
VI. Итог урока .
Какую тему сегодня на уроке изучили?
Как сравнить смешанные числа с разными целыми частями?
Как сравнить смешанные числа с одинаковыми целыми частями?
- Оценки за урок : .
Спасибо за работу!
VI I . Домашнее задание : №320 с. 85. (сравнить смешанные)
Дополнительное задание для самостоятельной работы (в конце урока):
Вариант 1.
Сравнить числа:
…. ; … ; 10 ….. 10
…. ; … ; ….. 3
Самостоятельная работа (на 3 мин)
Вариант 1
…. ; …. ;
…. ; …. ;
…. ; …. .
Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.
Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.
Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются , такими как больше (>) или меньше (<).
Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.
Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.
Содержание урокаСравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.
Например, сравним дроби и и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.
Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:
Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.
Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями
Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.
Например, сравнить дроби и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.
Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и это число 6.
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби . НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:
Умножим дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:
Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.
После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:
Теперь можно легко понять, почему больше, чем . Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:
2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.
Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.
Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.
При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.
Например, 10−8=2
10 — уменьшаемое
8 — вычитаемое
2 — разность
Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.
А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2
5 — уменьшаемое
7 — вычитаемое
−2 — разность
В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.
Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.
С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.
Например, решим пример .
Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем
поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:
Теперь решим такой пример
Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:
В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.
Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения .
Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите .
После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:
Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .
А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое
А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:
Пример 3. Найти значение выражения
Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.
Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю:
Теперь сравним дроби и . У дроби числитель меньше, чем у дроби , значит дробь меньше, чем дробь
Не только простые числа можно сравнивать, но и дроби тоже. Ведь дробь — это такое же число как, к примеру, и натуральные числа. Нужно знать только правила, по которым сравнивают дроби.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.
Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.
Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше у которой больше числитель.
Рассмотрим пример:
Сравните дроби \(\frac{7}{26}\) и \(\frac{13}{26}\).
Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:
\(\frac{7}{26} < \frac{13}{26}\)
Сравнение дробей с равными числителями.
Если у дроби одинаковые числители, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Понять это правило можно, если привести пример из жизни. У нас есть торт. К нам в гости могут прийти 5 или 11 гостей. Если придут 5 гостей, то мы разрежем торт на 5 равных кусков, а если придут 11 гостей, то разделим на 11 равных кусков. А теперь подумайте в каком случаем на одного гостя придется кусок торта большего размера? Конечно, когда придут 5 гостей, кусок торта будет больше.
Или еще пример. У нас есть 20 конфет. Мы можем поровну раздать конфеты 4 друзьям или поровну поделить конфеты между 10 друзьями. В каком случае у каждого друга будет конфет больше? Конечно, когда мы разделим только на 4 друзей, количество конфет у каждого друга будет больше. Проверим эту задачу математически.
\(\frac{20}{4} > \frac{20}{10}\)
Если мы до решаем эти дроби, то получим числа \(\frac{20}{4} = 5\) и \(\frac{20}{10} = 2\). Получаем, что 5 > 2
В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.
Рассмотрим еще пример.
Сравните дроби с одинаковым числителем \(\frac{1}{17}\) и \(\frac{1}{15}\) .
Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.
\(\frac{1}{17} < \frac{1}{15}\)
Сравнение дробей с разными знаменателями и числителями.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо дроби привести к , а потом сравнить числители.
Сравните дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{5}{7}\).
Сначала найдем общий знаменатель дробей. Он будет равен числу 21.
\(\begin{align}&\frac{2}{3} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{14}{21}\\\\&\frac{5}{7} = \frac{5 \times 3}{7 \times 3} = \frac{15}{21}\\\\ \end{align}\)
Потом переходим к сравнению числителей. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
\(\begin{align}&\frac{14}{21} < \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)
Сравнение .
Неправильная дробь всегда больше правильной. Потому что неправильная дробь больше 1, а правильная дробь меньше 1.
Пример:
Сравните дроби \(\frac{11}{13}\) и \(\frac{8}{7}\).
Дробь \(\frac{8}{7}\) неправильная и она больше 1.
\(1 < \frac{8}{7}\)
Дробь \(\frac{11}{13}\) правильная и она меньше 1. Сравниваем:
\(1 > \frac{11}{13}\)
Получаем, \(\frac{11}{13} < \frac{8}{7}\)
Вопросы по теме:
Как сравнить дроби с разными знаменателями?
Ответ: надо привести к общему знаменателю дроби и потом сравнить их числители.
Как сравнивать дроби?
Ответ: сначала нужно определиться к какой категории относятся дроби: у них есть общий знаменатель, у них есть общий числитель, у них нет общего знаменателя и числителя или у вас правильная и неправильная дробь. После классификации дробей применить соответствующее правило сравнения.
Что такое сравнение дробей с одинаковыми числителями?
Ответ: если у дробей одинаковые числители, та дробь больше у которой знаменатель меньше.
Пример №1:
Сравните дроби \(\frac{11}{12}\) и \(\frac{13}{16}\).
Решение:
Так как нет одинаковых числителей или знаменателей, применяем правило сравнения с разными знаменателями. Нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен 96. Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь \(\frac{11}{12}\) умножим на дополнительный множитель 8, а вторую дробь \(\frac{13}{16}\) умножим на 6.
\(\begin{align}&\frac{11}{12} = \frac{11 \times 8}{12 \times 8} = \frac{88}{96}\\\\&\frac{13}{16} = \frac{13 \times 6}{16 \times 6} = \frac{78}{96}\\\\ \end{align}\)
Сравниваем дроби числителями, та дробь больше у которой числитель больше.
\(\begin{align}&\frac{88}{96} > \frac{78}{96}\\\\&\frac{11}{12} > \frac{13}{16}\\\\ \end{align}\)
Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?
Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.
Задача №1:
Сын с отцом играли в футбол. Сын из 10 подходов в ворота попал 5 раз. А папа из 5 подходов попал в ворота 3 раза. Чей результат лучше?
Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби \(\frac{5}{10} \).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби \(\frac{3}{5} \).
Сравним дроби. У нас разные числители и знаменатели, приведем к одному знаменателю. Общий знаменатель будет равен 10.
\(\begin{align}&\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)
Ответ: у папы результат лучше.
В этой статье речь пойдет про сравнение смешанных чисел . Сначала мы разберемся, какие смешанные числа называются равными, а какие – неравными. Дальше мы приведем правило сравнения неравных смешанных чисел, которое позволяет выяснить, какое число больше, а какое – меньше, и рассмотрим примеры. Наконец, мы остановимся на сравнении смешанных чисел с натуральными числами и обыкновенными дробями.
Навигация по странице.
Равные и неравные смешанные числа
Сначала нужно знать, какие смешанные числа называются равными, а какие – неравными. Дадим соответствующие определения.
Определение.
Равные смешанные числа – это смешанные числа, у которых равны и целые части, и дробные части.
Иными словами, два смешанных числа называются равными, если их записи полностью совпадают. Если же записи смешанных чисел отличаются, то такие смешанные числа называют неравными.
Определение.
Неравные смешанные числа – это смешанные числа, записи которых отличаются.
Озвученные определения позволяют с одного взгляда определить, равны ли данные смешанные числа или нет. Например, смешанные числа и равные, так как их записи полностью совпадают. Эти числа имеют равные целые части и равные дробные части. А смешанные числа и - неравные, так как они имеют неравные целые части. Другими примерами неравных смешанных чисел являются и , а также и .
Иногда возникает необходимость выяснить, какое из двух неравных смешанных чисел больше другого, а какое – меньше. Как это делается, рассмотрим в следующем пункте.
Сравнение смешанных чисел
Сравнение смешанных чисел можно свести к сравнению обыкновенных дробей . Для этого достаточно перевести смешанные числа в неправильные дроби .
Для примера, сравним смешанное число и смешанное число , представив их в виде неправильных дробей. Имеем и . Так сравнение исходных смешанных чисел сводится к сравнению дробей с разными знаменателями и . Так как , то .
Сравнение смешанных чисел через сравнение равных им дробей является не лучшим решением. Гораздо удобнее использовать следующее правило сравнения смешанных чисел : больше то смешанное число, целая часть которого больше, если же целые части равны, то больше то смешанное число, дробная часть которого больше.
Рассмотрим, как происходит сравнение смешанных чисел по озвученному правилу. Для этого разберем решения примеров.
Пример.
Какое из смешанных чисел и больше?
Решение.
Целые части сравниваемых смешанных чисел равны, поэтому сравнение сводится к сравнению дробных частей и . Так как , то 
. Таким образом, смешанное число больше, чем смешанное число .
Ответ:
Сравнение смешанного числа и натурального числа
Разберемся, как сравнить смешанное число и натуральное число.
Справедливо такое правило сравнения смешанного числа с натуральным числом : если целая часть смешанного числа меньше данного натурального числа, то смешанное число меньше данного натурального числа, а если целая часть смешанного числа больше или равна данному смешанному числу, то смешанное число больше данного натурального числа.
Разберем примеры сравнения смешанного числа и натурального числа.
Пример.
Сравните числа 6 и .
Решение.
Целая часть смешанного числа равна 9 . Так как она больше натурального числа 6 , то .
Ответ:
Пример.
Дано смешанное число и натуральное число 34 , какое из чисел меньше?
Решение.
Целая часть смешанного числа меньше числа 34 (11<34 ), поэтому .
Ответ:
Смешанное число меньше, чем число 34 .
Пример.
Выполните сравнение числа 5 и смешанного числа .
Решение.
Целая часть данного смешанного числа равна натуральному числу 5 , следовательно, данное смешанное число больше, чем 5 .
Ответ:
В заключение этого пункта отметим, что любое смешанное число больше единицы. Это утверждение следует из правила сравнения смешанного числа и натурального числа, а также из того, что целая часть любого смешанного числа либо больше 1 , либо равна 1 .
Сравнение смешанного числа и обыкновенной дроби
Сначала скажем про сравнение смешанного числа и правильной дроби . Любая правильная дробь меньше единицы (смотрите правильные и неправильные дроби), следовательно, любая правильная дробь меньше любого смешанного числа (так как любое смешанное число больше 1 ).
Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателен (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей.
В этом разделе рассматриваются варианты сравнения дробей, имеющих одинаковые числители или знаменатели.
Правило. Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше).
Например, сравнить дроби:
Правило. Чтобы сравнить правильные дроби с одинаковыми числителями, надо сравнить их знаменатели. Больше (меньше) та дробь, у которой знаменатель меньше (больше).
Например, сравнить дроби:
Сравнение правильных, неправильных и смешанных дробей между собой
Правило. Неправильная и смешанная дроби всегда больше любой правильной дроби.
Правильная дробь но определению меньше 1, поэтому неправильная и смешанная дроби (имеющие в своем составе число, равное или больше 1) больше правильной дроби.
Правило. Из двух смешанных дробей больше (меньше) та, у которой целая часть дроби больше (меньше). При равенстве целых частей смешанных дробей больше (меньше) та дробь, у которой больше (меньше) дробная часть.