Общие сведения о прямой призме
Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма
площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.
Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.
Доказательство. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
где a 1 ,а n - длины ребер основания, р - периметр основания призмы, а I - длина боковых ребер. Теорема доказана.
Практическое задание
Задача (22) . В наклонной призме проведено сечение , перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l.
Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 411). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна рl.
Обобщение пройденной темы
А теперь давайте попробуем с вами подвести итоги пройденной темы о призме и вспомним, какими свойствами обладает призма.
Свойства призмы
Во-первых, у призмы все ее основания являются равными многоугольниками;
Во-вторых, у призмы все ее боковые грани являются параллелограммами;
В-третьих, у такой многогранной фигуры, как призма, все боковые ребра равны;
Также, следует вспомнить, что такие многогранники, как призмы могут быть прямыми и наклонными.
Какая призма называется прямой?
Если же у призмы боковое ребро расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма носит название прямой.
Не будет лишним напомнить, что боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.
Какую призму называют наклонной?
А вот если же у призмы боковое ребро не расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то можно смело утверждать, что это наклонная призма.
Какую призму называют правильной?
Если у основания прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма является правильной.
Теперь вспомним свойства, которыми обладает правильная призма.
Свойства правильной призмы
Во-первых, всегда основаниями правильной призмы служат правильные многоугольники;
Во-вторых, если рассматривать у правильной призмы боковые грани, то они всегда бывают равными прямоугольниками;
В-третьих, если сравнивать размеры боковых ребер, то в правильной призме они всегда равны.
В-четвертых, правильная призма всегда прямая;
В-пятых, если же в правильной призмы боковые грани имеют форму квадратов, то такую фигуру, как правило, называют полуправильным многоугольником.
Сечение призмы
А теперь давайте рассмотрим сечение призмы:
Домашнее задание
А теперь давайте попробуем закрепить изученную тему с помощью решения задач.
Давайте нарисуем наклонную треугольную призму, у которой расстояние между ее ребрами будет равно: 3 см, 4 см и 5 см, а боковая поверхность этой призмы будет равна 60 см2. Имея такие параметры, найдите боковое ребро данной призмы.
А вы знаете, что геометрические фигуры постоянно окружают нас не только на уроках геометрии, но и в повседневной жизни встречаются предметы, которые напоминают ту или иную геометрическую фигуру.
У каждого дома, в школе или на работе имеется компьютер, системный блок которого имеет форму прямой призмы.
Если вы возьмете в руки простой карандаш, то вы увидите, что основной частью карандаша, является призма.
Идя по центральной улице города, мы видим, что у нас под ногами лежит плитка, которая имеет форму шестиугольной призмы.
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела - многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).
Как выглядит призма
Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры - прямой параллелепипед.
Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.
На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело . К ним принято относить:
Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение - это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить - 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.
Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.
Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).
Площадь поверхности и объём
Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:
V = Sосн·h
Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:
V = a²·h
Если речь идёт о кубе - правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:
Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.
Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:
Sбок = Pосн·h
С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:
Sбок = 4a·h
Для куба:
Sбок = 4a²
Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:
Sполн = Sбок + 2Sосн
Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:
Sполн = 4a·h + 2a²
Для площади поверхности куба:
Sполн = 6a²
Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.
Нахождение элементов призмы
Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:
- длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
- длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
- площадь основания: Sосн = V / h;
- площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.
Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2.
Из этого следует:
Sдиаг = ah√2
Для вычисления диагонали призмы используется формула:
dприз = √(2a² + h²)
Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.
Примеры задач с решениями
Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.
Задание 1.
В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?
Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a . В таком случае для первой коробки объём вещества составит:
V₁ = ha² = 10a²
Для второй коробки длина основания составляет 2a , но неизвестна высота уровня песка:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Поскольку V₁ = V₂ , можно приравнять выражения:
10a² = 4ha²
После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:
В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.
Задание 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.
Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.
Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения - длина, ширина и высота - равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.
Длина любого ребра определяется через известную диагональ:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:
Sполн = 6a² = 6·6² = 216
Задание 3.
В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?
Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.
Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.
Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м² .
Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.
Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.
Как найти площадь куба
Определение. Призма - это многогранник, все вершины которого расположены в двух параллельных плоскостях, причем в этих же двух плоскостях лежат две грани призмы, представляющие собой равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все ребра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны.
Две равные грани называются основаниями призмы (ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1) .
Все остальные грани призмы называются боковыми гранями (AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Все боковые грани образуют боковую поверхность призмы .
Все боковые грани призмы являются параллелограммами.
Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы(AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 , EE 1 ).
Диагональю призмы называется отрезок, концами которого служат две вершины призмы, не лежащие на одной ее грани (АD 1).
Длина отрезка, соединяющего основания призмы и перпендикулярного одновременно обоим основаниям,называется высотой призмы .
Обозначение: ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 . (Сначала в порядке обхода указывают вершины одного основания, а затем в том же порядке - вершины другого; концы каждого бокового ребра обозначают одинаковыми буквами, только вершины, лежащие в одном основании, обозначаются буквами без индекса, а в другом - с индексом)
Название призмы связывают с числом углов в фигуре, лежащей в ее основании, например, на рисунке 1 в основании лежит пятиугольник, поэтому призму называют пятиугольной призмой
. Но т.к. у такой призмы 7 граней, то она семигранник
(2 грани - основания призмы, 5 граней - параллелограммы, - ее боковые грани)
Среди прямых призм выделяется частный вид: правильные призмы.
Прямая призма называется правильной, если ее основания-правильные многоугольники.
Параллелепипед
Параллелепипед - это четырехугольная призма, в основании которой лежит параллелограмм (наклонный параллелепипед).Прямой параллелепипед - параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания.Прямоугольный параллелепипед - прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.
Свойства и теоремы:
Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны известным свойствам параллелограмма.Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называются кубом
.У куба все грани равные квадраты.Квадрат диагонали, равен сумме квадратов трех его измерений 
,
где d - диагональ квадрата;
a - сторона квадрата.
Представление о призме дают:
- различные архитектурные сооружения;
- детские игрушки;
- упаковочные коробки;
- дизайнерские предметы и т.д.
Площадь полной и боковой поверхности призмы
Площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее гранейПлощадь боковой поверхности называется сумма площадей ее боковых гранейТ.к. основания призмы - равные многоугольник, то их площади равны. ПоэтомуS полн = S бок + 2S осн ,
где S полн - площадь полной поверхности,S бок -площадь боковой поверхности, S осн - площадь основания
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы .
S бок = P осн * h,
где S бок -площадь боковой поверхности прямой призмы,
P осн - периметр основания прямой призмы,
h - высота прямой призмы, равная боковому ребру.
Объем призмы
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
Многогранники
Основным объектом изучения стереометрии являются пространственные тела. Тело представляет собой часть пространства, ограниченную некоторой поверхностью.
Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности многогранника называется гранью . Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называется ребрами многогранника , а вершины – вершинами многогранника .
Например, куб состоит из шести квадратов, являющихся его гранями. Он содержит 12 ребер (стороны квадратов) и 8 вершин (вершины квадратов).
Простейшими многогранниками являются призмы и пирамиды, изучением которых и займемся далее.
Призма
Определение и свойства призмы
Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы , а отрезки, соединяющие соответствующие вершины многоугольников, – боковыми ребрами призмы .
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований (). Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы (). Призма называется n-угольной , если в ее основании лежит n-угольник.
Любая призма обладает следующими свойствами, следующими из того факта, что основания призмы совмещаются параллельным переносом:
1. Основания призмы равны.
2. Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности . Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов (это следует из свойств призмы). Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.
Прямая призма
Призма называется прямой , если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной .
Гранями прямой призмы являются прямоугольники. Высота прямой призмы равна ее боковым граням.
Полной поверхностью призмы называется сумма площади боковой поверхности и площадей оснований.
Правильной призмой называется прямая призма с правильным многоугольником в основании.
Теорема 13.1 . Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра на высоту призмы (или, что то же самое, на боковое ребро).
Доказательство. Боковые грани прямой призмы есть прямоугольники, основания которых являются сторонами многоугольников в основаниях призмы, а высоты являются боковыми ребрами призмы. Тогда по определению площадь боковой поверхности:
,
где – периметр основания прямой призмы.
Параллелепипед
Если в основаниях призмы лежат параллелограммы, то она называется параллелепипедом . У параллелепипеда все грани – параллелограммы. При этом противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Теорема 13.2 . Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Рассмотрим две произвольные диагонали, например, и . Т.к. гранями параллелепипеда являются параллелограммы, то и , а значит по Т о двух прямых параллельных третьей . Кроме того это означает, что прямые и лежат в одной плоскости (плоскости ). Эта плоскость пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым и . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм, а по свойству параллелограмма его диагонали и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, что и требовалось доказать.
Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом . У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). Таких размеров три (ширина, высота, длина).
Теорема 13.3
. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений 
(доказывается с помощью двукратного применения Т Пифагора).
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом .
Задачи
13.1Сколько диагоналей имеет n -угольная призма
13.2В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 37, 13 и 40. Найти расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.
13.3Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая боковые грани по отрезкам, угол между которыми . Найти угол наклона этой плоскости к основанию призмы.
В основании призмы может лежать любые многоугольник – треугольник, четырехугольник, и т.д. Оба основания абсолютно одинаковы, а соответственно, которыми углы параллельных граней соединяются между собой, всегда параллельны. В основании правильной призмы лежит правильный многоугольник, то есть такой, у которого все стороны равны. У прямой призмы ребра между боковыми гранями перпендикулярны основанию. При этом в основании прямой призмы может лежать многоугольник с любым количеством углов. Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом. Прямоугольник – частный случай параллелограмма. Если в основании лежит именно эта фигура, а боковые грани расположены к основанию под прямым углом, параллелепипед называется прямоугольным. Второе название этого геометрического тела – прямоугольная .