В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные "сложные" функции - это всего лишь их сочетания и комбинации.
1. Дробная функция - ограничение на знаменатель.
2. Корень четной степени - ограничение на подкоренное выражение.
3. Логарифмы - ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.
3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) - ограничение на аргумент.
Для тангенса:
4. Обратные тригонометрические функции.
| Арксинус | Арккосинус | Арктангенс, Арккотангенс |
 |
 |
 |
Далее решаются следующие примеры на тему "Область определения функций".
| Пример 1 | Пример 2 |
 |
| Пример 3 | Пример 4 |
 |
 |
| Пример 5 | Пример 6 |
 |
 |
| Пример 7 | Пример 8 |
 |
 |
| Пример 9 | Пример 10 |
 |
| Пример 11 | Пример 12 |
 |
 |
| Пример 13 | Пример 14 |
 |
| Пример 15 | Пример 16 |
Пример нахождения области определения функции №1
Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени:
y = 2x + 3 - уравнение задает прямую на плоскости.
Посмотрим внимательно на функцию и подумаем, какие же числовые значения мы сможем подставить в уравнение вместо переменной х?
Попробуем подставить значение х=0
Так как y = 2·0 + 3 = 3 - получили числовое значение, следовательно функция существует при взятом значении переменной х=0.
Попробуем подставить значение х=10
так как y = 2·10 + 3 = 23 - функция существует при взятом значении переменной х=10 .
Попробуем подставить значение х=-10
так как y = 2·(-10) + 3 = -17 - функция существует при взятом значении переменной х=-10 .
Уравнение задает прямую линию на плоcкости, а прямая не имеет ни начала ни конца, следовательно она существует для любых значений х.
Заметим, что какие бы числовые значения мы не подставляли в заданную функцию вместо х, всегда получим числовое значение переменной y.
Следовательно, функция существует для любого значения x ∈ R или запишем так: D(f) = R
Формы записи ответа: D(f)=R или D(f)=(-∞:+∞)или x∈R или x∈(-∞:+∞)
Сделаем вывод:
Для любой функции вида y = ax + b областью определения является множество действительных чисел.
Пример нахождения области определения функции №2
Задана функция вида:
y = 10/(x + 5) - уравнение гиперболы
Имея дело с дробной функцией, вспомним, что на ноль делить нельзя. Следовательно функция будет существовать для всех значений х, которые не
обращают знаменатель в ноль. Попробуем подставить какие-либо произвольные значения х.
При х = 0 имеем y = 10/(0 + 5) = 2 - функция существует.
При х = 10 имеем y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/ 3 - функция существует.
При х = -5 имеем y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - функция в этой точке не существует.
Т.е. если заданная функция дробная, то необходимо знаменатель приравнять нулю и найти такую точку, в которой функция не существует.
В нашем случае:
x + 5 = 0 → x = -5 - в этой точке заданная функция не существует.
x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5
Для наглядности изобразим графически:
На графике также видим, что гипербола максимально близко приближается к прямой х = -5 , но самого значения -5 не достигает.
Видим, что заданная функция существует во всех точках действительной оси, кроме точки x = -5
Формы записи ответа: D(f)=R\{-5} илиD(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) или x∈ R\{-5} илиx∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)
Если заданная функция дробная, то наличие знаменателя накладывает условие неравенства нулю знаменателя.
Пример нахождения области определения функции №3
Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:
Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем - неотрицательна.
2х - 8 ≥ 0
Решим простое неравенство:
2х - 8 ≥ 0 → 2х ≥ 8 → х ≥ 4
Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4 или D(f)= ∪ ∪
В словесном способе задания функции нужно внимательно читать условие и находить там ограничения на иксы. Иногда глаза ищут формулы, а слова свистят мимо сознания да...) Пример из предыдущего урока:
Функция задана условием: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х.
Здесь надо заметить, что речь идёт только о натуральных значениях икса. Тогда и D(f) мгновенно записывается:
D(f): х ∈ N
Как видите, область определения функции - не такое уж сложное понятие. Нахождение этой области сводится к осмотру функции, записи системы неравенств и решению этой системы. Конечно, системы бывают всякие, простые и сложные. Но...
Открою маленький секрет. Иногда функция, для которой надо найти область определения, выглядит просто устрашающе. Хочется побледнеть и заплакать.) Но стоит записать систему неравенств... И, вдруг, системка оказывается элементарной! Причём, частенько, чем ужаснее функция, тем проще система...
Мораль: глаза боятся, голова решает!)
Мы узнали, что существует X - множество, на котором формула, которой задана функция, имеет смысл. В математическом анализе это множество часто обозначают как D (область определения функции ). В свою очередь множество Y обозначают как E (область значений функции ) и при этом D и E называют подмножествами R (множества действительных чисел).
Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью её определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл, то есть наибольшее множество значений аргумента, которое приводит к действительным значениям функции . Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором "функция работает".
Для общего понимания пример пока без формулы. Функция задана в виде пар отношений:
{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .
Найти область определения это функции.
Ответ. Первый элемент пар - это переменная x . Так как в задании функции даны и вторые элементы пар - значения переменной y , то функции имеет смысл только для тех значений икса, которым соответствует определённое значения игрека. То есть берём все иксы данных пар в порядке возрастания и получаем из них область определения функции:
{2, 4, 5, 6, 7} .
Та же логика работает, если функция задана формулой. Только вторые элементы в парах (то есть значения игрека) получаем, подставляя в формулу те или иные значения икса. Однако, чтобы найти область определения функции, нам не нужно перебирать все пары иксов и игреков.
Пример 0. Как найти область определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять) ()? Нужно всего лишь решить неравенство
x - 5 ≥ 0 ,
так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции - все значения икса больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).
На чертеже сверху - фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции заштрихована, при этом в "плюсовом" направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.
Если вы пользуетесь компьютерными программами, которые на основании введённых данных выдают какой-то ответ, то можете заметить, что при некоторых значениях введённых данных программа выдаёт сообщение об ошибке, то есть о том, что при таких данных ответ не может быть вычислен. Такое сообщение предусмотрено авторами программы, если выражение для вычисления ответа достаточно сложно или касается какой-то узкой предметной области, или же предусмотрено авторами языка программирования, если дело касается общепринятых норм, например, что нельзя делить на нуль.
Но и в том и в другом случае ответ (значение некоторого выражения) не может быть вычислен по той причине, что выражение при некоторых значениях данных не имеет смысла.
Пример (пока не совсем математический): если программа выдаёт название месяца по номеру месяца в году, то, введя "15", вы получите сообщение об ошибке.
Чаще всего вычисляемое выражение как раз и представляет собой функцию. Поэтому такие недопустимые значения данных не входят в область определения функции . И в вычислениях от руки так же важно представлять область определения функции. Например, вы вычисляете некоторый параметр некоторого изделия по формуле, представляющей собой функцию. При некоторых значениях аргумента на входе вы на выходе не получите ничего.
Область определения постоянной
Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[ .
Пример 1. Найти область определения функции y = 2 .
Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f (x ) = 2 определено при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.
Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Область определения корня n -й степени
В случае, когда функция задана формулой и n - натуральное число:
Пример 2. Найти область определения функции .
Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, если - 1 ≤ x ≤ 1 . Следовательно, область определения данной функции - [- 1; 1] .
Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху - это область определения данной функции.
Область определения степенной функции
Область определения степенной функции с целым показателем степени
если a - положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ ;
если a - отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , то есть вся числовая прямая за исключением нуля.
На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).
Пример 3. Найти область определения функции .
Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы - так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции - вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .
Область определения степенной функции с дробным показателем степени
В случае, когда функция задана формулой :
если - положительное, то областью определения функции является множество 0; + ∞[ .
Пример 4. Найти область определения функции .
Решение. Оба слагаемых в выражении функции - степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции - множество - ∞; + ∞[ .
Область определения показательной и логарифмической функции
Область определения показательной функции
В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .
Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[ .
Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Область определения тригонометрических функций
Область определения функции y = cos(x ) - так же множество R действительных чисел.
Область определения функции y
= tg(x
)
-
множество R
действительных чисел, кроме чисел
.
Область определения функции y = ctg(x ) - множество R действительных чисел, кроме чисел .
Пример 8. Найти область определения функции .
Решение. Внешняя функция - десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь - синус "икса". Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при "иксе" равным нулю, "пи", два, умноженном на "пи" и вообще равным произведению числа "пи" и любого чётного или нечётного целого числа.
Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением
,
где k - целое число.
Область определения обратных тригонометрических функций
Область определения функции y = arcsin(x ) - множество [-1; 1] .
Область определения функции y = arccos(x ) - так же множество [-1; 1] .
Область определения функции y = arctg(x ) - множество R действительных чисел.
Область определения функции y = arcctg(x ) - так же множество R действительных чисел.
Пример 9. Найти область определения функции .
Решение. Решим неравенство:
Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок [- 4; 4] .
Пример 10. Найти область определения функции
.
Решение. Решим два неравенства:
Решение первого неравенства:
Решение второго неравенства:
Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок .
Область определения дроби
Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x , при которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Пример 11. Найти область определения функции .
Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции - множество ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .
Инструкция
Вспомните, что функция - это такая зависимость переменной Y от переменной Х, при которой каждому значению переменной X соответствует единственное значение переменной Y.
Переменная X является независимой переменной или аргументом. Переменная Y - зависимая переменная. Считается также, что переменная Y является функцией от переменной X. Значения функции равны значениям зависимой переменной.
Для наглядности записывайте выражения. Если зависимость переменной Y от переменной X является функцией, то это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначьте значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.
Исследование функции на четность или нечетность - один из шагов общего алгоритма исследования функции, необходимого для построения графика функции и изучения её свойств. В этом шаге необходимо определить, является ли функция четной или нечетной. Если про функцию нельзя сказать, что она является четной или нечетной, то говорят, что это функция общего вида.
Инструкция
Подставьте аргумента x аргумент (-x) и посмотрите, что получилось в итоге. Сравните с изначальной функцией y(x). Если y(-x)=y(x), имеем четную функцию. Если y(-x)=-y(x), имеем нечетную функцию. Если y(-x) не равняется y(x) и не равняется -y(x), имеем функцию общего вида.
Все операции с функцией можно производить только в том множестве, где она определена. Поэтому при исследовании функции и построения ее графика первую роль играет нахождение области определения.
Инструкция
Если функция имеет вид y=g(x)/f(x), решите f(x)≠0, потому что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Например, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. То есть областью определения будет множество (-∞; 4)∪(4; +∞).
Когда при определении функции присутствует корень четной , решите неравенство, где значение будет больше или равно нуля. Корень четной степени может быть взят только из неотрицательного числа. Например, y=√(x−2), x−2≥0. Тогда областью определения является множество , то есть если y=arcsin(f(x)) или y=arccos(f(x)), нужно решить двойное неравенство -1≤f(x)≤1. Например, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. Областью определения будет отрезок [-3; -1].
Наконец, если задана комбинация различных функций, то область определения представляет собой пересечение областей определения всех этих функций. Например, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6). Сначала найдите область определения всех слагаемых. Sin(2*x) определен на всей числовой прямой. Для функции x/√(x+2) решите неравенство x+2>0 и область определения будет (-2; +∞). Область определения функции arcsin(x−6) задается двойным неравенством -1≤x-6≤1, то есть получается отрезок . Для логарифма имеет место неравенство x−6>0, а это есть интервал (6; +∞). Таким образом, областью определения функции будет множество (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), то есть (6; 7].
Видео по теме
Источники:
- область определения функции с логарифмом
Функция - это понятие, отражающее связь между элементами множеств или другими словами это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).
