Логарифмические свойства формулы. Логарифмические выражения

основными свойствами .

logax + logay = loga (x · y);
logax − logay = loga (x: y).

одинаковые основания

Log6 4 + log6 9.

Теперь немного усложним задачу.

Примеры решения логарифмов

Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Найдите значение выражения:

Переход к новому основанию

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

Задача. Найдите значение выражения:

Смотрите также:

Основные свойства логарифма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого.

Основные свойства логарифмов

Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

Примеры на логарифмы

Прологарифмировать выражения

Пример 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем

4. где .

Пример 2. Найти х, если

Пример 3. Пусть задано значение логарифмов

Вычислить log(x), если

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

logax + logay = loga (x · y);
logax − logay = loga (x: y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем.

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения.

Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

logaa = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
loga 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Смотрите также:

Логарифмом числа b по основанию a обозначают выражение . Вычислить логарифм значит найти такой степень x (),при котором выполняется равенство

Основные свойства логарифма

Приведенные свойства необходимо знать, поскольку, на их основе решаются практически все задачи и примеры связаны с логарифмами. Остальные экзотических свойств можно вывести путем математических манипуляций с данными формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При вычислениях формулы суммы и разности логарифмов (3,4) встречаются довольно часто. Остальные несколько сложные, но в ряде задач являются незаменимыми для упрощения сложных выражений и вычисления их значений.

Распространены случаи логарифмов

Одними из распространенных логарифмов такие в которых основание ровное десять, экспоненте или двойке.
Логарифм по основанию десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x).

Из записи видно, что основы в записи не пишут. Для примера

Натуральный логарифм – это логарифм у которого за основу экспонента (обозначают ln(x)).

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого. Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

И еще один важный логарифм по основанию два обозначают

Производная от логарифм функции равна единице разделенной на переменную

Интеграл или первообразная логарифма определяется зависимостью

Приведенного материала Вам достаточно, чтобы решать широкий класс задач связанных с логарифмами и логарифмирования. Для усвоения материала приведу лишь несколько распространенных примеров из школьной программы и ВУЗов.

Примеры на логарифмы

Прологарифмировать выражения

Пример 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем

2.
По свойству разницы логарифмов имеем

3.
Используя свойства 3,5 находим

4. где .

На вид сложное выражение с использованием ряда правил упрощается к виду

Нахождение значений логарифмов

Пример 2. Найти х, если

Решение. Для вычисления применим до последнего слагаемого 5 и 13 свойства

Подставляем в запись и скорбим

Поскольку основания равные, то приравниваем выражения

Логарифмы. Начальный уровень.

Пусть задано значение логарифмов

Вычислить log(x), если

Решение: Прологарифмируем переменную, чтобы расписать логарифм через сумму слагаемых

На этом знакомство с логарифмами и их свойствами только начинается. Упражняйтесь в вычислениях, обогащайте практические навыки — полученные знания Вам скоро понадобятся для решения логарифмических уравнений. Изучив основные методы решения таких уравнений мы расширим Ваши знания для другой не менее важной теме — логарифмические неравенства …

Основные свойства логарифмов

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

logax + logay = loga (x · y);
logax − logay = loga (x: y).

Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Как решать логарифмы

Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Переход к новому основанию

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

Задача. Найдите значение выражения:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

logaa = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
loga 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) "b" по его основанию "a" считается степень "c", в которую необходимо возвести основание "a", чтобы в итоге получить значение "b". Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное - понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
Десятичный a, где основанием служит число 10.
Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

основание "a" всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь "1" и "0" в любой степени всегда равны своим значениям;
если а > 0, то и а b >0, получается, что и "с" должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел - это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени - это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема "логарифмы". Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 - оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение "х" находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример - логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула "свойством степени логарифма". Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов - примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы "Натуральные логарифмы".

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.

Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

log a x + log a y = log a (x · y );
log a x − log a y = log a (x : y ).

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм »). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Log 6 4 + log 6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log 2 48 − log 2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log 3 135 − log 3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Вынесение показателя степени из логарифма

Задача. Найдите значение выражения: log 7 49 6 .

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:
[Подпись к рисунку]

[Подпись к рисунку]

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log 2 7. Поскольку log 2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм log a x . Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:
[Подпись к рисунку]
В частности, если положить c = x , получим:
[Подпись к рисунку]

Задача. Найдите значение выражения: log 5 16 · log 2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

[Подпись к рисунку]

Задача. Найдите значение выражения: log 9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

[Подпись к рисунку]

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

[Подпись к рисунку]

Основное логарифмическое тождество

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a ? Правильно: получится это самое число a . Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Задача. Найдите значение выражения:
[Подпись к рисунку]

Заметим, что log 25 64 = log 5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

[Подпись к рисунку]

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ:)

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

log a a = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
log a 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 — это прямое следствие из определения.

По мере развития общества, усложнения производства развивалась и математика. Движение от простого к сложному. От обычного учёта методом сложения и вычитания, при их многократном повторении, пришли к понятию умножения и деления. Сокращение многократно повторяемой операции умножения стало понятием возведения в степень. Первые таблицы зависимости чисел от основания и числа возведения в степень были составлены ещё в VIII веке индийским математиком Варасена. С них и можно отсчитывать время возникновения логарифмов.

Исторический очерк

Возрождение Европы в XVI веке стимулировало и развитие механики. Требовался большой объем вычисления , связанных с умножением и делением многозначных чисел. Древние таблицы оказали большую услугу. Они позволяли заменять сложные операции на более простые – сложение и вычитание. Большим шагом вперёд стала работа математика Михаэля Штифеля, опубликованная в 1544 году, в которой он реализовал идею многих математиков. Что позволило использовать таблицы не только для степеней в виде простых чисел, но и для произвольных рациональных.

В 1614 году шотландец Джон Непер, развивая эти идеи, впервые ввёл новый термин «логарифм числа». Были составлены новые сложные таблицы для расчёта логарифмов синусов и косинусов, а также тангенсов. Это сильно сократило труд астрономов.

Стали появляться новые таблицы, которые успешно использовались учёными на протяжении трёх веков. Прошло немало времени, прежде чем новая операция в алгебре приобрела свой законченный вид. Было дано определение логарифма, и его свойства были изучены.

Только в XX веке с появлением калькулятора и компьютера человечество отказалось от древних таблиц, успешно работавших на протяжении XIII веков.

Сегодня мы называем логарифмом b по основанию a число x, которое является степенью числа а, чтобы получилось число b. В виде формулы это записывается: x = log a(b).

Например, log 3(9) будет равен 2. Это очевидно, если следовать определению. Если 3 возвести в степень 2, то получим 9.

Так, сформулированное определение ставит только одно ограничение, числа a и b должны быть вещественными.

Разновидности логарифмов

Классическое определение носит название вещественный логарифм и фактически является решением уравнения a x = b. Вариант a = 1 является пограничным и не представляет интереса. Внимание: 1 в любой степени равно 1.

Вещественное значение логарифма определено только при основании и аргументе больше 0, при этом основание не должно равняться 1.

Особое место в области математики играют логарифмы, которые будут называться в зависимости от величины их основания:

Правила и ограничения

Основополагающим свойством логарифмов является правило: логарифм произведения равен логарифмической сумме. log abp = lоg a(b) + log a(p).

Как вариант этого утверждения будет: log с(b/p) = lоg с(b) — log с(p), функция частного равна разности функций.

Из предыдущих двух правил легко видно, что: lоg a(b p) = p * log a(b).

Среди других свойств можно выделить:

Замечание. Не надо делать распространённую ошибку - логарифм суммы не равен сумме логарифмов.

Многие века операция поиска логарифма была довольно трудоёмкой задачей. Математики пользовались известной формулой логарифмической теории разложения на многочлен:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*((x^n)/n), где n - натуральное число больше 1, определяющее точность вычисления.

Логарифмы с другими основаниями вычислялись, используя теорему о переходе от одного основания к другому и свойстве логарифма произведения.

Так как этот способ очень трудоёмкий и при решении практических задач трудноосуществим, то использовали заранее составленные таблицы логарифмов, что значительно ускоряло всю работу.

В некоторых случаях использовали специально составленные графики логарифмов, что давало меньшую точность, но значительно ускоряло поиск нужного значения. Кривая функции y = log a(x), построенная по нескольким точкам, позволяет с помощью обычной линейки находить значения функции в любой другой точке. Инженеры длительное время для этих целей использовали так называемую миллиметровую бумагу.

В XVII веке появились первые вспомогательные аналоговые вычислительные условия, которые к XIX веку приобрели законченный вид. Наиболее удачное устройство получило название логарифмическая линейка. При всей простоте устройства, её появление значительно ускорило процесс всех инженерных расчётов, и это переоценить трудно. В настоящее время уже мало кто знаком с этим устройством.

Появление калькуляторов и компьютеров сделало бессмысленным использование любых других устройств.

Уравнения и неравенства

Для решения различных уравнений и неравенств с использованием логарифмов применяются следующие формулы:

Переход от одного основания к другому: lоg a(b) = log c(b) / log c(a);
Как следствие предыдущего варианта: lоg a(b) = 1 / log b(a).

Для решения неравенств полезно знать:

Значение логарифма будет положительным только в том случае, когда основание и аргумент одновременно больше или меньше единицы; если хотя бы одно условие нарушено, значение логарифма будет отрицательным.
Если функция логарифма применяется к правой и левой части неравенства, и основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется; в противном случае он меняется.

Примеры задач

Рассмотрим несколько вариантов применения логарифмов и их свойства. Примеры с решением уравнений:

Рассмотрим вариант размещения логарифма в степени:

Задача 3. Вычислить 25^log 5(3). Решение: в условиях задачи запись аналогична следующей (5^2)^log5(3) или 5^(2 * log 5(3)). Запишем по-другому: 5^log 5(3*2), или квадрат числа в качестве аргумента функции можно записать как квадрат самой функции (5^log 5(3))^2. Используя свойства логарифмов, это выражение равно 3^2. Ответ: в результате вычисления получаем 9.

Практическое применение

Являясь исключительно математическим инструментом, кажется далёким от реальной жизни, что логарифм неожиданно приобрёл большое значение для описания объектов реального мира. Трудно найти науку, где его не применяют. Это в полной мере относится не только к естественным, но и гуманитарным областям знаний.

Логарифмические зависимости

Приведём несколько примеров числовых зависимостей:

Механика и физика

Исторически механика и физика всегда развивались с использованием математических методов исследования и одновременно служили стимулом для развития математики, в том числе логарифмов. Теория большинства законов физики написана языком математики. Приведём только два примера описания физических законов с использованием логарифма.

Решать задачу расчёта такой сложной величины как скорость ракеты можно, применяя формулу Циолковского, которая положила начало теории освоения космоса:

V = I * ln (M1/M2), где

V – конечная скорость летательного аппарата.
I – удельный импульс двигателя.
M 1 – начальная масса ракеты.
M 2 – конечная масса.

Другой важный пример - это использование в формуле другого великого учёного Макса Планка, которая служит для оценки равновесного состояния в термодинамике.

S = k * ln (Ω), где

S – термодинамическое свойство.
k – постоянная Больцмана.
Ω – статистический вес разных состояний.

Химия

Менее очевидным будет использования формул в химии, содержащих отношение логарифмов. Приведём тоже только два примера:

Уравнение Нернста, условие окислительно-восстановительного потенциала среды по отношению к активности веществ и константой равновесия.
Расчёт таких констант, как показатель автопролиза и кислотность раствора тоже не обходятся без нашей функции.

Психология и биология

И уж совсем непонятно при чём здесь психология. Оказывается, сила ощущения хорошо описывается этой функцией как обратное отношение значения интенсивности раздражителя к нижнему значению интенсивности.

После вышеприведённых примеров уже не удивляет, что и в биологии широко используется тема логарифмов. Про биологические формы, соответствующие логарифмическим спиралям, можно писать целые тома.

Другие области

Кажется, невозможно существование мира без связи с этой функцией, и она правит всеми законами. Особенно, когда законы природы связаны с геометрической прогрессией. Стоит обратиться к сайту МатПрофи, и таких примеров найдётся множество в следующих сферах деятельности:

Список может быть бесконечным. Освоив основные закономерности этой функции, можно окунуться в мир бесконечной мудрости.

В соотношении

может быть поставлена задача отыскания любого из трех чисел по двум другим, заданным. Если даны а и то N находят действием возведения в степень. Если даны N и то а находят извлечением корня степени х (или возведением в степень ). Теперь рассмотрим случай, когда по заданным а и N требуется найти х.

Пусть число N положительно: число а положительно и не равно единице: .

Определение. Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N; логарифм обозначается через

Таким образом, в равенстве (26.1) показатель степени находят как логарифм N по основанию а. Записи

имеют одинаковый смысл. Равенство (26.1) иногда называют основным тождеством теории логарифмов; в действительности оно выражает определение понятия логарифма. По данному определению основание логарифма а всегда положительно и отлично от единицы; логарифмируемое число N положительно. Отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют. Можно доказать, что всякое число при данном основании имеет вполне определенный логарифм. Поэтому равенство влечет за собой . Заметим, что здесь существенно условие в противном случае вывод был бы не обоснован, так как равенство верно при любых значениях х и у.

Пример 1. Найти

Решение. Для получения числа следует возвести основание 2 в степень Поэтому.

Можно проводить записи при решении таких примеров в следующей форме:

Пример 2. Найти .

Решение. Имеем

В примерах 1 и 2 мы легко находили искомый логарифм, представляя логарифмируемое число как степень основания с рациональным показателем. В общем случае, например для и т. д., этого сделать не удастся, так как логарифм имеет иррациональное значение. Обратим внимание на один связанный с этим утверждением вопрос. В п. 12 мы дали понятие о возможности определения любой действительной степени данного положительного числа. Это было необходимо для введения логарифмов, которые, вообще говоря, могут быть иррациональными числами.

Рассмотрим некоторые свойства логарифмов.

Свойство 1. Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм равен единице, то число и основание равны.

Доказательство. Пусть По определению логарифма имеем а откуда

Обратно, пусть Тогда по определению

Свойство 2. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Доказательство. По определению логарифма (нулевая степень любого положительного основания равна единице, см. (10.1)). Отсюда

что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение: если , то N = 1. Действительно, имеем .

Прежде чем сформулировать следующее свойство логарифмов, условимся говорить, что два числа а и b лежат по одну сторону от третьего числа с, если они оба либо больше с, либо меньше с. Если одно из этих чисел больше с, а другое меньше с, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от с.

Свойство 3. Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен; если число и основание лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен.

Доказательство свойства 3 основано на том, что степень а больше единицы, если основание больше единицы и показатель положителен или основание меньше единицы и показатель отрицателен. Степень меньше единицы, если основание больше единицы и показатель отрицателен или основание меньше единицы и показатель положителен.

Требуется рассмотреть четыре случая:

Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно.

Пусть тогда в равенстве показатель степени не может быть ни отрицательным, ни равным нулю, следовательно, он положителен, т. е. что и требовалось доказать.

Пример 3. Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны:

Решение, а) так как число 15 и основание 12 расположены по одну сторону от единицы;

б) , так как 1000 и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого числа;

в) , так как 3,1 и 0,8 лежат по разные стороны от единицы;

г) ; почему?

д) ; почему?

Следующие свойства 4-6 часто называют правилами логарифмирования: они позволяют, зная логарифмы некоторых чисел, найти логарифмы их произведения, частного, степени каждого из них.

Свойство 4 (правило логарифмирования произведения). Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.

Доказательство. Пусть даны положительные числа .

Для логарифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство (26.1):

Отсюда найдем

Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство:

Заметим, что условие существенно; логарифм произведения двух отрицательных чисел имеет смысл, но в этом случае получим

В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.

Свойство 5 (правило логарифмирования частного). Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию. Доказательство. Последовательно находим

что и требовалось доказать.

Свойство 6 (правило логарифмирования степени). Логарифм степени какого-либо положительного числа равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени.

Доказательство. Запишем снова основное тождество (26.1) для числа :

что и требовалось доказать.

Следствие. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня:

Доказать справедливость этого следствия можно, представив как и воспользовавшись свойством 6.

Пример 4. Прологарифмировать по основанию а:

а) (предполагается, что все величины b, с, d, е положительны);

б) (преполагается, что ).

Решение, а) Удобно перейти в данном выражении к дробным степеням:

На основании равенств (26.5)-(26.7) теперь можно записать:

Мы замечаем, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над самими числами: при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении - вычитаются и т.д.

Именно поэтому логарифмы получили применение в вычислительной практике (см. п. 29).

Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием, а именно: потенцированием называется действие, с помощью которого по данному логарифму числа находится само это число. По существу потенцирование не является каким-либо особым действием: оно сводится к возведению основания в степень (равную логарифму числа). Термин «потенцирование» можно считать синонимом термина «возведенение в степень».

При потенцировании надо пользоваться правилами, обратными по отношению к правилам логарифмирования: сумму логарифмов заменить логарифмом произведения, разность логарифмов - логарифмом частного и т. д. В частности, если перед знаком логарифма находится какой-либо множитель, то его при потенцировании нужно переносить в показатель степени под знак логарифма.

Пример 5. Найти N, если известно, что

Решение. В связи с только что высказанным правилом потенцирования множители 2/3 и 1/3, стоящие перед знаками логарифмов в правой части данного равенства, перенесем в показатели степени под знаками этих логарифмов; получим

Теперь разность логарифмов заменим логарифмом частного:

для получения последней дроби в этой цепочке равенств мы предыдущую дробь освободили от иррациональности в знаменателе (п. 25).

Свойство 7. Если основание больше единицы, то большее число имеет больший логарифм (а меньшее - меньший), если основание меньше единицы, то большее число имеет меньший логарифм {а меньшее - больший).

Это свойство формулируют также и как правило логарифмирования неравенств, обе части которых положительны:

При логарифмировании неравенств по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при логарифмировании по основанию, меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный (см. также п. 80).

Доказательство основано на свойствах 5 и 3. Рассмотрим случай, когда Если , то и, логарифмируя, получим

(а и N/М лежат по одну сторону от единицы). Отсюда

Случай а следует , читатель разберет самостоятельно.