В этой статье мы рассмотрим признаки делимости чисел и как использовать признаки делимости при решении задач.
Признаки делимости чисел.
1. Признак делимости на 2 . Число делится на 2, если его запись оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6, 8. Числа, которые делятся на 2 называются четными, соответственно, числа, которые на 2 не делятся, называются нечетными.
2. Признак делимости на 5 . Число делится на 5, если его запись оканчивается цифрой 0 или 5.
3. Признак делимости на 10 . Число делится на 10, если его запись оканчивается цифрой 0.
Вообще, если двумя последними цифрами записи числа являются нули, то число делится на 100, если три последние цифры записи числа нули, то на 1000 и т.д.
4. Признак делимости на 4 . Если две последние цифры записи числа образуют число, которое делится на 4, то исходное число делится на 4.
Например, две последние цифры числа 2116 образуют число 16, которое делится на 4, следовательно, 2116 делится на 4.
5. Признак делимости на 3 и на 9 . Если сумма цифр числа делится на 3 (соответственно на 9), то число делится на 3 (соответственно на 9).
Например, число 312 делится на 2 (последняя цифра 2) и на 3 (сумма цифр делится на 3), и, следовательно, на 6.
Вообще, если числа - взаимно простые (то есть не имеют общих делителей) и данное число делится на каждое из этих чисел, то оно делится на произведение этих чисел
6. Признак делимости на 7 . Число делится на 7, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7.
Например, число 427 делится на 7, т.к. число десятков в этом числе 42, 42х3+7=126+7=133; 133 делится на 7, т.к. число десятков в этом числе 13, 13х3+3==39+3=42.
7. Признак делимости на 11 . Число делится на 11, если модуль разности между суммой цифр, стоящих на нечетных местах и, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11, или если модуль разности равен нулю.
Например, число 12397 делится на 11, т.к. |(1+3+7)-(2+9)|=0
Чтобы установить делимость чисел, пользуются следующими признаками делимости суммы и произведения :
1. Сумма чисел делится на данное число, если каждое слагаемое суммы делится на это число.
2. Произведение чисел делится на данное число, если хотя бы один из множителей делится на это число.
Пример 1. Доказать, что число 
кратно 5.
Решение. Число кратно 5, если последняя цифра в записи числа равна 0 или 5.
Если число оканчивается цифрой 1, то любая степень этого числа оканчивается цифрой 1, следовательно, число оканчивается цифрой 1.
Если число оканчивается цифрой 6, то любая степень этого числа оканчивается цифрой 6, значит, число оканчивается цифрой 6.
Таким образом, разность оканчивается цифрой 5, и, следовательно, делится на 5.
Пример 2. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.
а) 1. Число делится на 2 и 5, следовательно, последняя цифра - 0
2. Числа 2, 5, 9 и 11 не имеют общих делителей, следовательно искомое число должно делиться на произведение этих чисел, то есть на 990.
Наибольшее четырехзначное число, которое делится на 990 и оканчивается на 0 - это 9900.
По условию нам надо найти число, все цифры которого различны. Предыдущее число, которое делится на 2, 5, 9 и 11 равно 9900-990=8910. Это число удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: 8910
Пример 3. Использовав все цифры от 1 до 9 по одному разу, составьте наибольшее девятизначное число, делящееся на 11.
Решение. В нашем числе модуль разности между суммой цифр, стоящих на нечетных местах и, и суммой цифр, занимающих чётные места должен делиться на 11.
Число должно быть наибольшим, поэтом цифры, стоящие на первых местах должны быть наибольшими. Пусть число имеет вид Чтобы число делилось на 11, нужно, чтобы значение выражения было кратно 11 или равно нулю.
Упростим выражение, получим:
Поскольку - это цифры, и самые большие уже задействованы, скомбинируем цифры 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы При этом числа в каждой группе: и должны быть расположены в порядке убывания. Подходит такая комбинация:
Ответ: 987652413
Признаками делимости пользуются при разложении числа на простые множители.
Натуральное число называется простым, если оно имеет только 2 различных делителя: единицу и само число .
Например, простыми числами являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.
Внимание! Число 1 не является простым и не является составным.
Чтобы найти последовательность простых чисел, пользуются алгоритмом, который называется решето Эратосфена :
1. Выписываем ряд натуральных чисел:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, ...
2.Зачеркиваем числа, кратные числу 2 - каждое второе число после 2:
2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15, 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21, 22 , 23, 24 , 25,...
3. Зачеркиваем числа, кратные числу 3 - каждое третье число после 3:
2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25,...
4. Зачеркиваем числа, кратные числу 5 - каждое пятое число после 5:
2, 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9, 10 , 11, 12 , 13, 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19, 20 , 21 , 22 , 23, 24 , 25 ,...
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9, 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17, 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 ,...
Основная теорема арифметики:
Любое натуральное число, большее единицы, можно представить в виде произведения простых сомножителей, причем единственным способом.
Пример 4. Разложить число 4356 на простые множители.
Решение: Применим признаки делимости. Последняя цифра записи числа - четная, разделим число на 2. Будем делить на 2, пока возможно делить нацело.
Число 1089 на 2 уже не делится, но делится на 3 (сумма цифр числа равна 18). Будем делить на 3, пока это возможно.
121 делится на 11.
Итак, 
Это равенство называется разложением числа 4356 на простые множители.
Разложение на простые множители широко применяется при решении самых разных задач.
Пример 5. Сократить дробь
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
Пример 6. Извлечь квадратный корень:
Воспользуемся разложением числа 4356 на простые множители:
Пример 7. Найдите наименьшее натуральное число, половина которого - квадрат, треть - куб, а пятая часть - пятая степень.
Наименьшее число, удовлетворяющее этим условиям представляет из себя произведение степеней чисел 2, 3, 5.
Пусть это число имеет вид:
а) Половина числа - квадрат, следовательно, n-1, m и k - четные числа.
б) Треть числа - куб, следовательно, n, m-1 и k делятся на 3.
в) Пятая часть числа - пятая степень, следовательно, n, m и k-1 - кратны 5.
k кратно 2 и 3, следовательно k может быть равно 6 (удовлетворяет а) и б) ), 6-1 делится на 5 (удовлетворяет в) ).
n кратно 3 и 5, следовательно, n может быть равно 15 (удовлетворяет в) и б) ), 15-1 делится на 2 (удовлетворяет а) ).
m - кратно 5 и 2, следовательно, m может быть равно 10 (удовлетворяет в) и а) ), 10-1 делится на 3 (удовлетворяет б) ).
m и n имеется такое целое число k и nk = m , то число m делится на nПрименение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .
Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.
Например:
Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.
Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.
Характерная особенность деления на 3 и на 9 .
На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.
Например :
Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.
Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .
Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.
Например :
Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.
Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.
Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.
Характерная особенность делимости на 6.
Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.
Например:
126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)
Характерная особенность делимости на 7.
Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.
Например :
Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.
Характерная особенность делимости на 11 .
На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.
Например:
Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.
Характерная особенность делимости на 25 .
На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.
Например:
9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.
Признак делимости – это своеобразный алгоритм, который позволяет быстро определить, делится ли заданное число на другое заданное число. Знание признаков делимости значительно сокращает время при счете, а также позволяет развивать память и логическое мышление при выполнении вычислений в уме.
Кроме того, существует ряд заданий, где нужно определить, делится ли какое-либо число без остатка на иное число. И при его решении вовсе не нужно производить деление (а числа в таких заданиях немаленькие), нужно всего лишь воспользоваться признаком делимости.
Самым простым признаком делимости является признак делимости на 2 . Число делится на 2 только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, иными словами, она должна быть четной.
Число 123456 делится на 2, т.к. 6 – последняя цифра – четная. Число 12345 на 2 не делится, т.к. на 2 не делится 5.
Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда, когда суммы всех его цифр кратна 3.
Число 123456 делится на 3, т.к. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, где 21: 3 = 7.
Число 1234 не делится на 3, т.к 1 + 2 + 3 + 4 = 10, где 10: 3 ≠.
Признак делимости на 4: число делится на 4 тогда, когда его две последние цифры делятся на 4.
Число 123456 делится на 4, т.к. 56: 4 = 14.
Число 1234 не делится на 4, т.к 34: 4 ≠.
А как быть с признаком делимости на 4, если число двузначное? Для двузначных чисел работает такое правило: если сумма половины единиц числа и десятков делится на 2, то само число делится на 4; в противном случает – число на 4 не делится.
Число 92 делится на 4, т.к. (2: 2) + 9 = 1 + 9 = 10, где 10: 2 = 5.
Одним из наиболее простых признаков является признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра делится на пять.
Число 12345 делится на 5, т.к. 5 – последняя цифра и она делится на 5.
Число 1234 на 5 не делится, т.к. 4: 5 ≠.
Признак делимости на 6: на 6 делится число, которое делится на делители 6, т.е. на 2 и на 3. Значит, нам нужно вспомнить признаки делимости на 2 и 3: последняя цифра числа должна быть четной, а сумма всех цифр должна делиться на 3.
Число 123456 делится на 6, т.к. его последняя цифра четная (6), а сумма цифр 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 делится на 3.
Число 12345 не делится на 6, т.к. не подходит по одному признаку: 5 – нечетное число (хотя сумма цифр делится на 3).
Признак делимости на 7: на 7 делится число, в котором результат вычитания удвоенной последней цифры этого числа без последней цифры делится на 7.
Число 364 мы сможем разделить на 7 без остатка, т.к. удвоенная последняя цифра – это 4 ∙ 2, т.е. 8; результат вычитания равен 36 – 8 = 28, где 28: 7 = 4.
Признак делимости на 8: если три последних цифры числа делятся на 8, то тамо число делится на 8. Процесс определения делимости трехзначного числа на 8 более сложный: нужно к десяткам прибавить половину единиц и повторить то же самое с получившимся числом; если результат делится на 2, то он делится и на 8.
952 делится на 8, потому что:
Признак делимости на 9: на 9 делится число, сумма цифр которого без остатка делится на 9.
Число 12348 делится на 9, т.к. 1 + 2 + 3 + 4 + 8 = 18, где 18: 9 = 2.
Признак делимости на 10 очень прост: число делится на 10 в том случае, если оно оканчивается на 0. Например: 100, 3458903456890 и др.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Данный материал посвящен такому понятию, как признак делимости на 2 . В первом пункте мы сформулируем его и приведем примеры – задачи, в которым нужно выяснить, делится ли конкретное число на 2 . Затем мы докажем этот признак и поясним, какие еще существуют методы определения делимости на два чисел, заданных в виде значения выражений.
Формулировка и примеры признака делимости на 2
Чтобы лучше понять, что такое признаки делимости, нужно повторить тему, связанную с делимостью целых чисел. Определение основного понятия выглядит так:
Определение 1
Целое число, которое заканчивается цифрами 8 , 6 , 4 , 2 и 0 , может быть разделено на 2 без остатка. Если в конце числа стоит цифра 9 , 7 , 5 , 3 или 1 , то такое число делимостью на 2 не обладает.
С помощью данного признака можно выявить делимость не только целого положительного (натурального), но и целого отрицательного числа, поскольку они тоже могут быть разделены на 2 без остатка.
Приведем несколько примеров использования признака в задачах.
Пример 1
Условие: определите, какие из чисел 8 , − 946 , 53 , 10 900 , − 988 123 761 можно разделить на два.
Решение
Разумеется, мы можем просто разделить все эти числа на два в столбик и проверить, будет ли в конце остаток или нет. Но зная признак делимости на два, можно решить эту задачу гораздо быстрее.
Три числа из перечисленных, а именно 8 , - 946 и 10 900 , имеют в конце цифры 8 , 6 и 0 , значит, их деление на 2 возможно.
Остальные числа (53 и − 988 123 761) заканчиваются на 3 и 1 , значит, нацело на два они не делятся.
Ответ: на два можно разделить 8 , − 946 и 10 900 , а все прочие заданные числа нельзя.
Этот признак широко используется в задачах, где нужно раскладывать число на простые множители. Решим один такой пример.
Пример 2
Условие: выполните разложение 352 на простые множители.
Решение
Поскольку последняя цифра в исходном числе – 2 , то согласно признаку делимости, мы можем разделить его на два без остатка. Сделаем это: 352: 2 = 176 , а 352 = 2 · 176 . Полученное число 176 тоже делится на два: 176: 2 = 88 , а 176 = 2 · 88 . Это число тоже можно разделить: 88: 2 = 44 , 88 = 2 · 44 и 352 = 2 · 2 · 88 = 2 · 2 · 2 · 44 . Продолжаем разложение: 44: 2 = 22 и 44 = 2 · 22 , следовательно, 352 = 2 · 2 · 2 · 44 = 2 · 2 · 2 · 2 · 22 ; потом 22: 2 = 11 , откуда 22 = 2 · 11 и 352 = 2 · 2 · 2 · 2 · 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 11 . Наконец мы дошли до числа, которое на 2 не делится. Таблица простых чисел говорит нам, что это число является простым, значит, на этом разложение на множители заканчивается.
Ответ: 352 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 11 .
Деление чисел на четные и нечетные основано как раз на том, делятся ли они на 2 или нет. Зная этот признак делимости, можно сказать, что все четные числа имеют в конце цифру 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , а все нечетные – 1 , 3 , 5 , 7 или 9 .
Как можно доказать признак делимости на 2
Перед тем, как перейти непосредственно к доказательству этого признака, нам надо доказать дополнительное утверждение. Оно формулируется так:
Определение 2
Все натуральные числа, которые заканчиваются на нуль, могут быть разделены на два без остатка.
Пользуясь правилом умножения натурального числа на 10 , мы можем представить некое число a как a = a 1 · 10 . Число a 1 , в свою очередь, получится из a , если убрать у него последнюю цифру.
Приведем примеры такого действия: 470 = 47 · 10 , где a = 470 и a 1 = 47 ; или же 38 010 · 10 , здесь a = 380 100 и a 1 = 38 010 . Второй множитель в этом произведении (10) может быть разделен на 2 , значит, все произведение может быть разделено на 2 . Это утверждение основано на соответствующем свойстве делимости.
Переходим к доказательству признака делимости на 2 . Чтобы было удобнее, представим его как теорему, т.е. как необходимое и достаточное условие делимости целого числа на два.
Теорема 1
Для деления целого числа a на два необходимым и достаточным условием является наличие последней цифры 0 , 2 , 4 , 6 или 8 .
Доказательство 1
Как доказать это утверждение? Для начала представим исходное число a в виде суммы десятков и единиц, т.е. запишем его как a = a 1 · 10 + a 0 . Здесь a 1 будет числом, получившимся из a при устранении последней цифры, а a 0 соответствует последней цифре данного числа (примерами такого представления также могут быть выражения 49 = 4 · 10 + 9 , 28 378 = 2 837 · 10 + 8). Произведение a 1 · 10 , взятое из равенства a = a 1 · 10 + a 0 , всегда будет делиться на два, что и показано с помощью этой теоремы.
Остальная часть доказательства основана на определенном свойстве делимости, а именно: если у нас есть три числа, образующие равенство t = u + v , и два из них делятся на целое число z , то и третье число также можно разделить на z .
Если a можно разделить на два, то согласно этому свойству, а также представлению a = a 1 · 10 + a 0 , число a 0 будет делиться на два, а такое возможно, только если a 0 = 0 , 2 , 4 , 6 или 8 .
А если a на 2 не делится, то исходя из того же самого свойства, число a 0 на 2 тоже делиться не будет, что возможно только при a 0 = 1 , 3 , 5 , 7 или 9 . Это и есть нужное нам доказательство необходимости.
Теперь разберем обратную ситуацию. Если у нас есть число a , последней цифрой которого является число 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , то a 0 делится на 2 . Указанное свойство делимости и представление a = a 1 · 10 + a 0 позволяют нам заключить, что a делится на 2 . Если a имеет последнюю цифру 1 , 3 , 5 , 7 или 9 , то то a 0 не делится на 2 , значит, a тоже не делится на 2 , иначе само представление a = a 1 · 10 + a 0 делилось бы на 2 , что невозможно. Достаточность условия доказана.
В конце отметим, что числа с последней цифрой 1 , 3 , 5 , 7 или 9 при делении на два всегда дают в остатке единицу.
Возьмем случай, когда заданное число кончается одной из этих цифр. Тогда мы можем представить a как a = b + 1 , при этом число b будет иметь в качестве последней цифры 0 , 2 , 4 , 6 или 8 . В силу признака делимости на 2 число b можно разделить на 2 , значит, по определению делимости оно также может быть представлено в виде b = 2 · q , где q будет некоторым целым числом. Мы получили, что a = 2 · q + 1 . Данное представление показывает нам, что при делении числа a на 2 получается неполное частное q и остаток 1 (если нужно, перечитайте статью о делении целых чисел с остатком).
Прочие случаи определения делимости на 2
В этом пункте мы разберем те случаи, когда число, делимость которого на 2 нужно определить, не задано непосредственно, а определяется некоторым значением буквенного выражения. Здесь воспользоваться признаком, приведенным выше, мы не можем, и непосредственно разделить это выражение на 2 тоже невозможно. Значит, нужно найти какое-то другое решение.
Существует подход к решению таких задач, который основан на следующем свойстве делимости: произведение целых чисел можно разделить на некое число тогда, когда на него делится хотя бы один из множителей. Следовательно, если мы сможем преобразовать буквенное выражение в произведение отдельных множителей, один из которых делится на два, то тогда возможно будет доказать делимость на 2 и исходного выражения.
Чтобы преобразовать заданное выражение, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Посмотрим такую задачу.
Пример 3
Условие: определите, можно ли разделить на 2 значение выражения 3 n + 4 n - 1 для некоторого натурального n .
Решение
Сначала запишем очевидное равенство 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . Теперь берем формулу бинома Ньютона, применяем ее и упрощаем то, что у нас получилось:
3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 · 2 n + C n 1 · 2 n - 1 · 1 + ⋯ + C n n - 2 · 2 2 + 1 n - 2 + C n n · 2 + 1 n - 1 + C n n · 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 · 2 n - 1 + … + C n n - 2 · 2 2 + n · 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 · 2 n - 1 + … + C n n - 2 · 2 2 + 6 n
В последнем равенстве выносим два за скобки и получаем следующее равенство:
3 n + 4 n - 1 = 2 · 2 n - 1 + C n 1 · 2 n - 2 + … + C n n - 2 · 2 + 3 n
В данном равенстве можно разделить правую часть на два при любом натуральном значении n , поскольку там есть множитель, равный 2 . Поскольку между выражениями стоит знак равенства, то выполнить деление на 2 можно и для левой части.
Ответ: данное выражение можно разделить на 2 .
Довольно часто доказать делимость можно с помощью метода математической индукции. Возьмем то же выражение, что и в примере выше, и покажем, как применить данный метод на практике.
Пример 4
Условие: выясните, будет ли выражение 3 n + 4 n - 1 делиться на 2 при любом натуральном значении n .
Решение
Используем математическую индукцию. Для начала докажем, что значение выражения 3 n + 4 n - 1 при n , равном единице, можно разделить на 2 . У нас получится 3 1 + 4 · 1 - 1 = 6 , шесть делится на два без остатка. Идем дальше. Возьмем n , равное k , и сделаем предположение, что 3 k + 4 k - 1 делится на два.
Используя данное предположение, докажем, что 3 n + 4 n - 1 можно разделить на 2 , если это возможно для 3 k + 4 k - 1 . Чтобы это доказать, нам нужно выполнить несколько преобразований.
3 · 3 k + 4 k - 1 делится на два, поскольку это возможно для 3 k + 4 k - 1 , выражение 2 · 4 k - 3 тоже можно поделить на 2 , потому что у него есть множитель 2 , значит, разность этих двух выражений тоже делится на 2 , что объясняется соответствующим свойством делимости.
Ответ : выражение 3 n + 4 n - 1 делится на 2 при любом натуральном n .
Отдельно остановимся на случае, когда в произведении рядом стоят два числа, идущие друг за другом в натуральном ряду чисел. Такое произведение тоже делится на два.
Пример 5
К примеру, выражение вида (n + 7) · (n − 1) · (n + 2) · (n + 6) делится на 2 при любом натуральном значении n , поскольку в нем есть числа, идущие в натуральном ряду друг за другом – это n + 6 и n + 7 .
Точно также при наличии двух множителей, между которыми расположено четное число членов натурального ряда, произведение может быть разделено на 2 . Так, на два делится значение (n + 1) · (n + 6) при любом натуральном n , поскольку между n + 5 и n + 6 расположено четное количество чисел: n + 2 , n + 3 , n + 4 и n + 5 .
Объединим все, о чем мы говорили в предыдущих пунктах. Если можно показать, что значение выражения делится на два при n = 2 · m , а также при n = 2 · m + 1 и произвольном целом m , то это будет доказательством делимости исходного выражения на 2 при любых целых значениях n .
Пример 6
Условие: выясните, делится ли на 2 выражение n 3 + 7 · n 2 + 16 · n + 12 при любых натуральных значениях n .
Решение
Сначала представим данное выражение в виде произведения (n + 2) 2 · (n + 3) . При необходимости повторите, как правильно раскладывать многочлен на множители. Мы имеем два множителя n + 2 и n + 3 , которые соответствуют числам, стоящим рядом в натуральном ряду. Одно из них в любом случае делится на 2 , значит, и все произведение тоже делится на 2 . То же относится и к исходному выражению.
У этой задачи есть и другое решение. Если n = 2 · m , то n + 2 2 · n + 3 = 2 m + 2 2 · 2 m + 2 2 = 4 · m + 1 2 · 2 m + 3 . Здесь есть множитель, равный четырем, благодаря чему все произведение будет делиться на 2 .
Если же n = 2 · m + 1 , то
(n + 2) 2 · n + 3 = 2 m + 1 + 2 2 · 2 m + 1 + 3 = 2 m + 3 2 · 2 m + 4 = = 2 m + 3 2 · 2 · 2
Здесь присутствует множитель 2 , значит, все произведение обладает делимостью на 2 .
Ответ: это и есть доказательство того, что выражение n 3 + 7 · n 2 + 16 · n + 12 = (n + 2) 2 · (n + 3) можно разделить на два при любом натуральном значении n .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter