1.Определение колебательного движения
Колебательное движение - это движение, точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые промежутки времени. Учение о колебательном движении в физике выделяют особо. Это обусловлено общностью закономерностей колебательного движения различной природы и методов его исследования. Механические, акустические, электромагнитные колебания и волны рассматриваются с единой точки зрения. Колебательное движение свойственно всем явлениям природы. Внутри любого живого организма непрерывно происходят ритмично повторяющиеся процессы, например биение сердца.
Механические колебания Колебания - это любой физический процесс, характеризующийся повторяемостью во времени.
Волнение моря, качание маятника часов, вибрации корпуса корабля, биение человеческого сердца, звук, радиоволны, свет, переменные токи - все это колебания.
В процессе колебаний значения физических величин, определяющих состояние системы, через равные или неравные промежутки времени повторяются. Колебания называются периодическими , если значения изменяющихся физических величин повторяются через равные промежутки времени.
Наименьший промежуток времени Т, черезкоторый значение изменяющейся физической величины повторяется (по величине и направлению, если эта величина векторная, по величине и знаку, если она скалярная), называетсяпериодом колебаний.
Число полных колебаний n , совершаемых за единицу времени, называется частотой колебаний этой величины и обозначается через ν . Период и частота колебаний связаны соотношением:
Любое колебание обусловлено тем или иным воздействием на колеблющуюся систему. В зависимости от характера воздействия, вызывающего колебания, различают следующие виды периодических колебаний: свободные, вынужденные, автоколебания, параметрические.
Свободные колебания - это колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе, после выведения ее из состояния устойчивого равновесия (например, колебания груза на пружине).
Вынужденные колебания - это колебания, обусловленные внешним периодическим воздействием (например, электромагнитные колебания в антенне телевизора).
Механические колебания
Автоколебания - свободные колебания, поддерживаемые внешним источником энергии, включение которого в нужные моменты времени осуществляет сама колеблющаяся система (например, колебания маятника часов).
Параметрические колебания - это колебания, в процессе которых происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы (например, раскачивание качелей: приседая в крайних положениях и выпрямляясь в среднем положении, человек, находящийся на качелях, изменяет момент инерции качелей).
Различные по своей природе колебания обнаруживают много общего: они подчиняются одним и тем же закономерностям, описываются одними и теми же уравнениями, исследуются одними и теми же методами. Это дает возможность создать единую теорию колебаний.
Простейшими из периодических колебаний
являются гармонические колебания.
Гармонические колебания- это колебания, в процессе совершения которых значения физических величин изменяются с течением времени по закону синуса или косинуса. Большинство колебательных процессов описываются этим законом или может быть приставлено в виде суммы гармонических колебаний.
Возможно и другое «динамическое» определение гармонических колебании как процесса, совершаемого под действием упругой или «квазиупругой»
2. Периодическими называются колебания, при которых происходит точное повторение процесса через равные промежутки времени.
Периодом периодических колебаний называется минимальное время, через которое система возвращается в первоначальное
х - колеблющаяся величина (например, сила тока в цепи, состояние и начинается повторение процесса. Процесс, происходящий за один период колебаний, называется «одно полное колебание».
периодических колебаний называется число полных колебаний за единицу времени (1 секунду) - это может быть не целое число.
Т - период колебаний Период - время одного полного колебания.
Чтобы вычислить частоту v, надо разделить 1 секунду на время Т одного колебания (в секундах) и получится число колебаний за 1 секунду или координата точки) t - время
Гармоническое колебание
Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.
График гармонического колебания
График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.
Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.
Уравнение гармонического колебания
Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени
График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .
Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании
Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, каксила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия - достигает максимального значения.
Если колебание описывать по закону косинуса
Если колебание описывать по закону синуса
Максимальные значения скорости и ускорения
Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле
Как получить зависимости v(t) и a(t)
Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t ). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.
Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).
Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными .
Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением
|
x = x m cos (ωt + φ 0). |
Здесь x - смещение тела от положения равновесия, x m - амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω - циклическая или круговая частота колебаний, t - время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ 0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой . Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T . Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний :
Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты - герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:
На рис. 2.1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение ). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Рис. 2.1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний x m , либо период T (или частота f ), либо начальная фаза φ 0 .
При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением
В математике процедура нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t ) по времени t и обозначается как или как x" (t ) или, наконец, как . Для гармонического закона движения Вычисление производной приводит к следующему результату:
Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωx m достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a x тела при гармонических колебаниях:
следовательно, ускорение a равно производной функции υ (t ) по времени t , или второй производной функции x (t ). Вычисления дают:
Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).
Механическое гармоническое колебание - это прямолинейное неравномерное движение, при котором координаты колеблющегося тела (материальной точки) изменяются по закону косинуса или синуса в зависимости от времени.
Согласно этому определению, закон изменения координаты в зависимости от времени имеет вид:
Где wt - величина под знаком косинуса или синуса; w - коэффициент, физический смысл которого раскроем ниже; А - амплитуда механических гармонических колебаний.
Уравнения (4.1) являются основными кинематическими уравнениями механических гармонических колебаний.
Рассмотрим следующий пример. Возьмем ось Ох (рис. 64). Из точки 0 проведем окружность с радиусом R = А. Пусть точка М из положения 1 начинает двигаться по окружности с постоянной скоростью v (или с постоянной угловой скоростью w , v = wА ). Через некоторое время t радиус повернется на угол ф: ф=wt .
При таком движении по окружности точки М ее проекция на ось х М х будет совершать движение вдоль оси х, координата которой х будет равна х = А cos ф = = А cos wt . Таким образом, если материальная точка движется по окружности радиусом А, центр которой совпадает с началом координат, то проекция этой точки на ось х (и на ось у) будет совершать гармонические механические колебания.
Если известна величина wt, которая стоит под знаком косинуса, и амплитуда А, то можно определить и х в уравнении (4.1).
Величину wt, стоящую под знаком косинуса (или синуса), однозначно определяющую координату колеблющейся точки при заданной амплитуде, называют фазой колебания . Для точки М, движущейся по окружности, величина w означает ее угловую скорость. Каков физический смысл величины w для точки М х, совершающей механические гармонические колебания? Координаты колеблющейся точки М х одинаковы в некоторый момент времени t и (Т +1) (из определения периода Т), т. е. A cos wt = A cos w (t + Т), а это значит, что w (t + Т) - wt = 2ПИ (из свойства периодичности функции косинуса). Отсюда следует, что
Следовательно, для материальной точки, совершающей гармонические механические колебания, величину w можно интерпретировать как количество колебаний за определенный цикл времени, равный 2л . Поэтому величину w назвали циклической (или круговой) частотой .
Если точка М начинает свое движение не из точки 1 а из точки 2, то уравнение (4,1) примет вид:
Величину ф 0 называют начальной фазой .
Скорость точки М х найдем как производную от координаты по времени:
Ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону, определим как производную от скорости:
Из формулы (4.4) видно, что скорость точки, совершающей гармонические колебания, изменяется тоже по закону косинуса. Но скорость по фазе опережает координату на ПИ/2 . Ускорение при гармоническом колебании изменяется по закону косинуса, но опережает координату по фазе на п . Уравнение (4.5) можно записать через координату х:
Ускорение при гармонических колебаниях пропорционально смещению с противоположным знаком. Умножим правую и левую части уравнения (4.5) на массу колеблющей материальной точки т, получим соотношения:
Согласно второму закону Ньютона, физический смысл правой части выражения (4.6) есть проекция силы F x , которая обеспечивает гармоническое механическое движение:
Величина F x пропорциональна смещению х и направлена противоположно ему. Примером такой силы является сила упругости, величина которой пропорциональна деформации и противоположно ей направлена (закон Гука).
Закономерность зависимости ускорения от смещения, вытекающую из уравнения (4.6), рассмотренную нами для механических гармонических колебаний, можно обобщить и применить при рассмотрении колебаний другой физической природы (например, изменение тока в колебательном контуре, изменение заряда, напряжения, индукции магнитного поля и т. д.). Поэтому уравнение (4.8) называют основным уравнением динамики гармонических колебаний .
Рассмотрим движение пружинного и математического маятников.
Пусть к пружине (рис. 63), расположенной горизонтально и закрепленной в точке 0, одним концом прикреплено тело массой т, которое может перемещаться вдоль оси х без трения. Коэффициент жесткости пружины пусть будет равен k. Выведем тело m внешней силой из положения равновесия и отпустим. Тогда вдоль оси х на тело будет действовать только упругая сила, которая согласно закону Гука, будет равна: F yпp = -kx.
Уравнение движения этого тела будет иметь вид:
Сравнивая уравнения (4.6) и (4.9), делаем два вывода:
Из формул (4.2) и (4.10) выводим формулу для периода колебаний груза на пружине:
Математическим маятником называется тело массой т, подвешенное на длинной нерастяжимой нити пренебрежимо малой массы. В положении равновесия на это тело будут действовать сила тяжести и сила упругости нити. Эти силы будут уравновешивать друг друга.
Если нить отклонить на угол а от положения равновесия, то на тело действуют те же силы, но они уже не уравновешивают друг друга, и тело начинает двигаться по дуге под действием составляющей силы тяжести, направленной вдоль касательной к дуге и равной mg sin a .
Уравнение движения маятника принимает вид:
Знак минус в правой части означает, что сила F x = mg sin a направлена против смещения. Гармоническое колебание будет происходить при малых углах отклонения, т. е. при условии а 2* sin a .
Заменим sin а в уравнении (4.12), получим следующее уравнение.
Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых смещение колеблющейся точки от положения равновесия изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Так, при равномерном вращении шарика по окружности его проекция (тень в параллельных лучах света) совершает на вертикальном экране (рис. 13.2) гармо-ническое колебательное движение.
Смещение от положения равновесия при гармонических колебаниях описывается уравнением (его называют кинематическим законом гармонического движения) вида:
\(x = A \cos \Bigr(\frac{2 \pi}{T}t + \varphi_0 \Bigl)\) или \(x = A \sin \Bigr(\frac{2 \pi}{T}t + \varphi"_0 \Bigl)\)
где х - смешение - величина, характеризующая положение колеблющейся точки в момент времени t относительно положения равновесия и измеряемая расстоянием от положения равновесия до положения точки в заданный момент времени; А - амплитуда колебаний - максимальное смещение тела из положения равновесия; Т - период колебаний - время совершения одного полного колебания; т.е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения физических величин, характеризующих колебание; \(\varphi_0\) - начальная фаза; \(\varphi = \frac{2 \pi}{T}t + \varphi"_0\) - фаза колебании в момент времени t . Фаза колебаний - это аргумент периодической функции, который при заданной амплитуде колебаний определяет состояние колебательной системы (смещение, скорость, ускорение) тела в любой момент времени.
Если в начальный момент времени t 0 = 0 колеблющаяся точка максимально смещена от положения равновесия, то \(\varphi_0 = 0\), а смещение точки от положения равновесия изменяется по закону
\(x = A \cos \frac{2 \pi}{T}t.\)
Если колеблющаяся точка при t 0 = 0 находится в положении устойчивого равновесия, то смещение точки от положения равновесия изменяется по закону
\(x = A \sin \frac{2 \pi}{T}t.\)
Величину V , обратную периоду и равную числу полных колебаний, совершаемых за 1 с, называют частотой колебаний:
\(\nu = \frac{1}{T} \)(в СИ единицей частоты является герц, 1Гц = 1с -1).
Если за время t тело совершает N полных колебаний, то
\(T = \frac{t}{N} ; \nu = \frac{N}{t}.\)
Величину \(\omega = 2 \pi \nu = \frac{2 \pi}{T}\) , показывающую, сколько колебаний совершает тело за 2 \(\pi\) с , называют циклической (круговой) частотой.
Кинематический закон гармонического движения можно записать в виде:
\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)
Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).
На рисунке 13.3, а представлен график зависимости от времени смещения колеблющейся точки от положения равновесия для случая \(\varphi_0=0\), т.е. \(~x=A\cos \omega t.\)
Выясним, как изменяется скорость колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от этого выражения:
\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac{\pi}{2} \Bigl) ,\)
где \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\)- амплитуда проекции скорости на ось х .
Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось х изменяется тоже по гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на \(\frac{\pi}{2}\) (рис. 13.3, б).
Для выяснения зависимости ускорения a x (t) найдем производную по времени от проекции скорости:
\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)
где \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) - амплитуда проекции ускорения на ось х.
При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на к (рис. 13,3, в).
Аналогично можно построить графики зависимостей \(~x(t), \upsilon_x (t)\) и \(~a_x(t),\) если \(~x = A \sin \omega t\) при \(\varphi_0=0.\)
Учитывая, что \(A \cos \omega t = x\), формулу для ускорения можно записать
\(~a_x = - \omega^2 x,\)
т.е. при гармонических колебаниях проекция ускорения прямо пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку, т.е. ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.
Так, проекция ускорения - это вторая производная от смещения а x =х" " , то полученное соотношение можно записать в виде:
\(~a_x + \omega^2 x = 0\) или \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)
Последнее равенство называют уравнением гармонических колебаний.
Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний - уравнением гармонического осциллятора.
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 368-370.
Колебательное движение - периодическое или почти периодическое движение тела, координата, скорость и ускорение которого через равные промежутки времени принимают примерно одинаковые значения.
Механические колебания возникают тогда, когда при выводе тела из положения равновесия появляется сила, стремящаяся вернуть тело обратно.
Смещение х - отклонение тела от положения равновесия.
Амплитуда А - модуль максимального смещения тела.
Период колебания Т - время одного колебания:
Частота колебания
Число колебаний, совершаемых телом за единицу времени: При колебаниях скорость и ускорение периодически изменяются. В положении равновесия скорость максимальна, ускорение равно нулю. В точках максимального смещения ускорение достигает максимума, скорость обращается в нуль.
ГРАФИК ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Гармоническими называются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса:
где x(t) - смещение системы в момент t, A - амплитуда, ω - циклическая частота колебаний.
Если по вертикальной оси откладывать отклонение тела от положения равновесия, а по горизонтальной - время, то получится график колебания х = x(t) - зависимость смещения тела от времени. При свободных гармонических колебаниях - это синусоида или косинусоида. На рисунке представлены графики зависимости смещения х, проекций скорости V х и ускорения а х от времени.
Как видно из графиков, при максимальном смещении х скорость V колеблющегося тела равна нулю, ускорение а, а значит и действующая на тело сила, максимальны и направлены противоположно смещению. В положении равновесия смещение и ускорение обращаются в нуль, скорость максимальна. Проекция ускорения всегда имеет знак, противоположный смещению.
ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Полная механическая энергия колеблющегося тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий и при отсутствии трения остается постоянной:
В момент, когда смещение достигает максимума х = А, скорость, а вместе с ней и кинетическая энергия, обращаются в нуль.
При этом полная энергия равна потенциальной энергии:
Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний.
Когда система проходит положение равновесия, смещение и потенциальная энергия равны нулю: х = 0, Е п = 0. Поэтому полная энергия равна кинетической:
Полная механическая энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату его скорости в положении равновесия. Следовательно:
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
1. Математический маятник - это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.
В положении равновесия сила тяжести компенсируется силой натяжения нити. Если маятник отклонить и отпустить, то силы и перестанут компенсировать друг друга, и возникнет результирующая сила , направленная к положению равновесия. Второй закон Ньютона:
При малых колебаниях, когда смещение х много меньше l, материальная точка будет двигаться практически вдоль горизонтальной оси х. Тогда из треугольника МАВ получаем:
Так как sin a = х/l , то проекция результирующей силы R на ось х равна
Знак "минус" показывает, что сила R всегда направлена против смещения х.
2. Итак, при колебаниях математического маятника, так же как и при колебаниях пружинного маятника, возвращающая сила пропорциональна смещению и направлена в противоположную сторону.
Сравним выражения для возвращающей силы математического и пружинного маятников:
Видно, что mg/l является аналогом k. Заменяя, k на mg/l в формуле для периода пружинного маятника
получаем формулу для периода математического маятника:
Период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды.
Математический маятник используют для измерения времени, определения ускорения свободного падения в данном месте земной поверхности.
Свободные колебания математического маятника при малых углах отклонения являются гармоническими. Они происходят благодаря равнодействующей силы тяжести и силы натяжения нити, а также инерции груза. Равнодействующая этих сил является возвращающей силой.
Пример. Определите ускорение свободного падения на планете, где маятник длиной 6,25 м имеет период свободных колебаний 3,14 с.
Период колебаний математического маятника зависит от длины нити и ускорения свободного падения:
Возведя обе части равенства в квадрат, получаем:
Ответ: ускорение свободного падения равно 25 м/с 2 .
Задачи и тесты по теме "Тема 4. "Механика. Колебания и волны"."
- Поперечные и продольные волны. Длина волны
Уроков: 3 Заданий: 9 Тестов: 1
- Звуковые волны. Скорость звука - Механические колебания и волны. Звук 9 класс