Пусть М, М 0 – две различные точки кривой (рис. 7.2)
Рис. 7.2. Касательная к кривой
Прямая (ММ 0) называется секущей кривой L.
Пусть точка М, перемещаясь по кривой L, приближается к точке М 0 . Если секущая стремится занять предельное положение (М 0 Т), то прямая (ТМ 0) называется касательной к кривой L в точке М 0 .
Допустим, кривая L является графиком непрерывной функции y=ƒ(x) (рис. 3.3).
y
На
рис. 7.3: если (М 0 М)
– секущая,
- угловой коэффициент секущей, тогда
;
.
Пусть х стремится к х 0 , тогда точка М стремится по кривой L к М 0 . Если функция ƒ(х) имеет производную в точке х 0 , то
Таким
образом, производная функции ƒ(х) в
точке х 0
равна
угловому коэффициенту касательной к
графику функции в точке
Уравнение
прямой с угловым коэффициентом
имеет
вид:
y = kx+b или y=ƒ’(х 0)∙x+b.
Для вычисления воспользуемся тем, что касательная проходит через точку М 0 . Подставляем координаты точки М 0 (х 0 ;ƒ(х 0)) в уравнение касательной:
ƒ(х 0) = ƒ′(х 0)∙х 0 +b,
b = ƒ(х 0)- ƒ′(х 0)∙ х 0
Уравнение касательной принимает вид:
y =ƒ′(х 0)∙(x- х 0)+ƒ(х 0) (3.8)
Пример:
7.24 Написать уравнение касательной к параболе y=x² в точке с абсциссой х 0 =1.
Решение: Имеем ƒ(х 0)=х² 0 ; ƒ(х 0)=1 при х 0 =1; ƒ′(х 0)=2∙ х 0 ; ƒ′(х 0)=2 при х 0 =1.
Уравнение касательной: y=2∙(x-1)+1 или y=2∙x-1.
Упражнения: Написать уравнения касательных к графику функции y=ƒ(x) в точке с абсциссой х 0:
7.25 а) y=x3; х 0 =1;
б)
; х 0 =1;
в)
; х 0 =4
г) y=x²-2x+5; х 0 =0,5
7.10 Применение производной к приближенным вычислениям
По определению производной функции y =ƒ(x) в точке х 0 имеем:
При достаточно малых ∆x получаем:
,
(7.9)
Представляем приращение функции в виде
С учетом формулы (7.9) или
Пример:
7.26 Вычислить
приближенно
.
Решение: Воспользуемся формулой (3.10)
Рассмотрим
функцию
точку х 0
=27 и приращение аргумента ∆x=0,03
Значение функции в точке х 0:
Производная:
.
Значение производной в точке х 0 =27:
Подставляем полученные значения в (3.10) , получаем приближенное значение функции
.
Упражнения:
7.26 Вычислить приближенные значения функций:
а)
;
б)
;
в) sin30˚30′;
д)
;
е) 
.
7.12 Применение производной к исследованию функций
Функция называется возрастающей на (a ; b ) , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции:
Функция называется убывающей на (а; b ) , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:
Возрастающие или убывающие функции называются монотонными (сравните с п. 1.1)
Теорема (необходимое условие возрастания функции) Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) возрастает на интервале (а;b), то ƒ′(х) ≥0 для любого хє(а;b).
Доказательство.
Пусть x>
х 0 ,
тогда ƒ(х)>ƒ(х 0).
Поэтому x-
х 0 >0
и
.
Так как ƒ(х) дифференцируема на (а;b), то, переходя к пределу в неравенстве при x > х 0 , получим
Теорема доказана.
y
y
Рис. 7.4 Связь монотонности со знаком производной
Теорема (Необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) убывает на интервале (а;b), то ƒ′(х)≤ 0 для любого хє(а;b).
Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если функция ƒ(х) имеет положительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ возрастает на (а;b).
Теорема (Достаточное условие убывания функции). Если функция ƒ(х) имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ убывает на интервале (а;b).
Пример:
7.27 Найти
интервалы монотонности функции
.
Решение. Функция определена на множестве всех действительных чисел. Найдем её производную:
Находим знак ƒ′(х) методом интервалов:
ƒ′(х)
>0 при хє
,
следовательно ƒ(х) возрастающая
на этом интервале;
при
или
,
следовательно ƒ(х) убывающая
на этих интервалах. Границы интервалов
могут быть включены в интервалы
монотонности, т. к. функция непрерывна
в этих точках. Можно записать:
;
Т
очка
х
0
называется точкой минимума функции ƒ,
если найдется такая окрестность точки
х
0
, что для всех х из этой окрестности
справедливо неравенство
ƒ(х 0) ƒ(х 0)
(х 0) (x х 0)
0 х 0 -ε х 0 +ε x 0 х 0 -ε х 0 +ε x
Рис. 7.5 Точки минимума функции
Точка
х
0
называется точкой максимума функции
ƒ, если найдется такая окрестность точки
х
0
,
что для всех х из этой окрестности
справедливо неравенство
.
y
y
0 х 0 -ε х 0 х 0 +ε x 0 х 0 -ε х 0 х 0 +ε x
Рис. 7.6 Точки максимума функции
Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках называются экстремумами функций.
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода.
Теорема Ферма (Необходимое условие экстремума). Если точка х 0 является точкой экстремума функции ƒ и в этой же точке существует производная, то она равна нулю: ƒ′(х 0)=0
Теорема
(Достаточное условие максимума) Если
функция ƒ непрерывна в точке х 0 ,
а ƒ′(х)>0 на интервале
и ƒ′(x)<0
на интервале
,
то точка х 0
является точкой максимума функции ƒ.
Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+»на «-», то х 0 – точка максимума функции ƒ.
Теорема
(Достаточное условие минимума). Если
функция ƒ непрерывна в точке х 0 ,
ƒ′(x)
на интервале
и ƒ′(x)>0
на интервале
,
то точка х 0
является точкой минимума функции ƒ.
Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+», то х 0 - точка минимума функции ƒ.
Пример:
7.27 Найти
точки экстремума функции
.
Решение.
Найдем производную:
.
Критические точки первого рода: ƒ′(х)=0 => (3-3х²=0) => (х 1 =-1;х 2 =+1).
Знак производной:
- +
-
х=-1 – точка минимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+».
х=1 – точка максимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+»на «-».
Упражнения:
7.28 Найти интервалы монотонности функции:
а) ƒ(x)=5x-2;
б)
;
в) ƒ(x)=x²+x-1;
г) ƒ(x)=7x²+14x+1;
д)
;
е)
.
7.29. Найти экстремумы функций:
а) ƒ(x)=1+4x-x²;
б) ƒ(x)=3+x²-6x;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з) ƒ(x)=xlnx;
и)
;
к)
.
Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.
Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .
Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.
y = kx + b .
В нём k - угловой коэффициент.
Отсюда получаем следующую запись:
y - y 0 = k (x - x 0 ) .
Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .
Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.
Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".
Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .
Пример 1.
Составить уравнение касательной и уравнение нормали к
графику функции 
, если абсцисса точки
касания .
Найдём производную функции:
Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем
В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:
На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.
Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.
Пример 2.
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):
Составляем уравнение нормали:
Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Находим уравнение касательной:
Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).
Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.
Пусть дана функция f , которая в некоторой точке x 0 имеет конечную производную f (x 0). Тогда прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x 0), называется касательной.
А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:
- Касательная к графику тоже не существует. Классический пример - функция y = |x | в точке (0; 0).
- Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π /2).
Уравнение касательной
Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k - угловой коэффициент. Касательная - не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке.
Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)
Здесь f ’(x 0) - значение производной в точке x 0 , а f (x 0) - значение самой функции.
Задача. Дана функция y = x 3 . Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x 0 = 2.
Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять.
Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f
(x
0) = f
(2) = 2 3 = 8;
Теперь найдем производную: f
’(x
) = (x
3)’ = 3x
2 ;
Подставляем в производную x
0 = 2: f
’(x
0) = f
’(2) = 3 · 2 2 = 12;
Итого получаем: y
= 12 · (x
− 2) + 8 = 12x
− 24 + 8 = 12x
− 16.
Это и есть уравнение касательной.
Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x ) = 2sin x + 5 в точке x 0 = π /2.
В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие - укажем лишь ключевые шаги. Имеем:
f
(x
0) = f
(π
/2) = 2sin (π
/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f
’(x
) = (2sin x
+ 5)’ = 2cos x
;
f
’(x
0) = f
’(π
/2) = 2cos (π
/2) = 0;
Уравнение касательной:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет - просто мы наткнулись на точку экстремума.
Рассмотрим следующий рисунок:
На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.
Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.
Касательная к графику функции
Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.
При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f - это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).
Уравнение касательной
Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:
Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0) , то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0) *x + b.
Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Подставляем полученное значение в уравнение касательной:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 в точке х = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x - 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x - 7.
Ответ: y = 4*x - 7.
Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):
1. Определить х0.
2. Вычислить f(x0).
3. Вычислить f’(x)