Решение уравнения гиперболы. Гипербола и её каноническое уравнение

В математике часто приходится строить разнообразные графики. Но не каждому школьнику это дается легко. Да что говорить о школьниках, если не каждый взрослый понимает, как это сделать? Хотя, казалось бы, это азы математики, и ничего сложного в построении графика нет, главное – просто понять алгоритм. Из данной статьи вы узнаете, как построить гиперболу.

Строим систему координат

Для построения любого графика, в первую очередь, необходимо построить прямоугольную систему координат Декарта. Что для этого нужно:

На листе бумаги рисуем горизонтальную прямую. Желательно, чтобы это был лист в клеточку, но не обязательно. Конец прямой, справа, обозначаем стрелкой. Это у нас получилась ось X. Она называется абсциссой.
Посреди оси Х рисуем перпендикулярную прямую. Конец прямой, вверху, обозначаем стрелкой. Таким образом, мы получаем ось Y, так называемую ординату.
Далее нумеруем шкалу. Справа на оси Х у нас располагаются положительные значения Х в порядке возрастания – от 1 и выше. Слева – отрицательные. Вверху на оси Y располагаются положительные значения Y в порядке возрастания. Внизу – отрицательные

Точка пересечения абсциссы и ординаты – это начало координат, то есть число 0. Отсюда мы будем откладывать все значения Х и Y.

Наглядно вы можете посмотреть получившуюся систему координат на рисунке ниже. Также мы видим, что прямоугольная система координат делит плоскость на 4 части. Они называются четвертями и имеют нумерацию против часовой стрелки, как показано на рисунке:

Для построения любого графика нужны точки. Каждая точка координатной плоскости определяется парой чисел (x;y). Эти числа называются координатами точки, где:

х – абсцисса точки
y – соответственно, ордината

Теперь, когда мы знаем, как строить систему координат, можем приступать непосредственно к построению графика.

Строим гиперболу

Гипербола – это график функции, заданной формулой y=k/x, где

k – это любой коэффициент, но он не должен равняться 0
x – независимая переменная

Гипербола состоит из 2-х частей, которые располагаются симметрично в разных четвертях. Они называются ветвями гиперболы. Если k>0, то ветви мы строим в 1 и 3 четвертях, если же k<0, тогда – во 2 и 4.

Для построения гиперболы возьмем в качестве примера функцию, заданную формулой y=3/х.

Поскольку коэффициент 3 у нас со знаком «+», то наша гипербола, соответственно, будет находиться в 1 и 3 четвертях.
Задаем произвольно значения Х, вследствие чего находим значения Y. Так у нас будут координаты точек, благодаря которым мы и построим нашу гиперболу. Но обратите внимание, что Х нельзя задать нулевое значение, ведь мы знаем, что на 0 делить нельзя.
Поскольку мы знаем, что гипербола располагается в 2 четвертях, то берем как положительные значения, так и отрицательные. Итак, возьмем, к примеру, значения Х, равные -6, -3, -1, 1, 3, 6.
Теперь вычисляем наши ординаты. Это сделать достаточно просто – подставляем каждое значение Х в нашу исходную формулу: y=3/-6; у=3/-3; у=3/-1; у=3/1; у=3/3; у=3/6. Путем несложных математических вычислений получаем значения Y, равные -0.5, -1, -3, 3, 1, 0.5.
У нас получилось 6 точек с координатами. Теперь просто откладываем эти точки на нашей системе координат и через них плавно проводим кривые, как показано на рисунке ниже. Вот мы и построили гиперболу.

Как вы успели убедиться, строить гиперболу не так-то сложно. Просто нужно понять принцип и придерживаться очередности выполнения действий. Следуя нашим советам и рекомендациям, вы с легкостью сможете построить не только гиперболу, а и множество других графиков. Пробуйте, тренируйтесь, и все у вас обязательно получится!

Гипербола – это множество точек плоскости, разница расстояний которых от двух заданных точек, фокусов, есть постоянная величина и равна .

Аналогично эллипсу фокусы размещаем в точках , (см. рис. 1).

Рис. 1

Видно из рисунка, что могут быть случаи и title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению

Известно, что в треугольнике разница двух сторон меньше третьей стороны, поэтому, например, с у нас получается:

Поднесём к квадрату обе части и после дальнейших преобразований найдём:

где . Уравнение гиперболы (1) – это каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно координатных осей, поэтому, как и для эллипса, достаточно построить её график в первой четверти, где:

Область значения для первой четверти .

При у нас есть одна из вершин гиперболы . Вторая вершина . Если , тогда из (1) – действительных корней нет. Говорят, что и – мнимые вершины гиперболы. Из соотношением получается, что при достаточно больших значениях есть место ближайшего равенства title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .

Форма и характеристики гиперболы

Исследуем уравнение (1) форму и расположение гиперболы.

Переменные и входят в уравнение (1) в парных степенях. Поэтому, если точка принадлежит гиперболе, тогда и точки также принадлежат гиперболе. Значит, фигура симметрична относительно осей и , и точки , которая называется центром гиперболы.
Найдём точки пересечения с осями координат. Подставив в уравнение (1) получим, что гипербола пересекает ось в точках . Положив получим уравнение , у которого нет решений. Значит, гипербола не пересекает ось . Точки называются вершинами гиперболы. Отрезок = и называется действительной осью гиперболы, а отрезок – мнимой осью гиперболы. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Прямоугольник, созданный осями и называется главным прямоугольником гиперболы.
С уравнения (1) получается, что , то есть . Это означает, что все точки гиперболы расположены справа от прямой (правая ветвь гиперболы) и левая от прямой (левая ветвь гиперболы).
Возьмём на гиперболе точку в первой четверти, то есть , а поэтому . Так как 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .

Асимптоты гиперболы

Есть две асимптоты гиперболы. Найдём асимптоту к ветви гиперболы в первой четверти, а потом воспользуемся симметрией. Рассмотрим точку в первой четверти, то есть . В этом случае , , тогда асимптота имеет вид: , где

Значит, прямая – это асимптота функции . Поэтому в силу симметрии асимптотами гиперболы есть прямые .

За установленными характеристиками построим ветвь гиперболы, которая находится в первой четверти и воспользуемся симметрией:

Рис. 2

В случае, когда , то есть гипербола описывается уравнением . В этой гиперболе асимптоты, которые и есть биссектрисами координатных углов .

Примеры задач на построение гиперболы

Пример 1

Задача

Найти оси, вершины, фокусы, ексцентриситет и уравнения асимптот гиперболы. Построить гиперболу и её асимптоты.

Решение

Сведём уравнение гиперболы к каноническому виду:

Сравнивая данное уравнение с каноническим (1) находим , , . Вершины , фокусы и . Ексцентриситет ; асмптоты ; Строим параболу. (см. рис. 3)

Написать уравнение гиперболы:

Решение

Записав уравнение асимптоты в виде находим отношение полуосей гиперболы . По условию задачи следует, что . Поэтому Задачу свели к решению системы уравнений:

Подставляя во второе уравнение системы, у нас получится:

откуда . Теперь находим .

Следовательно, у гиперболы получается такое уравнение:

Ответ

Гипербола и её каноническое уравнение обновлено: Июнь 17, 2017 автором: Научные Статьи.Ру

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 и F_2 есть величина постоянная (2a) , меньшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы .

Фокальное свойство гиперболы

Точки F_1 и F_2 называются фокусами гиперболы, расстояние 2c=F_1F_2 между ними - фокусным расстоянием, середина O отрезка F_1F_2 - центром гиперболы, число 2a - длиной действительной оси гиперболы (соответственно, a - действительной полуосью гиперболы). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение e=\frac{c}{a} , где c=\sqrt{a^2+b^2} , называется эксцентриситетом гиперболы . Из определения (2a<2c) следует, что e>1 .

Геометрическое определение гиперболы , выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр O гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0) и F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей гиперболе, имеем:

\left||\overrightarrow{F_1M}|-|\overrightarrow{F_2M}|\right|=2a.

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm2a.

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\,

где b=\sqrt{c^2-a^2} , т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии a^2\!\!\not{\phantom{|}}\,c от нее (рис.3.41,а). При a=0 , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.

Гиперболу с эксцентриситетом e=1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e (директориальное свойство гиперболы ). Здесь F и d - один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.41,а) условие \frac{r_2}{\rho_2}=e можно записать в координатной форме:

\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\left(x-\frac{a^2}{c}\right)

Избавляясь от иррациональности и заменяя e=\frac{c}{a},~c^2-a^2=b^2 , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1 :

\frac{r_1}{\rho_1}=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{(x+c)^2+y^2}= e\left(x+\frac{a^2}{c} \right).

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат F_2r\varphi (рис.3.41,б) имеет вид

r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi} , где p=\frac{p^2}{a} - фокальный параметр гиперболы .

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус F_2 гиперболы, а в качестве полярной оси - луч с началом в точке F_2 , принадлежащий прямой F_1F_2 , но не содержащий точки F_1 (рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем F_1M-r=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,\varphi) и F_1(2c,\pi) (см. пункт 2 замечаний 2.8):

F_1M=\sqrt{(2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi)}=\sqrt{r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}.

Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид

\sqrt{r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}-r=2a.

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac{c}{a}\cos\varphi\right)r=c^2-a^2.

Выражаем полярный радиус r и делаем замены e=\frac{c}{a},~b^2=c^2-a^2,~p=\frac{b^2}{a} :

r=\frac{c^2-a^2}{a(1-e\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{b^2}{a(1-e\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-e\cos\varphi},

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (e>1 для гиперболы, 0\leqslant e<1 для эллипса).

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение y=0 , находим абсциссы точек пересечения: x=\pm a . Следовательно, вершины имеют координаты (-a,0),\,(a,0) . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна 2a . Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число a - действительной полуосью гиперболы. Подставляя x=0 , получаем y=\pm ib . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки (0,-b),\,(0,b) , равна 2b . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число b - мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.

Замечания 3.10.

1. Прямые x=\pm a,~y=\pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).

2. Прямые , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).

Для равносторонней гиперболы , описываемой уравнением (т.е. при a=b ), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат Ox"y" (рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид y"=\frac{a^2}{2x"} (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).

В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол \varphi=-\frac{\pi}{4} (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами

\left\{\!\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x"+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y",\\ y&=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x"+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y"\end{aligned}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{\!\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(y"-x")\end{aligned}\right.

Подставляя эти выражения в уравнение \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1 равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем

\frac{\frac{1}{2}(x"+y")^2}{a^2}-\frac{\frac{1}{2}(y"-x")^2}{a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac{a^2}{2\cdot x"}.

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр - центром симметрии.

Действительно, если точка M(x,y) принадлежит гиперболе . то и точки M"(x,y) и M""(-x,y) , симметричные точке M относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.

Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.

4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах r=\frac{p}{1-e\cos\varphi} (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра - это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси (r=p при \varphi=\frac{\pi}{2} ).

5. Эксцентриситет e характеризует форму гиперболы. Чем больше e , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе e к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).

Действительно, величина \gamma угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}=\frac{b}{2} . Учитывая, что e=\frac{c}{a} и c^2=a^2+b^2 , получаем

e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{\left(\frac{b}{a}\right)\!}^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}.

Чем больше e , тем больше угол \gamma . Для равносторонней гиперболы (a=b) имеем e=\sqrt{2} и \gamma=\frac{\pi}{2} . Для e>\sqrt{2} угол \gamma тупой, а для 1

6 . Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 и называются сопряженными друг с другом . Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы -\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1 определяет гиперболу с центром в точке O"(x_0,y_0) , оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение -\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1 определяет сопряженную гиперболу с центром в точке O"(x_0,y_0) .

Параметрическое уравнение гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид

\begin{cases}x=a\cdot\operatorname{ch}t,\\y=b\cdot\operatorname{sh}t,\end{cases}t\in\mathbb{R},

где \operatorname{ch}t=\frac{e^t+e^{-t}}{2} - гиперболический косинус, a \operatorname{sh}t=\frac{e^t-e^{-t}}{2} гиперболический синус.

Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству \operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1 .

Пример 3.21. Изобразить гиперболу \frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1 в канонической системе координат Oxy . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2 - действительная полуось, b=3 - мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=6 с центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя x=4 в уравнение гиперболы, получаем

\frac{4^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt{3}.

Следовательно, точки с координатами (4;3\sqrt{3}) и (4;-3\sqrt{3}) принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние

2\cdot c=2\cdot\sqrt{a^2+b^2}=2\cdot\sqrt{2^2+3^2}=2\sqrt{13}

эксцентриситет e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2} ; фокальныи параметр p=\frac{b^2}{a}=\frac{3^2}{2}=4,\!5 . Составляем уравнения асимптот y=\pm\frac{b}{a}\,x , то есть y=\pm\frac{3}{2}\,x , и уравнения директрис: x=\pm\frac{a^2}{c}=\frac{4}{\sqrt{13}} .

Гипербола и парабола

Переходим ко второй части статьи о линиях второго порядка , посвященной двум другим распространённым кривым – гиперболе и параболе . Если вы зашли на данную страницу с поисковика либо ещё не успели сориентироваться в теме, то рекомендую сначала изучить первый раздел урока, на котором мы рассмотрели не только основные теоретические моменты, но и познакомились с эллипсом . Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)

Гипербола и её каноническое уравнение

Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».

Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….

У гиперболы две симметричные ветви.

У гиперболы две асимптоты .

Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:

Пример 4

Построить гиперболу, заданную уравнением

Решение : на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:

Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной :

И только после этого провести сокращение:

Выделяем квадраты в знаменателях:

Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей уже не обойтись:

Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :

Как построить гиперболу?

Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.

Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:

1) Прежде всего, находим асимптоты . Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые . В нашем случае: . Данный пункт обязателен! Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты.

2) Теперь находим две вершины гиперболы , которые расположены на оси абсцисс в точках . Выводится элементарно: если , то каноническое уравнение превращается в , откуда и следует, что . Рассматриваемая гипербола имеет вершины

3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает 2-3-х. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-ой координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса . Из канонического уравнения на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:
– определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо);
– определяет нижние дуги гиперболы.

Напрашивается нахождение точек с абсциссами :

4) Изобразим на чертеже асимптоты , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:

Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом , но это вполне преодолимая проблема.

Отрезок называют действительной осью гиперболы,
его длину – расстоянием между вершинами;
число называют действительной полуосью гиперболы;
число – мнимой полуосью .

В нашем примере: , и, очевидно, если данную гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и/или переместить, то эти значения не изменятся .

Определение гиперболы. Фокусы и эксцентриситет

У гиперболы, точно так же, как и у эллипса , есть две особенные точки , которые называются фокусами . Не говорил, но на всякий случай, вдруг кто неверно понимает: центр симметрии и точки фокуса, разумеется, не принадлежат кривым .

Общая концепция определения тоже похожа:

Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы: . При этом расстояние между фокусами превосходит длину действительной оси: .

Если гипербола задана каноническим уравнением , то расстояние от центра симметрии до каждого из фокусов рассчитывается по формуле: .
И, соответственно, фокусы имеют координаты .

Для исследуемой гиперболы :

Разбираемся в определении. Обозначим через расстояния от фокусов до произвольной точки гиперболы:

Сначала мысленно передвигайте синюю точку по правой ветви гиперболы – где бы мы ни находились, модуль (абсолютное значение) разности между длинами отрезков будет одним и тем же:

Если точку «перекинуть» на левую ветвь, и перемещать её там, то данное значение останется неизменным.

Знак модуля нужен по той причине, что разность длин может быть как положительной, так и отрицательной. Кстати, для любой точки правой ветви (поскольку отрезок короче отрезка ). Для любой точки левой ветви ситуация ровно противоположная и .

Более того, ввиду очевидного свойства модуля безразлично, что из чего вычитать.

Удостоверимся, что в нашем примере модуль данной разности действительно равен расстоянию между вершинами. Мысленно поместите точку в правую вершину гиперболы . Тогда: , что и требовалось проверить.

Определение . Гиперболой называется геометрическое место точек, разность от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная

Возьмем систему координат, так чтобы фокусы лежали на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок F 1 F 2 пополам (рис. 30). Обозначим F 1 F 2 = 2c. Тогда F 1 (с; 0); F 2 (-c; 0)

MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 – фокальные радиусы гиперболы.

Согласно определения гиперболы r 1 – r 2 = const.

Обозначим ее через 2а

Тогда r 2 - r 1 = ±2a итак:

=> каноническое уравнение гиперболы

Так как уравнение гиперболы х и у в четных степенях, то если точка М 0 (х 0 ; у 0) лежит на гиперболе, то на ней лежат также точки М 1 (х 0 ; -у 0) М 2 (-х 0 ; -у 0) М 3 (-х 0 ; -у 0).

Следовательно, гипербола симметрична относительно обеих координатных осей.

При у = 0 х 2 = а 2 х = ± а. Вершинами гиперболы будут точки А 1 (а; 0); А 2 (-а; 0).

. В силу симметрии исследование ведем в I четверти

1) при
у имеет мнимое значение, следовательно, точек гиперболы с абсциссами
не существует

2) при х = а; у = 0 А 1 (а; 0) принадлежит гиперболе

3) при x > a; y > 0. Причем при неограниченном возрастании х ветвь гиперболы уходит в бесконечность.

Отсюда следует, что гипербола представляет собой кривую, состоящую из двух бесконечных ветвей.

П 6. Асимптоты гиперболы

Рассмотрим вместе с уравнением
уравнение прямой

Кривая будет лежать ниже прямой (рис. 31). Рассмотрим точкиN (x, Y) и М (х, у) у которой абсциссы одинаковы, а У - у = MN. Рассмотрим длину отрезка MN

Найдем

Итак, если точка М, двигаясь по гиперболе в первой четверти удаляется в бесконечность, то ее расстояние от прямой
уменьшается и стремится к нулю.

В силу симметрии таким же свойством обладает прямая
.

Определение. Прямые к которым при
кривая неограниченно приближается называются асимптотами.

И
так, уравнение асимптот гиперболы
.

Асимптоты гиперболы располагаются по диагоналям прямоугольника, одна сторона которого параллельна оси ох и равна 2а, а другая параллельна оси оу и равна 2в, а центр лежит в начале координат (рис. 32).

П 7. Эксцентриситет и директрисы гиперболы

r 2 – r 1 = ± 2a знак + относится к правой ветви гиперболы

знак – относится к левой ветви гиперболы

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами.

. Так как c > a, ε > 1

Выразим фокальные радиусы гиперболы через эксцентриситет:

Определение . Назовем прямые
, перпендикулярные фокальной оси гиперболы и расположенными на расстоянии от ее центра директрисами гиперболы, соответствующие правому и левому фокусам.

Т
ак как для гиперболы
следовательно, директрисы гиперболы, располагаются между ее вершинами (рис. 33). Покажем, что отношение расстояний любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная и равная ε.

П. 8 Парабола и ее уравнение

О
пределение. Парабола есть геометрическое место точек равностоящих от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой называемой директрисой.

Чтобы составить уравнение параболы примем за ось х прямую, проходящую через фокус F 1 перпендикулярную к директрисе и будем считать ось х направленной от директрисы к фокусу. За начало координат возьмем середину О отрезка от точки F до данной прямой, длину которого обозначим через р (рис. 34). Величину р назовем параметром параболы. Точка координат фокуса
.

Пусть М (х, у) – произвольная точка параболы.

Согласно определению

у 2 = 2рх – каноническое уравнение параболы

Для определения вида параболы преобразуем ее уравнение
отсюда следует . Следовательно, вершина параболы находится в начале координат и осью симметрии параболы является ох. Уравнение у 2 = -2рх при положительном р сводится к уравнению у 2 = 2рх путем замены х на –х и ее график имеет вид (рис. 35).

У
равнение х 2 = 2ру является уравнением параболы с вершиной в точке О (0; 0) ветви которой направлены вверх.

х
2 = -2ру – уравнение параболы с центром в начале координат симметричная относительно оси у, ветви которой направлены вниз (рис. 36).

У параболы одна ось симметрии .

Если х в первой степени, а у во второй, то ось симметрии есть х.

Если х во второй степени, а у в первой, то ось симметрии есть ось оу.

Замечание 1. Уравнение директрисы параболы имеет вид
.

Замечание 2. Так как для параболы , то ε параболы равен 1. ε = 1 .