Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.
Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.
Теория
Теорема 1Когда любой многочлен со степенью n , имеющие вид P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью a n и n линейных множителей (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , тогда P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , где x i , i = 1 , 2 , … , n – это и есть корни многочлена.
Теорема предназначена для корней комплексного типа x i , i = 1 , 2 , … , n и для комплексных коэффициентов a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Это и есть основа любого разложения.
Когда коэффициенты вида a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x 1 и x 2 , относящиеся к многочлену вида P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q , где x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Замечание
Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.
Основная теорема алгебры
Теорема 2Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.
Теорема Безу
После того, как произвели деление многочлена вида P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 на (x - s) , тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s , тогда получим
P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , где Q n - 1 (x) является многочленом со степенью n - 1 .
Следствие из теоремы Безу
Когда корень многочлена P n (x) считается s , тогда P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.
Разложение на множители квадратного трехчлена
Квадратный трехчлен вида a x 2 + b x + c можно разложить на линейные множители. тогда получим, что a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , где x 1 и x 2 - это корни (комплексные или действительные).
Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.
Пример 1
Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.
Решение
Необходимо найти корни уравнения 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 . Отсюда имеем, что
x 1 = 5 - 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1
Отсюда получаем, что 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1 .
Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.
Пример 2
Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3 x 2 - 7 x - 11 .
Решение
Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 .
Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 · 3 = 7 - 181 6
Отсюда получаем, что 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .
Пример 3
Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.
Решение
Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 · i x 2 = - 1 2 = - 1 2 · i
Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i .
Пример 4
Произвести разложение квадратного трехчлена x 2 + 1 3 x + 1 .
Решение
Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 · 1 · 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 · 1 = - 1 3 + 35 3 · i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i
Получив корни, запишем
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 · i x - - 1 6 - 35 6 · i = = x + 1 6 - 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i
Замечание
Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.
Способы разложения на множители многочлена степени выше второй
При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x 1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x - x 1) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x 2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.
Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.
Вынесение общего множителя за скобки
Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .
Видно, что корень такого многочлена будет равняться x 1 = 0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)
Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.
Пример 5
Выполнить разложение многочлена третьей степени 4 x 3 + 8 x 2 - x на множители.
Решение
Видим, что x 1 = 0 - это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4 x 2 + 8 x - 1 . Найдем дискриминант и корни:
D = 8 2 - 4 · 4 · (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 · 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 · 4 = - 1 - 5 2
Тогда следует, что
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1 .
Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.
Пример 6
Произвести разложение выражения f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 .
Решение
Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа - 18 . Получим, что ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:
Отсюда следует, что х = 2 и х = - 3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:
f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x 2 + 2 x + 3 .
Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.
Ответ: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Замечание
Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , старший из которых на равняется единице.
Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.
Пример 7
Произвести разложение на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Решение
Необходимо выполнить замену переменной y = 2 x , следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4 . Получаем, что
4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Когда получившаяся функция вида g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Перейдем к вычислению функции g (y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что
g (1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 = - 4 g (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60
Получаем, что у = - 5 – это корень уравнения вида y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 , значит, x = y 2 = - 5 2 - это корень исходной функции.
Пример 8
Необходимо произвести деление столбиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .
Решение
Запишем и получим:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x 2 + 7 x + 3 . Приравниванием к нулю и находим дискриминант.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Отсюда следует, что
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Искусственные приемы при разложении многочлена на множители
Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.
Способ группировки
Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.
Пример 9
Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 на множители.
Решение
Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1 , - 1 , 2 и - 2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что
1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 · (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 2 - 8 · 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 · (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.
Необходимо провести группировку:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Замечание
Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.
Пример 10
Произвести разложение на множители многочлен x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Решение
Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
После разложения на множители получим, что
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители
Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.
Пример 11
Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 на множители.
Решение
Необходимо выполнить преобразование выражения к виду
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x + 1 4 .
Значит, имеем x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .
После применения разности квадратов, получим
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Пример 12
Произвести разложение на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Решение
Займемся преобразованием выражения. Получаем, что
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Способ замены переменной при разложении многочлена на множители
При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.
Пример 13
Произвести разложение на множители многочлена вида x 6 + 5 x 3 + 6 .
Решение
По условию видно, что необходимо произвести замену y = x 3 . Получаем:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Корни полученного квадратного уравнения равны y = - 2 и y = - 3 , тогда
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
То есть получили искомое разложение.
Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Прежде всего укажем на некоторые употребительные названия. Станем рассматривать многочлены, в состав которых входит лишь одна какая-нибудь буква, напр., буква x . Тогда самым простым является многочлен, в котором два члена, причем в одном из них имеется буква x в первой степени, а в другом вовсе буквы x не имеется, напр., 3x – 5 или 15 – 7x или 8z + 7 (здесь уже вместо буквы x взята буква z ) и т. д. Такие многочлены называются линейными двучленами .
3x² – 5x + 7 или x² + 2x – 1
или 5y² + 7y + 8 или z² – 5z – 2 и т. д.
Такие многочлены называются квадратными трехчленами .
Затем, мы можем составить кубический четырехчлен, напр.:
x³ + 2x² – x + 1 или 3x³ – 5x² – 2x – 3 и т. д.,
многочлен четвертой степени, напр.:
x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5 и т. д.
Возможно обозначать коэффициенты при x , при x², при x³ и т. д. также буквами, напр., буквами a, b, c и т. д. Тогда получим:
1) общий вид линейного относительно x двучлена ax + b,
2) общий вид квадратного трехчлена (относительно x ): ax² + bx + c,
3) общий вид кубического трехчлена (относительно x ): ax³ + bx² + cx + d и т. д.
Заменяя в этих формулах буквы a, b, c, d … различными числами, получим всевозможные линейные двучлены, квадратные трехчлены и т. д. Напр., в формуле ax² + bx + c, выражающей общий вид квадратного трехчлена, заменим букву a числом +3, букву b числом –2 и букву c числом –1, получим квадратный трехчлен 3x² – 2x – 1. В частном случае возможно получить и двучлен, заменяя одну из букв нулем, напр., если a = +1, b = 0 и c = –3, то получим квадратный двучлен x² – 3.
Можно научиться раскладывать некоторые квадратные трехчлены довольно быстро на линейные множители. Ограничимся, однако, рассмотрением только таких квадратных трехчленов, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) коэффициентом при старшем члене (при x²) служит +1,
2) можно подыскать такие два целых числа (со знаками, или два относительных целых числа), чтобы их сумма равнялась коэффициенту при x в первой степени и их произведение равнялось члену, свободному от x (где буквы x вовсе нет).
Примеры. 1. x² + 5x + 6; легко в уме подыскать два числа (со знаками), чтобы их сумма равнялась +5 (коэффициенту при x ) и чтобы их произведение = +6 (члену, свободному от x), – эти числа суть: +2 и +3 [в самом деле, +2 + 3 = +5 и (+2) ∙ (+3) = +6]. При помощи этих двух чисел заменим член +5x двумя членами, а именно: +2x + 3x (конечно, +2x + 3x = +5x); тогда наш техчлен искусственно будет обращен в четырехчлен x² + 2x + 3x + 6. Применим теперь к нему прием группировки, относя первые два члена в одну группу и последние два – в другую:
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).
В первой группе мы вынесли за скобку x и во второй +3, получили два члена, у которых оказался общий множитель (x + 2), который также вынесли за скобку, и наш трехчлен x² + 5x + 6 разложился на 2 линейных множителя: x + 2 и x + 3.
2. x² – x – 12. Здесь надо подыскать два числа (относительных), чтобы их сумма равнялась –1 и чтобы их произведение равнялось –12. Такие числа суть: –4 и +3.
Проверка: –4 + 3 = –1; (–4) (+3) = –12. При помощи этих чисел заменим член –x двумя членами: –x = –4x + 3x, – получим:
x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).
3. x² – 7x + 6; здесь нужные числа суть: –6 и –1. [Проверка: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].
x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).
Здесь члены второй группы –x + 6 пришлось заключить в скобки, со знаком минус перед ними.
4. x² + 8x – 48. Здесь нужно подыскать два числа, чтобы их сумма равнялась +8 и чтобы их произведение равнялось –48. Так как произведение должно иметь знак минус, то искомые числа должны быть с разными знаками, так как сумма наших чисел имеет знак +, то абсолютная величина положительного числа должна быть больше. Раскладывая арифметическое число 48 на два множителя (а это можно сделать по-разному), получим: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Из этих разложений легко выбрать подходящее к нашим требованиям, а именно: 48 = 4 ∙ 12. Тогда наши числа суть: +12 и –4. Дальнейшее просто:
x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).
5. x² + 7x – 12. Здесь надо найти 2 числа, чтобы их сумма равнялась +7 и произведение = –12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. По-видимому, подходящими числами являлись бы 3 и 4, но их надо взять с разными знаками, чтобы их произведение равнялось –12, а тогда их сумма ни в коем случае не может равняться +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Другие разложения на множители также не дают требуемых чисел; поэтому мы приходим к заключению, что данных квадратных трехчлен мы еще не умеем разложить на линейные множители, так как к нему наш прием не применим (он не удовлетворяет второму из условий, какие были установлены вначале).
Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.
Содержание
См. также:
Методы разложения многочленов на множители
Корни квадратного уравнения
Решение кубических уравнений
1. Примеры с решением квадратного уравнения
Пример 1.1
x 4
+ x 3 - 6
x 2
.
Выносим x 2
за скобки:
.
2
+ x - 6 = 0
:
.
Корни уравнения:
, .
.
Пример 1.2
Разложить на множители многочлен третьей степени:
x 3 + 6
x 2 + 9
x
.
Выносим x
за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 + 6
x + 9 = 0
:
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.
Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.
Пример 1.3
Разложить на множители многочлен пятой степени:
x 5 - 2
x 4 + 10
x 3
.
Выносим x 3
за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x 2 - 2
x + 10 = 0
.
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .
Разложение многочлена на множители имеет вид:
.
Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.
Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул
Примеры с биквадратными многочленами
Пример 2.1
Разложить биквадратный многочлен на множители:
x 4 +
x 2 - 20
.
Применим формулы:
a 2 + 2
ab + b 2 = (a + b) 2
;
a 2
- b 2 = (a - b)(a + b)
.
;
.
Пример 2.2
Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x 8 +
x 4 + 1
.
Применим формулы:
a 2 + 2
ab + b 2 = (a + b) 2
;
a 2
- b 2 = (a - b)(a + b)
:
;
;
.
Пример 2.3 с возвратным многочленом
Разложить на множители возвратный многочлен:
.
Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = -1
.
Делим многочлен на x - (-1)
= x + 1
.
В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;
;
.
Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями
Пример 3.1
Разложить многочлен на множители:
.
Предположим, что уравнение
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504
;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120
;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60
;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24
;
1 3 - 6·1 2 + 11·1 - 6 = 0
;
2 3 - 6·2 2 + 11·2 - 6 = 0
;
3 3 - 6·3 2 + 11·3 - 6 = 0
;
6 3 - 6·6 2 + 11·6 - 6 = 60
.
Итак, мы нашли три корня:
x 1 = 1
,
x 2 = 2
,
x 3 = 3
.
Поскольку исходный многочлен - третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.
Пример 3.2
Разложить многочлен на множители:
.
Предположим, что уравнение
имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
-2, -1, 1, 2
.
Подставляем поочередно эти значения:
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 =
6
;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 =
0
;
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12
;
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54
.
Итак, мы нашли один корень:
x 1 = -1
.
Делим многочлен на x - x 1
= x - (-1)
= x + 1
:
Тогда,
.
Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2
(члена без x
). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2
.
Подставим x = -1
:
.
Итак, мы нашли еще один корень x 2
= -1
.
Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.
У него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых (). Вот и получается – квадратный трехчлен.
Примеры не квадратных трехчленов:
\(x^3-3x^2-5x+6\) - кубический четырёхчлен
\(2x+1\) - линейный двучлен
Корень квадратного трехчлена:
Пример:
У трехчлена \(x^2-2x+1\) корень \(1\), потому что \(1^2-2·1+1=0\)
У трехчлена \(x^2+2x-3\) корни \(1\) и \(-3\), потому что \(1^2+2-3=0\) и \((-3)^2-6-3=9-9=0\)
Например: если нужно найти корни для квадратного трехчлена \(x^2-2x+1\), приравняем его к нулю и решим уравнение \(x^2-2x+1=0\).
\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac{2-0}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Готово. Корень равен \(1\).
Разложение квадратного трёхчлена на :
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно разложить как \(a(x-x_1)(x-x_2)\), если уравнения \(ax^2+bx+c=0\) больше нуля \(x_1\) и \(x_2\) - корни того же уравнения).
Например
, рассмотрим трехчлен \(3x^2+13x-10\).
У квадратного уравнения \(3x^2+13x-10=0\) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны \(-5\) и \(\frac{2}{3}\). Поэтому \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac{2}{3})\). В верности этого утверждения легко убедится – если мы , то получим исходный трехчлен.
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно представить как \(a(x-x_1)^2\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен нулю.
Например , рассмотрим трехчлен \(x^2+6x+9\).У квадратного уравнения \(x^2+6x+9=0\) дискриминант равен \(0\), а единственный корень равен \(-3\). Значит, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (здесь коэффициент \(a=1\), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по .
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) меньше нуля.
Например , у трехчленов \(x^2+x+4\) и \(-5x^2+2x-1\) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.
Пример
. Разложите на множители \(2x^2-11x+12\).
Решение
:
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2-11x+12=0\)
\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac{11-5}{4}=1,5;\) \(x_2=\frac{11+5}{4}=4.\)
Значит, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Ответ
: \(2(x-1,5)(x-4)\)
Полученный ответ, может быть, записать по-другому: \((2x-3)(x-4)\).
Пример
. (Задание из ОГЭ)
Квадратный трехчлен разложен на множители \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Найдите \(a\).
Решение:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac{-33-17}{10}=-5\)
\(x_2=\frac{-33+17}{10}=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Ответ
: \(-1,6\)
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III
§ 54. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
В этом параграфе мы рассмотрим следующий вопрос: в каком случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c можно представить в виде произведения
(a 1 x + b 1) (a 2 x + b 2)
двух линейных относительно х множителей с действительными коэффициентами a 1 , b 1 , a 2 , b 2 (a 1 =/=0, a 2 =/=0) ?
1. Предположим, что данный квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде
ax 2 + bx + c = (a 1 x + b 1) (a 2 x + b 2). (1)
Правая часть формулы (1) обращается в нуль при х = - b 1 / a 1 и х = - b 2 / a 2 (a 1 и a 2 по условию не равны нулю). Но в таком случае числа - b 1 / a 1 и - b 2 / a 2 являются корнями уравнения
ax 2 + bx + c = 0.
Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c должен быть неотрицательным.
2. Обратно, предположим, что дискриминант D = b 2 - 4ас квадратного трехчлена ax 2 + bx + c неотрицателен. Тогда этот трехчлен имеет действительные корни x 1 и x 2 . Используя теорему Виета, получаем:
ax 2 + bx + c = а (x 2 + b / a х + c / a ) = а [x 2 - (x 1 + x 2) х + x 1 x 2 ] =
= а [(x 2 - x 1 x ) - (x 2 x - x 1 x 2)] = а [х (х - x 1) - x 2 (х - x 1) =
= a (х - x 1)(х - x 2).
ax 2 + bx + c = a (х - x 1)(х - x 2), (2)
где x 1 и x 2 - корни трехчлена ax 2 + bx + c . Коэффициент а можно отнести к любому из двух линейных множителей, например,
a (х - x 1)(х - x 2) = (aх - ax 1)(х - x 2).
Но это означает, что в рассматриваемом случае квадратный трехчлен ax 2 + bx + c представим в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами.
Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы приходим к следующей теореме.
Теорема. Квадратный трехчлен ax 2 + bx + c тогда и тoлько тогда можно представить в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами,
ax 2 + bx + c = (aх - ax 1)(х - x 2),
когда дискриминант этого квадратного трехчлена неотрицателен (то есть когда этот трехчлен имеет действительные корни) .
Пример 1 . Разложить на линейные множители 6x 2 - х -1.
Корни этого квадратного трехчлена равны x 1 = 1 / 2 и x 2 = - 1 / 3 .
Поэтому по формуле (2)
6x 2 - х -1 = 6 (х - 1 / 2)(х + 1 / 3) = (2х - 1) (3x + 1).
Пример 2 . Разложить на линейные множители x 2 + х + 1. Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен:
D = 1 2 - 4 1 1 = - 3 < 0.
Поэтому данный квадратный трехчлен на линейные множители с действительными коэффициентами не раскладывается.
Упражнения
Разложить на линейные множители следующие выражения (№ 403 - 406):
403. 6x 2 - 7х + 2. 405. x 2 - х + 1.
404. 2x 2 - 7ах + 6а 2 . 406. x 2 - 3ах + 2а 2 - аb - b 2 .
Сократить дроби (№ 407, 408):
Решить уравнения:
