Если подинтегральная функция имеет на (конечном) интервале интегрирования разрыв второго рода, говорят о несобственном интеграле второго рода.
10.2.1 Определение и основные свойства
Обозначим интервал интегрирования $\left[ a, \, b \right ]$, оба этих числа ниже полагаются конечными. Если имеется всего 1 разрыв, он может находиться или в точке $a$, или в точке $b$, или внутри интервала $(a,\,b)$. Рассмотрим сначала случай, когда разрыв второго рода имеется в точке $a$, а в остальных точках подинтегральная функция непрерывна. Итак, мы обсуждаем интеграл
\begin{equation} I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label{intr2} \end{equation}
причем $f(x) \rightarrow \infty $, когда $x \rightarrow a+0$. Как и ранее, прежде всего следует придать смысл этому выражению. Для этого рассмотрим интеграл
\[ I(\epsilon)=\int _{a+\epsilon}^b f(x)\,dx. \]
Определение. Пусть существует конечный предел
\[ A=\lim _{\epsilon \rightarrow +0}I(\epsilon)=\lim _{\epsilon \rightarrow +0}\int _{a+\epsilon}^b f(x)\,dx. \]
Тогда говорят, что несобственный интеграл второго рода (22) сходится, и ему приписывают значение $A$, саму функцию $f(x)$ называют интегрируемой на интервале $\left[ a, \, b\right]$.
Рассмотрим интеграл
\[ I=\int ^1_0\frac{dx}{\sqrt{x}}. \]
Подинтегральная функция $1/\sqrt{x}$ при $x \rightarrow +0$ имеет бесконечный предел, так что в точке $x=0$ она имеет разрыв второго рода. Положим
\[ I(\epsilon)=\int ^1_{\epsilon }\frac{dx}{\sqrt{x}}\,. \]
В данном случае первообразная известна,
\[ I(\epsilon)=\int ^1_{\epsilon }\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}|^1_{\epsilon }=2(1-\sqrt{\epsilon })\rightarrow 2 \]
при $\epsilon \rightarrow +0$. Таким образом, исходный интеграл является сходящимся несобственным интегралом второго рода, причем он равен 2.
Рассмотрим вариант, когда разрыв второго рода подинтегральной функции имеется на верхнем пределе интервала интегрирования. Этот случай можно свести к предыдущему, сделав замену переменной $x=-t$ и затем переставив пределы интегрирования.
Рассмотрим вариант, когда разрыв второго рода у подинтегральной функции имеется внутри интервала интегрирования, в точке $c \in (a,\,b)$. В данном случае исходный интеграл
\begin{equation} I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label{intr3} \end{equation}
представляют в виде суммы
\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]
Определение. Если оба интеграла $I_1, \, I_2$ сходятся, то несобственный интеграл (23) называют сходящимся и ему приписывают значение, равное сумме интегралов $I_1, \, I_2$, функцию $f(x)$ называют интегрируемой на интервале $\left[ a, \, b\right]$. Если хотя бы один из интегралов $I_1,\, I_2$ является расходящимся, несобственный интеграл (23) называют расходящимся.
Сходящиеся несобственные интегралы 2 рода обладают всеми стандартными свойствами обычных определенных интегралов.
1.
Если $f(x)$, $g(x)$ интегрируемы на интервале $\left[ a, \,b \right ]$, то их сумма $f(x)+g(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем
\[
\int _a^{b}\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^{b}f(x)dx+\int _a^{b}g(x)dx.
\]
2.
Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, b \right ]$, то для любой константы $C$ функция $C\cdot f(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем
\[
\int _a^{b}C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^{b}f(x)dx.
\]
3.
Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, b \right ]$, причем на этом интервале $f(x)>0$, то
\[
\int _a^{b} f(x)dx\,>\,0.
\]
4.
Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, b \right ]$, то для любого $c\in (a, \,b)$ интегралы
\[
\int _a^{c} f(x)dx, \quad \int _c^{b} f(x)dx
\]
тоже сходятся, причем
\[
\int _a^{b}f(x)dx=\int _a^{c} f(x)dx+\int _c^{b} f(x)dx
\]
(аддитивность интеграла по интервалу).
Рассмотрим интеграл
\begin{equation}
I=\int _0^{1}\frac{1}{x^k}\,dx. (24)
\label{mod2}
\end{equation}
Если $k>0$, подинтегральная функция стремится к $\infty$ при $x \rightarrow +0$, так что интеграл - несобственный второго рода. Введем функцию
\[
I(\epsilon)=\int _{\epsilon}^{1}\frac{1}{x^k}\,dx.
\]
В данном случае первообразная известна, так что
\[
I(\epsilon)=\int _{\epsilon}^{1}\frac{1}{x^k}\,dx\,=\frac{x^{1-k}}{1-k}|_{\epsilon}^1= \frac{1}{1-k}-\frac{\epsilon ^{1-k}}{1-k}.
\]
при $k \neq 1$,
\[
I(\epsilon)=\int _{\epsilon}^{1}\frac{1}{x}\,dx\,=lnx|_{\epsilon}^1= -ln \epsilon.
\]
при $k = 1$. Рассматривая поведение при $\epsilon \rightarrow +0$, приходим к выводу, что интеграл (20) сходится при $k
10.2.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода
Теорема (первый признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ - непрерывны при $x\in (a,\,b)$, причем $0 1. Если интеграл \[ \int _a^{b}g(x)dx \] сходится, то сходится и интеграл \[ \int _a^{b}f(x)dx. \] 2. Если интеграл \[ \int _a^{b}f(x)dx \] расходится, то расходится и интеграл \[ \int _a^{b}g(x)dx. \]
Теорема (второй признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ - непрерывны и положительны при $x\in (a,\,b)$, причем существует конечный предел
\[ \theta = \lim_{x \rightarrow a+0} \frac{f(x)}{g(x)}, \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]
Тогда интегралы
\[ \int _a^{b}f(x)dx, \quad \int _a^{b}g(x)dx \]
сходятся или расходятся одновременно.
Рассмотрим интеграл
\[ I=\int _0^{1}\frac{1}{x+\sin x}\,dx. \]
Подинтегральное выражение - положительная функция на интервале интегрирования, подинтегральная функция стремится к $\infty$ при $x \rightarrow +0$, так что наш интеграл - несобственный второго рода. Далее, при $x \rightarrow +0$ имеем: если $g(x)=1/x$, то
\[ \lim _{x \rightarrow +0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow +0}\frac{x}{x+\sin x}=\frac{1}{2} \neq 0,\, \infty \, . \]
Применяя второй признак сравнения, приходим к выводу, что наш интеграл сходится или расходится одновременно с интегралом
\[ \int _0^{+1}\frac{1}{x}\,dx . \]
Как было показано в предыдущем примере, этот интеграл расходится ($k=1$). Следовательно, исходный интеграл тоже расходится.
Вычислить несобственный интеграл или установить его сходимость (расходимость).
1. \[ \int _{0}^{1}\frac{dx}{x^3-5x^2}\,. \] 2. \[ \int _{3}^{7}\frac{x\,dx}{(x-5)^2}\,. \] 3. \[ \int _{0}^{1}\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}\,. \] 4. \[ \int _{0}^{1}\frac{x^3\,dx}{1-x^5}\,. \] 5. \[ \int _{-3}^{2}\frac{dx}{(x+3)^2}\,. \] 6. \[ \int _{1}^{2}\frac{x^2\,dx}{(x-1)\sqrt{x-1}}\,. \] 7. \[ \int _{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x+x^2}}\,. \] 8. \[ \int _{0}^{1/4}\frac{dx}{\sqrt{x-x^2}}\,. \] 9. \[ \int _{1}^{2}\frac{dx}{xlnx}\,. \] 10. \[ \int _{1}^{2}\frac{x^3\,dx}{\sqrt{4-x^2}}\,. \] 11. \[ \int _{0}^{\pi /4}\frac{dx}{\sin ^4x}\,. \]
Определенный интеграл
\[ I=\int_a^bf(x)dx \]
был построен в предположении, что числа $a,\,b$ конечны и $f(x)$ - непрерывная функция. Если одно из этих предположений нарушается, говорят о несобственных интегралах.
10.1 Несобственные интегралы 1 рода
Несобственный интеграл 1 рода возникает, когда по крайней мере одно из чисел $a,\,b$ бесконечно.
10.1.1 Определение и основные свойства
Рассмотрим сначала ситуацию, когда нижний предел интегрирования конечен, а верхний равен $+\infty$, другие варианты обсудим несколько позднее. Для $f(x)$, непрерывной при всех интересующих нас $x$, рассмотрим интеграл
\begin{equation} I=\int _a^{+\infty}f(x)dx. \quad(19) \label{inf1} \end{equation}
Прежде всего надо установить смысл этого выражения. Для этого введем функцию
\[ I(N)=\int _a^{N}f(x)dx \]
и рассмотрим ее поведение при $N\rightarrow +\infty$.
Определение. Пусть существует конечный предел
\[ A=\lim_{N \rightarrow +\infty}I(N)=\lim_{N \rightarrow +\infty}\int _a^{N}f(x)dx. \]
Тогда говорят, что несобственный интеграл 1 рода (19) является сходящимся и ему приписывают значение $A$, саму функцию называют интегрируемой на интервале $\left[ a, \, +\infty \right)$. Если же указанного предела не существует или он равен $\pm \infty$, то говорят, что интеграл (19) расходится.
Рассмотрим интеграл
\[ I=\int _0^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2}. \]
\[ I(N)=\int _0^{N} \frac{dx}{1+x^2}. \]
В данном случае известна первообразная подинтегральной функции, так что
\[ I(N)=\int _0^{N} \frac{dx}{1+x^2}=arctgx|_0^{N}=arctgN. \]
Известно, что $arctg N \rightarrow \pi /2 $ при $N \rightarrow +\infty$. Таким образом, $I(N)$ имеет конечный предел, наш несобственный интеграл сходится и равен $\pi /2$.
Сходящиеся несобственные интегралы 1 рода обладают всеми стандартными свойствами обычных определенных интегралов.
1. Если $f(x)$, $g(x)$ интегрируемы на интервале $\left[ a, \, +\infty \right)$, то их сумма $f(x)+g(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем \[ \int _a^{+\infty}\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^{+\infty}f(x)dx+\int _a^{+\infty}g(x)dx. \] 2. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right)$, то для любой константы $C$ функция $C\cdot f(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем \[ \int _a^{+\infty}C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^{+\infty}f(x)dx. \] 3. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right)$, причем на этом интервале $f(x)>0$, то \[ \int _a^{+\infty} f(x)dx\,>\,0. \] 4. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right)$, то для любого $b>a$ интеграл \[ \int _b^{+\infty} f(x)dx \] сходится, причем \[ \int _a^{+\infty}f(x)dx=\int _a^{b} f(x)dx+\int _b^{+\infty} f(x)dx \] (аддитивность интеграла по интервалу).
Справедливы также формулы замены переменной, интегрирования по частям и т.д. (с естественными оговорками).
Рассмотрим интеграл
\begin{equation} I=\int _1^{+\infty}\frac{1}{x^k}\,dx. \quad (20) \label{mod} \end{equation}
Введем функцию
\[ I(N)=\int _1^{N}\frac{1}{x^k}\,dx. \]
В данном случае первообразная известна, так что
\[ I(N)=\int _1^{N}\frac{1}{x^k}\,dx\,=\frac{x^{1-k}}{1-k}|_1^N= \frac{N^{1-k}}{1-k}-\frac{1}{1-k} \]
при $k \neq 1$,
\[ I(N)=\int _1^{N}\frac{1}{x}\,dx\,=lnx|_1^N= lnN \]
при $k = 1$. Рассматривая поведение при $N \rightarrow +\infty$, приходим к выводу, что интеграл (20) сходится при $k>1$, а при $k \leq 1$ - расходится.
Рассмотрим теперь вариант, когда нижний предел интегрирования равен $-\infty$, а верхний конечен, т.е. рассмотрим интегралы
\[ I=\int _{-\infty}^af(x)dx. \]
Однако этот вариант можно свести к предыдущему, если сделать замену переменных $x=-s$ и поменять затем пределы интегрирования местами, так что
\[ I=\int _{-a}^{+\infty}g(s)ds, \]
$g(s)=f(-s)$. Рассмотрим теперь случай, когда имеется два бесконечных предела, т.е. интеграл
\begin{equation} I=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)dx, \quad (21) \label{intr} \end{equation}
причем $f(x)$ непрерывна при всех $x \in \mathbb{R}$. Разобъем интервал на две части: возьмем $c \in \mathbb{R}$, и рассмотрим два интеграла,
\[ I_1=\int _{-\infty}^{c}f(x)dx, \quad I_2=\int _{c}^{+\infty}f(x)dx. \]
Определение. Если оба интеграла $I_1$, $I_2$ сходятся, то интеграл (21) называется сходящимся, ему приписывают значение $I=I_1+I_2$ (в соответствии с аддитивностью по интервалу). Если хотя бы один из интегралов $I_1$, $I_2$ расходится, интеграл (21) называется расходящимся.
Можно доказать, что сходимость интеграла (21) не зависит от выбора точки $c$.
Несобственные интегралы 1 рода с интервалами интегирования $\left(-\infty, \, c \right]$ или $(-\infty, \, +\infty)$ также обладают всеми стандартными свойствами определенных интегралов (с соответствующей переформулировкой, учитывающей выбор интервал интегрирования).
10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода
Теорема (первый признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ - непрерывны при $x>a$, причем $0 a$. Тогда
1. Если интеграл \[ \int _a^{+\infty}g(x)dx \] сходится, то сходится и интеграл \[ \int _a^{+\infty}f(x)dx. \] 2. Если интеграл \[ \int _a^{+\infty}f(x)dx \] расходится, то расходится и интеграл \[ \int _a^{+\infty}g(x)dx. \]
Теорема (второй признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ - непрерывны и положительны при $x>a$, причем существует конечный предел
\[ \theta = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}, \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]
Тогда интегралы
\[ \int _a^{+\infty}f(x)dx, \quad \int _a^{+\infty}g(x)dx \]
сходятся или расходятся одновременно.
Рассмотрим интеграл
\[ I=\int _1^{+\infty}\frac{1}{x+\sin x}\,dx. \]
Подинтегральное выражение - положительная функция на интервале интегрирования. Далее, при $x \rightarrow +\infty$ имеем:
$\sin x$ является "малой" поправкой в знаменателе. Точнее, если взять $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$, то
\[ \lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{x}{x+\sin x}=1. \]
Применяя второй признак сравнения, приходим к выводу, что наш интеграл сходится или расходится одновременно с интегралом
\[ \int _1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx . \]
Как было показано в предыдущем примере, этот интеграл расходится ($k=1$). Следовательно, исходный интеграл расходится.
Вычислить несобственный интеграл или установить его сходимость (расходимость).
1. \[ \int _{0}^{+\infty}e^{-ax}\,dx. \] 2. \[ \int _{0}^{+\infty}xe^{-x^2}\,dx. \] 3. \[ \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{2xdx}{x^2+1}. \] 4. \[ \int _{0}^{+\infty}\frac{xdx}{(x+2)^3}. \] 5. \[ \int _{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+2x+2}. \] 6. \[ \int _{1}^{+\infty}\frac{lnx}{x^2}\,dx. \] 7. \[ \int _{1}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}. \] 8. \[ \int _{0}^{+\infty}e^{-\sqrt{x}}\,dx. \] 9. \[ \int _{0}^{+\infty}e^{-ax}\cos x\,dx. \] 10. \[ \int _{0}^{+\infty}\frac{xdx}{x^3+1}. \]
Вы еще здесь? =) Нет, я никого не пытался запугать, просто тема несобственных интегралов – очень хорошая иллюстрация тому, как важно не запускать высшую математику и другие точные науки. Для освоения урока на сайте всё есть – в подробной и доступной форме, было бы желание….
Итак, начнем-с. Образно говоря, несобственный интеграл – это «продвинутый» определенный интеграл, и на самом деле сложностей с ними не так уж и много, к тому же у несобственного интеграла есть очень хороший геометрический смысл.
Что значит вычислить несобственный интеграл?
Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).
Несобственные интегралы бывают двух видов.
Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
Иногда такой несобственный интеграл называют несобственным интегралом первого рода . В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .
Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: , и их мы рассмотрим позже – когда войдёте во вкус:)
Ну а сейчас разберём самый популярный случай . В подавляющем большинстве примеров подынтегральная функция непрерывна на промежутке , и этот важный факт следует проверять в первую очередь! Ибо если есть разрывы, то есть дополнительные нюансы. Для определённости предположим, что и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:
Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), и несобственный интеграл численно равен её площади . При этом возможны следующие варианты:
1) Первая мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то 
», иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может.
В этом случае говорят, что несобственный интеграл расходится
.
2) Но . Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится .
3) О третьем варианте чуть позже.
В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.
А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл 
(расходится) либо равен конечному отрицательному числу.
Таким образом, несобственный интеграл может быть отрицательным .
Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно . Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.
Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: 
. На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: 
.
В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию (неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела. У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений , ибо лучше поздно, чем в армии.
Рассмотрим два классических примера:
Пример 1
Для наглядности я построю чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно .
Подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале , значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.
Применение нашей формулы 
и решение задачи выглядит так:
То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.
В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применятся эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы «динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».
Если Вам не понятно почему при , то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции. Во втором случае посетите урок Графики и свойства элементарных функций .
При решении несобственных интегралов очень важно знать, как выглядят графики основных элементарных функций!
Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:
“
! При оформлении примера всегда прерываем решение, и указываем, что происходит с подынтегральной функцией – непрерывна она на промежутке интегрирования или нет . Этим мы идентифицируем тип несобственного интеграла и обосновываем дальнейшие действия.
Пример 2
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Выполним чертеж:
Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале . Гуд. Решаем с помощью формулы 
:
(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела, чтобы он не путался под ногами в дальнейших вычислениях.
(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.
(3) Указываем, что при (Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.
Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу! Невероятно, но факт.
Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:
“
Подынтегральная функция непрерывна на
“
Что делать, если вам встретится интеграл наподобие – с точкой разрыва на интервале интегрирования? Это говорит о том, что в примере опечатка (вероятнее всего) , либо о продвинутом уровне обучения. В последнем случае, в силу свойства аддитивности , следует рассмотреть два несобственных интеграла на промежутках и и затем разобраться с суммой.
Иногда вследствие опечатки либо умысла несобственного интеграла может вовсе не существовать , так, например, если в знаменатель вышеуказанного интеграла поставить квадратный корень из «икс», то часть промежутка интегрирования вообще не войдёт в область определения подынтегральной функции.
Более того, несобственного интеграла может не существовать даже при всём «видимом благополучии». Классический пример: . Несмотря на определённость и непрерывность косинуса, такого несобственного интеграла не существует! Почему? Всё очень просто, потому что:
– не существует соответствующего предела
.
И такие примеры пусть редко, но встречаются на практике! Таким образом, помимо сходимости и расходимости, есть ещё и третий исход решения с полноправным ответом: «несобственного интеграла не существует».
Следует также отметить, что строгое определение несобственного интеграла даётся именно через предел, и желающие могут ознакомиться с ним в учебной литературе. Ну а мы продолжаем практическое занятие и переходим к более содержательным задачам:
Пример 3
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Сначала попытаемся найти первообразную функцию (неопределенный интеграл). Если нам не удастся этого сделать, то несобственный интеграл мы, естественно, тоже не решим.
На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: 
. Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.
Проведем замену:
Неопределенный интеграл найден, константу в данном случае добавлять не имеет смысла.
На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.
Теперь находим несобственный интеграл:
(1) Записываем решение в соответствии с формулой 
. Константу лучше сразу вынести за знак предела, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях.
(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница. Почему 
при ? Смотрите график арктангенса в уже неоднократно рекомендованной статье.
(3) Получаем окончательный ответ. Тот факт, что полезно знать наизусть.
Продвинутые студенты могут не находить отдельно неопределенный интеграл, и не использовать метод замены, а использовать метод подведения функции под знак дифференциала и решать несобственный интеграл «сразу». В этом случае решение должно выглядеть примерно так:
“
Подынтегральная функция непрерывна на .
“
Пример 4
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
! Это типовой пример, и похожие интегралы встречаются очень часто. Хорошо его проработайте! Первообразная функция здесь находится методом выделения полного квадрата, более подробно с методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей .
Пример 5
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Этот интеграл можно решить подробно, то есть сначала найти неопределенный интеграл, проведя замену переменной. А можно решить «сразу» – подведением функции под знак дифференциала. У кого какая математическая подготовка.
Полные решения и ответы в конце урока.
Примеры решений несобственных интегралов с бесконечным нижним пределом интегрирования можно посмотреть на странице Эффективные методы решения несобственных интегралов . Там же разобран случай, когда оба предела интегрирования бесконечны.
Несобственные интегралы от неограниченных функций
Или несобственные интегралами второго рода . Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв (не существует): 1) в точке , 2) или в точке , 3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования. Мы рассмотрим первые два случая, для случаев 3-4 в конце статьи есть ссылка на дополнительный урок.
Сразу пример, чтобы было понятно: . Вроде бы это определенный интеграл. Но на самом деле – это несобственный интеграл второго рода, если мы подставим в подынтегральную функцию значение нижнего предела , то знаменатель у нас обращается в ноль, то есть подынтегральной функции просто не существует в этой точке!
Вообще при анализе несобственного интеграла всегда нужно подставлять в подынтегральную функцию оба предела интегрирования
. В этой связи проверим и верхний предел: 
. Здесь всё хорошо.
Криволинейная трапеция для рассматриваемой разновидности несобственного интеграла принципиально выглядит так:
Здесь почти всё так же, как в интеграле первого рода.
Наш интеграл численно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции, которая не ограничена сверху. При этом могут быть два варианта*: несобственный интеграл расходится (площадь бесконечна) либо несобственный интеграл равен конечному числу (то есть, площадь бесконечной фигуры – конечна!).
* по умолчанию привычно полагаем, что несобственный интеграл существует
Осталось только модифицировать формулу Ньютона-Лейбница. Она тоже модифицируется с помощью предела, но предел стремится уже не к бесконечности, а к значению справа. Легко проследить по чертежу: по оси мы должны бесконечно близко приблизиться к точке разрыва справа .
Посмотрим, как это реализуется на практике.
Пример 6
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке (не забываем устно или на черновике проверить, всё ли нормально с верхним пределом!)
Сначала вычислим неопределенный интеграл:
Замена: 
У кого возникли трудности с заменой, обратитесь к уроку Метод замены в неопределенном интеграле .
Вычислим несобственный интеграл:
(1) Что здесь нового? По технике решения практически ничего. Единственное, что поменялось, это запись под значком предела: . Добавка обозначает, что мы стремимся к значению справа (что логично – см. график). Такой предел в теории пределов называют односторонним пределом . В данном случае у нас правосторонний предел .
(2) Подставляем верхний и нижний предел по формуле Ньютона Лейбница.
(3) Разбираемся с при . Как определить, куда стремится выражение? Грубо говоря, в него нужно просто подставить значение , подставляем три четверти и указываем, что . Причесываем ответ.
В данном случае несобственный интеграл равен отрицательному числу. В этом никакого криминала нет, просто соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью .
А сейчас два примера для самостоятельного решения.
Пример 7
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Пример 8
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Если подынтегральной функции не существует в точке
Бесконечная криволинейная трапеция для такого несобственного интеграла принципиально выглядит следующим образом.
1.Определение несобственного интеграла второго рода
Пусть f (x ) задана на [a ;b ], но неограниченна на нём. Пусть для определённости f (x ) неограниченна в левой окрестности точки b : , но в любом промежутке функция интегрируема. В этом случае точку b называют особой точкой.
Определение. Несобственным интегралом второго рода функции f (x ) на [a ;b ] называется конечный или бесконечный предел интеграла при
Если предел (1) существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится, и значение предела считают значением интеграла. Если предел (1) не существует или равен бесконечности, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично определяется интеграл функции f (x ), неограниченной в правой окрестности точки а :
Пример 1. Исследовать на сходимость .
D 1) : интеграл расходится.
Итак, интеграл сходится при , расходится при . D
2. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго рода
Пусть функция f (x ) определена и непрерывна в интервале [a ;b ) и вблизи точки b функция неограниченна (b - особая точка функции f (x )). Тогда для f (x ) в этом промежутке существует первообразная F (x ) и "h >0 по формуле Ньютона-Лейбница имеем
Отсюда следует, что несобственный интеграл (1) существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел . В этом случае функция F (x ) является непрерывной на отрезке [a ;b ]. Тогда, переходя в (2) к пределу при h ®0, получим формулу Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго рода
Итак , для вычисления несобственных интегралов второго рода можно использовать формулу Ньютона-Лейбница, если функция F (x ) непрерывна на отрезке [a ;b ] и F¢ (x )=f (x ) во всех точках, где f (x ) конечна.
Пример 2. Вычислить .
D х =0 – особая точка. Первообразная непрерывна на [-1;27], в том числе, и в точке х =0, следовательно, можно применить формулу Ньютона-Лейбница:
Пример 3. Исследовать на сходимость .
D х =0 – особая точка. Первообразная имеет в точке х =0 бесконечный разрыв. Следовательно, данный интеграл расходится и равен ¥.
Заметим , что если не обратить на это внимание и формально применить формулу Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат:
3. Несобственные интегралы второго рода от неотрицательных функций
Теорема 1. Пусть f (x )³0 на [a ;b ) и интегрируема на [a ;b-h ] "h >0. Для сходимости несобственного интеграла (1) необходимо и достаточно, чтобы множество интегралов (h >0) ограничено сверху. В противном случае интеграл (1) расходится и равен ¥.
Для несобственных интегралов второго рода, как и для несобственных интегралов первого рода, имеют место теоремы сравнения 2 и 3. Сформулируем их без доказательства.
Теорема 2. Пусть функции f и g неотрицательны на [a ;b ) и интегрируемы на [a ;b-h ] "h >0. Пусть на [a ;b ) выполнено
Тогда: 1) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла ;
2) из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
Теорема 3. Пусть функции f и g неотрицательны на [a ;b ) и интегрируемы на [a ;b-h ] "h >0. Если существует (0£k £¥), то
1) из сходимости интеграла при k <¥ следует сходимость интеграла ,
2) из расходимости интеграла при k >0 следует расходимость интеграла .
Замечание. Если в условиях теоремы 3 0<k< ¥ (конечное число, не равное 0), то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
В качестве функций сравнения удобно брать степенные функции: для промежутка [a ;b ) , а для промежутка (a ;b ] . Соответствующие интегралы , сходятся при , расходится при (в этом легко убедиться, сведя указанные интегралы линейной заменой переменной к интегралу , рассмотренному в примере 1).
Пример 4. Исследовать на сходимость . .
Сходится . Значит, по теореме 3, сходится и . D
Пример 6. Исследовать на сходимость .
D х =0 – особая точка функции f (x )=lnx . Пусть .
Это имеет место , в том числе, и при a <1, когда сходится. Значит, по теореме 3 сходится и данный интеграл. D
Несобственные интегралы
Лк5,6(4ч)
Понятие было введено в предположении, что:
1) промежуток интегрирования конечен (отрезок [a ;b ]),
2) функция f (x ) ограничена на [a ;b ].
Такой определенный интеграл называется собственным (слово ²собственный² опускают). Если какое-либо из этих условий не выполняется, то определенный интеграл называется несобственным . Различают несобственные интегралы I и II рода.
1.Определение несобственного интеграла первого рода
Обобщим понятие определённого интеграла на бесконечный промежуток. Пусть f (x ) определена на промежутке [a ;+¥) и интегрируема в каждой конечной его части, т. е. . В этом случае существует интеграл . Ясно, что есть функция, определённая на [a ;+¥). Рассмотрим . Этот предел может существовать и не существовать, но независимо от этого он называетянесобственным интегралом первого рода и обозначается .
Определение. Если существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся , а значение этого предела есть значение несобственного интеграла. . Если не существует или равен ¥, то несобственный интеграл называется расходящимся .
Аналогично определяются ,
Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл , .
D непрерывна на [a ;+¥) .
Если , то , а Þ интеграл сходится.
Если , то интеграл расходится.
Итак , сходится при и ;
расходится при .D
2. Свойства несобственного интеграла первого рода
Так как несобственный интеграл определяется как предел интеграла Римана, то на несобственный интеграл переносятся все свойства, которые сохраняются при предельном переходе, то есть выполняются свойства 1-8. Теорема о среднем значении не имеет смысла.
3. Формула Ньютона – Лейбница
Пусть функция f непрерывна на [a ;+¥), F - первообразная и существует . Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница:
В самом деле,
Пример 2. D . D
Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
Пусть функция f неотрицательна и непрерывна на [a ;+¥) и несобственный интеграл сходится. равен площади криволинейной трапеции с основанием [a ;b ], а равен площади с основанием [a ;+¥).
4. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
Теорема 1. Пусть f (x )³0 на [a ;+¥) и интегрируема на [a ;b ] "b >a . Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы множество интегралов было ограничено сверху, причём .
Доказательство.
Рассмотрим функцию , a £b . Так как f (x )³0, то F не убывает Действительно, "b 1 , b 2: a £b 1 <b 2 в силу того, что , выполнено
По определению несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда существует конечный . Т.к. F (b ) не убывает, то этот предел существует тогда и только тогда, когда функция F (b ) ограничена сверху, то есть $М >0: "b >a . При этом
Расходимость несобственного интеграла означает, что , то есть .
Теорема 2. Пусть функции f и g неотрицательны на [a ;+¥) и интегрируемы на [a ;b ] "b >a . Пусть на [a ;+¥) выполнено
1) из сходимости интеграла (2) следует сходимость интеграла (3);
2) из расходимости интеграла (3) следует расходимость интеграла (2).
Доказательство.
Из (1) "b >a .
1) Пусть интеграл (2) сходится. По теореме 1 множество ограничено ограничено ограничено. По теореме1 сходится.
2) Пусть расходится. Докажем, что расходится интеграл (2). От противного. Предположим, что интеграл (2) сходится, но тогда по первой части теоремы сходится интеграл (3) – противоречие с условием.
Теорема 3. Пусть функции f и g неотрицательны на [a ;+¥) и интегрируемы на [a ;b ] "b >a . Если существует (0£k £¥), то
1) из сходимости интеграла при k <¥ следует сходимость интеграла ,
2) из расходимости интеграла при k >0 следует расходимость интеграла .
Доказательство.
1) Пусть k <¥ и сходится.
Т. к. сходится, то сходится, значит, сходится . Тогда в силу (4) сходится . Отсюда сходится.
2) Пусть k >0 и расходится. В этом случае - конечное число. Если допустим противное – что интеграл сходится, то по доказанному в п. 1) получим, что тоже сходится, а это противоречит условию. Следовательно, сделанное предположение неверно, и расходится. сходится абсолютно, то по определению сходится . Значит, сходится. Но сходится.