На рисунке изображён график некоторой функции.

51. На рисунке изображён график y=f "(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (− 4; 6). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x ) параллельна прямой y=3x или совпадает с ней.

Ответ: 5

52. На рисунке изображён график y=F(x) f(x) f(x) положительна?

Ответ: 7

53. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x ) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?

Ответ: 3

54. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены десять точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 . В скольких из этих точек функция f(x) положительна?

Ответ: 6

55. На рисунке изображён график y=F(x f(x), определённой на интервале (− 7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 2].

Ответ: 3

56. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)= 0 на отрезке [− 5; 5].

Ответ: 4

57. На рисунке изображён график y=F (x ) одной из первообразных некоторой функции f (x ), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x )=0 на отрезке .

Ответ: 4

58. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(−1)−F(−8), где F(x) f(x).

Ответ: 20

59. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x ) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(−1)−F(−9), где F(x) - одна из первообразных функции f(x).

Ответ: 24

60. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x ). Функция

-одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры .

Ответ: 6

61. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция

Одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ: 14,5

параллельна касательной к графику функции

Ответ:0,5

Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: -1

является касательной к графику функции

Найдите c .

Ответ: 20

является касательной к графику функции

Найдите a .

Ответ:0,125

является касательной к графику функции

Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Ответ: -33

67. Материальная точка движется прямолинейно по закону

где x t - время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 96 м/с?

Ответ: 18

68. Материальная точка движется прямолинейно по закону

где x - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 48 м/с?

Ответ: 9

69. Материальная точка движется прямолинейно по закону

где x t t =6 с.

Ответ: 20

70. Материальная точка движется прямолинейно по закону

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t =3 с.

Ответ: 59

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x) , определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].

Показать решение

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F"(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F"(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{5+3}{2}\cdot 3=12.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].

Показать решение

Решение

Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Показать решение

Решение

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.

Показать решение

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}

Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.

Ответ

Условие

Показать решение

Решение

Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать решение

Решение

Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].

Показать решение

Решение

Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .

Показать решение

Решение

Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.

Показать решение

Решение

Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.

Получаем: x_0 = 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.