Задача № 1 (1).
Условие:
Вариант 1. P 6 , P 8 , A 6 2 , A 8 5 , C 6 2 , C 8 5 .
Решение:
P 6 = 6! = 6 5 4 3 2 1 = 720 P 8 = 8! = 8 7 6 5 4 3 2 1 = 40320
6 5 = 30 == 8 7 6 = 336
15 = = = 56
Задача № 2 (2) .
Условие:
В ящике случайным образом находится 10 рубашек, причем 4 из них высшего сорта. Покупатель берет наудачу 3 из них. Найти вероятность того, что из взятых рубашек окажется высшего сорта хотя бы 1 рубашка.
Решение:
Способ 1:
А - событие взятия 1 рубашки высшего сорта
B - событие взятия 2 рубашек высшего сорта
C - событие взятия 3 рубашек высшего сорта
R - событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта
P(R) = P(A) + P(B) + P(C) = ++ =
2 способ :
А - событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта
Ни одна из рубашек высшего сорта не взята
P(A) + P() = 1 P(A) = 1 - P()
P() = = = P(A) = 1 - =
Задача № 3 (1) .
Условие:
Имеется 3 партии деталей по 30 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой партии - 30, во второй - 20, в третей партии - 15. Из наудачу выбранной партии наудачу извлекают деталь, оказавшуюся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии извлекают деталь, тоже оказавшуюся стандартной. Найти вероятность того, что детали извлекались из третей партии.
Решение:
А - событие извлечения стандартной детали в каждом из двух испытаний
В 1 - детали извлекались из первой партии
В 2 - детали извлекались из второй партии
В 3 - детали извлекались из третей партии
Так как детали извлекались из наудачу взятой партии, то P(B1) = P(B2) = P(B3) =
(А) = 1 - вероятность извлечения стандартных деталей из 1 партии
(А) = = - вероятность извлечения стандартных деталей из 2 партии
(А) = = - вероятность извлечения стандартных деталей из 3 партии
P A (B 3) = == =
Задача № 4 (3) .
Условие:
Отдел технического контроля проверяет на стандартность 1000 деталей. Вероятность, что деталь стандартна, равна 0.9. Найти с вероятностью 0.95 границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных.
Решение:
P = 0.9 - вероятность того, что деталь стандартна
q = 1-P = 0.1 - вероятность того, что деталь нестандартна
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты стандартных деталей от числа P не превысит положительного числа?, определяется из удвоенной формулы Лапласа:
Ф(105?) = =0.475
По таблице значений функции Ф(х) находим, что х = 1.96. Откуда 105? = 1.96, значит? ? 0,0186.
Таким образом, границы, в которых будет заключено m стандартных деталей среди проверенных, удовлетворяет равенству:
0,0186 или 0,8814??0,9186
Отсюда искомое число стандартных деталей среди 1000 проверенных с вероятностью Q = 0.95 заключено в границах
881?m ?917
Задача № 5 (4).
Условие:
Экономист считает, что вероятность роста стоимости акций компании в следующем году составит 0.8, если экономика страны будет на подъёме, и 0.25, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъёма равна 0.55. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.
Решение:
А - событие, что акции компании поднимутся в следующем году
Н 1 - событие, что экономика страны будет на подъёме
H 2 - событие, что экономика страны не будет успешно развиваться
События Н 1 и Н 2 образуют полную группу событий. Так как:
P(H 1) = 0.55 - вероятность того, что экономика страны будет на подъёме
P(H 2) = 0.45 - вероятность того, что экономика страны не будет успешно развиваться
0.8 - вероятность роста акций при подъёме экономики страны
0.25 - вероятность роста акций при неуспешном развитии экономики страны
По формуле полной вероятности получим:
P(A) = P(H 1) + P(H 2) = 0.8 0.55+0.25 0.45 = 0.44+0.1125 = 0,5525
Задача № 6 (5).
Условие:
Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течении обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0.88, от второй - с вероятностью 0.85. Однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0.16, для второй - 0.018. В случае банкротства инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность получить прибыль?
вероятность значение степень оценка
Решение:
А - событие получения инвестором прибыли
В 1 - событие банкротства первой фирмы
В 2 - событие банкротства второй фирмы
С 1 = В 1 - событие банкротства только первой фирмы
С 2 = В 2 - событие банкротства только второй фирмы
С 3 = В 1 В 2 - событие банкротства обеих фирм
С 4 = - событие работы обеих фирм
Р(В 1) = 0.16 - вероятность банкротства первой фирмы
Р(В 2) = 0.018 - вероятность банкротства второй фирмы
Р С1 (А) = 0.85 - вероятность получения прибыли при банкротстве только первой фирмы
Р С 2 (А) = 0.88 - вероятность получения прибыли при банкротстве только второй фирмы
Р С 3 (А) = 0 - вероятность получения прибыли при банкротстве обеих фирм
Р С4 (А) = 1 - вероятность получения прибыли при работе обеих фирм
Р(С 1) = 0.16 0.982 = 0.1571 - вероятность банкротства первой фирмы
Р(С 2) = 0.84 0.018 = 0.0151 - вероятность банкротства второй фирмы
Р(С 3) = 0.16 0.018 = 0.0029 - вероятность банкротства обеих фирм
Р(С 4) = 0.84 0.982 = 0.8223 - вероятность работы двух фирм
Тогда по формуле полной вероятности получим:
P(A) = P C1 (A) P(C 1)+ P C2 (A) P(C 2)+ P C3 (A) P(C 3)+ P C4 (A) P(C 4) =
0.85 0.1571+0.88 0.0151+0 0.0029+1 0.8223 = 0.1335+0.0133+0+0.8223 = 0,9691
Задача № 7 (1).
Условие:
Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0.04. Какова вероятность того, что среди купленных 15 билетов окажется 3 выигрышных?
Решение:
Требуется найти вероятность n=3 успехов из N=15 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р=0.04. По формуле Бернулли эта вероятность равна:
P 15 (3) = = 0.04 3 0.96 12 =455 0.000064 0.613=0.018
Задача № 8 (6).
Условие:
Вероятность банкротства одной из 9 фирм к концу года равна 0.24. Какова вероятность того, что к концу года обанкротится не более 3 фирм?
Р (n<3) = p (n=0 или n=1 или n=2 или n=3) = P 9 (0)+P 9 (1)+P 9 (2)+P 9 (3) =
1 0.0846+ 0.24 0.1113+ 0.0576 0.1465+ 0.138 0.01927 =
0.0846+0.2404+0.2363+0.2234 = 0.7847
Задача № 9 (1).
Условие:
Текущая цена ценной бумаги представляет собой нормально распределенную величину Х со средним =55 и дисперсией D X =4. Найти вероятность того, что цена актива будет находиться в пределах от Х 1 =53 до Х 2 =57 ден. единиц.
Решение:
Так как М(Х) ? =55, ? = = 2, то
P (53 Задача
№
1
0 (7).
Условие:
Суммарная выручка 10 фирм в среднем равна S=11000. В 80% случаев эта выручка отклоняется от средней не более чем на?S = 500. Найти вероятность того, что очередная месячная выручка находится в интервале между 1000 и 10000. Решение:
По условию задачи =P (10500 2=0.8, =0.4 то по таблице значений функции Ф(х) находим =1.28, ? = =390,625 P (1000 Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака. контрольная работа , добавлен 13.01.2014 Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли. контрольная работа , добавлен 18.09.2010 Классическое определение вероятности события. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Построение многоугольника распределения. Поиск случайных величин с заданной плотностью распределения. Решение задач, связанных с темой вероятности. задача , добавлен 14.01.2011 Применение классического определения вероятности для нахождения среди определенного количества деталей заданных комбинаций. Определение вероятности обращения пассажира в первую кассу. Использование локальной теоремы Муавра-Лапласа для оценки отклонения. контрольная работа , добавлен 23.11.2014 Возникновение теории вероятности как науки. Классическое определение вероятности. Частость наступления события. Операции над событиями. Сложение и умножение вероятности. Схема повторных независимых испытаний (система Бернулли). Формула полной вероятности. реферат , добавлен 22.12.2013 Общее понятие и характеристика простейшего пространства элементарных исходов. Способы вычисления вероятности события. Классическая вероятностная модель, ее главные свойства и доказательства. Основные аксиомы теории вероятности, примеры решения задач. реферат , добавлен 24.04.2009 Способы вычисления наступления некоторого события. Решение задач, связанных с теорией вероятности. Использование таблицы функции Лапласа для определения теоретических частот нормального закона распределения. Определение исправленной выборочной дисперсии. контрольная работа , добавлен 14.03.2015 Характеристика полной группы событий как совокупность всех возможных результатов опыта. Способы определения вероятности событий в задачах разного направления. Нахождение вероятности количества нестандартных деталей. Построение функции распределения. задача , добавлен 19.03.2011 Изучение сути и выдвижение предположения о законе распределения вероятности экспериментальных данных. Понятие и оценка асимметрии. Принятие решения о виде закона распределения вероятности результата. Переход от случайного значения к неслучайной величине. курсовая работа , добавлен 27.04.2013 Определение и оценка вероятности наступления заданного события. Методика решения задачи, с использованием теоремы сложения и умножения, формулы полной вероятности или Байеса. Применение схемы Бернулли при решении задач. Расчет квадратического отклонения. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение. Этот пример позволит вам на практике рассчитать показатели, которые мы можем ожидать от инвестиционного портфеля. Даны два вида акций и три состояния экономики: Рассчитайте стандартное отклонение и ожидаемую доходность для каждого типа акций. Риск портфеля и доходность. Вернемся к примеру 11.1 и предположим, что всего вы имеете $20000. Если вы вложите $6000 в акции A
, а остальное в B
, какими будут ожидаемая доходность и стандартное отклонение вашего портфеля? Риск и доходность. Предположим, что вы рассматриваете следующую ситуацию: Если ставка, свободная от риска, составляет 8%, правильно ли оценены данные ценные бумаги? Какой должна была бы быть ставка, свободная от риска, если ценные бумаги оценить правильно? CAPM
. Предположим, что ставка, свободная от риска, составляет 8%. Ожидаемая доходность на рынке составляет 14%. Если конкретный вид актива имеет (3 = 0,6, то какова ожидаемая доходность этого актива, основываясь на CAPM
? Если другой актив имеет ожидаемую доходность 20%, то какой должен быть (3 коэффициент? Ответы
Ожидаемые доходности рассчитываются как произведение возможных доходностей на их вероятности: E(R A
) = 0,1 х (-0,2) + 0,6 х (0,1) + 0,3 х (0,7) = 25% E(RB) = 0,1 х (0,3) + 0,6 х (0,2) + 0,3 х (0,5) = 30% Непостоянство рассчитывается как сумма произведений квадратов отклонения ожидаемых доходностей на их вероятности: Од = 0,1 х (-0,2 - 0,25)2 + 0,6 х (0,1 - 0,25)2 + 0,3 х (0,7 - 0,25)2 = = 0,1 х (-0,45)2 + 0,6 х (-0,15)2 + 0,3 х (0,45)2 = = 0,1 х 0,2025 + 0,6 х 0,0225 + 0,3 х 0,2025 = 0,0945 а2, = 0,1 х (0,3 - 0,3)2 + 0,6 х (0,2 - 0,3)2 + 0,3 х (0,5 - 0,3)2 = 0,1 х (0,0)2 + 0,6 х (-0,1)2 + 0,3 х (0,2)2 = 0,1 х 0,0 + 0,6 х 0,01 + 0,3 х 0,04 = 0,0180 Стандартные отклонения равны: аА = УО,0945 =30,74% aB = VO,0180 = 13,42% Вес каждого типа акций в портфеле составляет: $6000/20000 = 0,3 и $14000/20000 = 0,7. Тогда ожидаемая доходность портфеля составит: Щ/У = 0,3 х E(RA) + 0,7 х E(RB) = 0,3 х 25% + 0,7 х 30% = 28,50% Тогда доходность портфеля составляет E(R p
) = 0,1 х (0,15) + 0,6 х (0,17) - 0 3 х (0,56) = 28,50%. Это тот же самый результат, что мы получили ранее. Рассчитаем непостоянство портфеля Ор = 0,1 х (0,15 - 0,285)2 + 0,6 х (0,17 - 0,285)2 + 0,3 х (0,56 - 0,285)2 = 0,03245 Тогда стандартное отклонение есть корень квадратный из 0,03245 и равно 18,01% Если мы рассчитаем коэффициент награды за риск для ценных бумаг каждой компании, мы в результате получим (19% - 8%)/1,6 = 6,875% для Cooley и 6,67% для Моуег По отношению к Cooley ожидаемая доходность Моуег слишком низкая, поэтому ее цены слишком высокие Если ценные бумаги обеих компаний оценены правильно, то они должны предлагать одинаковый коэффициент награды за риск Таким образом, мы можем составить уравнение (19% - Rj)/],6 = (16% - Rf)/l,2 Произведя небольшие алгебраические преобразования, мы получим /?у= 7% (19% - Rf) = (16% - ЯД 1,6/1 ,2) 19% - 16% х (4/3) = Rf - Rf x (4/3) йу=7% Так как рыночная ожидаемая доходность составляет 14%, то рыночная премия риска соответственно (14% - 8%) = 6% (ставка, свободная от риска, равна 8%) Первый вид ценных бумаг имеет Р = 0,6, значит ожидаемая доходность составляет 8% + 0,6x6%= 11,6% Для второго вида премия риска составляет 20% - 8% = 12% Так как это ровно в два раза превышает рыночную премию риска, то и р коэффициент должен быть точно равен 2 Мы можем проверить это используя теорию CAPM
20% = 8% + х р Р, = 12%/6% = 2,0 Вопросы и задачи
Ожидаемые доходности портфеля. Если портфель имеет положительные инвестиции в каждый вид актива, может ли ожидаемая доходность такого портфеля быть больше, чем доходность каждого актива в этом портфеле? Меньше? Если у вас положительный ответ на один или оба вопроса, пожалуйста приведите пример, чтобы аргументировать ваше решение. Непостоянство индивидуального актива и диверсификация. Правда или нет: наиболее важной характеристикой при определении ожидаемой доходности хорошо диверсифицированного портфеля являются непостоянства индивидуальных активов портфеля. Объясните. Риск портфеля. Если портфель имеет положительные инвестиции в каждый вид актива, может ли стандартное отклонение такого портфеля быть меньше, чем стандартное отклонение каждого актива в этом портфеле? Что вы можете сказать о b такого портфеля? Доходности портфеля. Используя информацию предыдущей главы об истории рынка ценных бумаг, определите, какой была доходность портфеля, который былодинаково распределен между обыкновенными акциями и долгосрочными правительственными облигациями? Который одинаково распределен между малыми акциями и векселями Казначейства? CAPM
. Используя CAPM
, докажите, что коэффициент премии риска двух активов равен их коэффициентам р. Доходности портфеля и отклонения. Имея следующую информацию о портфеле, состоящем из трех видов ценных бумаг, определите: Если вы инвестировали по 30% в A
и B
, 40% в C
, какой будет ожидаемая доходность портфеля? Непостоянство? Стандартное отклонение? Если ожидаемый уровень доходности T-bill
составляет 5,25%, то какой будет премия риска портфеля? Если ожидаемый уровень инфляции составляет 5%, то какова реальная ожидаемая доходность портфеля? Какова реальная премия риска портфеля? Анализ портфеля. Вы хотите создать портфель с таким же уровнем риска, что и фондовый рынок в целом. У вас есть $200000. Имея нижеприведенную информацию, заполните недостающие позиции: Анализ портфеля. Вы имеете $100000 для инвестиций либо в ценные бумаги типа D
, либо в F, либо в актив, свободный от риска. Вы должны вложить все ваши деньги. Ваша цель – создание портфеля с ожидаемой доходностью 10% и только с 60% риска, по сравнению с остальным рынком. Если D
имеет ожидаемую доходность 20% и Р = 1,50, F имеет ожидаемую доходность 15% и Р = 1,15, ставка, свободная от риска составляет 5%, то сколько денег вы вложите в F? Систематический риск против несистематического. Вы имеете следующую информацию: Рыночная премия риска составляет 8% и ставка, свободная от риска, равна 6%. Какой вид ценных бумаг имеет наибольший систематический риск? Какой вид имеет наибольший несистематический риск? Какой вид ценных бумаг наиболее рискованный? Объясните. Вопросы повышенной сложности
Коэффициенты b. Может ли рискованный актив иметь b = 0? Объясните. Используя модель CAPM
, какой будет ожидаемая доходность такого актива? Может ли рискованный актив иметь отрицательный b коэффициент? Что предсказывает CAPM
об уровне ожидаемой доходности для такого актива? Можете ли вы пояснить свой ответ? Линия состояния фондового рынка (SML
). Предположим, что вы рассматриваете следующую ситуацию: Допустим, что эти ценные бумаги правильно оценены. Основываясь на CAPM
, определите, какой будет ожидаемая рыночная доходность? Какова ставка, свободная от риска? Экзамен CFA
– экзамен на получение сертификата финансового аналитика, который выдается специалистам в области инвестиций в США. Часто мы начинаем анализ вероятностей, имея предварительные,
априорные значения вероятностей интересующих нас событий. Затем из источников
информации, таких как выборка, отчет, опыт и т. д., мы получаем дополнительную
информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем
уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей
для тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными (послеопытными)
вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких
вероятностей. а также известны и условные вероятности события А: Так как заранее неизвестно, с каким из событий Нi произойдет
событие А, то события Нi, называют гипотезами. Необходимо определить вероятность события А и переоценить
вероятности событий Нi с учетом полной информации о событии А. Вероятность события А определяется как Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие
А может наступить только вместе с одним из событий Н1,Н2 ,Н3, ..., Нn,
образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность
события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2, ...,
Нn на соответствующую условную вероятность события А. Это - формулы Байеса (по имени английского математика
Т.Байеса, опубликовавшего их в 1764 г.), выражение в знаменателе - формула полной вероятности. Пример 1. Предприятие, производящее компьютеры, получает
одинаковые ЧИПы от 2 поставщиков. 1-й поставляет 65% ЧИПов, 2-й - 35%.
Известно, что качество поставляемых ЧИПов разное. На основании предыдущих
данных о рейтингах качества составлена табл. 3.1. Таблица 3.1 Поставщик % качественной продукции 1-й поставщик 2-й поставщик Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров.
Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с
неисправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для
ремонта компьютер укомплектован ЧИПом: а) от 1-го поставщика; б) от 2-го поставщика. Решение задач с использованием формул полной вероятности и
Байеса удобнее оформлять в виде табл. 3.2. Таблица 3.2 Шаг 1. В колонке 1 перечисляем события, которые задают
априорную информацию в контексте решаемой проблемы: Соб. Н1 - ЧИП от 1-го
поставщика; Соб. Н2 - ЧИП от 2-го поставщика. Это - гипотезы и они образуют
полную группу независимых и несовместных событий. В колонке 2 записываем вероятности этих событий: Р(Н1) = 0,65, Р(Н2) = 0,35. В колонке 3 определим условные вероятности события А - «ЧИП
бракованный» для каждой из гипотез. Шаг 2. В колонке 4 находим вероятности для событий «ЧИП от
1-го поставщика и он бракованный» и «ЧИП от 2-го поставщика и он бракованный». Они
определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений
колонок 2 и 3. Поскольку сформулированные события являются результатом пересечения двух событий А
и Нi, то их вероятности называют совместными: Р(Нi ∩ А) = Р(Нi)Р(А/Нi). Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы
найти вероятность события А. В нашем примере 0,0130 - вероятность поставки некачественного ЧИПа
от 1-го поставщика, 0,0175 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от 2-го
поставщика. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от 2
поставщиков, то сумма вероятностей 0,0130 и 0,0175 показывает, что 0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке,
определяемая с помощью формулы (3.1) Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности,
используя формулу (3.2): Заметим, что совместные вероятности находятся в строках
колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4 (табл. 3.3). Таблица 3.3 Гипотезы Вероятности априорные Условные Совместные апостериорные ЧИП от 1-го поставщика ЧИП от 2-го поставщика Пример 2. Экономист полагает, что вероятность роста
стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, если
экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0,30, если
экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность
экономического подъема в новом году равна 0,80. Используя предположения
экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в
следующем году. Решение. Определим события: А - «Акции компании поднимутся в цене в будущем году».
Событие А может произойти только вместе с одной из гипотез: Н1 - «Экономика
страны будет на подъеме»; Н2 - «Экономика страны не будет успешно развиваться». По условию известны вероятности гипотез: Р(Н1) = 0,80; Р(Н2) = 0,20 и условные вероятности события А: Р(А/Н1)= 0,75; Р(А/Н2)= 0,30. Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна
1. Рассмотрим событие А - это или Н1А, или Н2А. События Н1А и Н2А -
несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 - несовместны. События Н1 и А, Н2 и А - зависимые. Вышеизложенное
позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2) = == 0,80 · 0,75 + 0,20 ·
0,30 = 0,66. Решение оформим в виде табл. 3.4. Таблица 3.4 Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в
следующем году, составляет 0,66. Ответ. 0,66. Пример 3. Экономист полагает, что в течение периода активного
экономического роста американ- ский доллар будет расти в цене с вероятностью
0,70, в период умеренного экономического роста он по- дорожает с вероятностью
0,40 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероят-
ностью 0,20. В течение любого периода времени вероятность активного
экономического роста - 0,30; умеренного экономического роста - 0,50 и низкого
роста - 0,20. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему
равна вероятность того, что анализируемый период совпал с пери- одом активного
экономического роста? Решение. Определим события: А - «Доллар дорожает». Оно может произойти только вместе с
одной из гипотез: Н1 - «Активный экономический рост»; Н2 - «Умеренный экономический рост»; Н3 - «Низкий экономический рост». По условию известны
доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А: Р(Н1) = 0,30, Р(Н2) = 0,50, Р(Н3) = 0,20, Р(А/Н1) = 0,70,
Р(А/Н2) = 0,40, Р(А/Н3) = 0,20. Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна
1. Событие А - это или Н1А, или Н2А, или Н3А. События Н1А, Н2А. и Н3А. -
несовместные попарно, так как события Н1, Н2 и Н3 - несовместны. События Н1 и
А, Н2 и А, Н3 и А - зависимые. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную)
вероятность первой гипотезы, т. е. необходимо найти вероятность активного экономического роста,
при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), т. е. Р(Н1/А). Используя формулу Байеса (3.2) и подставляя заданные
значения вероятностей, имеем Мы можем получить тот же результат с помощью табл. 3.5. Вероятность активного экономического роста, при условии, что
доллар дорожает, составляет 0,467. Таблица 3.5 Для более наглядного восприятия решения нашей задачи мы
можем также построить дерево ре- Пример 4. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых
шара. Из 1-й урны во 2-ю наудачу переложен один шар. а) Найти вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны
после перекладывания, окажется черным. б) Предположим, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания,
оказался черным. Какова тогда вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был
переложен белый шар? Решение. Определим события: А - «Шар, извлеченный из 2-й урны, черный». Оно может
произойти только вместе с одной из ги- Н1 - «Из 1-й урны во 2-ю урну переложили черный шар» и Н2 -
«Из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар». Используя классическое определение вероятности, найдем
вероятности гипотез Р(Н1) = 6/10; Р(Н2) = 4/10 и условные вероятности события А. После перекладывания во 2-й урне окажется 11 шаров. Если из
1-й урны во 2-ю переложили черный шар, то во 2-й урне окажется 7 черных и 4
белых шаров, тогда Р(А/Н1) = 7/11. Если из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар, то во 2-й урне
окажется 6 черных и 5 белых шаров, Р(А/Н2) = 6/11. Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна
1. Рассмотрим событие А - это или Н1А, или Н2А. События Н1А и Н2А -
несовместные попарно, так как события Н1 и Н2 - несовместны. События Н1 и А, Н2
и А - зависимые. 1. Вышеизложенное позволяет применить для определения
вероятности события А и ответа на 1-й вопрос формулу полной вероятности (3.1) Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2)= = 6/10 · 7/11 + 4/10 ·
6/11 = 0,6. Это же решение можно оформить в виде табл. 3.6. Таблица 3.6 Гипотезы Нi Р(Нi)Р(А/Нi) Н1- «из 1-й урны во 2-ю переложили черный шар» Н2- «из 1-й урны во 2-ю переложили белый шар» Вероятность того, что шар, извлеченный из 2-й урны
после перекладывания, окажется черным, составляет 0,6. 2. Во 2-й части задачи предполагается, что событие А уже
произошло, т. е. шар, извлеченный из 2-й урны, оказался черным. Требуется найти
уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность 2-й гипотезы, т. е.
необходимо определить вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был переложен
белый шар при условии, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания,
оказался черным: Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой
Байеса (3.2) Мы можем получить тот же результат с помощью табл. 3.7. Таблица 3.7 Вероятность того, что из 1-й урны во 2-ю был
переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из 2-й урны после перекладывания, оказался
черным, составляет 0,3636. Ответ. а) 0,6; б) 0,3636. Задачи к теме 3 1. Директор компании имеет 2 списка с фамилиями
претендентов на работу. В 1-м списке - фамилии 6 женщин и 3 мужчин. Во 2-м
списке оказались 4 женщины и 7 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно
переносится из 1-го списка во 2-й. Затем фамилия одного из претендентов
случайно выбирается из 2-го списка. Если предположить, что эта фамилия
принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из 1-го списка была
перенесена фамилия женщины? 2. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под
застройку. Он полагает, что участок будет продан в течение ближайших 6 месяцев
с вероятностью 0,9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться.
Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок
составит 0,5. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью,
равной 0,7, экономическая ситуация в регионе в течение следующих 6 месяцев
будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение
ближайших 6 месяцев? 3. Судоходная компания организует средиземноморские круизы в
течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. Поскольку в этом
виде бизнеса очень высокая конкуренция, то важно, чтобы все каюты
зафрахтованного под круизы корабля были полностью заняты туристами, тогда компания получит прибыль. Эксперт по туризму, нанятый
компанией, предсказывает, что вероятность того, что корабль будет полон
в течение сезона, будет равна 0,92, если доллар не подорожает по
отношению к рублю, и с вероятностью - 0,75, если доллар подорожает. По оценкам
экономистов, вероятность того, что в течение сезона доллар подорожает по
отношению к рублю, равна 0,23. Чему равна вероятность того, что билеты на все круизы
будут проданы? 4. В корпорации обсуждается маркетинг нового продукта,
выпускаемого на рынок. Исполнительный директор корпорации желал бы, чтобы новый
товар превосходил по своим характеристикам соответствующие товары конкурирующих
фирм. Основываясь на предварительных оценках экспертов, он определяет
вероятность того, что новый товар более высокого качества по сравнению с
аналогичными в 0,5, такого же качества - в 0,3, хуже по качеству - в 0,2. Опрос
рынка показал, что новый товар конкурентоспособен. Из предыдущего опыта
проведения опросов следует, что если товар действительно конкурентоспособный,
то предсказание такого же вывода имеет вероятность, равную 0,7. Если товар
такой же, как и аналогичные, то вероятность того, что опрос укажет на его
превосходство, равна 0,4. И если товар более низкого качества, то вероятность
того, что опрос укажет на его конкурентоспособность, равна 0,2. С учетом
результата опроса оцените вероятность того, что товар действительно более
высокого качества и, следовательно, обладает более высокой конкурентоспособностью,
чем аналогичные. 5. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее
время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают
в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила
предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы
сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные - с вероятностью 99%. Какова
вероятность того, что рост спроса действительно произойдет? 6. Исследователь рынка заинтересован в проведении интервью с
супружескими парами для выяснения их предпочтений к некоторым видам товаров. Он
приходит по выбранному адресу, попадает в трехквартирный дом и по надписям на
почтовых ящиках выясняет, что в 1-й квартире живут 2 мужчин, во 2-й - супружеская
пара, в 3-й - 2 женщины. Когда исследователь поднимается по лестнице, то
выясняется, что на дверях квартир нет никаких указателей. Исследователь звонит
в случайно выбранную дверь и на его звонок выходит женщина. Предположим, что
если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут 2 мужчин, то к двери мог
подойти только мужчина; если бы он позвонил в дверь квартиры, где живут только
женщины, то к двери подошла бы только женщина; если бы он позвонил в дверь
супружеской пары, то мужчина или женщина имели бы равные шансы подойти к двери.
Имея эту информацию, оцените вероятность того, что исследователь выбрал нужную
ему дверь. 7. Среди студентов института - 30% первокурсники, 35%
студентов учатся на 2-м курсе, на 3-м и 4- м курсе их 20% и 15% соответственно.
По данным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию
только на отличные оценки, на 2-м - 30%, на 3-м - 35%, на 4-м - 40% отличников.
Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что
он (или она) - третьекурсник? 8. Отдел менеджмента одного из супермаркетов разрабатывает
новую кредитную политику с целью снижения числа тех покупателей, которые,
получая кредит, не выполняют своих платежных обязательств. Менеджер по кредитам
предлагает в будущем отказывать в кредитной поддержке тем покупателям, которые
на 2 недели и более задерживают очередной взнос, тем более что примерно 90%
таких покупателей задерживают платежи, по крайней мере, на 2 месяца. Дополнительные исследования показали, что 2% всех покупателей
товаров в кредит не только задерживают очередной взнос, но и вообще не
выполняют своих обязательств, а 45% тех, кто уже имеют 2-месячную задолженность
по кредиту, уплатил очередной взнос в данный момент. Учитывая все это, найти
вероятность того, что покупатель, имеющий 2-месячную задолженность, в
действительности не выполнит своих платежных обязательств по кредиту.
Проанализировав полученные вероятности, критически оцените новую кредитную
политику, разработанную отделом менеджмента. 9. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% -
местные, 30% - по СНГ и 10% - международные. Среди пассажиров местных авиалиний 50%
путешествуют по делам, связанным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров
60%, на международных - 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно
выбирается 1. Чему равна вероятность того, что он: а) бизнесмен; б) прибыл из
стран СНГ по делам бизнеса; в) прилетел местным рейсом по делам
бизнеса; г) прибывший международным рейсом бизнесмен? 10. Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для
определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения
скважины. Исходя из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики
считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем
этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень
надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее
наличие в 85% случаев; если нефти нет, то в 10% случаев тест может ошибочно
указать на это. Сейсмический тест указал на присутствие нефти. Чему равна
вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют реально? 11. Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт
на поставку сельскохозяйственного оборудования в одну из развивающихся
стран. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно
претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта
оценивается в 0,45; в противном случае - в 0,25. По оценкам экспертов компании
вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению
контракта, равна 0,40. Чему равна вероятность заключения контракта? 12. Транснациональная компания обсуждает возможности
инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией.
Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в
частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается
вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в
терминах годового дохода от субсидий в течение 1-го года работы) в 0,55, если
преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; в 0,30, если
политическая ситуация будет нейтральной; в 0,10, если политическая ситуация
в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также
полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной
политических ситуаций соответственно равны: 0,60, 0,20 и 0,20. Чему равна
вероятность успеха инвестиций? 13. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую
ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для
данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического
состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда
ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,10, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент
индекс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что экономика страны на
подъеме? 14. При слиянии акционерного капитала 2 фирм аналитики
фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех
с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой
фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна
0,30. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет
0,70. Чему равна вероятность успеха сделки? 15. На химическом заводе установлена система аварийной
сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с
вероятностью 0,950. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной
ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна
0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность
реальной аварийной ситуации? 16. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в
период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса -
0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического
роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент
банка не вернет полученный кредит? 17. Перед тем, как начать маркетинг нового товара по всей
стране, компании-производители часто проверяют спрос на него по отзывам случайно выбранных
потенциальных покупателей. Методы проведения выборочных процедур уже проверены
и имеют определенную степень надежности. Для определенного товара известно, что
вероятность его возможного успеха на рынке составит 0,75, если товар
действительно удачный, и 0,15, если он неудачен. Из прошлого опыта известно, что
новый товар может иметь успех на рынке с вероятностью 0,60. Если новый товар
прошел выборочную проверку, и ее результаты указали на возможный его успех, то
чему равна вероятность того, что это действительно так? 18. 2 автомата производят одинаковые детали, которые
поступают на общий конвейер. Производительность 1-го автомата вдвое больше
производительности 2-го. 1-й автомат производит в среднем 60% деталей отличного
качества, а 2-й - 84% деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера
деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь
изготовлена: а) 1-м автоматом; б) 2-м автоматом. 19. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и
женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты
исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на изучаемый круг
ситуаций, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5
мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым
ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна
вероятность того, что ее заполнял мужчина? 20. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться
спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт,
равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии
на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая
фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода,
равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех? Несмотря на впечатляющий рост
котировок - на 35% с начала октября и на 80% с начала года, обыкновенные акции Сбербанка имеют еще потенциал роста, считают опрошенные "ДП" аналитики. Среди других привлекательных бумаг финансового сектора они называют привилегированные акции и бумаги . По их словам, фундаментальные факторы пока говорят в пользу покупки бумаг российских банков. Консенсус–прогноз оставляет некоторым из них потенциал роста до 50%. По итогам торгов во
вторник, 8 декабря, на обыкновенные акции Сбербанка стоили 97 рублей, привилегированные - 71 рубль за штуку. За день бумаги потеряли в цене 6 и 4,22% соответственно. После достижения максимума на уровне 110,7 рубля 24 ноября обыкновенные акции Сбербанка за 2 недели подешевели на 12%. В начале недели глава
РФ сообщил о том, что Россия в одностороннем порядке отказывается от развития экономических проектов с Турцией. Во вторник, 8 декабря, премьер–министр Турции Ахмет Давутоглу рассказал о том, что правительство его страны всерьез обсуждает введение санкций против России. Между тем Сбербанку в Турции принадлежит 99,85% акций DenizBank. Участники рынка, видимо, считают слабой вероятность введения санкций Турцией. Во всяком случае снижение цены банковской "голубой фишки" было недолгим. К концу недели цена обыкновенных акций компании снова прошла отметку 100 рублей наверх. В последние недели покупателей
радовали как корпоративные новости банка, так и слухи вокруг него. По итогам 9 месяцев
2015 года по МСФО Сбербанк показал снижение чистой прибыли до 65,1 млрд рублей, то есть на 8,2% по сравнению с аналогичным периодом прошлого года. Однако в III квартале 2015 года увеличился портфель ипотечных кредитов, улучшилась операционная эффективность бизнеса. Международное рейтинговое агентство на прошлой неделе повысило прогноз рейтинга Сбербанка с "негативного" на "стабильный". Кроме того, в октябре
наблюдательный совет банка одобрил новые правила расчета бонусов для топ–менеджеров. Выплаты 19 руководителям Сбербанка будут зависеть от роста курсовой стоимости его акций, а не от размера прибыли, как было раньше. Переменная часть компенсации администрации будет на 40% привязана к рыночной цене акций банка, а ее выплата отложена на 3 года. Участники рынка также приветствуют
возможную приватизацию части акций банка. О возможности такой сделки заявлял в конце ноября глава Сбербанка . По его мнению, государству достаточно было бы оставить себе пакет 25% акций Сбербанка вместо контрольного. Очевидно, что такой шаг будет воспринят участниками рынка позитивно, но, по оценкам экспертов, в ближайшее время государство на такую сделку не пойдет. "Обычно частные компании развиваются
лучше государственных. Но сейчас, на мой взгляд, не подходящий момент для подобных решений - правительство не сможет получить хорошую цену за свой пакет акций Сбербанка", - полагает Богдан Зварич, аналитик ИК "Финам". Аналитики Citybank по итогам
отчетности Сбербанка по МСФО за 9 месяцев 2015 года и комментариев менеджмента повысили свои прогнозы относительно рентабельности банка и пересмотрели справедливую оценку стоимости его обыкновенных акций до 130 рублей. "В III квартале темпы спада ВВП России замедлились до 0,3% относительно предыдущего квартала. Наши экономисты ожидают, что в IV квартале российская экономика достигнет дна и вырастет на 0,5% в 2016 году", - говорится в отчете экспертов City. По их мнению, рост экономики поспособствует восстановлению выручки банков в следующем году. Другие участники рынка более
сдержанны в оценках. "Сильные позиции Сбербанка на
локальном рынке и успешный опыт работы нивелируются страновыми и геополитическими рисками", - считает Ольга Найденова, аналитик ФГ БКС. Она оценивает целевой уровень обыкновенной акции Сбербанка в 120 рублей. Аналитики Barclays Capital и
вовсе останавливают прогноз на 103 рублях за одну голосующую бумагу, отмечая, что восстановление экономики, а вместе с ней и позиций Сбербанка будет идти плавно и займет существенный период времени. Отдельно стоит упомянуть неголосующие
акции Сбербанка, эксперты дают им ориентиры для роста от 91 до 120 рубля за бумагу. Менеджмент банка заявил о том, что рассматривает возможность вернуться к своей практике выплат 20% чистой прибыли по итогам года в виде дивидендов. Напомним, что по итогам 2014 года банк поделился лишь 3,5% от своей чистой прибыли с акционерами. Герман Греф в начале октября предположил, что чистая прибыль банка по итогам 2015 года снизится примерно на 30%, то есть ее размер по РСБУ может составить около 214 млрд рублей. Кроме Сбербанка в финансовом
секторе аналитики ведущих инвестиционных домов называют потенциально выгодными акции ПАО "Банк Санкт–Петербург". По итогам торгов 9 декабря акция этого эмитента на Московской бирже стоила 41,7 рубля. Между тем ее справедливую стоимость эксперты оценивают гораздо выше. Например, аналитик Дэвид Нагл из ООО "КБ "Ренессанс Капитал" называет целевым уровень по бумагам банка 73 рубля за штуку. "В отличие от многих
конкурентов, банк "Санкт–Петербург" закончит год с положительным результатом по прибыли, а в следующем способен увеличить ее в 1,5 раза", - считает Анна Устинова. Долгосрочной целью котировок акций банка она называет 52–54 рубля. Сбербанку с 2012 года принадлежит 99,85% акций турецкого банка DenizBank. Это крупнейшее приобретение за 172–летнюю историю российского банка. DenizBank входит в десятку крупнейших частных банков в Турции, функционирует на территории всей страны, управляя более чем 600 отделениями. В 2015 году DenizBank заработал для Сбербанка почти 18 млрд рублей. Доля DenizBank в чистой прибыли российского банка за 9 месяцев 2015 года составила более 12%. Решение.
Пусть событие состоит в том, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов стандартная. Это событие происходит совместно с одной из гипотез Гипотезы образуют полную группу событий, сумма их вероятностей равна 1. Условные вероятности интересующего нас события равны: Искомую вероятность события найдем по формуле полной вероятности, которая в нашем случае запишется так: Получаем окончательно Задача 2.
Наборщик типографии использует 2 набора шрифтов одинакового объема, при этом в 1-м из них 80%, а во 2 – 70% высококачественного шрифта. Наудачу извлеченная литера из наудачу взятого набора оказалась высококачественной. Найти вероятность того, что эта литера взята из 2-го набора. Решение.
Событие – наудачу взятая литера высококачественная. Как и в предыдущей задаче, оно происходит совместно с одной из гипотез По условию Где В данном случае А 3.1.
Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке № 1, 10 изготовлено на станке № 2, остальные – на станке № 3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке № 1 равна 0,96, на станке № 2 – 0,98. Найти вероятность изготовления стандартной детали на станке № 3, если вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,98. А 3.2.
На сборку поступают детали с 4 автоматов. Второй дает 40%, А 3.3.
Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,6; А 3.4.
Три партии деталей содержат соответственно по 1/2, 2/3 и 1/2 бракованных. Из каждой партии взято по 1 детали, причем А 3.5.
Из партии в 4 детали наудачу взята одна, оказавшаяся А 3.6.
Число бракованных среди 6 изделий заранее неизвестно и все предположения о количестве бракованных изделий равновероятны. Взятое наудачу изделие оказалось бракованным. Найти А 3.7.
В 2-х ящиках содержатся по 20 деталей, из которых в 1-м ящике – 12, а во 2-м – 15 стандартных. Из 1-го ящика перекладывается во 2-й одна деталь. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из 2-го ящика будет стандартной. А 3.8.
В магазин поступили электролампы, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены 1-м заводом, а остальные – 2-м. Известно, что 3% ламп 1-го завода и 5% ламп 2-го завода не удовлетворяют стандарту. Какова вероятность, что взятая наудачу лампа будет стандартной? А 3.9.
Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,9; А 3.10.
Через остановку возле вокзала проходят автобусы маршрутов № 2, № 3, № 10 и № 29. Пассажир ждет автобус № 2 или № 10. Среди 50 курсирующих автобусов имеется 6 автобусов № 2 и 9 – № 10. Найти вероятность того, что 1-й, подошедший к остановке автобус будет нужного пассажиру маршрута, если появление на остановке любого автобуса предполагается равновероятным. А 3.11.
Имеется 2 ящика изделий, причем в 1 ящике все А 3.12.
Из контейнера, содержащего одинаковое количество А 3.13.
В 2 ящиках содержится по 20 деталей, из которых в А 3.14.
Известно, что 5% всех мужчин и 25% всех женщин – дальтоники. На обследование прибыло одинаковое число мужчин и женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником. А 3.15.
Из 18 стрелков 5 попадают в мишень c вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6; 2 – c вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок? А 3.16.
Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандартам. Упрощенная схема контроля признает пригодной А 3.17.
Прибор может собираться из высококачественных А 3.18.
Вероятности того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в А 3.19.
Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, 2 знают 20 билетов из 30, 1 успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного на подготовку времени экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при А 3.20.
В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 5 отличников, 12 подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 30 вопросов программы, хорошо подготовленные – 25, подготовленные удовлетворительно – 15, плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятности событий: а) студент подготовлен отлично или хорошо; б) студент подготовлен удовлетворительно; в) студент подготовлен плохо. А 3.21.
В продажу поступают телевизоры 3 видов. Продукция А 3.22.
При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему 4-ю группу крови, можно переливать кровь любой группы; человеку со 2-й или 3-й группой крови можно перелить кровь либо той же группы, либо 1-й; А 3.23.
В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекают еще 2 мяча. Какова вероятность того, что 2-я игра будет проводиться новыми мячами? А 3.24.
Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, причем 70% всех кинескопов предназначены для цветных телевизоров и 30% – для черно-белых. Известно, что 50% всей продукции отправляется на экспорт, причем из общего числа кинескопов, предназначенных для цветных телевизоров, 40% отправляется на экспорт. Найти вероятность того, что наудачу взятый для контроля кинескоп, предназначенный для черно-белого телевизора, будет отправлен на экспорт. А 3.25.
Имеется 25 партий однотипных изделий: 10 партий по 10 изделий, из которых 8 стандартных, 2 – нестандартных; 5 партий по 8 изделий, из них 6 стандартных, 2 – нестандартных; 5 партий по 8 изделий, из них 6 стандартных, 2 – нестандартных; 5 партий по 5 изделий, из которых 4 стандартных, 1 нестандартно. Из наудачу выбранной партии изымается одна деталь. Какова вероятность того, что она нестандартна? А 3.26.
Три машинистки перепечатывали рукопись. 1-я напечатала 1/3 всей рукописи, 2-я – 1/4, остальное – 3-я. Вероятность того, что 1-я машинистка сделает ошибку, равна 0,15, 2-я – 0,1, 3-я – 0,1. При проверке была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошибка допущена 1-й машинисткой. А 3.27.
Вероятность изготовления детали с дефектом равна 0,05. Вероятность обнаружения дефекта равна 0,95, а вероятность того, что годная деталь будет забракована, равна 0,02. Найти вероятность того, что: а) деталь будет принята; б) принятая деталь окажется с дефектом; в) непринятая деталь не будет иметь дефекта. А 3.28.
Априорно установлено, что число дефектных деталей не превышает 3 на 100 и все значения (0, 1, 2, 3) числа дефектных А 3.29.
Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае шанс сдать экзамен выше: когда он подходит тянуть билет первым или не первым? А 3.30.
В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается 1 белый шар, и после тщательного перемешивания наудачу извлекается 1 шар. А 3.31.
Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в отношении 2:5:8, причем вероятности брака для этих заводов А 3.32.
Семьдесят процентов кинескопов, имеющихся на складе телеателье, изготовлены заводом №1, остальные – заводом №2. Вероятность того, что кинескоп завода №1 выдержит гарантийный срок службы, равна 0,9, для завода № 2 эта вероятность равна 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок службы. А 3.33.
В двух ящиках содержится по 20 деталей, из которых в первом ящике – 16, а во втором – 10 стандартных. Из первого ящика извлекается и перекладывается во второй одна деталь. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика будет стандартной? А 3.34.
Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке № 1, 10 – на станке № 2, а остальные – на станке № 3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке № 1 равна 0,96, на станке № 2 – 0,98. Найти вероятность изготовления стандартной детали на третьем станке, если вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,97. А 3.35.
Оператор радиолокационной станции фиксирует самолет противника с вероятностью 0,8 и принимает помеху за самолет с А 3.36.
Из 20 стрелков семь попадают в цель с вероятностью 0,6; восемь – с вероятностью 0,5 и пять – с вероятностью 0,7. А 3.37.
На строительство объекта поступают железобетонные плиты из 4 цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук А 3.38.
Экономист считает, что вероятность роста стоимости акции компании в следующем году составит 0,75, если экономика страны будет на подъеме, и 0,30, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъема равна 0,6. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году. А 3.39.
Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течение обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0,9; от второй – с вероятностью 1, однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0,1; для второй – 0,02. В случае банкротства фирмы инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность того, что инвестор получит прибыль? А 3.40.
В ремесленном цехе трудятся 3 мастера и 6 их учеников. Мастер допускает брак при изготовлении изделия с вероятностью 0,05; ученик – с вероятностью 0,15. Поступившее из цеха изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что его изготовил мастер? Блок В
С 3а
Инспекторы налоговой службы производят проверку деятельности предприятий: первый обслуживает А) наудачу выбранное предприятие не имеет задолженностей; Б) предприятие, которое не имеет задолженностей, проверял первый инспектор?Подобные документы
Ценные бумаги
Бета
Ожидаемая доходность
Cooley, Inc.
1,6
19%
Moyer Co.
1,2
16%
Актив
Инвестиции, $
b
Вид A
1,20
Вид B
0,85
Вид C
??
1,40
Актив, свободный от риска
??
??
Ценные бумаги компании
b
Ожидаемая доходность
Abel Co.
1,15
18%
Baker Co.
0,80
15%
Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле
Акции Сбербанка РФ выросли на 80% с начала года. Многие эксперты говорят, что ценные бумаги банка сохраняют потенциал роста котировок. Но с такой позицией согласны не все. "ДП" разбирался, стоит ли тратить деньги на Сбербанк или нет.
Откат от максимума
Поток хороших новостей
Экономика поддержит банки
Перспективный актив
Необходимо ввести и точно определить гипотезы
и итоговое событие
, указать вероятности гипотез 
и условные вероятности события при наступлении каждой гипотезы 
. При этом совокупность гипотез должна образовывать полную группу событий
, поэтому сумма их вероятностей равна 1: 
.
^
Решение типовых задач
Задача 1.
На сборку поступают детали с 3 станков-автоматов, производительности которых относятся как 2:3:5. Брак в их продукции составляет 2%, 1%, 3% соответственно. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов стандартная.
, состоящих в том, что деталь с i
-го автомата. Вероятности этих гипотез:
; 
; 
.
; 
; 
.
– литера с i
-го набора – вероятности которых 
. Гипотезы 
и 
образуют полную группу событий.
, 
. Требуется найти вероятность 
, т.е. переоценить вероятность гипотезы при условии, что событие уже наступило. Используем формулу Байеса
,
– формула полной вероятности
.
.
^
Задачи для отчета преподавателю
Блок А
а третий – 30% продукции, поступающей на сборку. Первый автомат выпускает 0,125% брака, а второй, третий и четвертый – по 0,25%. Сколько процентов продукции идет на сборку с 4-го автомата, если вероятность поступления на сборку бракованных деталей равна 0,00225?
8 – с вероятностью 0,5 и 5 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
обнаружено 2 бракованных. Определить вероятность того, что доброкачественная деталь принадлежит 3-й партии.
доброкачественной. Количество доброкачественных деталей равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных деталей наиболее вероятно и какова его вероятность?
вероятность того, что: а) число бракованных изделий равно 6; б) взятое бракованное изделие единственно.
8 – с вероятностью 0,5 и 5 – с вероятностью 0,6. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
изделия доброкачественны, а во 2 – только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит 1-му и 2-му ящику, если количество изделий в ящиках
одинаково?
деталей 4-х предприятий, взяли на проверку одну деталь. Какова вероятность обнаружения бракованной продукции, если продукция 2 предприятий содержит по 3/4 бракованных деталей, а вся
продукция остальных предприятий доброкачественна?
1-м ящике – 16, а во 2-м – 10 стандартных. Из 1-го ящика извлекаются и перекладываются во 2-й ящик 2 детали. Определить
вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из
2-го ящика будет стандартной.
Какова вероятность, что это мужчина?
стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандартам.
деталей и из деталей обычного качества. 40% приборов собираются из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надежность (вероятность безотказной работы за время t
) равна 0,95; если из деталей обычного
качества, то 0,7. Прибор испытывался в течение времени t
и
работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.
остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?
1-го завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом,
2-го – 10% и 3-го – 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с 1-го завода, 20% – со 2-го и 50% – с 3-го?
человеку с 1-й группой крови можно перелить только кровь 1-й группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% – вторую, 20,9% – третью и 7,9% – четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.
деталей равновозможны. Какова вероятность того, что среди имеющихся 1000 изготовленных деталей нет дефектных, если из взятых на проверку 100 деталей дефектных не оказалось?
Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался
белый шар?
соответственно равны 0,05, 0,03, 0,02. Приобретенный прибор оказался бракованным. Какова вероятность того, что он изготовлен
1-м заводом?
вероятностью 0,1. В 15% случаев на экран оператора попадает
помеха. Оператор принял решение о наличии в воздушном
пространстве самолета противника. Определить вероятность того, что сигнал получен действительно от самолета.
Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак (несоответствие ГОСТу), равный в процентном отношении соответственно 1, 5, 2 и 3. Какова вероятность того, что наугад взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТа?
Блок С
Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1% бракованных, со второго - 0,2%, с третьего - 0,25%, с четвертого - 0,5%. Производительности их относятся как 4: 3: 2: 1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена: а) на первом; б) на втором; в) на третьем; г) на четвертом станке. Как проверить правильность вычислений этих вероятностей?
Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы четыре студента, из второй - шесть, из третьей - пять студентов. Вероятности того, что отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в сборную института, равны соответственно 0,5, 0,4 и 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
Имеется пять винтовок, из которых три с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом составляет для данного стрелка 0,95, без оптического прицела - 0,8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.
С первого станка на сборку поступает 40%, со второго - 30%, с третьего - 20%, с четвертого - 10% всех деталей. Среди деталей первого станка 0,1% бракованных, второго - 0,2%, третьего - 0,25%, четвертого - 0,5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.
Радиолампы производятся на двух заводах, причем первый из них поставляет 70% всей продукции, а второй – 30%. Из каждых 100 ламп первого завода 80 стандартных, а из 100 ламп второго завода – лишь 60 стандартных. Найти вероятности следующих событий: а) заказчик получил стандартную лампу; б) лампа произведена первым заводом, если известно, что она оказалась стандартной.
В некоторой отрасли 30% продукции производится на первой фабрике, 25% – на второй, остальное – на третьей. На первой фабрике брак составляет 1% от общего объема произведенной продукции, на второй – 1,5%, на третьей – 2%. Купленная покупателем продукция оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была произведена на первой фабрике?
Имеются три одинаковых с виду урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 7 черных, в третьей – только белые шары. Наугад из одной урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что он белый.
Три стрелка одновременно выстрелили в мишень, в результате чего в ней оказалась одна пробоина. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,3, второго – 0,5, третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в мишень попал второй стрелок.
Имеются три одинаковых с виду урны. В первой 4 белых и 6 черных шаров, во второй – все белые, в третьей – все черные шары. Из выбранной наугад урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что: а) шар черный; б) шар был извлечен из первой урны, если он оказался белым.
Студент знает ответы на 25 билетов из 30. Один билет уже вытащили до него. Какова вероятность того, что студент знает попавшийся ему билет?
В группе учатся 20 девочек и 10 мальчиков. Домашнее задание не выполнили 4 девочки и 3 мальчика. Наугад вызванный студент оказался не подготовлен. Какова вероятность того, что это мальчик?
предприятий, среди которых 
% не имеют задолженностей, второй 
предприятий, из них 
% без задолженностей. Какая вероятность того, что:
Номер
варианта
Исходные данные
Номер
варианта
Исходные данные
%
%
%
%
С 3.1
50
15
70
20
С 3.6
55
20
75
40
С 3.2
70
25
80
30
С 3.7
85
35
95
15
С 3.3
65
20
75
40
С 3.8
90
25
70
30
С 3.4
80
25
100
40
С 3.9
80
20
55
45
С 3.5
70
30
90
20
С 3.10
60
30
90
50