Скачать (прямая ссылка): analitgeometr1997.pdf Предыдущая 1 .. 29 > .. >> Следующая
1°. Числовая последовательность. Пусть каждому натуральному числу п=1,2,3,...по некоторому закону поставлено в соответствие число хп. Тогда говорят, что этим определена последовательность чисел Xi, Х2, xs, . . . или, короче, последовательность {хп} = = {xi, Х"2, xs, . . .}. Отдельные числа последовательности {хп} называются ее элементами. Говорят еще, что переменная Xn пробегает значение последовательности {жп}.
2°. Предел последовательности (предел переменной). Число а называется пределом последовательности {жп}, или пределом переменной Xn (обозначается Xn -У а), если для всякого є > 0 найдется зависящее от є число п0 такое, что \хп - а\ < є для всех натуральных п > по- Интервал (а - є, а + є) называется є-окрестностью числа а (или точки а). Таким образом, Xn -У а обозначает, что для всякого є > О найдется такое число п0, что для всех п > п0 числа Xn будут находиться в є-окрестности числа а.
3°. Предел функции. Пусть функция f(x) определена в некоторой є-окрестности точки а, за исключением быть может самой точки а. Говорят, что число Ь является пределом функции f(x) при X -У а (пишут f(x) -У Ь при X -У а или Hm f(x) = Ь), если для любого є > 0 существует
х -
зависящее от є число S > 0 такое, что \ f(x) - Ь\ < є при 0 < \х - а\ < S.
Аналогично, Hm f(x) = Ь, если для всякого є > 0 существует зависях-
щее от є число N такое, что \f(x) - Ь\ < є при \х\ > N. Употребляется также запись Hm f(x) = со, которая обозначает, что для всякого числа
х-
А > 0 существует зависящее от А число S такое, что |/(ж)| > А при О < \х - а\ < S.
Если X -У а и при этом х < а, то пишут х -ї а - 0; аналогично, если X -У а и при этом х > а, то пишут х -У а + 0. Числа f(a - 0) = = Hm f(x) и f(a + 0) = Hm f(x) называются соответственно пре-
х^-а - О х->а + 0
делом слева функции f(x) в точке а и пределом справа функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при х -У а необходимо и достаточно, чтобы было f(a - 0) = f(a + 0). Вместо х -У 0 - 0 и X -у 0 + 0 пишут X -у -0 и X -у +0 соответственно.
4°. Бесконечно малые. Если Hm а(х) = 0, т. е. если |а(ж)| < є
х-
при 0 < Iж - аI < S(e), то функция а(х) называется бесконечно малой при X -)> а. Аналогично определяется бесконечно малая а(х) при х -У со.
5°. Бесконечно большие. Если для любого сколь угодно большого числа N существует такое S(N), что при 0 < \х - а\ < S(N) выполнено равенство |/(ж)| > N, то функция f(x) называется бесконечно большой при X -)> а. Аналогично определяется бесконечно большая f(x) при X -У со.
94
Гл.5. Введение в анализ
702. Полагая га = 0, 1, 2, 3, ..., написать последовательности значений переменных:
1 1 (I
a = -, a =--, a = -
2п 2п \ 2
Начиная с какого га модуль каждой из переменной сделается и будет оставаться меньше 0,001, меньше данного положительного є?
703. Написать последовательность значений переменной ж = (-1)п
= 1-|--. Начиная с какого га модуль разности х - 1 сделается и
2га + 1
будет оставаться меньше 0,01, меньше данного положительного є?
704. Прибавляя к 3 (или вычитая из 3) сначала 1, затем 0,1, потом 0,01 и т. д., записать «десятичными» последовательностями приближения переменной к пределу: Xn -> 3 + 0, Xn -> 3 - 0.
705. Записать «десятичными» последовательностями приближения переменных к пределам: Xn -> 5 + 0, Xn -> 5 - 0, Xn -> -> - 2 + 0, хп -> - 2 - 0, хп -> 1 + 0, хп -> 1 - 0, хп -> 1, 2 + 0, хп -> 1, 2 - 0.
706. Доказать, что Hm ж2 = 4. Пояснить таблицами значений
707. Доказать, что Hm (2ж - 1) = 5. По данному числу є > 0
х->3
найти наибольшее число 8 > 0 такое, чтобы при любом ж из ^-окрестности числа 3 значение функции у = 2х - 1 оказалось в є-окрестности числа 5. Пояснить графически.
708. Доказать, что Hm (3 - 2ж - ж2) = 4. Из какой наиболь-
X-у - 1
шей ^-окрестности числа -1 нужно взять значение ж, чтобы значение функции у = 3 - 2ж - ж2 отличалось от ее предела меньше чем на є = 0,0001?
709. Доказать, что sin а есть бесконечно малая при a -> 0.
Указание. Сделать чертеж и показать, что |sina|< \a\.
710. Доказать, что Hm sin ж = sin a.
x^ra
Указание. Положив х = a + а, составить разность sin ж - sin а и затем положить a -У 0.
Зж + 4
711. Доказать, что Hm - = 3. Пояснить таблицами зна-
Зж + 4
чений ж и - при ж = 1, 10, 100, 1000, ...
ж
4ж - 3
712. Доказать, что Hm - = 2. При каких ж значения
ж-»оо 2ж + 1
функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,001?
2. Пределы последовательности и функции
95
,. 1 - 2ж2
713. Доказать, что hm-- = -0,5. При каких ж значения
х->оо
2 + 4ж
функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,01?
714. Доказать, что Hm 0,333...3 = -, составив разности--
п-Юо 4--" З 3
п знаков
- 0,3; і - 0,33; ^ - 0,333; ... ^- 0, 333^3.
п знаков
715. Написать последовательности:
га га (-1)пга
1) хп - . г) 2j Xn - ¦ -, 3) Xn - ¦ - , га+1 га+1 га+1
_ 8cosra(7r/2)- _ 2га+ (-!)"_
4J Xn - ¦ - , Oj Xn - ,
га + 4 га
6) Xn = 2~nacosmr. Существует ли Hm Xn в каждом примере и чему он равен?
Пусть х - упорядоченная переменная величина (например числовая последовательность).
Определение.
Постоянное число a называют пределом переменной величины х, если какое бы сколь угодно малое положительное число мы не взяли, можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству x -а .
Символически это пишут ха или limх=а (от латинского limes - предел).
Геометрически это определение означает, что какую бы малую - окрестность точки a мы не взяли, все последующие значения x после некоторого будут лежать в этой окрестности.
Из
чертежа видно, что неравенство
означает, что расстояние от точки х до
а меньше .
А это и есть внутренность окрестности.
Точка х удовлетворяет, очевидно, и
двойному неравенству a-
и это равнозначны.
О
пределение:
Для числовой последовательности {x n }
a
является пределом, если по
можно
указать такой номерN,
что для всех
Для
членов последовательности все значения
x N ,x N +1
и далее лежат внутри
-окрестности
обязательно.
Переменную x, значения которой образуют числовую последовательность x 1 ,x 2 ,…,x n часто записывают в виде члена последовательности x=x n или {x n }. Например, {1/n}. Это переменная величина или последовательность с общим членом x n =1/n: 1,1/2,1/3…
Пример
:
Пусть переменная величина x
принимает последовательно значения:
x 1 =2/1,
x 2 =3/2,
x 3 =4/3,
…,x n =(n+1)/n,…
т.е. образуют числовую последовательность.
Докажем, что
.
Возьмём
.
.
Как только номерn
станет
,
его примем заN.
Тогда неравенство будет выполняться
для
.
Но тогда всё доказано.
Теорема 1: предел постоянной величины равен этой постоянной. Доказательство: Постоянная величина является частным случаем переменной – все её значения =с: x=c/ Но, тогда limc=c.
Теорема 2: Переменная величина x не может иметь двух пределов.
Доказательство:
Допустим limx=a
и limx=b.
Тогда
и
после некоторого значенияx.
Но тогда
Так как
сколь угодно мало, то неравенство
возможно лишь приa=b
Замечаеие:
Переменная может и не иметь предела:
x=x n =(-1) n =-1,+1,-1,+1.
Расстояние до любой точки а от её значений
–1,+1 не может быть меньше 1/2
(-1) n
не имеет предела.
Мы предполагали а – числом. Но переменная x может стремиться и к бесконечности.
Определение:
Переменная x
стремится к бесконечности, если для
начиная с некоторого значенияx
вес остальные значения удовлетворяют
неравенству
.
Переменнаяx
стремится к
,
если при тех же условиях выполняется
неравенствоx>M
и к -
,
если при тех же условиях выполняется
неравенство x<-M.
Если переменная X
стремится к бесконечности, то её называют
бесконечно
большой величиной
и пишут
Пример:
x=x n =n 2 .
Возьмём
>0.
Должно выполнятьсяn 2 >M.
n>
.
Как только n
удовлетворяет этому неравенству, так
для всех x n =n 2
неравенство выполняется. Значит, n 2 
,
а точнее n 2 
.
§3. Предел функции.
Будем предполагать, что аргумент х функции у=f(х) стремится к х 0 или .
Рассмотрим поведение функции y в этих случаях.
Определение.
Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х 0 . Число A называется пределом функции при хх 0 , если для любого , сколь угодно малого, можно указать такое число , что для всех хх 0 и удовлетворяющих неравенству x-x 0 выполняется неравенство f(х)-A.
Если
A
есть предел функции f(х),
то пишут
илиf(х)А
при хх 0 .
О
пределение
так можно проиллюстрироватьгеометрически
.
Если А есть предел f(х) при хх 0 , то взяв любую - окрестность точки А, мы всегда можем указать такую - окрестность точки х 0 , что для всех х из этой - окрестности значения функции f(х) отстоят от А не дальше , т.е. попадут в выбранную - окрестность точки А, или, все равно, часть графика соответствующая точкам х из - окрестности лежит целиком в полосе шириной 2.
Видно, что чем меньше , тем меньше должно быть и .
Определение.
Пусть аргумент х стремится к точке х 0 , принимая все время значения xx 0 xx 0 .Тогда число А 1 (А 2), к которому стремится функция f(х), называется пределом функции f(х) в точке х 0 справа (слева) или правосторонним (левосторонним).
Записывается: lim х х0+0 f(х)=А 1 , (lim х х0-0 f(х)=А 2).
Можно доказать, что если предел lim х х0 f(х)=А существует, то существуют в этой точке и оба односторонних предела и они равны, А 1 =А 2 =А. Обратно: Если существуют односторонние пределы и они равны, то существует и общий предел. Если же хоть один не существует или они не равны, то предел функции не существует.
Пример.
Доказать, что f(х)=3х-2 имеет предел при х1 равный 1.
Любое х 3х2-1, 3х3, 3х, х3.
В качестве можно взять любые положительные числа /3; 0</3.
Доказали, что для любого достаточно взять /3, чтобы из 0х f(х)-1, но это и значит, что lim X (3х-2)=1.
Определение.
Ч
исло
А называется пределом функции у=f(х)
при х,
если для любого
(сколь угодно малого) можно указать
такое положительное число P,
что для всех значений х, удовлетворяющих
неравенству хP
выполняется неравенство f(х)-А.
Записывают lim х f(х)=А.
Геометрически это означает, что для любого график функции для хp и х-p располагается в полосе шириной 2.
Пример.
f(х)=1/х при х, f(х)0.
Какое бы 0 ни взяли, график функции при хР и х-Р расположится в полосе шириной 2.
1/х, 1/х, х1/, Р=1/.
Аналогично
определяются и
f(х)=А 1
и
f(х)=А 2 .
В первом случае должно выполняться
неравенство f(х)-А 1
для хР,
во втором f(х)-А 2
при х-Р
(Р0.
Так,
1/х=0,
и
1/х=0.
Равенство их и позволяет рассматривать
общий предел
1/х=0.
Предел – это одно из самых фундаментальных понятий высшей математики. В данной главе мы рассмотрим две основные разновидности пределов: 1) предел переменной; 2) предел функции.
Пусть X – Переменная величина . Это значит, что величина X меняет свои значения. Этим она принципиально отличается от любой Постоянной величины A , которая своего неизменного значения не меняет. Например, высота столба – величина постоянная, а высота живого растущего дерева – величина переменная.
Переменная величина X считается заданной, если задана последовательность
Ее значений. То есть тех значений X 1; X 2; X 3;…, которые она последовательно, одно за другим, принимает в процессе своего изменения. Будем считать, что этот процесс изменения величиной X своих значений ни на каком этапе не прекращается (переменная Х никогда не застывает, она «всегда живая»). А это значит, что последовательность (1.1) имеет бесконечное число значений, что и отмечено в (1.1) многоточием.
Естественно, возникает интерес относительно характера изменения величиной X своих значений. То есть возникает вопрос: меняются эти значения бессистемно, хаотически или все же как-то целенаправленно.
Основной интерес представляет, конечно, второй вариант. А именно, пусть значения Xn Переменной X по мере увеличения их номера N неограниченно приближаются (Стремятся ) к некоторому конкретному числу A . Это значит, что разность (расстояние) между значениями Xn Переменной X и числом A сокращается, стремясь при увеличении N (при ) к нулю. Заменяя слово «стремится» стрелкой, сказанное выше можно записать так:
При <=> при (1.2)
Если имеет место (1.2), то говорят, что Переменная х стремится к числу а . Это число А Называется Пределом переменной X . И записывается это следующим образом:
<=> (1.3)
Читается: Предел X равен A (X стремится к A ).
Стремление переменной X
к своему пределу A
Можно наглядно проиллюстрировать на числовой оси. 
Точный математический смысл этого стремления X
к A
состоит в том, что какое бы малое положительное число ни взять, а значит, каким бы малым промежутком 
ни окружить на числовой оси число A
, в этот промежуток (в так называемую -окрестность числа A
) попадут, начиная с некоторого номера N
, все значения Xn
Переменной X
. В частности, на рис. 3.1 в изображенную -окрестность числа A
попали все значения Xn
Переменной X
, начиная с номера .
Переменная X , имеющая своим пределом нуль (то есть стремящаяся к нулю) называется Бесконечно малой . А переменная X , неограниченно растущая по абсолютной величине, называется Бесконечно большой (ее модуль стремится к бесконечности).
Итак, если , то X – бесконечно малая переменная величина, а если , то X – бесконечно большая переменная величина. В частности, если или , то X – бесконечно большая переменная величина.
Если , то 
. И обратно, если 
, то . Отсюда получаем следующую важную связь между переменной X
и ее пределом A
:
Отметим, что не всякая переменная X имеет предел. У многих переменных нет предела. Есть он или нет – это зависит от того, какова последовательность (1.1) значений этой переменной.
Пример 1 . Пусть
Здесь, очевидно, , то есть .
Пример 2 . Пусть
X – бесконечно малая.
Пример 3 . Пусть
Здесь, очевидно, , то есть . Значит, переменная X – бесконечно большая.
Пример 4 . Пусть
Здесь, очевидно, переменная X ни к чему не стремится. То есть предела у нее нет ( не существует).
Пример 5 . Пусть
Здесь ситуация с пределом переменной X не так очевидна, как в предыдущих четырех примерах. Для прояснения этой ситуации преобразуем значения Xn переменной X :
Очевидно, что при . Значит,
при .
А это значит, что , то есть .
Пример 6 . Пусть
Здесь последовательность {Xn } значений переменной X представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем Q . Следовательно, предел переменной X – это предел бесконечной геометрической прогрессии.
А) Если , то, очевидно, при . А это значит, что ().